实验报告
课程名称：MATLAB语言与应用技术
实验名称：函数的极值
院（系）：机电学院
专业班级：工程机械1101
姓名：甘超
学号：110730123
指导教师：郑建校
2013 年11 月12日
实验六：函数的极值
实验地点：大楼五楼八号机房
试验时间：2013年11月12日
实验目的：
1． 多元函数偏导数的求法。
2． 多元函数自由极值的求法
3． 多元函数条件极值的求法.
4． 学习掌握MATLAB 软件有关的命令。
实验内容
练习1 求函数3282
4-+-=y xy x z 的极值点和极值.首先用diff 命令求z 关于x,y 的偏导数
>>clear; syms x y;
>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;
>>diff(z,x)
>>diff(z,y) 结果为
ans =4*x^3-8*y
ans =-8*x+4*y 即.48,843y x y
z y x x z +-=??-=??再求解正规方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve 命令，当方程组不存在符号解时，solve 将给出数值解。求解正规方程的MATLAB 代码为：
>>clear;
>>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y')
结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数：
>>clear; syms x y;
>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;
>>A=diff(z,x,2)
>>B=diff(diff(z,x),y)
>>C=diff(z,y,2)
结果为
A=2*x^2
B =-8
C =4
由判别法可知)2,4(--P 和)2,4(Q 都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上，)2,4(--P 和)2,4(Q 是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。
>>clear;
>>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5;
>>[X,Y]=meshgrid(x,y);
>>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3;
>>mesh(X,Y,Z)
>>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')
结果如图6.1
图6.1 函数曲面图
可在图6.2种不容易观测极值点与鞍点,这是因为z 的取值范围为[-500,100],是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值.
>>contour(X,Y,Z, 600)
>>xlabel('x'),ylabel('y')
结果如图6.2
图6.2 等值线图
由图6.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点)2,4(--P 和)2,4(Q .根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点)0,0(Q 周围没有等高线环绕,不是极值点,是鞍点.
练习２ 求函数xy z =在条件1=+y x 下的极值..构造Lagrange 函数
)1(),(-++=y x xy y x L λ
求Lagrange 函数的自由极值.先求L 关于λ,,y x 的一阶偏导数
>>clear; syms x y k
>>l=x*y+k*(x+y-1);
>>diff(l,x)
>>diff(l,y)
>>diff(l,k) 得,1,,-+=??+=??+=??y x L x y L y x L λ
λλ再解正规方程 >>clear; syms x y k
>>[x,y,k]=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k') 得,2
1,21,21-===λy x 进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值.
练习3 抛物面2
2y x z +=被平面1=++z y x 截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.
这个问题实际上就是求函数 222),,(z y x z y x f ++=
在条件2
2y x z +=及1=++z y x 下的最大值和最小值问题.构造Lagrange 函数 )1()(),,(22222-+++-++++=z y x z y x z y x z y x L μλ
求Lagrange 函数的自由极值.先求L 关于μλ,,,,z y x 的一阶偏导数
>>clear; syms x y z u v
>>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1);
>>diff(l,x)
>>diff(l,y)
>>diff(l,z)
>>diff(l,u)
>>diff(l,v)
得
μλμλμλ+-=??++=??++=??z z
L y y y L x x x L 2,22,22 1,22-++=??-+=??z y x L z y x L μ
λ 再解正规方程
>>clear;
>>[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0', 'x^2+y^2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u','v')
得
.32,2
31,33117,3353 =±-==±-=±-=z y x μλ 上面就是Lagrange 函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数f 在有界闭集}1,:),,{(2
2=++=+z y x z y x z y x ，上连续，从而存在最大值与最小值），故由
求极值的若干方法 1 序言 一般来说函数的极值可以分为无条件极值和条件极值两类．无条件极值问题即是函数中的自变 量只受定义域约束的极值问题；而条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外还受其它条件限制的极值问题．下面我们给出极值的定义 定义1) 136](1[P 设函数f 在点0P 的某邻域0()U P 内有定义，若对于任何点 0()P U P ∈，成立不等式 0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥）， 则称函数f 在点0P 取得极大（或极小)值，点0P 称为f 的极大（或极小）值点．极大值、极小值统称为极值．极大值点、极小值点统称为极值点． 2 求解一元函数无条件极值的常用方法 2.1 导数法 定理１ ) 142](2[P 设f 在点0x 连续，在某邻域0(;)o U x δ内可导． (i)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≤，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≥，则f 在点0x 取得极小值． (ii)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≥，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≤，则f 在点0x 取得极大值． 由此我们可以推出当0(;)o x U x δ∈时，若()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 不取极值． 定理２ ) 142](2[P 设f 在0x 的某邻域0(;)U x δ内一阶可导， 在0x x =处二阶可导，且()0f x '=，()0f x ''≠． (i)若0()0f x ''<，则f 在0x 取得极大值． (ii)若0()0f x ''>，则f 在0x 取得极小值． 对于一般的函数我们既可以利用定理１，也可以利用定理２，但对于有不可导点的函数只能用定理１． 例1 求函数2 ()(1)f x x x =-的极值．
