§11.2用样本估计总体
一、选择题
1．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是() A．总体容量越大，估计越精确 B ．总体容量越小，估计越精确
C．样本容量越大，估计越精确 D ．样本容量越小，估计越精确
2．频率分布直方图中，小长方形的面积等于() A．组距B．频率 C ．组数D．频数
3．一个容量为 100 的样本，其数据的分组与各组的频数如下表
组别(0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]
频数1213241516137则样本数据落在(10,40) 上的频率为()
A． 0.13 B ． 0.39 C ． 0.52 D ． 0.64
4．一个容量为 35 的样本数据 , 分组后 , 组距与频数如下： [5,10),5个；[10,15),12 个；[15,20),7个；[20,25)，
5 个； [25,30),4个； [30,35),2个．则样本在区间[20,＋∞ ) 上的频率为()
A． 20%B． 69%C． 31%D． 27%
5．某工厂对一批产品进行了抽样检测．右图是根据抽样检测后的产品净重
( 单位：克) 数据绘制的频率分布直方图, 其中产品净重的范围是
[96,106], 样本数据分组为 [96,98),[98,100),[100,102), [102,104),
[104,106],已知样本中产品净重小于100 克的个数是 36, 则样本中净重
大于或等于 98克并且小于 104克的产品的个数是()
A． 90B． 75C．60D．45
6. 对某校名学生的体重（单位：kg ）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在kg 以上的人数为 ()
A．B．
C．D．
7．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值
为 1，则样本方差为 () ．
6
B.6
C.2D．2
A.
5
5
8．为了了解某地区10 000 名高三男生的身体发育情况，抽查了该地
区 100 名年龄为 17～18岁的高三男生体重(kg) ，得到频率分布直方
图如图．根据图示，请你估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是 () A．40B．400
C．4 000D．4 400
9．如图是根据某校10 位高一同学的身高( 单位： cm)画出的
茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位
数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从
8 题图中可以得到这10 位同学身高的中位数是 ()
A． 161 cm B． 162 cm
C． 163 cm D． 164 cm
10．从甲、乙两种树苗中各抽测了10 株树苗的高度，其茎叶图如图．根据茎叶图，下列描述正确的是()
A．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐
B．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐
C．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐
D．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐
11．对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图所示，由图可知，这一批电子
元件中使用寿命在100～ 300 h 的电子元件的数量与使用寿命在300～ 600 h 的电子元件的数量的比是()
1
B.111
A. C. D.
6
234
12．一组数据的平均数是 2.8 ，方差是 3.6 ，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 ()
A． 57.2,3.6B． 57.2,56.4 C． 62.8,63.6 D． 62.8,3.6
二、填空题
13．一个容量为n 的样本,分成若干组,已知甲组的频数和频率分别为
11
36 和，则容量n＝ __, 且频率为的乙组
46
的频数是 ___．
14 ．为了帮助班上的两名贫困生解决经济困难，班上的20 名同学捐出了自己的零花钱，他们捐款数( 单位：元 )
如下：19,20,25,30,24,23,25,29,27,27,28,28,26,27,21,30,20,19,22,20.班主任老师准备将这组数据制成频率分布直方图，以表彰他们的爱心．制图时先计算最大值与最小值的差是________．若取组距为2，则应分成 ________组；若第一组的起点定为18.5 ，则在[26.5,28.5)内的频数为________．
15．将容量为n 的样本中的数据分成 6 组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶ 6∶ 4∶ 1，且前三组数据的频数之和等于27，则n＝________.
16．如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知________．
甲运动员的成绩好于乙运动员；②乙运动员的成绩好于甲运动员；③甲、乙两名运
动员的成绩没有明显的差别；④甲运动员的最低得分为0 分．
0 8 918 题
1 0 35
17 题
17．甲、乙两名同学学业水平考试的9 科成绩如茎叶图所示，请你根据茎叶图判断谁的平均分高________．( 填“甲”或“乙”)
18.如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图, 则该运动员在这五场比赛中得分的方差为
___.( 注：方差
s 21( x
1 x)
2
(x2x )2L(x n x )212n的平均数 ) n，其中 x 为x，x，， x
19．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在 3 000 名学生中随机抽取 200 名，并统计这200 名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图( 如图 ) ．根据频率分布直方图推测，这 3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60 分的学生数是 ________．
19 题
20题
20．某校开展“爱我青岛，爱我家乡”摄影比赛，9 位评委为
参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高
分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字( 茎叶图中的x) 无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是 ________．
三、解答题
21． (2013 ·合肥高一检测) 在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下：10,28,31,17, 23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17
在某报纸的一篇文章中，每个句子的字数如下：27,39,33,24,28,19,
32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22
(1)将这两组数据用茎叶图表示；
题
22
(2)将这两组数据进行比较分析，你会得到什么结论？
22． ( 创新拓展 ) 如图是一个样本的频率分布直方图，且在
(2) 若 [12,15)一组的小长方形面积为0.06 ，求 [12,15)[15,18)内频数为8.(1) 求样本容量；
一组的频数；(3) 求样本在 [18,33)内的频率．
23．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102 的产品为优质品．现用两种新配方( 分别称为 A 配方和 B 配方 ) 做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每件产
品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值
[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]分组
频数82042228
B配方的频数分布表
指标值
[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]分组
频数412423210
(1)分别估计用 A 配方， B 配方生产的产品的优质品率；
－ 2，t ＜ 94，
(2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润y( 单位：元 ) 与其质量指标值t 的关系式为 y＝2，94≤t ＜ 102，
4，t ≥102.
