小学数学猜想教学的策略研究
数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的知识和事实经验的基础上，运用非逻辑手段得到的一种假定，一种合理的推理（G·波利亚语：“在数学领域中，猜想是合理的，只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应该让合理的猜想占有适当的位置”）。数学课程标准也十分明确地肯定了猜想在数学教学中的重要作用，提出小学数学教学过程“要遵循学生的认知规律，重视学生获取知识的思维过程，通过操作、观察、演示等方式，引导学生进行比较、分析、综合、猜想，在感知的基础上加以抽象、概括，进行简单的判断、推理。”在课堂教学中，什么样的数学猜想才是合理的呢？作为执教者应该如何引导学生进行合理的猜想呢？本文试结合一些小学数学猜想的案例谈谈引导学生猜想的教学策略。
一、创设生发点，激发猜想
合理的数学猜想凭借的直觉思维，但它离不开生发点，不是凭空瞎猜。数学知识、数学方法等方面往往存在着某些内在的联系，这些都可以作为数学猜想的生发点。因此教师在新知的教学中，要提供有连接性的教学材料，创设富有挑战性的问题情境，让学生观察、比较，引导学生合理地猜想。
案例1：猜一猜，哪块草地的面积大？
师：下面请同学们看这样两幅草地图：
师：它们分别是什么形状的？
生1：一个长方形，一个平行四边形。
师：谁来猜一猜，哪一块草地的面积大？
生2：长方形的大。
生3：一样大。
生4：平行四边形的大。
师：那同学们想一想，如果我要准确比较出这两块草地的面积大小，有什么办法?
生5：求出它们的面积。
师：哪一块能够求出来？
生6：长方形这块可以求出。
师：你告诉我怎么求出来？
生6：长方形面积=长╳宽
师：这是我们以前学过的，那平行四边形的面积呢？今天我们就带着这个疑问一起来学习“平行四边形的面积”。（板书）
案例2：“圆锥的体积可能与圆柱的体积有关”。
师：（课件演示圆柱体）这是什么形体？
生1：圆柱体。
师：用课件动态地将圆柱切削成一个圆锥（底面和高分别相等）。
师：（指着切削成的圆锥）这是什么形体？
生2：圆锥。
师：假设让你来研究圆锥的体积，你认为圆锥的体积会与什么有关？
生3：圆锥的体积可能与圆柱有关。
师：猜一猜，等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积有什么关系？
生4：如果圆柱和圆锥的底面和高都分别相等的话，那么，圆锥的体积可能是圆柱的二分之一。
生5:可能是三分之一。
生6：可能是五分之二。
师：大家都提出自己的猜想，今天我们一起来研究圆锥的体积？
思考：案例1执教者关注长方形与平行四边形等积变形的内在联系，案例2执教者通过课件动态的切削（等底等高的圆柱、圆锥），非常直观地使学生感悟到了圆柱和圆锥之间的某种联系。正是这些数学知识、数学方法等方面存在着的内在联系，为学生的猜测作了孕伏和铺垫，并由此产生的内驱力激发了学生学习数学的兴趣，使他们的思维处于愤悱之中，从而表现出积极、主动的探求欲望。
二、去伪存真，验证猜想
猜想是一种似真判断，学生提出猜想后，应引导学生加以验证、分析或解释。在实际教学中，有些教师只注重猜想，却忽视了猜想后的验证。
案例3：比的基本性质。
师：我们已经学习了除法、分数，还初步认识了“比”，现在请同学们看大屏幕。
（）÷（）= =（）:（）
师：快速把答案填在卡片上。（生填卡片）
师：你愿意把自己所填的结果告诉大家吗？（学生回答，教师填写）。
投影出示：（）÷（）= = （）:（）
除法分数比
（商不变性质）（分数的基本性质）（？）
师：（指着投影），除法有商不变的性质，分数有分数的基本性质，比呢？（先指“比”字，再指向问号），你有什么样的猜想？
生：（思考片刻）比可能也有类似的性质。
师：对！比也有基本性质。（板书课题：比的基本性质）
师：比的基本性质会是怎样呢？大家猜一猜。
生1：我猜想，比的基本性质是比的前项和后项同时乘或除以相同的数，比的大小不变。
师：（询问其他的同学）你们认为呢？
生2：我觉得不能乘或除以0，因为比的后项不能为0。
生3：对，应补上“0除外”。
师：大家考虑的真周到！现在谁能完整地说一说比的基本性质？
学生述说比的基本性质。
师：下面我们就应用比的基本性质把下面各比化成最简单的整数比（出示例题）。
案例3中，执教教师创设了一个好的猜想时机，让学生由商不变的性质，分数的基本性质，通过类比猜想，从而猜想出比的基本性质，这一点是值得肯定的。但是学生猜测出比的基本性质后，教师没有引导学生去验证“猜想”的正确性，而是让学生机械地记住“猜想”结果，直接运用结果解题。这种只求猜想，不求验证的教学，只定位于让学生猜想“是什么”，而不引导学生探究“为什么”，这样的教学不利于学生深刻理解所学的知识，不利于学生形成科学严谨的学习态度和良好的思维习惯。
案例4：你能想办法证明你的猜想吗？
师：（出示正方形纸片）大家猜猜，
生1：
生2：（马上补充）四边一样长。
师：是吗？请大家选择所需的实验材料，你能想办法证明你的猜想吗？（学生操作验证活动后，交流汇报）
生1：我把正方形纸片的四边折在一起，发现四边会重合，可以看出正方形的四边相等。
生2：我用尺子量正方形纸片的四边，也能发现这一规律。
生3：（十分急切）我有不同方法，我用毛线来比正方形的四边，也发现了这一规律。……
师：大家自己动手想办法证明了自己的看法，很好!看来只要大家勤于动脑、动手，这样就能越学越聪明。
思考：案例4中，在学生形成猜想之后，执教者没有直接把“正方形四边相等”这一结论直接、机械地告诉学生，而是帮助学生弄清猜想的真伪，努力引导学生对这个猜想加以验证、分析和解释，学生通过“折一折”、“比一比”、“量一量”等学习方式，多角度地参与了“正方形四边相等”这一结论的验证过程，实现了知识技能目标和发展性目标的和谐发展。
三、转变观念，鼓励猜想。
在某些狭隘的教学观念认为：只有“说得清，道得明”，步步为营，层层推进的逻辑思维，才是唯一合法的逻辑思维。在这种狭隘的数学思维观的指导下，试探和直觉色彩很强的猜想活动就不可能得到教师的肯定和提倡。
案例5：“数学是讲究依据的，千万不可随意猜测。”
某教师在教学“除法的意义”练习课上，让学生在练习本上做这样一道习题：“有一批鸭梨，每筐装30千克，正好装35筐；现在只有30个筐，要把鸭梨都装上，平均每筐要多装多少千克？”集体讨论时，学生出现了以下两种解法：
