二阶段法及灵敏度分析
学院：计算机学院学号：20080353 姓名：宋勇利
单纯形法及其灵敏度分析程序演示
1. 二阶段法
基本原理：首先将原线性规划问题化为标准型，若标准型中含人工变量，则用二阶段法求解，第一阶段求解一个目标函数中只含人工变量的线性规划问题，当第一阶段求解结果表明问题有可行解时，第二阶段是在原问题中去除人工变量，并从第一阶段的最优解出发，继续寻找问题的最优解。
说明：字母A为约束矩阵，b为资源矩阵，c（或c1）为目标函数价值系数，CB为基变量系数矩阵，N为基变量下标值矩阵，t（或t1）为检验数矩阵
演示：（以教材P22例2-7为例）
（1）标准化后的初始单纯形表（没有含检验数t）
（2）第一阶段的最终单纯形表
（3）第一阶段最优解
（4）第二阶段最终单纯形表
（5）该问题的最优解及目标函数的最优值
2.单纯形法及其灵敏度分析（以教材P19例2-6为例）基本原理：用单纯形法求的最优解后，将参数的改变计算反映到最终单纯形表上，按照教材P40表2-18所列情况得出结论和决定继续计算的步骤。
（1）标准化后的单纯形表
（2）最终单纯形表
（3）最优解及目标函数的最优值
（4）灵敏度分析分析cj的变化
(5)分析bi的变化
（6）增加一个变量xj的分析
（7）分析参数aij的变化
（8）增加一个约束条件的分析
3.程序中存在的一些问题
（1）灵敏度分析中B的逆的值的选取只是简单的选取A 的后三列，没有理论依据，还需要进一步研究。
（2）灵敏度分析中，由于对matlab不是很精通，始终不能解决其连续计算的问题，只能算一个，退出后又重新计算另一个，此问题还在努力解决中。
一个实例理解Lingo的灵敏性分析 线性规划问题的三个重要概念： 最优解就是反应取得最优值的决策变量所对应的向量。 最优基就是最优单纯形表的基本变量所对应的系数矩阵如果其行列式是非奇异的，则该系数矩阵为最优基。 最优值就是最优的目标函数值。 Lingo的灵敏性分析是研究当目标函数的系数和约束右端项在什么范围（此时假定其它系数不变）时，最优基保持不变。灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。下面是一道典型的例题。 一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3公斤A1，或者在乙车间用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1,A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤A1，乙车间的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题： 1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ 3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？ 模型代码： max=72*x1+64*x2; x1+x2<=50; 12*x1+8*x2<=480; 3*x1<=100; 运行求解结果： Objective value: 3360.000 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000 这个线性规划的最优解为x1=20，x2=30，最优值为z=3360，即用20桶牛奶生产A1, 30桶牛奶生产A2，可获最大利润3360元。输出中除了告诉我们问题的最优解和最优值以外，还有许多对分析结果有用的信息。 其中，“Reduced Cost”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时, 目标函数的变化率。其中基变量的reduced cost值应为0，对于非基变量Xj, 相应的reduced cost值表示当某个变量Xj 增加一个单位时目标函数减少的量( max型问题)。本例中X1，X2均为基变量。 “Slack or Surplus”给出松驰变量的值，模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个约束。3个约束条件的右端不妨看作3种“资源”：原料、劳动时间、车间甲的加工能力。输出中Slack or Surplus给出这3种资源在最优解下是否有剩余：原料、劳动时间的剩余均为
2015年注册会计师资格考试内部资料 公司战略与风险管理 第五章 风险与风险管理 知识点：敏感性分析法 ● 详细描述： 敏感性分析是针对潜在的风险性，研究项目的各种不确定因素变化至一定幅度时，计算其主要经济指标变化率及敏感程度的一种方法。 敏感性分析最常用的显示方式是龙卷风图。 龙卷风图有助于比较具有较高不确定性的变量与相对稳定的变量之间的相对重要程度。 （一）适用范围：适用于对项目不确定性对结果产生的影响进行的定量分析。 （二）实施步骤 （1）选定不确定因素，并设定这些因素的变动范围； （2）确定分析指标； （3）进行敏感性分析；
（4）绘制敏感性分析图； （5）确定变化的临界点。 【例】某企业打算在A市兴建一座大桥，但这个项目的不确定性因素很多，如项目总投资、银行贷款利率、过桥费收入。 【分析】以下因素变化的可能性较大： 工程设计变更、不可抗力、材料价格上涨，从而导致项目的投资增加； 银行贷款利率也会在一定范围内变化，因而会较大地影响本工程贷款金额；能否取得优惠贷款，这对资金成本影响很大，进而对工程经济指标也产生影响； 根据A市物价局的规定，本大桥开始收费后每三年需要重新报批收费标准，并且过桥车辆数量也会发生增减变化，这些都会导致过桥费收入的变化。 （三）主要优点和局限性 【主要优点】 为决策者提供有价值的参考信息； 可以清晰地为风险分析指明方向； 可以帮助企业制定紧急预案。 【局限性】 主要包括分析所需要的数据经常缺乏，无法提供可靠的参数变化；
