3.3 勾股定理的简单应用
学习目标
1.能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。
2.在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想（把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题），进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值。
知识详解
1．长方体（或正方体）面上的两点间的最短距离
长方体（或正方体）是立体图形，但它的每个面都是平面．若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．
长方体表面上两点间最短距离
因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．
巧展长方体：求解此类问题时只需对长方体进行部分展开，画出局部的展开图，若将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．
2．圆柱体（或圆锥体）面上的两点间的最短距离
圆柱体（或圆锥体）是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定．
3．生活中两点间的最短距离
用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．
4．如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题
利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型（直角三角形模型），将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形．
解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：
（1）把立体图形展成平面图形；
（2）确定点的位置；
（3）确定直角三角形；
（4）分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．
5．勾股定理与方程相结合的应用
方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．
【典型例题】
例1. 如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 cm,3 cm 和1 cm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点的最短路程是多少？
【答案】13 dm
【解析】将台阶展开，如图（2），因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，所以222AB AC BC =+=169，
所以AB=13（cm ），所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm ．
例2. 如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面
垂直，且相距AB 为1.7米，则这棵树的高度
【答案】4.7．
【解析】由题意，易知∠CAD=30°，∠CDA=90°，CE ⊥BE ，DE=AB=1.7米，∴CD ＝3． ∴CE=3+1.7=4.7．
例3. 铁路上A 、B 两站（视为直线上两点）相距25km ，C 、D 为两村庄（视为两个点），DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B （如图），已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建设一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站 km 处．
【答案】10 【解析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE 和直角三角形CBE 中，DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2，设AE 为x ，则BE=25-x ，将BC=10代入关系式即可求得．
【误区警示】
易错点1：构建直角三角形解决问题
1. A 、B 、C 、D 四个小城镇，它们之间（除B 、C 外）都有笔直的公路相连接（如图），公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：A-B ：10元，A-C ：1
2.5元，A-D ：8元，B-D ：6元，C-D ：4.5元，为了B 、C 之间交通方便，在B 、C 之间建成笔直的公路，请按上述标准计算出B 、C 之间公共汽车的票价为 元．
【答案】7.5
元
【解析】根据题意，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比，设其比例系数为1
k （k
≠0），即票价=1
k ×路程，则路程=k×票价；在△ABD
中，AB=10k ，AD=8k ，BD=6k ，易得∠ADB=90°，则∠BDC=90°；则在Rt △BDC 中，BD=6k ，CD=4.5k ；由勾股定理可得：BC=7.5k ， 易错点2：最值问题
2. 如图，将一根25cm 长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm 、
6cm
和10cm 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 cm ．
【答案】5
=10cm ，盒子的对角线长：=20cm ，细木
棒长25cm ，故细木棒露在盒外面的最短长度是：25-20=5cm ．
【综合提升】
针对训练
1. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（ ）
A
B
C．）米
D．3米
2. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）
A．12≤a≤13
B．12≤a≤15
C．5≤a≤12
D．5≤a≤13
3. 如图，小红从A地向北偏东30°，方向走100米到B地，再从B地向西走200米到C地，这时小红距A地（）
A．150米
B．
C．100米
D．
1.【答案】C
【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解．
2.【答案】A
【解析】最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答．
3.【答案】B