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于0 的概率，并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润．
24．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60 名学生，将其数学成绩( 均为整数 ) 分成六组 [90,100)，[100,110)，，[140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求分数在 [120,130) 内的频率；
(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值( 如：组区间 [100,110)的中点值为100＋110
＝ 105.) 作为这组数据2
的平均分，据此，估计本次考试的平均分；
(3)用分层抽样的方法在分数段为 [110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中
任取 2 人，求至多有 1 人在分数段 [120,130)内的概率．
25 题
分组频数频率
[39.95,39.97)10
[39.97,39.99)20
[39.99,40.01)50
[40.01,40.03]20
合计100
25．某制造商 3 月生产了一批乒乓球，随机抽取100 个进行检查，测得每个球的直径( 单位：mm)，将数据进行
分组，得到如下频率分布表：
(1)补充完成频率分布表 ( 结果保留两位小数 ) ，并在上图中画出频率分布直方图；
(2) 若上述频率作为概率, 已知标准乒乓球直径为40.00 mm,试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm的概率；
(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值 ( 例如区间 [39.99,40.01) 的中点值是 40.00) 作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值 ( 结果保留两位小数 ) ．
26．某市 2010 年 4 月 1 日～ 4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如下( 主要污染物为可吸入颗粒物) ：
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
样本频率分布表：
(1) 完成频率分布表；
分组频数频率
(2) 作出频率分布直方图；
[41,51)22
(3) 根据国家标准，污染指30
1
数在 0～ 50 之间时，空气
[51,61)1
30质量为优；在51～ 100 之
[61,71)44间时，为良；在101～ 150 30之间时，为轻微污染；在
[71,81)66151～ 200 之间时，为轻度30
污染．
10
[81,91)10请你依据所给数据和上述
30
标准，对该市的空气质量[91,101)
给出一个简短评价．
[101,111]
2
2 30
CBCCA BDCBD CD 13． 144 24 ； 14 ． 11 6 5 ； 15 60 ； 16．①； 17．乙
_
1
(8
15) 11,s
2
1
[(8 11)
2
(9 11)
2
(10 11)2
11)
2
(15 11)2
] 6.8
18. 解： x
9 10 13
(13
5
5
19．解：平均数为 x ＝ 90，则标准差为 s ＝
1
[ 89－ 90 2＋ 87－ 90 2
＋ 90－ 90 2
＋ 91－ 90 2＋ 93－90 2＝ 2.
5
20．解：根据样本的频率分布直方图，成绩小于 60 分的学生的频率为 (0.002 ＋ 0.006 ＋0.012) ×10＝ 0.20 ，所
以可推测 3 000 名学生中成绩小于 60 分的人数为
600 名．
89＋ 89＋ 92＋ 93＋ 92＋ 91＋ 94 640
89＋89＋ 92＋93＋ 92＋91＋ x ＋ 90
21．解：x ≥4时，
7
＝
7 ≠91，∴x ＜ 4，则
7 ＝ 91，
∴x ＝ 1.
22．解
(1)
(2) 电脑杂志上每个句子的字数集中在
10～ 30 之间；而报纸上每个句子的字数集中在 20～40 之间．还可以
看出电脑杂志上每个句子的平均字数比报纸上每个句子的平均字数要少．
说明电脑杂志作为科普读物需要通
俗易懂、简明．
23．解 (1) 由图可知 [15,18) 一组对应的纵轴数值为
4 则 [15,18) 一组对应的频率为
4 4
, 且组距为 3, ×3＝ .
75 75
25
8 又已知 [15,18) 一组的频数为
8，所以样本容量 n ＝ 4 ＝50.
25
(2)[12,15) 一组的小长方形面积为
0.06 ，即 [12,15)
一组的频率为 0.06 ，且样本容量为 50，所以 [12,15)
一
组的频数为 50×0.06 ＝ 3.
(3) 由 (1) 、(2)知 [12,15) 一组的频数为3， [15,18)一组的频数为8，样本容量为 50，所以 [18,33) 内频数为
50－ 3－8＝ 39，所以 [18,33) 内的频率为39
＝0.78. 50
24．解析 (1) 由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋ 8
＝ 0.3 ，所以用 A 配方生产的产品的100
优质品率的估计值为0.3.
32＋ 10
由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为100＝ 0.42 ，所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42.