分析时借助公式计算，没有考虑各种不确定因素在未来发生变动的概率，无法给出各参数的变化情况，因此其分析结果可能和实际相反。 例题： 1.甲公司是一家化纤企业，近期准备新建一生产线项目，考虑项目实施过程 中一些不确定性因素的变化，该公司分别将固定资产投资、经营成本、销售收入这三个因素作为分析对象，分析每一个因素的变化对该项目内部收益率的影响。根据以上信息可以判断，该投资方采取的分析方法是（）。 A.敏感性分析 B.决策树 C.情景设计 D.事件树分析法 正确答案：A 解析：敏感性分析是针对潜在的风险性，研究项目的各种不确定因素变化至一定幅度时，计算其主要经济指标变化率及敏感程度的一种方法。 2.甲公司是一家大型金融企业，该公司相关员工采用VaR模型来度量企业面 临的汇率风险。在下列选项中，不属于计算VaR值的模型包括（）。 A.情景模拟法 B.敏感性分析 C.方差—协方差法 D.蒙特卡罗模拟法
线性规划问题及灵敏度分析在LINGO软件中的实现 （龙少波李东阳罗添元） 一、问题的提出： 某公司饲养实验用的动物以出售给动物研究所，已知这些动物的生长对饲 料中3种营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每周至少需 要蛋白质60g，矿物质3g，维生素8mg，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲 料1kg所含各种营养成分和成本如下表所示，如果每个小动物每周食用饲料不超 过52kg，才能满足动物生长需要。 A1 A2 A3 A4 A5 营养最 低 要求蛋白质(g) 0.3 2 1 0.6 1.8 60 矿物质(g) 0.1 0.05 0.02 0.2 0.05 3 维生素(mg) 0.05 0.1 0.02 0.2 0.08 8 成本（元/ kg）0.2 0.7 0.4 0.3 0.5 问题： 1．求使得总成本最低的饲料配方？ 2．如果另一个动物研究对蛋白质的营养要求变为59单位， 但是要求动物的价格比现在的价格便宜0.3元，问该养殖所 值不值得接受？ 3．由于市场因素的影响，X2的价格降为0.6元每千克， 问是否要改变饲料配方？ 二、建立线性规划数学模型 解答： （1）设需要饲料A1, A2, A3, A4分别为X1, X2, X3, X4kg，则建立线 性规划数学模型如下： 目标函数：MinS=0.2X1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.5X5 约束条件：0.3X1+2X2+X3+0.6X4+1.8X5>=60 0.1X1+0.05X2+0.02X3+0.2X4+0.05X5>=3 005X1+0.1X2+0.02X3+0.2X4+0.08X5>=8
第八章灵敏度分析 目的：介绍灵敏度分析的用法，研究过程变量之间的关系。 （1）灵敏度分析 可使用户研究输入变量的变化对过程输出的影响 在灵敏度模块文件夹的Results表上能够查看结果 可以把结果绘制成曲线，使不同变量之间的关系更加形象化 在灵敏度模块中对流程输入量所做的改变不会影响模拟，灵敏度研究独立于基础工 况模拟而运行 位于/Data/Model Analysis Tools/Sensitivity下 （2）灵敏度分析的用法 研究输入变量的变化对过程（模型）的影响 用图表表示输入变量的影响 核实设计规定的解是否可行 初步优化 用准稳态方法研究时间变化变量 （3）灵敏度分析应用步骤 a）定义被测量（采集）变量 -它们是在模拟中计算的参量，在第4步将要用到（Sensitivity Input Define 页） b）定义被操作（改变的）变量 -它们是要改变的流程变量（Sensitivity Input Vary页） c）定义被操作（改变的）变量范围 -被操作变量的变化可以按在一个间隔内等距点或变量值列表来规定（Sensitivity Input Vary页） d）规定要计算的或要制成表的参量
-制表参量可以是任何合法的Fortran表达式，表达式含有步骤1中定义的变量(Sensitivity Input Tabulate页) （4）绘图 a）选择包括X轴变量的列，然后选择从Plot菜单下选择X-Axis变量 b）选择包括Y轴变量的列，然后选择从Plot菜单下选择Y-Axis变量 c）（可选的）选择含有参数变量的列，然后从Plot菜单下选择参数变量 d）从Plot菜单下选择Display Plot ?要选择一列，用鼠标左键点击列标题 （5）注意 只有被输入到流程中的参量才可以被改变或操作 可以改变多个输入 对于每一个被操作（改变的）变量的组合都运行一次模拟 （6）灵敏度分析举例 以第二章中苯和丙烯为原料合成异丙基苯为例，如下图： 冷却器出口温度怎样影响产品物流纯度的 被调节(被改变)变量是什么 冷凝器出口温度 被测量(采集)变量是什么 产品物流中异丙基苯纯度（摩尔分率） 打开文件，另存为，如下图所示：