【解析】在Rt△DAB中，∵∠DAB=30°，AB=100，∴DB=50，勾股定理得，DA=50
Rt△DCA中，∵BC=200，DB=50，∴DC=150，∵AC=
课外拓展
斐波那契之花
植物王国的数学特征更优美也更神秘。《增殖与形态》一书用了整整一章阐述植物的几何特征和数字特征──例如，树叶沿着枝条排列的形状，向日葵籽盘上相互交叉的奇特螺线，花瓣的数目，等等。其中的数学的确非常奇妙。植物结构经常涉及一个有趣的数列，我们称之为斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……
5.1相交线 5·1·1相交线 1.邻补角、对顶角. 有一条公共边,而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角. 如果两个角有一个公共顶点, 而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线,那么这两个角叫对顶角. 2.主要性质 （1） 对顶角的性质：对顶角相等 （2）邻补角的性质：互为邻补角的两个角和为?180 证明如下： ∠1和∠3相等。 ∵∠1＋∠2＝1800 ，∠2＋∠3＝180 0 、 ∴∠1＝∠3（同角的补角相等） 同理∠2和∠4相等。 这就是说：对顶角相等。 例1．直线a 、b 相交，∠1＝400，求∠2、∠3、∠4的度数。 分析：∠1和∠2有什么关系？∠1和∠3有什么关系？∠2和∠4有什么关系？ 解：∵∠1＋∠2＝1800，∴∠2＝1800—∠1＝1800—400＝1400. ∠3＝∠1＝400，∠4＝∠2＝1400. 例2. 已知，如图， 80,35=∠ =∠COF AOC ，求：DOF AOD ∠∠和的度数 1 2 3 4 O B A C D 1 2 3 4 O B A C D
解：∵∠AOC 和∠AOD 是互补角，又∠AOC=35°，∴∠AOD=180°-35°=145°。 ∠DOF 和∠COF 也是互补角，∴同理，∠DOF=180°-∠COF=180°-80°=100°。 例3. 下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是〔 〕 A B C D 分析：对顶角形成的前提条件是两条直线相交，而邻补角不一定是两条直线相交形成的；每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角有两个。 解：C 例4.下列说法正确的是〔 〕 A 、相等的角是对顶角 B 、一个角的邻补角只有一个 C 、补角即为邻补角 D 、对顶角的平分线在一条直线上 解：根据性质可知，只有D 选项是对的。 5.1.2 垂线 1．垂直的表示法. 垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”，则记为AB ⊥CD,垂足为O ，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图. 2. 垂线的画法 让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。 注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。 3. 垂线的性质 性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 4. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 5. 垂直在生活中的应用 O D C B A 1 2 1 2 1 2 1 2
第18章 勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为 的线段 作长为 、 、 的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为 和1的直 角三角形斜边长就是，类似地可作 。 作法：如图所示 （1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边； （2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为 ； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
5·2 平行线 5·2·1 平行线 1. 平行的定义 同一平面内, 不相交的两条直线叫做平行线.直线a与b是平行线,记作“∥”,这里“∥”是平行符号. 注意：同一平面内, 不相交的两条直线叫做平行线. 直线a与b是平行线,记作“∥”,这里“∥”是平行符号. 2.平面中两条直线的位置关系 在同一平面内,两条直线只有两种位置关系:相交或平行,两者必居其一.即两条直线不相交就是平行,或者不平行就是相交. 3. 平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行. 符号语言：∵b∥a,c∥a ∴b∥c. 4．比较平行公理和垂线的第一条性质. 共同点:都是“有且只有一条直线”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的. 不同点:平行公理中所过的“一点”要在已知直线外,两垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外. 例1．在同一平面内，三条直线的交点个数可能是． 分析： 画图试试，可知最多三条，也可能交于一点，也有可能其中2条平行，那就有2个交点，还可能是三条线都平行，那就没有交点了。 解：0或1或2或3. 例2．下列说法正确的是（） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．经过一点有无数条直线与已知直线平行 C．经过一点有一条直线与已知直线平行 D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 分析; 平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. 答：A正确