1.用现在每筐装的千克数减去原来每筐装的千克数，
列式为：30╳35÷30—30
2.用原来比现在多出的筐里所装鸭梨的千克数除以现在的筐数，
列式为：30╳（35—30）÷30。
这时，一位学生高高举起了手，脸上“写”满了激动。
生1：老师，我觉得要求平均每筐多装的千克数，可以用35减去30（教室里顿时安静了下来，同学们都愣住了）。
师：你能说说，你是怎么想的吗？
生1：我，我……只凭直觉!（教室里立刻哄堂大笑）
生2：老师，他的解法是错误的，因为他只用了两个条件，一步解答的。
生3：老师，他是在凑得数。
生4：他的列式如果理解成35筐减30筐，求出的应该是原来比现在多几筐，不是所求的问题。如果理解成35千克减30千克，那么题中哪来的35千克呢？显然他的列式是错误的（班上许多同学都点头默认）
师：（满脸的严肃）数学是讲究依据的，千万不可随意猜测。
同学们不约而同地把目光投向那位说出“35-30”算法的同学，顿时那位同学的脸涨得通红，不由自主地低下了头……
思考：由于这道题鸭梨的总重量是一定的，即（30╳35）千克。由“35个筐装，平均每筐要装30千克”,从而猜想到“用30个筐装，则平均每筐就要装35千克，所以平均每筐要多装（35-30）千克”。这显然是合理的猜想，而执教者的作法确实令人担忧，学生的奇思妙想被教师的一瓢冷水泼得烟消云散。像这样下去，以后每当学生面临一个数学问题时，它
们由于担心出错或受嘲笑、指责，往往只愿按照教本或教师的固定程式去思考、去解答。时间一长，学生的思维极有可能被框死，不敢大胆猜想，从而丧失直觉，丧失灵感。
在小学生的数学学习中，引导学生合理猜想，对于提高他们自身的数学素养具有不可低估的重要作用：首先猜想能激发学生学习数学的兴趣，并由此所产生的内驱力能使他们主动地去学习；其次学生要验证自己的猜想是否正确，必须进行验证，对猜测的验证过程表现出积极主动的探求精神，能使他们的思维品质得到较好的培养；第三引导学生合理的猜想，有利于培养学生思维的灵活性，可使学生的思维打破常规，从更多、更新的角度对问题作出试探，从而产生新颖别致、不落俗套的想法，有利于学生创新意识和创新能力的培养。因此，数学猜想应该引起广大数学教师的重视。
四、问题讨论
1、引导学生猜想的最佳时机是什么？教者认为，在数学学习活动中启发学生类比、引导学生观察、实验、归纳的过程，都是训练学生进行猜想的极好时机。除此之外，还有哪些好的时机呢？
2、猜想是一种死真判断，学生难免会出现不合理的猜想。面对学生不合理的猜想，执教者该如何对待？教者认为，执教者首先应对学生给予肯定，鼓励学生敢于猜想；其次执教者要引导学生去验证自己的猜想是否正确，帮助学生明白更为合理的猜想来源于丰富的知识、实践经验以及强烈探索的欲望。这样处理会不会导致学生过分相信自己的猜想，造成武断或带来冒失的行为？对于学生的猜想，如果教师一时也无法判断是否合理，又无法进行证明，面对这种情况，教师又该如何处理？
乔治．波利亚的数学＂解题表＂学习法 Ｇ．波利亚，是美籍匈牙利数学家，教育家．他十分重视解题在数学学习中的重要作用，数十年如一日对解题方法进行研究，凝聚成一张＂解题表＂（如有条件，参见乔治．波利亚的原著）．这张表提供了一套解决数学问题的一般方法与模式，为解决问题指明了方向，并揭示了解题中的思维过程和思维方法．悉心体会这张表中层层递进的各个问题，相信会对我们的数学学习有所启迪．一．弄清问题．１，已知是什么？未知是什么？ ２，条件是什么？结论是什么？ ３，画个草图，引入适当的符号． 二，拟定计划．１，见过这道题或与之类似的题吗？ ２，能联想起有关的定理或公式吗？ ３，再看看未知条件！ ４，换一个方式来叙述这道题． ５，回到定义看看！！ ６，先解决一个特例试试． ７，这个问题的一般形式是什么？ ８，你能解决问题的一部分吗？ ９，你用了全部条件吗？ 三，实行计划．１，实现你的解题计划并检验每一步． ２，证明你的每一步都是正确的． 四，回顾反思．１，检查结果并检验其正确性． ２，换一个方法做做这道题． ３，尝试把你的结果和方法用到其他问题上去． 这张解题表看似简单，实际上它给出了一套解决数学问题的一般方法与模式，同时还揭示了解题中的思维方法和思维过程。 你的解题习惯和这个“解题表”一样吗？ 如果你觉得自己常常不会思考——“不知道怎么想”，请你参考“一.3.”和“二.3.4.5.6.8.9.”； 如果你常常做错题——“会做，但未做对”，请你参考“三.四.”。 悉心体会并把握表中各层的要领，相信对你的数学学习会起到很大的帮助作用。 在这里提醒两点，一是一定要画图，并标上符号和数字，二是一定要重视回顾反思这一步，只有这一步才能从题海中解放出来，才能做到：虽然只做了有限的题目，但能够解无限的问题．
波利亚解题四步骤 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
第一，弄清问题? 未知数是什么已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么条件是什么满足条件是否可能要确定未知数，条件是否充分或者它是否不充分或者是多余的或者是矛盾的 画张图。引入适当的符号。 把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？ 第二，拟定计划? 找出已知数与求知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不 得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。 你以前见过它吗你是否见过相同的问题而形式稍有不同你是否知道与此有关的问题你是否知道一个可能用得上的定理看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗你能不能利用它你能利用它的结果吗为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素 你能不能重新叙述这个问题你能不能用不同的方法重新叙述它回到定义去。 