实验6过程、函数和程序包 姓名：学号： 专业：班级： 同组人：无实验日期：2013/7/21 【实验目的与要求】 ?掌握过程的创建与调用 ?掌握PL/SQL函数的编写与调用 ?熟悉程序包的使用 【实验内容与步骤】 6.0．实验准备工作:PL/SQL程序文件的编辑与执行 1．使用文档编辑器编辑以下文件，并保存为aa.sql： 2．以scott身份登录，在SQ L Plus中执行＠aa命令运行程序： 注：测试时，文件名请用全名(即包含路径，如：@c:\aa) 给出运行结果：
6.1．存储过程 1．最简单的存储过程编写与执行 (1)创建测试表 drop table Exam_Table; create table Exam_Table( e_id number(5), e_name varchar2(20), e_salary number(8,2) ); (2)创建存储过程 create or replace procedure insert_salary (v_id number,v_name varchar2,v_salary number) is begin insert into Exam_Table values (v_id,v_name,v_salary); commit; dbms_output.put_line('数据插入成功'); end; / (3) 执行(调用)存储过程 exec insert_salary(6,'g',2000); (4)查询执行结果
select * from Exam_Table; 给出执行的最后结果： 2．参数的使用：in/out/in out参数 阅读以下程序，理解不同类型参数使用的不同，运行程序，给出运行结果。 (1) 用两个参数：in ,out 传入一个姓名，输出：某某人你好： create or replace procedure mp(v_in varchar2,v_out out varchar2) is begin v_out:=v_in||'你好'; end; declare v_name varchar2(10); begin mp('scott',v_name); dbms_output.put_line(v_name); end;--输出：scott你好 给出运行结果：
在日常生活和高中数学学习中有些相近的概念容易混为一谈，例如： 有的经济学家或股评专家分析预测股市（或房市）的发展，根据......，当前股市形势大好，预期股市成交量或指数会出现“拐点”......，意思说成交量或指数会有从下降到上升的反转。但是，这里引用的“拐点”并非数学意义上的“拐点”。还曾经有一位文科教师在讲课中想说明“一个量随着另一个量的增加而增加“的数量关系，就引用了数学中的“正比例关系“，例如： “知识与阅读量成正比例关系。”显然是不准确，甚至错误的。 人们有时为了使自己的论点可信度高，常常会引用一些数学概念或结论作“马甲“，特别是当今“大数据”时代。但是，数学中许多概念相近，不仅是不熟悉数学的人们搞不清楚，就是从教和学习数学的老师与学生也常常搞混。例如： 函数的零点、极值点、驻点和拐点等，下面针对这几个概念，简单地说说它们的定义、几何意义、联系和区别。 函数的零点是使得函数值为零的自变量的值。例如： f(x)=x-1，x=1就是函数f(x)的零点。 函数的极值点是函数的单调性发生变化的点，或是函数的局部极大值或极小值点。当函数存在导数时，函数的极值点是其导函数的变号零点（2014山东高考数学21题的考点）。例如： f(x)=x^2-1，x=0就是函数的f(x)的极小值点。或者说函数在x=0附近的函数值都比x=0时的函数值大。 且x=1和x=-1是函数f(x)的零点。再如： g(x)=|x|，x=0是函数的极小值点，但不是函数的驻点。函数的驻点是函数一阶导数为零的点，即函数的驻点是函数的导函数的零点。但函数的驻点不一定是函数的极值点。当函数存在导数时，极值点一定是驻点，反之不一定正确。例如：
函数极值的几种求法 ──针对高中生所学知识 摘要：函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，以及指数函数、对数函数、三角函数的学习，这些足以说明函数在数学教学中的地位。极值作为函数的一个重要性质，无论是在历年高考试题中，还是在实际生活运用中都占有不可或缺的地位。本文主要阐述了初高中常见的几种函数，通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的求解方法。 关键词：函数；单调性；导数；图像；极值 Abstract: Function is an important part of mathematics teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, the most value and the extreme value of function, finally the learning of the logarithmic function, exponential function and trigonometric function in high school. These are enough to show the important statue of the function in mathematics teaching. As an important properties of function, extreme value has an indispensable status whether in the calendar year test, or in daily life. This article will mainly expound the methods of solving the extreme value of sever functions in middle school. Key words: function; monotonicity; derivative; image; extreme value “函数”一词最先是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，也就是x的平方x的立方。之后莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等与曲线上的点有关的变量[]1。就这样“函数”这词逐渐盛行。在中国，清代著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者善兰给出的定义是：