(2) 由条件知，用 B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t ≥94，由试验结果知，质量指标
值 t ≥94 的频率为 0.96. 所以用 B 配方生产的一件产品的利润大于0 的概率估计值为 0.96.
用 B 配方生产的产品平均一件的利润为
1
100×[4 ×( － 2) ＋54×2＋42×4] ＝ 2.68( 元 ) ．
25．解析 (1) 分数在 [120,130)内的频率为
1－ (0.1 ＋ 0.15 ＋ 0.15 ＋ 0.25 ＋ 0.05) ＝1－ 0.7 ＝0.3.
(2)估计平均分为
x ＝95×0.1＋105×0.15 ＋115×0.15 ＋125×0.3 ＋135×0.25 ＋145×0.05 ＝121.
(3) 由题意，[110,120) 分数段的人数为 60×0.15 ＝ 9( 人 ) ． [120,130)分数段的人数为60×0.3 ＝ 18( 人 ) ．
∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130) 的学生中抽取一个容量为 6 的样本，
∴需在 [110,120) 分数段内抽取 2 人，并分别记为m，n；
在 [120,130)分数段内抽取 4 人，并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取
2 人，至多有 1 人在分数段 [120,130) 内”为事件A，则基本事件共有( m，n) ，
( m，a) ，， ( m，d) ， ( n，a) ，， ( n，d) ， ( a，b) ，， ( c，d) 共 15 种．
则事件 A 包含的基本事件有( m，n) ， ( m，a) ， ( m，b) ， ( m，c) ， ( m，d) ， ( n，a) ， ( n，b) ， ( n，c) ， ( n，d) 共9种．
9 3
∴P( A)＝＝.
15 5
26．解析(1) 频率分布表如下：
分组频数频率
[39.95,39.97)100.10
[39.97,39.99)200.20
[39.99,40.01)500.50
[40.01,40.03]200.20
合计1001
频率颁布直方图如图：
(2)误差不超过 0.03 mm，即直径落在 [39.97,40.03] 内，其概
率为 0.2 ＋ 0.5 ＋0.2 ＝ 0.9.
(3) 整体数据的平均值为39.96 ×0.10 ＋39.98 ×0.20 ＋40.00 ×0.50 ＋40.02 ×0.20 ＝40.00( mm)．27．解析(1) 频率分布表：
分组频数频率
2
[41,51)2
30
1
[51,61)1
30
4
[61,71)4
30
6
[71,81)6
30
10
[81,91)10
30
5
[91,101)5
30
2
[101,111]2
30
(2)频率分布直方图：
(3)答对下述两条中的一条即可：
①该市一个月中空气污染指数有2 天处于优的水平，占当月天数的
113 . 有 26 天处于良的水平，占当月天数的. 1515
14
处于优或良的天数共有28 天，占当有月数的15. 说明该市空气质量基本良好．
1
②轻微污染有 2 天，占当月天数的15. 污染指数在80 以上接近轻微污染的天数有15 天，加上处于轻微污染的天
17，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善．
数，共有17 天，占当月天数的
30
统计图表数据的数字特征：用样本估计总体 1.在样本的频率分布直方图中，一共有(≥3)个小矩形，第3个小 矩形的面积等于其余m －1个小矩形面积之和的14 ，且样本容量为100，则第3组的频数是 ( ) A ．0.2 B ．25 C ．20 D ．以上都不正确 解析：第3组的频率是15 ，样本容量为100， ∴第3组的频数为100×15 ＝20. 答案：C 2．(2009·湖北高考)样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根
据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________，数据落在[2,10)内的概率约为 ________． 答案：64 0.4 题组 茎叶图在估计总体中的应用 二 3.某生产车间将10个零件的尺寸(单位：cm)用右面的茎叶图的 方式记录下来，则它们的平均值和中位数分别是________， ________.