一个实例理解Lingo 的灵敏性分析 线性规划问题的三个重要概念： 最优解就是反应取得最优值的决策变量所对应的向量。最优基就是最优单纯形表的基本变量所对应的系数矩阵如果其行列式是非奇异的，则该系数矩阵为最优基。 最优值就是最优的目标函数值。 Lingo 的灵敏性分析是研究当目标函数的系数和约束右端项在什么范围（此时假定其它系数不变）时，最优基保持不变。灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。下面是一道典型的例题。 一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2 两种奶制品，1 桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3 公斤A1，或者在乙车间用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1,A2全部能售出，且每公斤A1 获利24 元，每公斤A2 获利16 元。现在加工厂每天能得到50 桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤A1，乙 车间的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3 个附加问题： 1 ）若用35 元可以买到1 桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ 3）由于市场需求变化，每公斤A1 的获利增加到30 元，应否改变生产计划？模型代码： max=72*x1+64*x2; x1+x2<=50; 12*x1+8*x2<=480; 3*x1<=100; 运行求解结果： Objective value: 3360.000 Variable Value Reduced Cost X120.000000.000000 X230.000000.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 13360.000 1.000000 0.00000048.00000 2 30.000000 2.000000 440.000000.000000 这个线性规划的最优解为x1=20，x2=30,最优值为z=3360，即用20桶牛奶生产A1, 30 桶牛奶生产A2 ，可获最大利润3360 元。输出中除了告诉我们问题的最优解和最优值以外，还有许多对分析结果有用的信息。 其中，“ Reduced Cost列'出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微 小变动时，目标函数的变化率。其中基变量的reduced cost值应为0,对于非基变量Xj,相应的reduced cost值表示当某个变量Xj增加一个单位时目标函数减少的量（max型问题）。本例中X1 , X2 均为基变量。 “ Slack or Surplus给出松驰变量的值，模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个约束。3个约束条件的右端不妨看作3种“资源”：原料、劳动时间、车间甲的加工能力。输出中Slack or Surplus 给出这3 种资源在最优解下是否有剩余：原料、劳动时间的剩余均为零，车间甲尚余40（公斤）加工能力。 “DUAL PRICE”（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时，目标函数的变化率。输出结 果中对应于每一个约束有一个对偶价格。若其数值为p，表示对应约束中不等式右端项若 增加1个单位，目标函数将增加p个单位（max型问题）。显然，如果在最优解处约束正好取等号（也就是“紧约束”，也称为有效约束或起作用约束），对偶价格值才可能不是0。上 例中，第一、二个约束是紧约束”。当“x1+x2<=50'改为“x1+x2<=51"时，目标函数的值为
淮北师范大学 2011届学士学位论文 线性规划灵敏度分析 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向运筹学 学生姓名陈红 学号20071101008 指导教师姓名张发明 指导教师职称副教授 2011年4月10日
线性规划的灵敏度分析 陈 红 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘 要 本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容，而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。 关键词 单纯形法，灵敏度分析，最优解，资源条件，价值系数
Sensitivity Analysis of Linear Programming Chen Hong (School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ,Huaibei,235000) Abstract This thesis is mainly from the variety of the cost coefficient …j c ?, the variety of technology coefficient …ij a ?, the variety of the resources condition…i b ?and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis.This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table.Linear programming of sensitivity analysis in physically of application is mainly about application of the variety of resources c ondition…i b ?in the economic management …shadow price problem?. Keywords simplex method, sensitivity analysis, optimum solution ， resources condition ，cost coefficient