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题一个更普遍的问题一个更特殊的问题一个类比的问题你能否解决这个问题的一部分仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度它会怎样变化你能不能从已知数据导出某些有用的东西你能不能想出适合于确定未知数的其它数据如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近 你是否利用了所有的已知数据你是否利用了整个条件你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念 第三，实现计划? 实现你的求解计划，检验每一步骤。 你能否清楚地看出这一步是正确的你能否证明这一步是正确的 第四，回顾反思? 你能否检验这个论证你能否用别的方法导出这个结果你能否一下子看出它来 你能不能把这结果或方法用于其它的问题？ 下面举个例子来说明波利亚《怎样解题》的应用。 【高考例题】：已知函数f(x)＝cos2 (x＋π12)，g(x)＝1＋12 sin2x. (1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间． 第一步：弄清问题。已知条件是什么如本题中， 已知两个三角函数，可化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝ Acos(ωx＋φ)＋h的形式．由已知推出：f(x)＝12[1＋cos(2x＋π 6 )]，h(x) ＝12sin(2x＋π3)＋32
用波利亚的解题方法解题 在△ABC 中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是c b a ,,，且,43 cos cos ,10===a b B A c p 为 ABC V 内切圆上的动点.求点p 到顶点C B A ,,的距离的平方和的最小值与最大值。 【分析】： 第一步：理解题意。 本题的条件是(i)c=10,(ii),43 cos cos ==a b B A (iii)P 是ABC V 内切圆上的动点，所 求的结论是要求出P 点到A ，B ，C 三顶点的距离的平方和的最值。 由此可得，这是一道关于图形的最值问题。 第二步：拟订计划． 设想以前未曾遇到过这个问题，但曾见过也解过与此密切相关的两类问题： 第一，已知三角形某些边角之间的数量关系，要求判断这三角形的形状或解出它。 第二，在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形顶点或三边的距离和平方和的最小值。 于是原问题可分列为两个较为简单的问题： ① a ，b ，c 为ABC V 的三边，且c=10，,43 cos cos ==a b B A ，试确定△ABC 的形 状及其大小。 ② 确定的ABC V 的内切圆上有一动点P ，试求PA 2+PB 2+PC 2的最小值与最大 值。 对①小题，ABC V 已具备了三个条件式，这类问题据以前的经验，只要对数式进行适当的推算，三角形不难解出来．对于②小题，在确定了三角形的形状大小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出。至此，一个比较完整的解题计划可以说是拟定了。 第三步：实现计划： 由,cos cos a b B A =用正弦定理做代换，得,sin sin cos cos A B B A = 即B B A A cos sin cos sin ?=?或A B 2sin 2sin =， 因为,34 cos cos =B A 知B A ≠，且B A ,是三角形内角， 所以,22B A -=π即,2π =+A B 所以ABC V 是直角三角形. 再由c=10，43 =a b 及222c b a =+，可解得a=6,b=8. 如图1，建立直角坐标系，使直角△ABC 的三个顶点 为A （8，0），B （0，6），C （0，0）.在直角ABC V 中，有,2,2=+=+r r c b a
新高考数学模拟试题及答案 一、选择题 1．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ?=（ ） A ．{} 22x x -≤< B ．{} 2x x ≥- C ．{} 2x x < D ．{} 12x x ≤< 2．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ??，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥ 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ． 110 B ． 310 C ． 35 D ． 25 4．给出下列说法： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在 [)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 6．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．2y x =± C ．3y x = D ．2y x =±
对于波利亚的解题表的认识和看法 我想学习过数学的人都有过这种感觉：一道题，自己百思不得其解，而老师 却能给出绝妙的解法！为此无不赞叹叫好！ “一个好的解法是如何想出来的？”“为什么我想不出来？”。相信每个人都 有过类似的经历：对某件事或某道题我们若是按照一定的规律对它进行处理或求 解，我们的思路会相对清晰很多。天地间的一切事物都在数中，万事万物的发生、 发展、旺盛、衰亡都有定数，事物总是按照其生长基因及时空规律有序地进行演 绎的。也即是“因”与“果”相应。若是违背了这些规律就必然要受到惩罚。因 此，解决数学问题时也需要遵行一定的规律，否则，我们就算把数学问题解决了 也是走了很多的弯路，耗费了很多的时间。 下面我们就一起来应用波利亚的“怎样解题”表来看看当我们遵行一定规律去解 决数学问题时我们会有哪些收获？ 如图，在△ABC中，∠B=∠C，BD=CE，求证：∠ADE=∠AED A B D E C 根据波利亚的“怎样解题”表可以知拿到一个题目我们要做的 第一步就是：了解问题。先明白要求的是∠ADE=∠AED，然后找出我们已有哪些 已知条件：∠B=∠C，BD=CE。 第二步：拟定计划。回忆所学知识：要证∠ADE=∠AED那么先要证明△ADE是等 腰三角形（AD=AE），又由图可以知AD与AE分别在△ABD和△ACE中，要证两 个三角形中的对应边相等则转化为证△ABD=S△ACE。怎样证两角形全等呢？因 为∠B=∠C，那么在△ABC中，AB=AC（等角对等边），由此想到用SAS来证明两 三角形全等。 第三步：实现计划。 AB=AC 由∠B=∠C 得△ABD=S△ACE BD=CE 故 AD=AE 即∠ADE=∠AED（等边对等角） 第四步：回顾。正面检验每一步，看推理是否正确有效；总结解决该问题时我们 是从结论出发由后往前从而找到成立的充分条件，由此得到启发:我们在解决问 题时,是可以由果到因的。 通过上述的例子我们可以发现波利亚的“怎样解题”表描绘出解题理论的一