例3．若∠α与∠β是同旁内角，且∠α=50°，则∠β的度数是（ ） A ．50° B ．130° C ．50°或130° D ．不能确定 分析：没说这两条直线是什么关系，∴同旁内角的度数关系不明确。 例4．下列命题：（1）长方形的对边所在的直线平行；（2）经过一点可作一条直线与已知直线平行；（3）在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交；（4）经过一点可作一条直线与已知直线垂直．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 分析：（1）是对的；（2）错误，因为如果这个点是在直线上，那就不存在过这个点与该直线平行的点了(公理的前提是直线外一点)；（3） 是对的，同一平面内，两条直线间只有这两种关系；（4）正确，即使这个点在直线上也是可以的。 例5．如图，直线AB ，CD 被DE 所截，则∠1和 是同位角，∠1和 是内错角，∠1和 是同旁内角．如果∠5=∠1，那么∠1 ∠3． 答：∠1和∠3是同位角，∠1和∠5是内错角，∠1和∠2是同旁内角．如果∠5=∠1，那么∠1=∠3． 5.2.2 直线平行的条件 平行判定的条件： 1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 简单地说:同位角相等,两条直线平行. 符号语言： ∵∠1=∠2 ∴AB ∥CD. 2. 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 简单地说：内错角相等,两直线平行. 符号语言：∵∠2=∠3 ∴a ∥b. 3. 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行. 简单地说：同旁内角互补,两直线平行. 符号语言： ∵∠4+∠2=180° ∴ a ∥b. 例1．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？ 分析：垂直总与直角联系在一起，我们学过哪些判断两条直线平行的方法？ 答：这两条直线平行. a b c ┐1 ┐2
中考数学勾股定理知识点总结及答案 一、选择题 1．如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且∠DFE＝90°，连接DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；③CD+CE＝2FA； ④AD2+BE2＝DE2．其中错误结论的个数有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置,连接BE,EC.下列判 断:①△ABE≌△DCE;②BE=EC;③BE⊥EC;④EC=3DE.其中正确的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个 3．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（）cm． A．9 B．10 C．18 D．20 4．如图钢架中，∠A＝15°，现焊上与AP1等长的钢条P1P2，P2P3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23，则所有钢条的总长为（） A．16 B．15 C．12 D．10 5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为
（ ） A ．5cm B ．10cm C ．14cm D ．20cm 6．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（ ） A ．1，2，6 B ．3，5，4 C ．5，12，13 D ．3，2，13 7．A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB 1700=米，800BC =米，AC 1500=米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．AB 的中点 B ．BC 的中点 C ．AC 的中点 D ．C ∠的平分线与AB 的交点 8．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ） A ．6 B ．42 C ．8 D ．10 9．如图，已知数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，过点A 作直线l 垂直于 PA ，在l 上取点B ，使1AB =，以点P 为圆心，以PB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 所表示的数为（ ） A ．5 B ．51- C ．51+ D ．51-+ 10．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）
人教版初中数学知识点总 结总复习 Prepared on 22 November 2020
一、考试指导思想 初中毕业数学学业考试是依据《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《数学课程标准》）进行的义务教育阶段数学学科的终结性考试。考试要有利于全面贯彻国家教育方针，推进素质教育；有利于体现九年义务教育的性质，全面提高教育质量；有利于数学课程改革，培养学生的创新精神和实践能力；有利于减轻学生过重的课业负担，促进学生生动、活泼、主动地学习。 数学学业考试命题应当根据学生的年龄特征、思维特点、数学背景和生活经验编制试题，面向全体学生，使具有不同认知特点、不同数学发展程度的学生都能正常表现自己的学习状况。学业考试要求公正、客观、全面、准确地评价学生通过初中教育阶段的数学学习所获得的发展状况。 数学学业考试要重视对学生学习数学的结果与过程的评价，重视对学生数学思考能力和解决问题能力的发展性评价，重视对学生数学认识水平的评价；学业考试试卷要有效发挥选择题、填空题、计算（求解）题、证明题、开放性问题、应用性问题、阅读分析题、探索性问题及其它各种题型的功能，试题设计必须与其评价的目标相一致，加强对学生思维水平与思维特征的考查，使试题的解答过程体现《数学课程标准》所倡导的数学活动方式，如观察、实验、猜测、验证、推理等等。 二、考试内容和要求 （一）考试内容 数学学业考试应以《数学课程标准》所规定的四大学习领域，即数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用的内容为依据，主要考查基础知识、基本技能、基本体验和基本思想。 1．关注基础知识与基本技能 了解数的意义，理解数和代数运算的算理和算法，能够合理地进行基本运算与估算；能够在实际情境中有效地使用代数运算、代数模型及相关概念解决问题。 能够借助不同的方法探索几何对象的有关性质；能够使用不同的方式表达几何对象的大小、位置与特征；能够在头脑里构建几何对象，进行几何图形的分解与组合，能够对某些图形进行简单的变换；能够借助数学证明的方法确认数学命题的正确性。 正确理解数据的含义，能够结合实际需要有效地表达数据特征，会根据数据结果做合理的预测；了解概率的涵义，能够借助概率模型或通过设计活动解释事件发生的概率。 有条件的地区还应当考查学生能否借助计算器进行较复杂的运算和从事数学规律的探究活动。 2.关注“数学活动过程” 包括数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度；从事探究的意识、能力和信心等。也包括能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；能否使用恰当的语言有条理地表达数学的思考过程。 3．关注“数学思考”