解析：10个零件的尺寸数据如下：14,19,21,22,25,37,39,40,41,42，则平均数为30，中位数为31. 答案：30 31 4．(2009·福建高考)某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是________. 解析：若茎叶图中的x对应的分数为最高分， 则有平均分＝89＋89＋91＋92＋92＋93＋94 7 ≈91.4≠91.故最
高分应为94. 故去掉最高分94，去掉最低分88，其平均分为91， ∴89＋89＋92＋93＋90＋x ＋92＋917 ＝91，解得x ＝1. 答案：1 5．(2010·福州模拟)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期 间，他们参加的5次预赛成绩记录如下： 甲 82 82 79 95 87 乙 95 75 80 90 85 (1)用茎叶图表示这两组数据； (2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高 的概率； (3)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认 为选派哪位学生参加合适？说明理由． 解：(1)作出茎叶图如下：
第二节用样本估计总体 [最新考纲] 1.了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． 1．常用统计图表 (1)作频率分布直方图的步骤： ①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)． ②决定组距与组数． ③将数据分组． ④列频率分布表． ⑤画频率分布直方图． (2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图) 横轴表示样本数据，纵轴表示频率 组距 ，每个小矩形的面积表示样本数据落在该组内的频 率．各小矩形的面积和为1. (3)频率分布折线图和总体密度曲线 ①频率分布折线图：将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来，就得到频率分布折线图． ②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．2．样本的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数． (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数
据的平均数)叫做这组数据的中位数． (3)平均数：把x ＝ x 1＋x 2＋…＋x n n 称为x 1，x 2，…，x n 这n 个数的平均数． (4)标准差与方差：设一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ，则这组数据的标准差和方差分别是 s ＝ 1 n [x 1－x 2 ＋x 2－x 2 ＋…＋x n －x 2 ]； s 2＝1 n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． [常用结论] 1．频率分布直方图中的常见结论 (1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标． (2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． (3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的． 2．平均数、方差的公式推广 (1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a . (2)数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2 . ①数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2 ； ②数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2 . 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势． ( ) (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. ( ) (3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高． ( ) (4) 已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，则样本数据2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为10. ( ) [答案](1)√ (2)× (3)√ (4)× 二、教材改编 1．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16
第38练用样本估计总体 [题型分析·高考展望]用样本估计总体在高考中也是热点部分，考查形式主要是选择题、填空题或是与概率结合的综合性解答题，重点是频率分布直方图以及数字特征，属于比较简单的题目. 体验高考 1.(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：1300345668889 1411122233445556678 15012233 3 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是() A.3 B.4 C.5 D.6 答案 B 解析由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139，151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名.选B. 2.(2015·课标全国Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是() A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 答案 D 解析从2006年起，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确； 2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确； 虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C 选项正确；
自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误.故选D. 3.(2016·课标全国丙)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是() A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 答案 D 解析由题意知，平均最高气温高于20 ℃的有六月，七月，八月，故选D. 4.(2016·山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据频率分布直方图知，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是() A.56 B.60 C.120 D.140 答案 D 解析由题图知，组距为2.5，故每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7， ∴这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是200×0.7＝140，故选D. 5.(2015·湖北)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的a＝________； (2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________.
2.2.1用样本的频率分布估计总体分布 一、教学目标分析 1．知识与技能目标 （1）通过实例体会分布的意义和作用。 （2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图。 （3）通过实例体会频率分布直方图的特征，能准确地做出总体估计。 2、过程与方法目标： 通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。 3、情感态度与价值观目标： 通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。 二、教学的重点和难点 重点：会列频率分布表，画频率分布直方图。 难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。 三、教法与学法分析 1、教法：遵循观察、探究、发现、总结式的教学模式。重点以引导学生为主，让他们能积极、主动的进行探索，获取知识。由于内容较繁琐，所以要借助多媒体辅助教学。 2、学法：根据本节知识的特点，由于学生已具备一定的基础知识，可采取研究性学习的学习方法。 四、教学过程 （一）情境引入 1.随机抽样有哪几种基本的抽样方法？ 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 2.随机抽样是收集数据的方法，如何通过样本数据所包含的信息，估计总体的基本特征，即 用样本估计总体，是我们需要进一步学习的内容. 3.高二某班有50名学生，在数学必修②结业考试后随机抽取10名，其考试成绩如下： 82，75，61，93，62，55，70，68，85，78. 如果要求我们根据上述抽样数据，估计该班对数学模块②的总体学习水平，就需要有相应的数学方法作为理论指导，本节课我们将学习用样本的频率分布估计总体分布. （二）新课讲解 知识探究（一）：频率分布表 【问题】我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费. 通过抽样调查，获得100位居民2007年的月均用水量如下表（单位：t）： 3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