八年级下册数学难题精选 分式： 一：如果abc=1,求证 11++a ab +11++b bc +11 ++c ac =1 二：已知a 1+b 1=)(29b a +，则a b +b a 等于多少？ 三：一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。
四：联系实际编拟一道关于分式方程228 8 +=x x 的应用题。要求表述完整，条件充分并写出解答过程。 五：已知M ＝222y x xy -、N ＝2 22 2y x y x -+，用“+”或“－”连结M 、N,有三种不同的形 式，M+N 、M-N 、N-M ，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x ：y=5：2。 反比例函数： 一：一张边长为16cm 正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E ”图案如图1所示．小矩形的长x （cm ）与宽y （cm ）之间的函数关系如图2所示： （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）“E ”图案的面积是多少？ （3）如果小矩形的长是6≤x ≤12cm ，求小矩形宽的范围.
二：是一个反比例函数图象的一部分，点(110) A，，(101) B，是它的两个端点．（1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例． 三：如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数1 y x 的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 四：如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，1 -），且 P（1 -，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴， QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的 OPCQ周长的最小值．
怎样解题 一、熟悉问题 1、未知是什么？ 2、已知是什么？ 3、你能复述它吗？ 二、寻找解题方法 1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？ 2、与未知已知相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、概念的直接应用吗？ 3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 4、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 5、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？ 若不能解题，可考虑： 1、已知条件都用上了吗？ 2、能不能得到一个比较特殊的情况？ 三、书写过程 1、你能按步骤写出你的分析过程吗？ 2、你所写的步骤都正确吗？ 四、总结与回顾 1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？ 2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？ 3、解题过程能简化吗？ 例1、 已知：如图，在△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C
分析： 问题1、未知是什么？你能复述它吗？ 答：∠B=∠C 问题2、已知是什么？你能复述它吗？ 答：在三角形ABC中，AB=AC 问题3、以前做过类似的题吗？ 答：似乎没有。 问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？ 答：似乎没有。不能直接用定理解出此题。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。 问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 答：似乎不能。 问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？