2.2 有理数的减法 学习目标 1. 理解并掌握有理数减法法则。 2. 了解有理数减法和现实生活的广泛联系，学会运用有理数减法解决的实际问题，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。 知识详解 1.有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，用字母表示该法则为：a-b=a+（-b）；其中a、b表示任意有理数，即a、b既可以是正数，也可以是负数和0。 注意：（1）进行有理数的减法运算有两个步骤：第一步，将减号变成加号，把减数的相反数变成加数。第二步，进行有理数加法运算，特别注意在第一步中将有理数减法“转化”为加法时，要同时改变两个符号：a运算符号由“-”号变为“+”号；b改变减数的性质符号。（2）减数与被减数不能互换，即减法没有交换律。 有理数的减法体现了转化的思想，把未知的问题转化为已知的问题赖解决。 2. 代数和 几个正数和负数的和称为代数和。代数和一般用省略加号、括号的和的形式来表示，因为m-n=m+（-n），所以可将m-n看做m和-n的代数和，即m+（-n）形式省略加号和括号，写成m-n的形式。 3. 有理数的加减混合运算 有理数的加减混合运算可统一为加法运算。它的运算方法和步骤如下： （1）利用有理数减法法则将减法统一成加法； （2）省略各加数的括号和它前面的加号； （3）运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。 注意： （1）每个数字前面的符号都是这个数字的性质符号，因此在交换加数的位置时，一定要连同符号一起交换。 （2）计算如果需要添括号，一定要连同加数前面的符号一起括进括号内，并将原来省略的符号还原。 【典型例题】 例1：计算-10-8所得的结果是（） A．-2 B．2 C．18 D．-18 【答案】D 【解析】-10-8=-18 例2：有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（）
第十七章勾股定理知识点总结 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90 ∠=?，则c， C b，a=） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 第五节去括号 1.法则 当括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，括号里各项的符号都不改变；当括号是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉后，括号里各项的符号都要改变. ①去括号时，若括号前的系数不是1，则要按乘法分配律来计算，即要用括号外的系数 乘以括号内的每一项. ②去括号时，括号与前面的“+”或“—”一起去掉；括号前有“—”号，不管括号前 是否有系数，去括号后，括号里“每一项”都要变号. ③当括号前有稀疏和多重括号时可利用乘法分配律先去小括号，再去中括号，最后去大 括号，也可先去大括号，再去中括号，最后去小括号. 2.在去括号中常常出现两种错误. ①在去括号时当括号前是“—”时，去掉括号和“—”往往只改变第一项的符号，而忘记括号里的其他各项的符号. ②“变符号”与使用“分配律”顾此失彼，出现漏乘系数或忘记改变某些项的符号等. （1）2（x－3）－3（y＋5） （2）3a＋（－3b＋c） （3）x－2[y＋2x－（x－y）] （4）2a－｛－3b＋[4a－（3a－b）]｝ 【解析】 （1） 2（x－3）－3（y＋5）（2）3a＋（－3b＋c） ＝2x－6－3y－15 ＝3a－3b＋c ＝2x－3y－21 （2） 3a+(-3b+c) =3a-3b+c （3）x－2[y＋2x－（x－y）] ＝x－2[y＋2x－x＋y] ＝x－2[2y＋x] ＝x－4y－2x ＝－4y－x (4) 2a-{-3b+[4a-(3a-b)]} =2a-{-3b+[4a-3a+b]} =2a-{-3b+a+b} =2a+3b-a-b =a+2b 2. 求下列各式的值 （1）2a－2（2a＋b）＋3（a－b），其中a＝－3，b＝2. （2）若2x2－5x＋5＝0，求代数式（15x2－18x＋9）－（－3x2＋19x－31）－8x的值. 【解析】 （1）2a－2（2a＋b）＋3（a－b） ＝2a－4a－2b＋3a－3b 勾股定理知识点 一、勾股定理： 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦 股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是 勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角 形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）； （2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形； 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边） 4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 5. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 八年级下册勾股定理知识点和典型例习题 一、基础知识点： １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ， ，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形 的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为 2 22() 2S a b a a b b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠ =?，则c =，b ，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实 际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 勾股定理知识点梳理 1.直角三角型有哪些特殊的性质;①角，直角三角型的两锐角互余；②边，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，用符号表示：在Rt △ABC 中，c b a 222=+；③面积，两种计算面积的方法。 2.如何判定一个三角形是直角三角形呢？ ①有一个内角为直角的三角形是直角三角形；②两个内角互余的三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长为a 、b 、c 满足c b a 222=+，那么这个三角形是直角三角形 3．勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4．互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 5.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25，8,15,17；9,40,41等 6.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 七年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数 一． 知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比 0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . 12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数， 无意义即0 a . 13．有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n . 14．乘方的定义： （1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法. 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减. 本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题. 体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣，教师培养学生的观察、归纳与概括的能力，使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。教师在讲授 高一数学勾股定理知识点总结 高一数学勾股定理知识点总结 一、勾股定理的证明方法 方法一： 作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条 直线上.过C作AC的延长线交DF于点P. ∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD, ∴∠EGF=∠BED， ∵∠EGF+∠GEF=90°， ∴∠BED+∠GEF=90°， ∴∠BEG=180°―90°=90° 又∵AB=BE=EG=GA=c， ∴ABEG是一个边长为c的正方形. ∴∠ABC+∠CBE=90° ∵RtΔABC≌RtΔEBD, ∴∠ABC=∠EBD. ∴∠EBD+∠CBE=90° 即∠CBD=90° 又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°， BC=BD=a. ∴BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 , ∴BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出： a^2+b^2=c^2 方法二 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB=∠CFD=90°， ∴RtΔCJB≌RtΔCFD， 同理，RtΔABG≌RtΔADE， ∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE ∴∠ABG=∠BCJ, ∵∠BCJ+∠CBJ=90°, ∴∠ABG+∠CBJ=90°, ∵∠ABC=90°, ∴G,B,I,J在同一直线上， 2·1 整式 1.单项式的有关概念 （1）单项式：数与字母的积构成的式子叫做单项式，如15ab 2c 6是单项式，而a 2c 3b ，ab 2＋bc 不是单项式．对于单项式的理解有以下几点需要注意： ①单项式反映的或者是数与字母，或者是字母与字母之间的运算关系，且这种运算只能 是乘法，而不能含有加减运算，如代数式15 （x ＋1）3不是单项式. ②字母不能出现在分母里，如n m 不是单项式，因为它是n 与m 的除法运算. ③单独的一个数或一个字母也是单项式，如0，－2，a 都是单项式. （2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.如－14 ab 2的系数是－14 ；－x 的系数是－1；y 的系数是1． （3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做单项式的次数.如15 ab 2c 6的次数是9；－14 ab 2的次数是3；－x 和y 的次数都是1；5的次数是0．掌握好这个概念要注意以下几点： ①从本质上说，单项式的次数就是单项式中字母因数的个数，如5a 3b 就是5aaab ，有4个字母因数，因此它的次数就是4. ②确定单项式的次数时，不要漏掉“1”. 如单项式3x 2yz 3的次数是2＋1＋3＝6，字母因数的指数为1时，不能认为它没有指数. ③单项式的次数只与单项式中的字母因数的指数有关，而不能误加入系数的指数，如单项式－（12 ）2a 3b 4c 5的次数是字母a 、b 、c 的指数和，即3＋4＋5＝12，而不是2＋3＋4＋5＝14. ④单独一个非零数字的次数是零. 2．多项式的有关概念 （1）多项式：几个单项式的和叫做多项式.其含义有： ①必须由单项式组成；②体现和的运算法则，如3a 2＋b －5是多项式，而3x －2y 中，－2y 不是单项式，故3x －2y 不是多项式. 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，一个多项式有几项，就叫几项式.要特别注意，多项式的项包括它前面的性质符号（正号或负号）. （2）多项式的次数：一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.注： 不要与单项式的次数混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和，如多项式3x 4＋2y 2 中考数学勾股定理知识点总结含答案 一、选择题 1．在△ABC 中，∠BCA=90°,AC=6,BC=8,D 是AB 的中点，将△ACD 沿直线CD 折叠得到△ECD ，连接BE ，则线段BE 的长等于（ ） A ．5 B ．75 C ． 145 D ． 365 2．棱长分别为86cm cm ，的两个正方体如图放置，点A ，B ，E 在同一直线上，顶点G 在棱BC 上，点P 是棱11E F 的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ，它爬行的最短距离是( ) A ．