第二章 线性规划问题的对偶理论与灵敏度分析总结 一．对偶问题统一归纳表 项目 原问题（对偶问题） 对偶问题（原问题） A b C 约束系数矩阵 约束条件右端项向量 目标函数中的价格系数向量 约束系数矩阵的转置 目标函数中的价格系数向量 约束条件右端项向量 目标函数 ∑== n j j j x c z 1 max ∑== n 1 j j c z min j x ∑== m 1 i i b z min i y ∑== m 1 i i b z max i y ????? ? ?≤≥=无约束0 0x 1,...n)(j 变量j j j j x x x 件条束约 , (11) 1 1 ? ???? ?????? =≤≥=∑∑∑===m i j i ij m i j i ij m i j i ij c y a c y a c y a n j 件条束约 , (11) 1 1 ? ???? ?????? =≥≤=∑∑∑===m i j i ij m i j i ij m i j i ij c y a c y a c y a n j ?????? ?????=≤≥=∑∑∑===n j i j ij n j i j ij i j b x a b x a b x m 1 1n 1j ij a m)1,...,(i 个有件条束约 量变0 001,...m) (i ??? ????=≤≥=i i i i y y y y 量变无约束 00 y m)1,...,(i i ??? ????≥≤=i i i y y y 注意：对偶问题允许i b 小于0，也正是对于原问题i b 小于0，才引入了后面的对偶单纯形法解决问题。 二．对偶问题的基本性质 ?? ?≥≤=0 X ..max 设原问题为b AX t s CX z ?? ?≥≥=是列向量 ,0A .. min 对偶问题为 T Y Y C Y t s Yb T T ω
lingo 软件求解线性规划及灵敏度分析 注：以目标函数最大化为例进行讨论，对求最小的问题，有类似的分析方法！所有程序运行环境为lingo10。 一、用lingo 软件求解线性规划 例1： m a x 23..4310 3512,0 z x y s t x y x y x y =++≤+≤≥ 在模型窗口输入： model: max=2*x+3*y; 4*x+3*y<=10; 3*x+5*y<12; ! the optimal value is :7.454545 ; End 如图所示： 运行结果如下（点击 工具栏上的‘solve ’或点击菜单‘lingo ’下的‘solve ’即可）： Global optimal solution found. Objective value: 7.454545（最优解函数值） Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2（迭代次数）
Variable （最优解） Value Reduced Cost X 1.272727 0.000000 Y 1.636364 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 7.454545 1.000000 2 0.000000 0.9090909E-01 3 0.000000 0.5454545 例2： 12123124125m a x 54.. 390280450 z x x s t x x x x x x x x x x =+++=++=++=≥ 在模型窗口输入： model: max=5*x1+4*x2; x1+3*x2+x3=90; 2*x1+x2+x4=80; x1+x2+x5=45; end 运行（solve ）结果如下： Global optimal solution found. Objective value: 215.0000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X1 35.00000 0.000000 X2 10.00000 0.000000 X3 25.00000 0.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 3.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 215.0000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 1.000000 4 0.000000 3.000000 例3
基于线性规划的灵敏度分析问题的研究 摘要：本文主要研究的是线性规划的灵敏度分析问题。讨论线性规划价值系数和资源系数中单个系数在什么区间变化时能保证最优解或最优基不变，以及多系数同时变化时最优解或者最优基不变的判定定理。最后通过实例进行说明验证。 本文对线性规划的灵敏度分析问题进行研究，主要内容如下： 第一章主要是简单的介绍了线性规划的发展历程，在线性规划的灵敏度分析的含义，灵敏度分析在其他方面的应用。 第二章，技术系数矩阵A发生变化时，最优解的变化。举例验证，应用LINGO 软件，进行灵敏度分析，确定在什么范围内，最优解不变。 第三章，资源向量b发生变化时，讨论最优解的变化情况。并举例验证其理论知识，应用LINGO软件，确定在什么变化范围内，最优解不变。 第四章，价值系数C发生变化时，最优解的变化情况。举例验证其理论实施过程，应用LINGO软件，分析其灵敏度。 第五章，对本文研究内容进行总结，指出一些不足之处，并提出进一步研究的方向。 关键词：运筹学；线性规划；灵敏度分析；技术系数；资源向量；价值系数；LINGO