2020年高考模拟试题 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 2、复数在复平面上对应的点位于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点 到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 A. 14 17B.13 16 C.15 16 D. 9 13 4、函数的部分图象 如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为 A. B. C. D. 5、已知，，，则 A. B. C. D. 6、函数的最小正周期是 A.π B. π 2C. π 4 D.2π 7、函数y=的图象大致是A．B．C．D． 8、已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中 项为，则 A.35 B.33 C.31 D.29 9、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有 A.24种 B.18种 C.48种 D.36种 10如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC 上，且满足，，若 （），则 A.2 3 B . 3 2 C. 1 2 D.3 4 11、如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右 焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交 于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若 |MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是 A. B. C. D. 12、函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上 13、设θ为第二象限角，若，则sin θ＋cos θ＝__________ 14、(a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________ 15、已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ln y x x =+()1,1() 221 y ax a x =+++
波利亚怎样解题表 集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-
波利亚的怎样解题表１乔治·波利亚 乔治·波利亚(GeorgePolya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席． 作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合着的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容． 作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名着上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的着作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的着作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实
践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．着名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．２怎样解题表 波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”． ２．１“怎样解题”表的呈现 弄清问题 第一，你必须弄清问题 未知是什么已知是什么条件是什么满足条件是否可能要确定未知，条件是否充分或者它是否不充分或者是多余的或者是矛盾的 画张图，引入适当的符号． 把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来 拟定计划 第二，找出已知数与未知数 你以前见过它吗你是否见过相同的问题而形式稍有不同 你是否知道与此有关的问题你是否知道一个可能用得上的定理
专题：猜想、探索规律型 一、选择题 1．(2009年四川省内江市)如图，小陈从O 点出发，前进5米后向右转20O ， 再前进5米后又向右转20O ，……，这样一直走下去， 他第一次回到出发点O 时一共走了（ ） A ．60米 B ．100米 C ．90米 D ．120米 2．（2009年贵州黔东南州）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数（ ）粒。A 、12+n B 、12-n C 、n 2 D 、2+n 3．（2009年江苏省）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-?? -+ ??? ； 第2个数： 23 11(1)(1)1113234????---??-+++ ??? ??????? ； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456???????? -----??-++ +++ ??????? ??????????? ； …… 第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -???? ?? ----??-++++ ??? ? ?+?????? ?? ． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ） A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个数 4．（2009年孝感）对于每个非零自然数n ，抛物线2 211(1) (1) n n n n n y x x +++=-+ 与x 轴交于A n 、B n 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B ++ +的值是 A ． 20092008 B ． 20082009 C ． 20102009 D ． 20092010 5．（2009年重庆）观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ） A ．22n + B ．44n + C ．44n - D ．4n 6．(2009年河北)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1 ） A ．