(3510)cm + B ．513cm C ．277cm D ．(2583)cm + 3．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ） A ．47 B ．62 C ．79 D ．98 4．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ） A．20 B．24 C．99 4 D． 53 2 5．如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm 的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（） A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm 6．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( ) A．3，4，5 B．1，1，2 C．8，12，13 D．2、3、5 7．在下列以线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（） A．a=3，b=4，c=6 B．a=5，b=6，c=7 C．a=6，b=8，c=9 D．a=7，b=24，c=25 8．如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（） A．9 B．10C．326 D．12 9．一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4，则它的斜边长为（） A．5 B．4 C7D．4或5 10．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（） A．7,24,25B．111 ,4,5 222 C．3,4,5D． 11 4,7,8 22 二、填空题 11．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，若点 M、N 分别是线段 AC、AB上的两个动 1 视点、视线与盲区 学习目标 1．经历实践、探索的过程，了解视点、视线、盲区的概念。 2．体会视点、视线、盲区在现实生活中的应用。 3．了解视点、视线、盲区与中心投影的关系，感受其生活价值。 知识详解 如图5-1所示，小明眼睛的位置称为视点，由视点发出的线称为视线，小明看不到的地方称为盲区。 【典型例题】 例1：电影院呈阶梯或下坡形状的主要原因是（） A.为了美观 B.减小盲区 C.增大盲区 D.盲区不变 【答案】B 【解析】电影院呈阶梯或下坡形状是为了然后面的观众有更大的视角范围，减小盲区。 例2：图1表示正六棱柱形状的高大建筑物，图2中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域．小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在（） A.P区域 B.Q区域 C.M区域 D.N区域 【答案】B 【解析】由图片可知，只有Q区域同时处在三个侧面的观察范围内。 例3：当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方哪些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面哪些矮一些的建筑物后面去了．这是因为（） A．汽车开的很快 B．盲区减小 C．盲区增大 D．无法确定 【答案】C 【解析】根据题意我们很明显的可以看出“沉”下去的建筑物实际上是到了自己的盲区的范围内。 【误区警示】 易错点1：盲区 1. 如图所示，在房子外的屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区在（） A．△ACE B．△BFD C．四边形BCED D．△ABD 【答案】D 【解析】由图片可知，E视点的盲区应该在三角形ABD的区域内。 易错点2：视点、视角和盲区 2. “站得高，看得远”指的是一种什么现象（） A．盲区减小，视野范围增大 B．盲区增大，视野范围减小 精心整理 第18章勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222 a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ① ② 定理 常见方法如下： 方法一：4 EFGH S S S ? += 正方形正方形ABCD ，1 4( 2 ab b ?+- 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S= 大正方形面积为22 () S a b a =+=+ 所以222 a b c += 方法三：1()() 2 S a b a b =+?+ 梯形 ，2 2 22 ab c ?+，化简得 证 ３. 它只适用于直角三角形，对于锐角三角 因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４. ① 在ABC ?中，90 C ∠=?，则c，b=，a= ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5、利用勾股定理作长为的线段 作长为、、的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。 b a 作法：如图所示 （1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边； （2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为 ； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1 作法：如图所示在数轴上找到A 点，使OA=3，作以O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为 。 注：逆命题与勾股定理逆定理 可以判断真假的陈述句叫做命题， 写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚． 23（正确） 4（正确） 思路点拨：解析：1. 2. 3.?（正确） 4.（正确） 总结升华： 6.74页 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ； （2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 （若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2
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