The inventory model under uncertain demand Abstract:
第一章 绪论 随着运筹学的发展，线性规划方面的知识也得到了逐步的完善，并广泛地运用到实际的生活中，尤其给经济管理和决策提供了强有力的理论根据．管理部门和企业在进行生产或投资决策时，一般通过建立数学模型和对模型的求解，做出具体的决策方案．在建立模型和求解的过程中，都是以价值系数j c 、资源系数j b 和消耗系数ij a 为基础的，这些数据不但难以确定，而且市场价格的变动、资源供应的波动、工人技术的提高、设备的改进等，都会使这些数据变动．本文讨论线性规划价值系数和资源系数中单个系数在什么区间变化时能保证最优解或最优基不变，以及多系数同时变化时最优解或者最优基不变的判定定理。 线性规划发展史 1）1939年，前苏联数学家康托洛维奇发表了《生产组织与计划中的数学方法》学术报告，首次提出了线性规划问题，但是他没有找到一个统一的求解这类问题的方法。 2）美国学者希奇柯克（Hitchcock ，1941）独立的提出了运输问题这样一类特殊的线性规划问题。 3）1947年，美国学者丹捷格（Dantzig ）提出求解线性规划的单纯形法和许多相关的理论，为线性规划奠定了理论基础，推动了线性规划的发展。 灵敏度分析的概念 研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。 灵敏度分析的应用领域 线性规划中灵敏度分析 对于线性规划问题： 1 max n j j j X c x ==∑公式
【2017年整理】lingo灵敏度分析实例一个实例理解Lingo的灵敏性分析 线性规划问题的三个重要概念: 最优解就是反应取得最优值的决策变量所对应的向量。 最优基就是最优单纯形表的基本变量所对应的系数矩阵如果其行列式是非奇异的，则该系数矩阵为最优基。 最优值就是最优的目标函数值。 Lingo的灵敏性分析是研究当目标函数的系数和约束右端项在什么范围(此时假定其它系数不变)时，最优基保持不变。灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。下面是一道典型的例题。 一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3公斤A1，或者在乙车间用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1,A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤A1，乙车间的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题: 1) 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资,若投资，每天最多购买多少桶牛奶, 2) 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元, 3) 由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划, 模型代码: max=72*x1+64*x2; x1+x2<=50; 12*x1+8*x2<=480;
3*x1<=100; 运行求解结果: Objective value: 3360.000 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000 这个线性规划的最优解为x1=20，x2=30，最优值为z=3360，即用20桶牛奶生产A1, 30桶牛奶生产A2，可获最大利润3360元。输出中除了告诉我们问题的最优解和最优值以外，还有许多对分析结果有用的信息。 其中，“Reduced Cost”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时, 目标函数的变化率。其中基变量的reduced cost值应为0，对于非基变量 Xj, 相应的 reduced cost值表示当某个变量Xj 增加一个单位时目标函数减少的量( max型问题)。本例中X1，X2均为基变量。 “Slack or Surplus”给出松驰变量的值，模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个约束。3个约束条件的右端不妨看作3种“资源”:原料、劳动时间、车间甲的加工能力。输出中Slack or Surplus给出这3种资源在最优解下是否有剩余:原料、劳动时间的剩余均为 零，车间甲尚余40(公斤)加工能力。
第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案 1．