13 = 3+10 B ．25 = 9+16 C ．36 = 15+21 D ．49 = 18+31 二、填空题 1．(2009年四川省内江市)把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么2007，2008，2009，2010这四个数中______________可能是剪出的纸片数 2．（2009仙桃）如图所示，直线y ＝x ＋1与y 轴相交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B 1C 1，记作第一个正方形；然后延长C 1B 1与直线y ＝x ＋1相交于点A 2，再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，记作第二个正方形；同样延长C 2B 2与直线y ＝x ＋1相交于点A 3，再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，记作第三个正方形；…依此类推，则第n 个正方形的边长为________________． 3．（2009年泸州）如图1，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥A B ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1= ， =5 55 4C A A C …… 第1个 第2个 第3个 4=1+3 9=3+6 16=6+10 图7 … O 20o 20o
怎样解题一、熟悉问题 1、未知是什么？ 2、已知是什么？ 3、你能复述它吗？ 二、寻找解题方法 1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？ 2 、与未知已 知相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、概念的直接应用吗？ 3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 4、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？5、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？ 若不能解题，可考虑： 1、已知条件都用上了吗？ 2、能不能得到一个比较特殊的情况？ 三、书写过程 1、你能按步骤写出你的分析过程吗？ 2、你所写的步骤都正确吗？ 四、总结与回顾 1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？ 2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？ 3、解题过程能简化吗？ 例 1 、 已知：如图，在△ ABC中，AB=AC 求证：/B= ZC
分析： 冋题i、未知是什么？你能复述它吗？ 答: ZB=Z C 冋题2、已知是什么？你能复述它吗？ 答：在三角形ABC中，AB=AC 问题3、以前做过类似的题吗？ 答：似乎没有。 问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？ 答：似乎没有。不能直接用定理解出此题。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。 问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 答：似乎不能。 问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？ 答：1、未知是求Z B= zC，在以前学过的定理中有根据平行线证角相等、利用角平分
2019-2020高考数学模拟试题含答案 一、选择题 1．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组 B ．9组 C ．8组 D ．7组 2．已知向量a v ，b v 满足a =v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值 为（ ） A ． 2 B ． 3 C D ． 4 3．设双曲线22 22:1x y C a b -=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别 交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=u u u u v u u u u v ，22MF NF =u u u u v u u u u v ，则双曲 线C 的离心率为( ). A B C D 4．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4 5．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x =? C ．3 5y x =± D ．5 3 y x =± 6．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(22)-， B ．(2)(2)-∞-?+∞， ， C ．(22]-， D ．(2]-∞， 8．已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在 (1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,)e +∞ B ．2(,2)e e C ．2(2,)e +∞ D ．22(,2)(2,)e e e +∞U 9．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
波利亚的怎样解题表 陕西师范大学罗增儒罗新兵１乔治·波利亚 乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容． 作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)． ２怎样解题表 波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．