第5章用样本推断总体 新城学校曹双飞 5.1总体平均数与方差的估计 学习目标： 1、理解总体与样本的关系，认识并体会统计估计的意义，实施办法及在实际问题中的应用。 2、理解用样本平均数、方差推断总体平均数与方差。 重点、难点 体会统计思想，并会用样本平均数和方差估计总体平均数和方差。 教学过程： 一、旧知回顾： 1、在调查研究过程中，总体是，个体是，样本是，样本容量是 2、平均数的计算公式是 3、方差的计算公式是 二快乐自学： 阅读教材P140-144 完成下列练习。 1、在总体中抽取样本，通过对样本的分析，去推断总体的情况，这就是 思想。 2、用样本平均数、方差去估计总体的然后再对事件发展做出决断、预测。 3、在“说一说”及“动脑筋”中，分别是可以用样本的 去估计总体的、 4、例题是通过计算零件直径的方差来得到机器两个时段的运作性能是否稳定正常的。 三、巩固练习: 1、P144 练习T1-- 2 2.为估计一个月家中使用管道煤气的开支情况，小强从15日起，连续八天每天晚上记录了家的煤气表显示的读数，如下表(注：煤气表上先后两次显示的读数之差就是这段时间内使用煤气的数量．单位：m3) 如果每立方煤气2.2元，请你估计小强家一个月(按30天计)使用管道煤气的费用是_____元(精确到0.1元)．
3.农科院对甲,乙两种甜玉米各用10块试验田进行试验,得到两个品种每公顷产量的两种数据: 根据这些数据，应为农科院选择甜玉米种子提出怎样的建议？ 解：用计算器算得样本数据的平均数是： X甲≈7.54 X乙≈7.52 说明在试验田中,甲,乙两种甜玉米的平均产量相差不大,由此估计在这个地区种植这两种甜玉米,它们的平均产量相差不大. 用计算器算得样本数据的方差是： S2甲≈0.01, S2乙≈0.002 得出 S2甲＞S2乙 说明在试验田中,乙种甜玉米的产量比较稳定,进而可以推测要这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲的稳定. 综合考虑甲乙两个品种的产量和产量的稳定性,可以推测这个地区更适合种植乙种甜玉米. 四、归纳小结 本节课你有什么收获？还有什么问题？ 五、达标检测 1. 为了让人们感受丢塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下（单位：个）33，25，28，26，25，31．如果该班有45名学生，那么根据提供的数据，估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量约（） A．900个B．1080个C．1260个D．1800个 2. 某食品店购进2000箱苹果，从中任选10箱，称得重量分别为（单位：千克）：16，16.5，14.5，1 3.5，15，16.5，15.5，14，14，1 4.5 若每千克苹果售价为2.8元，则利用样本平均数估计这批苹果的销售额是元________． 3．从总体中抽取一个样本，计算出样本方差为2，可以估计总体方差（）A．一定大于2 B．约等于2 C．一定等于2 D．与样本方差无关
用样本估计总体一、基础知识 1．频率分布直方图 (1)纵轴表示频率 组距 ，即小长方形的高＝ 频率 组距 ； (2)小长方形的面积＝组距×频率 组距 ＝频率； (3)各个小方形的面积总和等于1 . 2．频率分布表的画法 第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数 ； 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 3．茎叶图 茎叶图是统计中用来表示数据的一种图， 茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁 边生长出来的数． 4．中位数、众数、平均数的定义 (1)中位数 将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． (2)众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． (3)平均数 一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，x n的 平均数x＝1 n(x1＋x2＋…＋x n)．
5．样本的数字特征 如果有n个数据x1，x2，…，x n，那么这n个数的 (1)平均数x＝1 n(x1＋x2＋…＋x n)． (2)标准差s＝1 n[(x1－x) 2＋(x 2 －x)2＋…＋(x n－x)2]. (3)方差s2＝1 n[(x1－x) 2＋(x 2 －x)2＋…＋(x n－x)2]． 二、常用结论 1．频率分布直方图中的常见结论 (1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标． (2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． (3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的． 2．平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，x n的平均数为x，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mx n＋a的平均数是m x＋a. (2)若数据x1，x2，…，x n的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b 的方差为a2s2. 考点一茎叶图 [典例](优质试题·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、 乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据 的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为() A．3,5B．5,5 C．3,7 D．5,7 [解析]由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它们的平
第5章用样本推断总体 一、选择题（共15小题；共60分） 1. 为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，并设置了“赞成、反对、 无所谓”三种意见．现从学校所有名学生中随机征求了名学生的意见，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有名学生，估计全校持“赞成”意见的学生人数约为 A. B. C. D. 2. 在年的世界无烟日（月日），小华学习小组为了解本地区大约有多少 成年人吸烟，随机调查了个成年人，结果其中有个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是 A. 调查的方式是普查 B. 本地区只有个成年人不吸烟 C. 样本是个吸烟的成年人 D. 本地区约有的成年人吸烟 3. 为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捉条鱼做记号，然后放回湖里，经过一 段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后，再捕捞第二次，共条鱼，有条做了记号，则估计湖里有条鱼． A. B. C. D. 4. 某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中 随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为 A. B. C. D. 5. 某人从一袋黄豆中取出粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出粒黄 豆，数出其中有粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有 A. 粒 B. 粒 C. 粒 D. 粒