判断下列说法是否正确： (1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；() (2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；() (3) 设j ? x ，i ?y 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，* j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m **j j j j i i i i j 1j 1i 1i 1??c x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；() (4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；() (5) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；() (6) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；() (7) 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；() (8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量i x 0<，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；() (9) 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；() (10) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j 或在各约束中的相应系数a ij ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。() 2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x 4、x 5为松弛变量。 要求：(1) (3)其它条件不变时，约束条件右端项b 1在何范围内变化，上述最优基不变。(4)若以单价购入第一种资源是否值得，为什么若有人愿意购买第二种资源应要价多少，为什么
lingo结果分析及灵敏性分析 问题描述 程序代码： max = 60*desks + 30*tables + 20*chairs; 8*desks + 6*tables + chairs <= 48; 2*desks + 1.5*tables + 0.5*chairs <= 8; 4*desks + 2*tables + 1.5*chairs <= 20; tables<= 5; 部分结果一： Variable Value Reduced Cost DESKS 2.000000 0.000000 TABLES 0.000000 5.000000 CHAIRS 8.000000 0.000000 ⑴Value:给出最优解中各变量的值，Value=0(非基变量)，反之为基变量。
⑵Reduced Cost：表示当非基变量有微小变动时, 目标函数的变化率。本例中： 变量tables 对应的reduced cost 值为5，表示当非基变量tables 的值从0 变为1 时（此时假定其他非基变量保持不变,但为了满足约束条件，基变量显然会发生变化），最优的目标函数值= 280 - 5 = 275。 部分结果二： Row Slack or Surplus Dual Price 1 280.0000 1.000000 2 24.00000 0.000000 3 0.000000 10.00000 4 0.000000 10.00000 5 5.000000 0.000000 ⑴“Slack or Surplus”――松驰变量。 ⑵“Dual Price”――对偶价格表示当对应约束有微小变动时, 目标函数的变化 率。若其数值为p，表示对应约束中不等式右端项若增加1个单位，目标函数将增加p个单位（max 型问题）。 ⑶如果在最优解处约束正好取等号（紧约束，也称为有效约束或起作用约束）， 对偶价格值才可能不是0。本例中：第3、4 行是紧约束，对应的对偶价格值为10，表示当紧约束4) 4 DESKS + 2 TABLES + 1.5 CHAIRS <= 20 变为4) 4 DESKS + 2 TABLES + 1. 5 CHAIRS <= 21 时，目标函数值= 280 +10 = 290。
熟悉LINGO软件的灵敏度分析功能
2012——2013学年第一学期 合肥学院数理系 实验报告 课程名称：运筹学 实验项目：熟悉LINGO软件的灵敏度分析功能实验类别：综合性□设计性□√验证性□专业班级： 姓名：学号： 实验地点： 实验时间： 2012年11月22日 指导教师：管梅成绩：
一.实验目的 1、学会使用LINGO 软件求解线性规划问题的灵敏度分析。 2、学会分析LINGO 软件求解的结果。 二.实验内容 1、求解线性规划： 12 1212max 2251228Z x x x x x x =++≥?? +≤? 并对价值系数、右端常量进行灵敏度分析。 2、已知某工厂计划生产I ，II ，III 三种产品，各产品需要在A 、B 、C 设备上加 I II III 设备有效台时 （每月） A 8 2 10 300 B 10 5 8 400 C 2 13 10 420 单位产品利润 （千元） 3 2 2.9 (1)如何发挥生产能力，使生产盈利最大？ (2)若为了增加产量，可租用别工厂设备B ，每月可租用60台时，租金1.8万元，租用B 设备是否合算？ (3)若另有二种新产品IV 、V ，其中新产品IV 需用设备A 为12台时、B 为5台时、C 为10台时，单位产品盈利2.1千元；新产品V 需用设备A 为4台时、B 为4台时、C 为12台时，单位产品盈利1.87千元。如A 、B 、C 的设备台时不增加，这两种新产品投产在经济上是否划算？ (3)对产品工艺重新进行设计，改进结构。改进后生产每件产品I 需用设备A 为9台时、设备B 为12台时、设备C 为4台时，单位产品盈利4.5千元，这时对原计划有何影响？ 三. 模型建立 1、模型略