盘点数学史上24道智力经典名题同学们，你们知道数学史上有哪些经典名题吗?查字典数学网为大家推荐的数学史上24道智力经典名题，小朋友们不妨开动脑筋，动手做一做吧! 1.遗嘱传说，有一个古罗马人临死时，给怀孕的妻子写了一份遗嘱：生下来的如果是儿子，就把遗产的2/3给儿子，母亲拿1/3;生下来的如果是女儿，就把遗产的1/3给女儿，母亲拿2/3。结果这位妻子生了一男一女，怎样分配，才能接近遗嘱的要求呢? 2.公主出题古时候，传说捷克的公主柳布莎出过这样一道有趣的题：“一只篮子中有若干李子，取它的一半又一个给第一个人，再取其余一半又一个给第二人，又取最后所余的一半又三个给第三个人，那么篮内的李子就没有剩余，篮中原有李子多少个?” 3.王子的数学题传说从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们。题目是：我有金、银两个手饰箱，箱内分别装自若干件手饰，如果把金箱中25%的手饰送给第一个算对这个题目的人，把银箱中20%的手饰送给第二个算对这个题目的人。然后我再从金箱中拿出5件送给第三个算对这个题目的人，再从银箱中拿出4件送给第四个算对这个题目的人，最后我金箱中剩下的比分掉的多10件手饰，银箱中剩下的与分掉的比是2∶1，请问谁能算出我
的金箱、银箱中原来各有多少件手饰? 4.国王的重赏传说，印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人——大臣西萨班达依尔。这位聪明的大臣跪在国王面敢说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧?”国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的”。说着，他下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了。……还没到第二十小格，袋子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发明人许下的语言。算算看，国王应给象棋发明人多少粒麦子? 5.哥德巴赫猜想哥德巴赫是二百多年前德国的数学家。他发现：每一个大于或等于6的偶数，都可以写成两个素数的和(简称“1+1”)。如：10=3+7，16=5+11等等。他检验了很多偶数，都表明这个结论是正确的。但他无法从理论上证明这个结论是对的。1748年他写信给当时很有名望的大数学家欧拉，请他指导，欧拉回信说，他相信这个结论是正确的，但也无法证明。因为没有从理论上得到证明只是一种猜想，所以就把哥德巴赫提出的这个问题称为哥德巴赫猜想。世界上许多数学家为证明这个猜想作了很大努力，他们由
高考数学模拟试题 (一) 一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把符合要求一项的字母代号填在题后括号内.） 1.已知集合M={x∣-3x -28 ≤0},N = {x|-x-6＞0}，则M∩N 为（） A.{x| 4≤x＜-2或3＜x≤7} B. {x|-4＜x≤-2或3≤x＜7 } C.{x|x≤-2或x＞3 } D. {x|x＜-2或x≥3} 2.在映射f的作用下对应为，求-1+2i的原象（） A.2-i B.-2+i C.i D.2 3.若，则（） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 4.要得到函数y=sin2x的图像，可以把函数的图像（） A.向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C.向左平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 如图，是一程序框图，则输出结果中（）
A. B. C. D. 6．平面的一个充分不必要条件是（） A.存在一条直线 B.存在一个平面 C.存在一个平面 D.存在一条直线 7．已知以F1（-2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（） A． B． C． D． 8.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ，则p的轨迹一定通过△ABC的（） A.外心 B. 重心 C.内心 D. 垂心 9.设{a n }是等差数列，从{a 1 ,a 2 ,a 3 ,…,a 20 }中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不 同的等差数列最多有（） A．90个 B．120个C．180个 D．200个10．下列说法正确的是 ( ) A．“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件 B．“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 C．命题“使得”的否定是：“均有” D．命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题
波利亚的怎样解题表 １乔治·波利亚 乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席． 作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容． 作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)． ２怎样解题表 波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”． ２．１怎样解题”表的呈现 弄清问题 未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 画张图，引入适当的符号． 把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?