6. 对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 估计出售件衬衣，其中次品大约是 A. 件 B. 件 C. 件 D. 件 7. 为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞条鱼做上标记，然后放回池塘去，经 过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，小刚又从湖里捕捞条鱼，发现有条有标记，那么你估计池塘里有多少条鱼 A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 8. 在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有名学生参加，已知七年 级男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为；八年级男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断： ①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率； ②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率； ③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率． 所有合理推断的序号是 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9. 周星驰拍摄的电影《美人鱼》取景地在深圳杨梅坑，据称是深圳最美的溪谷，为估 计全罗湖区名九年级学生去过杨梅坑的人数，随机抽取名九年级学生，发现其中有名学生去过该景点，由此估计全区九年级学生中有个学生去 过该景点． A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 10. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约为 A. 石 B. 石 C. 石 D. 石 11. 为了估计池塘里有多少条鱼，先从湖里捕捞条鱼记上标记，然后放回池塘去， 经过一段时间，待有标记的鱼完全混合后，第二次再捕捞条鱼，发现有条鱼有标记，那么你估计池塘里大约有鱼． A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 12. 某区对创建全国文明城区的满意程度进行随机调查，结果如图所示，据此可估计全 区万居民对创建全国文明城区工作不满意的居民人数为
2021届一轮复习人教A 版 用样本估计总体 学案 1．用样本的频率分布估计总体分布 (1)作频率分布直方图的步骤。 ①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)。 ②决定组距与组数。 ③将数据分组。 ④列频率分布表。 ⑤画频率分布直方图。 (2)频率分布折线图和总体密度曲线。 ①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图。 ②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线。 (3)茎叶图。 茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数。 2．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数。 (2)中位数：将数据按大小顺序排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数。 (3)平均数：x － ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ，反映了一组数据的平均水平。 (4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s ＝1 n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x － )2 ]。 (5)方差：s 2 ＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x － )2 ](x n 是样本数据，n 是样本容量， x － 是样本平均数)。 1．频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1。 2．频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数。 (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的。 (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和。 3．平均数、方差的公式推广
这就是说。各个小长方形的面积等于相应各组的频率。显然。所有张方形面积之和等于1. 为了了解全部产品中优等品所占比例。可以统计出内径尺寸在区间25.325到25.475内的个体数载样本容量中所占的比例、也就是他的频率。从表中容易看出，这个频率值等于0.12+0.18+0.25+0.16+0.13=0.84，于是可以估计出所有生产的钢管中有84%的优等品、工厂可以根据质量规范。看看是否达到优等品率的要求，如果没有达到。就需要进一步分析原因。解决问题。 当然。用样本的频率分布估计总体的分布时。要使样本能够很好的反应总体的特征。必须随机抽取样本。由于抽样的随机性，可以想到（参考本届练习A第三题），如果随机抽取另外一个容量为100的样本，所形成的样本频率分布一般会与请按一个样本频率分布有所不同。但是。他们都可以近似的看做总体的分布。 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原式的数据内容。所以，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。 把频率分布直方图各个张方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，为了方便看图。一般习惯于吧频率分布折线图化成与横轴相连。所以横轴上的左右两端点没有实际的意义。 图中各个小长方形的面积，表明了所抽取的100件产品中内径尺寸落在各个小组内的产品个数与100的比值大小。如果样本容量越大，所分组数越多。图中表示的频率分布就越接近于总体在各个小组内取值的个数与总数比值的大小。设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布，他可以用仪表光滑取消Y=f （x）来描绘。这条光滑曲线就叫做总体密度曲线。总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律。产品尺寸落在（a，b）内的百分率就是图中带斜线部分的面积，对本例来说，总体密度曲线呈中间高两边低的“钟”形分布，总体的数据大致呈对称分布，并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内。 抽样后的样本数据汇总。号可以借助计算机来准确、快速的作出，图就是运用前面所讲到的画直方图的步骤，在工作表中对样本数据汇总得出的结果。 茎叶图： 某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下： 甲的得分：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50. 乙的得分：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51. 上面的发数据可以用图来表示。他的中间部分像一棵植物的茎，两边部分像这个植物茎上生长出来的叶子。用中间的数字表示两位运动员得分的十位数，两边的数字分别表示两个人各场比赛得分个位数。例如。用3|389就表示了33,38,39这三个数据，通常把这样的图焦作茎叶图，根据上图可以对两名运动员的成绩进行比较。
. . . .. .. 2.2 用样本估计总体 教案 A 第1课时 教学容 §2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 教学目标 一、知识与技能 1. 通过实例体会分布的意义和作用. 2. 在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计. 二、过程与方法 通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法. 三、情感、态度与价值观 通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系. 教学重点、难点 重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布. 教学设想 一、创设情境 在ＮＢＡ的2004赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50 乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33 请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？ 如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要容——用样本的频率分布估计总体分布. 二、探究新知 探究1：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了较为合理地确
《2.2用样本估计总体（2）》测试题 、选择题 1. （2012安徽理）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图，贝U （）. A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙 的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩 的极差 考查目的：考查统计图的识读，以及对数字特征的分析与理解能力 答案：C. —J + 5 + 6 + 7^8 工—5x316+9 二+ y- —______________ —Q x —___________ — & j 解析：「匚' - ,甲成绩的方差为：, f >3 + 32xl.— -------------- = 乙成绩的方差为* . 2. （2012江西理）样本（"V '二）的平均数为」，样本-'人）的平均数为，C~），若样本（b P =，心P '-）的平均数「」："，其中 Q -C 氓—
2，贝U n，m的大小关系为（）.