灵敏度分析 简介： 研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。 用途： 主要用于模型检验和推广。简单来说就是改变模型原有的假设条件之后，所得到的结果会发生多大的变化。 举例（建模五步法）： 一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降1美分，求出售猪的最佳时间。 建立数学模型的五个步骤： 1.提出问题 2.选择建模方法 3.推到模型的数学表达式 4.求解模型 5.回答问题 第一步：提出问题 将问题用数学语言表达。例子中包含以下变量：猪的重量w（磅），从现在到出售猪期间经历的时间t（天），t天内饲养猪的花费C（美元），猪的市场价格p（美元/磅），出售生猪所获得的收益R（美元），我们最终要获得的净收益P（美元）。还有一些其他量，如猪的初始重量200磅。 （建议先写显而易见的部分） 猪从200磅按每天5磅增加 （w磅）=（200磅）+（5磅/天）*（t天） 饲养每天花费45美分 （C美元）=（0.45美元/天）*（t天） 价格65美分按每天1美分下降 （p美元/磅）=（0.65美元/磅）-（0.01美元/磅）*（t天） 生猪收益 （R美元）=（p美元/磅）*（w磅） 净利润 （P美元）=（R美元）-（C美元） 用数学语言总结和表达如下： 参数设定： t=时间（天）
w=猪的重量（磅） p=猪的价格（美元/磅） C=饲养t天的花费（美元） R=出售猪的收益（美元） P=净收益（美元） 假设： w=200+5t C=0.45t p=0.65-0.01t R=p*w P=R-C t>=0 目标：求P的最大值 第二步：选择建模方法 本例采用单变量最优化问题或极大—极小化问题 第三步：推导模型的数学表达式子 P=R-C （1） R=p*w （2） C=0.45t （3） 得到R=p*w-0.45t p=0.65-0.01t （4） w=200+5t （5） 得到P=（0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t 令y=P是需最大化的目标变量，x=t是自变量，现在我们将问题转化为集合S={x:x>=0}上求函数的最大值： y=f（x）=（0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x （1-1） 第四步：求解模型 用第二步中确定的数学方法解出步骤三。例子中，要求（1-1）式中定义的y=f （x）在区间x>=0上求最大值。下图给出了（1-1）的图像和导数（应用几何画板绘制）。在x=8为全局极大值点，此时f（8）=133.20。因此（8，133.20）为f在整个实轴上的全局极大值点，同时也是区间x>=0上的最大值点。 第五步：回答问题 根据第四步，8天后出售生猪的净收益最大，可以获得净收益133.20美元。只要第一步中的假设成立，这一结果正确。
目录 第一章引言 (1) 第二章主要结论 (2) 2.1 基本概念和记号 (2) 2.2 基本定理和结论 (5) 第三章单一变化的灵敏度分析 (7) c的灵敏度分析 (7) 3.1 j x为非基变量 (7) 3.1.1 r x为基变量 (7) 3.1.2 j b的灵敏度分析 (8) 3.2 对 i a的灵敏度分析 (9) 3.3 对 ij a为基变量 (9) 3.3.1 ij a为非基变量 (9) 3.3.2 ij 3.4 增加约束条件灵敏度分析 (10) 第四章全方位变化的灵敏度分析 (11) 4.1非基变量目标函数系数、约束系数向量以及约束右端项向量同时变化的灵敏度分 析 (12) 4.2基变量目标函数系数、约束系数向量以及约束右端项向量同时变化的灵敏度分析 (13) 第五章算例 (15) 5.1 单一变量的灵敏度分析算例 (15) 5.1.1 问题1的求解： (15) 5.1.2 问题2的求解： (17) 5.1.3 问题3的求解： (18) 5.1.4 问题4的求解 (19) 5.1.5 问题5的求解： (20) 第六章结论 (24) 参考文献 (25) 致谢 (26)
第一章引言 灵敏度分析是研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法.在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性.通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响.因此,灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的. 由于线性规划中所使用的数据大多是估计值和预测值.在实际中尤其是经济问题中常会遇到因市场条件或生产条件改变导致的产品价格、生产工艺或技术条件以及资源限制条件等改变.而灵敏度分析是分析模型的参数变化对求解结果的影响,它是在原最优表的基础上对变化后的规划问题进行分析求解,避免因参数改变而去从头求解,故又称最优化后分析. 本文主要介绍线性规划问题中的灵敏度分析问题,以及在灵敏度分析的基础上,对变量目标函数系数,变量约束系数向量以及约束右端项向量发生变化时,进行分析讨论.由于以往人们对灵敏度分析的讨论仅限于单个参数、单一系数或单一限制条件的变化对结果的影响,而实际中多是规划问题中各参数同时变化,如前所述因市场条件变化导致产品价格、生产工艺以及资源限制条件同时发生改变等,本文又讨论了参数同时变化的情况. 文章大体分为三个部分：第一部分总结概述了基本概念、主要理论和灵敏度分析的算法基础；第二部分讨论分析变量目标函数系数、变量约束系数向量、约束右端项向量这些单一参数发生变化时,最优解的求的方法；第三部分讨论各种参数同时发生变化时求解最优解的方法.第四部分是在上述理论基础上以投入产出问题进一步说明.