专题十 计数原理 第三十讲 排列与组合 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥 德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．115 D ．118 2．（2017新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人 完成，则不同的安排方式共有 A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 3．（2017山东）从分别标有1，2，???，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取 1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A ．518 B ．49 C ．59 D ．79 4．(2016年全国II)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A ．24 B ．18 C ．12 D ．9 5．（2016四川）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A ．24 B ．48 C ．60 D ．72 6．（2015四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的 偶数共有 A ．144个 B ．120个 C ．96个 D ．72个 7．（2014新课标1）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 A ． 18 B ．38 C ．58 D ．78 8．（2014广东）设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中
2020年高考模拟数学试题 1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则P Q =（ ） A ．1 (1,)2- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2) 2.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数k 的值为（ ） A ．8- B ．6- C ．1- D ．6 3.若复数z 满足3(1)12i z i +=-，则z 等于（ ） A ．2 B ．32 C ．2 D ．1 2 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（ ） A ．32- B ．12 C ．16 D ．32 5.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α?，则m β⊥ B ．若m α?，n β?，则m n ⊥ C ．若m α?，m β⊥，则//m α D ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥ 6.若6(x 的展开式中含3 2x 项的系数为160，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ． D ．-
7.已知函数()sin()f x A x ω?=+(0,0,)2A π ω?>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4 π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)4g x x π =+ B ．3()2sin(2)4 g x x π=+ C ．()2cos 2g x x = D ．()2sin(2)4g x x π =- 8.若x 为实数，则“2x ≤≤”是“223x x +≤≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A B ． C D ．24π
波利亚数学解题思想研究 乔治·波利亚（George Polya，1887～1985），美籍匈牙利数学家，20世纪举世公认的数学教育家，享有国际盛誉的数学方法论大师。他在长达半个世纪的数学教育生涯中，为世界数学的发展立下了不可磨灭的功勋。他的数学思想对推动当今数学教育的改革与发展仍有极大的指导意义。本文拟从数学解题思想方面对波利亚的数学思想进行述评，并结合当前数学教育的形势，探讨波利亚数学思想对我国数学教育改革的启示。 1.波利亚数学解题思想的产生 作为一线教师出身的数学家，波利亚深知“题目是数学的心脏”这一至理，“掌握数学就意味着善于解题”，他也深知“教学一般解题方法”的必要。为了帮助学生更好地学习数学，波利亚力求用朴素而现代化的形式来阐明探索法，经过多年的探索与总结，波利亚终于找到了“解题中典型有用的智力活动”，他所拟定的“解题表”便是实践其解题思想的首次尝试。 2.波利亚数学解题思想的主要内容 2.1波利亚数学解题思想 波利亚一直强调要加强对学生的解题训练，其目的在于提高学生的数学素质。波利亚的数学解题思想就是谈解题过程中怎样诱发灵感。 2.1.1问题与解法 什么是问题？波利亚对此给予了十分广泛的意义：问题就是意味着要去找出适当的行动，去达到一个可见而不即时可及的目的。按所要达到的目的的不同，对问题又可分为“求解的问题”和“求证的问题”这两类。 什么是问题的解法？波利亚给出的答案是：就是在原先隔开的事物或想法（已有的事物和要求的事物，已知量和未知量，假设和结论）之间去找出联系。 2.1.2怎样解题 按照人们解题的思维程序，波利亚的解题思想自然的分成了四个部分： （1）弄清题意。无论是谁，哪怕是解一道再简单的题目，他也首先要知道“未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知条件是否充分？或者不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？”。只有当你明确了题意，才能做出下一步打算。 （2）拟定计划。弄清题意后我们就要寻求解题途径了。那么怎样才能简洁