A.；!—； B. ： - W C. !八; D.不能确定 考查目的：考查平均数意义的理解和灵活应用 答案：A. 解析：由题意知，样本（“ V 宀'■■-）的平均数为 M - ffl - 咖十M m 十闰P ，又?.? ￡ = m 丰（1 「即，?—「：，答案应选A. 3. （2012陕西理）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售 额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图），设甲乙两组数据的平均数分别为 r -，中位数分别为J ，冷匸，则（）. 甲 乙 ?65 0 1 028 75 2 i 2 C2337 E0Q 1 3 12443 3 1 4 238 A.怎甲弋冥己，叨甲 > 叫 B.怎甲丈龙己，丹3甲c 烧乙 C.怎甩〉工邑,用甲〉临己 D.忙甲〉蛊巴,廉零c 烧乙 考查目的：考查茎叶图的结构特征和作用，以及从茎叶图中提取样本数字特征的能力 答案：B. 18+22 解析：根据平均数的概念易计算出",又???「」 上 27 4-31 = ??答案应选B. MJ+JJ27 jn+z! m m +xi
单元测试（五）用样本推断总体 （时间：45分钟满分：100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题 3分，共24分） 1?某纺织厂从10万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么估计该厂这10万件产品中合格品约为（） A.9.5 万件 B.9 万件 C.9 500 件 D.5 000 件 2?某鞋店试销一款女鞋，试销期间对不同颜色鞋的销量情况统计如下表： 颜色黑色棕色白色红色 销售量（双）75 45 32 55 鞋店经理最关心的是哪种颜色的鞋最畅销，则对鞋店经理最有意义的统计量是（） A.平均数B?众数 C.中位数 C ?以上都不是 3?某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别为s甲2=0.002、s乙2=0.03，则（） A?甲比乙的产量稳定B?乙比甲的产量稳定 C?甲、乙的产量一样稳定D?无法确定哪一品种的产量更稳定 4.去年某校有1 500人参加中考，为了了解他们的数学成绩?从中抽取200名考生的数学成绩，其中有60名考生达到优秀，那么该校考生达到优秀的人数约有（） A.400 名 B.450 名 C.475 名 D.500 名 5?某校对460名初三学生进行跳绳技能培训，以提高同学们的跳绳成绩?为了解培训的效果，随机抽取了40名同学 进行测试，测试结果分成“不合格”、“合格”、“良好”、“优秀”四个等级，并绘制了如图所示的统计图，从图中可以估计出该校460名初三学生中，能获得跳绳“优秀”的总人数大约是（） A.10 B.16 C.115 D.150 的创建活动中，组织学生开展植树造林活动抽查了 ?为了解全校学生的植树情况，学校随机100名学生的植树情况，将调查数据整理如下表： 植树数量（单位：棵） 4 5 6 8 10 人数30 22 25 15 8 若该校共有1 000名学生，请根据以上调查结果估计该校学生的植树总棵数是（） A.58 B.580 C.1 160 D.5 800 7?为了了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40名学生，调查了解他们一周阅读课外书 籍的时间，并将调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每小组的时间包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约等于（） A.50% B.55% C.60% D.65% （学生人数｝ m 11 4 0 2 ￡ 6 8吋间（小■时）
用样本的频率分布估计总体分布（第1课时） 教学目标： 1.通过实例体会分布的意义和作用，通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法. 2.通过表示样本数据的过程，学会列频率分布表，画频率分布直方图，理解数形结合的数学思想. 3.通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学在实际生活中的作用，认识数学知识源于生活并指导生活的事实. 教学重点： 会列频率分布表，画频率分布直方图，了解样本频率分布与总体分布之间的关系 教学难点： 掌握频率分布直方图的正确画法，体会分布的意义与作用 教学方法：引导——探究教学法 教学过程： 一、创设情境，呈现问题 问题情境：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，武汉市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费. 如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？ 二、操作讨论，构建新知 <知识探究1 改良频数分布表→频率分布表> 问题1：如果标准太低，会影响居民的日常生活；如果标准太高，则不利于节水.那么你认为，为了较合理地确定出这个标准，需要了解哪些相关信息，做哪些工作？ 【学生活动1】探究讨论，得到结论： ①为了制定一个较为合理的标准a，需要知道每个家庭的用水量 ②如何获得家庭用水量的有关信息？对家庭进行调查，采用抽样调查的方式 ③抽样时，样本容量定为多少比较合适？武汉市1000万人口，抽样10000比较合适 课堂上为了处理数据的方便，我们理想化地抽取100个数据的样本，比如： 通过抽样调查，获得100户居民的月均用水量如下表（单位：t） 3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2 问题2：从表中随意记录下的数据中很难直接看出规律，因此需要对统计数据进行整理分析. 回顾你看到全班的期末考试成绩单后是怎样分析的？
人教版新课标普通高中◎数学③必修 2. 2 用样本估计总体 教案 A 第1课时 教学内容 §2. 2. 1 用样本的频率分布估计总体分布 教学目标 一、知识与技能 1.通过实例体会分布的意义和作用. 2.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线 图和茎叶图 . 3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地 选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计. 二、过程与方法 通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学 思想和逻辑推理的数学方法 . 三、情感、态度与价值观 通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识 源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系. 教学重点、难点 重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布. 教学设想 一、创设情境 在ＮＢＡ的 2004 赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕ 甲运动员得分﹕ 12， 15，20， 25， 31， 31， 36， 36， 37， 39， 44， 49， 50 乙运动员得分﹕ 8， 13， 14， 16，23， 26，28， 38，39， 51，31， 29， 33 请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？ 如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布. 二、探究新知 探究 1：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为 了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标 准a，用水量不超过 a 的部分按平价收费，超出 a 的部分按议价收费 . 如果希望大部分居 民的日常生活不受影响，那么标准a 定为多少比较合理呢？你认为，为了较为合理地确 1