Lingo实验例子 (例子来源：《运筹学教程》（第三版）胡运权主编清华大学出版社2007年第三版) 一、线性规划及单纯形法、灵敏度分析 例1 P28页例5 Lingo程序： max=2*x1+x2; 5*x2<=15; 6*x1+2*x2<=24; x1+x2<=5; 例2 P44页习题1.7（1）Lingo程序：model: max=2*x1-x2+2*x3; x1+x2+x3>=6; -2*x1+x3>=2; 2*x2-x3>=0; end 其余课本上的例题和习题同学们自己动手编写程序并进行调试运行，分析运行结果。二、运输问题 例3 P82页例1 Lingo程序： model: sets: gy/g1..g3/:ai; xs/x1..x4/:dj; link(gy,xs):c,x; endsets data: ai=16,10,22; dj=8,14,12,14; c=4,12,4,11 2,10,3,9 8,5,11,6; enddata min=@sum(link(i,j):c(i,j)*x(i,j) ); @for(gy(i):@sum(xs(j):x(i,j))=ai (i)); @for(xs(j):@sum(gy(i):x(i,j))=dj (j)); end 例4 P98页例5（转运）Lingo程序：model: sets: plant/x1..x5/:produce; customer/y1..y5/:require; link(plant,customer):c,x; endsets data: produce=60,90,50,50,50; require=50,50,50,80,70; c=-4,5,3,2,100 5,-1,2,100,4 3,2-3,5,5 2,100,5-3,6 100,4,5,6,-5; enddata min=@sum(link:c*x); @for(plant(i):@sum(customer(j):x (i,j))=produce(i)); @for(customer(j):@sum(plant(i):x (i,j))=require(j)); end 三、目标规划 例5 P108页例2 Lingo程序： 第一种做法分三步来完成 第一步：考虑目标：min= 11 Pd- model: min=dminus1; 5*x1+10*x2<=60; x1-2*x2+dminus1-dplus1=0; 4*x1+4*x2+dminus2-dplus2=36; 6*x1+8*x2+dminus3-dplus3=48; end 第二步：考虑目标：min= 1122 Pd P d -+ + model: min=dminus1+dplus2; 5*x1+10*x2<=60; x1-2*x2+dminus1-dplus1=0; 4*x1+4*x2+dminus2-dplus2=36; 6*x1+8*x2+dminus3-dplus3=48; end 第三步：考虑目标：min= 112233 Pd P d Pd -+- ++ model: min=dminus1+dplus2+dminus3;
第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案 1．判断下列说法是否正确： (1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；() (2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；() (3) 设j ? x ，i ?y 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，*j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m **j j j j i i i i j 1 j 1 i 1 i 1 ??c x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；() (4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；() (5) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；() (6) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；() (7) 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；() (8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量i x 0<，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；() $ (9) 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；() (10) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j 或在各约束中的相应系数a ij ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。() 2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x 4、x 5为松弛变量。 X B ｂ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 — x 3 5/2 0 1/2 1 1/2 0 x 1 5/2 1 — -1/2 0 -1/6 1/3 σj 0 -4 0 -4 -2 ; 要求：(1)写出原线性规划问题及其对偶问题的数学模型；(2)直接由表写出对偶问题的最优解； (3)其它条件不变时，约束条件右端项b 1在何范围内变化，上述最优基不变。(4)若以单价购入