用样本估计总体 【学习目标】 1.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 2.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计. 3.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差. 4.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释. 5.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征. 【要点梳理】 要点一、频率分布的概念 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为： 1.计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差 2.决定组距与组数 3.将数据分组 4.列频率分布表 5.画频率分布直方图 要点诠释： 频率分布直方图的特征： 1.从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势. 2.从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了. 要点二、频率分布折线图、总体密度曲线 1.频率分布折线图的定义： 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图. 2.总体密度曲线的定义： 在样本频率分布直方图中，样本容量越大，所分组数越多，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. 要点诠释： 总体密度曲线能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息，能够精确的反映一个总体在各个区域内取值的规律. 要点三、茎叶图 当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图. 要点诠释： 茎叶图的特征： (1)用茎叶图表示数据有两个优点：一是在统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示. (2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰. 要点四、众数、中位数与平均数 1.众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.如果变量是分类的，用众数是很有必要的.例如班委会要作出
用样本估计总体 要点梳理(预习学案) 1.频率分布直方图 （1）通常我们对总体作出的估计一般分成两种， 一种是用 .另一种 是用 . （2）在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据 落在各小组内的频率用 表示. 各小长方形的面积总和 （3）连结频率分布直方图中各小长方形上端的中 点，就得到频率分布折线图.随着 的增加，作图时所分的 增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线， 统计中 称之为 ，它能够更加精细的反映出 . （4）当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以 ，而且 可以 ，给数据的 和 都带来方便. 2.用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）众数、中位数、平均数 众数：在一组数据中，出现次数 的数据叫做这组数据的众数. 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 位置的一个数据（或最中间两个数据的 平均数）叫做这组数据的 . 平均数：样本数据的算术平均数.即 = . 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该 . （2）样本方差、标准差 标准差s= 其中n x 是 ，n 是 ____________________，- x 是_______________ 是反映总体波动大小的特征数， 样本方差是标准差的 .通常用样本方差估计总体方差，当 时,样 本方差很接近总体方差. 基础自测 1.一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为 0.375，则该组样本的频数为 （ ） A.4 B.8 C.12 D.16 2.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到-1，0，4，x,7，14，中位数为5，则这组数 据的平均数和方差分别为 （ ） A.5,24 B.5,24 C.4,25 D.4,25 3.某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如 图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的 频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有 （ ） A.30辆 B.40辆 C.60辆 D.80辆 ,])()()[(122221x x x x x x n n -++-+-
用样本估计总体 【教学目标】： 通过实例，使学生体会用样本估计总体的思想，能够根据统计结果作出合理的判断和推测，能与同学进行交流，用清晰的语言表达自己的观点。 【重点难点】： 重点、难点：根据有关问题查找资料或调查，用随机抽样的方法选取样本，能用样本的平均数和方差，从而对总体有个体有个合理的估计和推测。 【教学过程】： 一、课前准备 问题：2019年北京的空气质量情况如何？请用简单随机抽样方法选取该年的30天，记录并统计这30天北京的空气污染指数，求出这30天的平均空气污染指数，据此估计北京2019年全年的平均空气污染指数和空气质量状况。请同学们查询中国环境保护网。 二、新课 师生用随机抽样的方法选定如下表中的30天，通过上网得知北京在这30天的空气污染指数及质量级别，如下表所示： 这30个空气污染指数的平均数为107，据此估计该城市2019年的平均空气污染指数为107，空气质量状况属于轻微污染。 讨论：同学们之间互相交流，算一算自己选取的样本的污染指数为多少？根据 样本的空气污染指数的平均数，估计这个城市的空气质量。 2、体会用样本估计总体的合理性 下面是老师抽取的样本的空气质量级别、所占天数及比例的统计图和该城市2019年全年的相应数据的统计图，同学们可以通过比较两张统计图，体会用样 本估计总体的合理性。 经比较可以发现，虽然从样本获得的数据与总体的不完全一致，但这样的误差还是可以接受的，是一个较好的估计。 练习：同学们根据自己所抽取的样本绘制统计图，并和2019年全年的相应数据的统计图进行比较，想一想用你所抽取的样本估计总体是否合理？ 显然，由于各位同学所抽取的样本的不同，样本的污染指数不同。但是，正如我 们前面已经看到的，随着样本容量（样本中包含的个体的个数）的增加，由样本 得出的平均数往往会更接近总体的平均数，数学家已经证明随机抽样方法是科学而可靠的 . 对于估计总体特性这类问题，数学上的一般做法是给出具有一定可