高考数学知识点：函数的极值与导数的关系_知识点总结 高考数学知识点：函数的极值与导数的关系极值的定义： （1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。 极值的性质： （1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法： 若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。 求函数f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。 对函数极值概念的理解： 极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点： ①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图 ②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图． ③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值． ④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
实验六 高层绘图操作 实验目的： 1. 掌握绘制二维图形的常用函数 2. 掌握绘制三维图形的常用函数 3. 掌握绘制图形的辅助操作 实验内容： 1. 1. 设x x x y cos 2^1sin 35.0????? ? ++=，在π 2~ 0=x 区间取101点，绘制函数曲 线。 x=0:pi/100:2*pi; y=(0.5+3*sin(x)./(1+x..^2)).*cos(x); plot(x,y); 2. 已知2 1x y = ，)2cos(2x y =，213y y y ?=，完成下列操作： （1） 在同一坐标系下用不同的颜色和线型绘制三条曲线。 （2） 以子图形式绘制三条曲线。 （3） 分别用条形图、阶梯图、杆图和填充图绘制三条曲线。 (1).在同一坐标系下用不同的颜色和线型绘制三条曲线。 x=0:pi/1000:2*pi; y1=x.^2; y2=cos(2*x); y3=y1.*y2;
plot(x,y1,'r',x,y2,'b-.',x,y3,'k--'); (2). 以子图形式绘制三条曲线。 x=0:pi/10:2*pi; y1=x.^2; subplot(2,2,1);plot(x,y1,'r'); title('y1=x^2'); y2=cos(2*x); subplot(2,2,2);plot(x,y2,'b-.'); title('y2=cos(2*x)'); y3=y1.*y2; subplot(2,2,3);plot(x,y3,'k--'); title('y3=y1.*y2'); (3). 分别用条形图、阶梯图、杆图和填充图绘制三条曲线。x=0:pi/10:2*pi; y1=x.^2; subplot(2,2,1);bar(x,y1,'r'); title('y1=x^2'); subplot(2,2,2);stairs(x,y1,'r'); title('y1=x^2'); subplot(2,2,3);stem(x,y1,'r'); title('y1=x^2'); subplot(2,2,4);fill(x,y1,'r');
求极值与最值的方法 1 引言 在当前的数学教育中，求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置，由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。 2 求函数极值的方法 极值定义：设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点 x 0()x x ≠，均有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极大值；同样如果对此邻域内任一点x 0()x x ≠，均有错误！未找到引用源。，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点0x ，称为极值点。 2.1 求导法 判别方法一： 设()f x 在点0x 连续，在点错误！未找到引用源。的某一空心邻域内可导。当 x 由小增大经过错误！未找到引用源。时，如果： (1)'()f x 由正变负，那么0x 是极大值点； (2)错误！未找到引用源。由负变正，那么0x 是极小值点； (3)错误！未找到引用源。不变号，那么0x 不是极值点。 判别方法二： 设()f x 在点0x 处具有二阶导数,且'()0f x =,''()0f x =。 (1)如果''()0f x <，则()f x 在点0x 取得极大值； (2)如果''()0f x >，则()f x 在点0x 取得极小值。
判别方法三： 设()f x 在点0x 有n 阶导数，且0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n 0)(0)(≠x f n ，则： （1）当为偶数时，)(x f 在0x 取极值，有0)(0)(
二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值； 当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。 注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ． 再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32． 利用定理2对驻点进行讨论：
数学实验练习六：函数 一、1）写一个 MATLAB 函数 piFun01.m 来计算下列级数： f(n) = 4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...) 其中 n 为函数的输入，代表上述级数的项数，级数和 f(n) 则是函数的输出。 解：function f=pifun01(n) f=0; for i=1:n f=f+4*(-1)^(i+1)/(2*i-1); end >> piFun01(100000) ans = 3.1416 2）使用 tic 和 toc 指令来测量 piFun01(100000) 的计算时间。如果你不知道如何使用这两个指令，请使用 help tic 及 help toc 来查出它们的用法。我的旧计算机是 Pentium 450MHz，所得的计算时间约为 2 秒。请说明你的计算机规格以及其计算时间。
解：function f=pifun01(n) tic f=0; for i=1:n f=f+4*(-1)^(i+1)/(2*i-1); end f=toc 二、写一个 MATLAB 的递归函数 fibo.m 来计算 Fibonacci 数列， 其定义如下： fibo(n+2) = fibo(n+1)+fibo(n) 此数列的启始条件如下： fibo(1) = 0, fibo(2) = 1. a) fibo(25) 的返回的值是多少？ 解:function f=fibo(n) if n==1 f=0; elseif n==2
f=1; else f=fibo(n-1)+fibo(n-2); end >> clear >> fibo(25) ans = 46368 b)使用 tic 和 toc 指令来测量 fibo(25) 的计算时间。我的计 算机是 Pentium 2GHz，所得的计算时间约为 3.35 秒。请说明你的计算机规格以及其计算时间。 解： function f=fibo(n) tic if n==1 f=0; elseif n==2 f=1; else f=fibo(n-1)+fibo(n-2); end
求解函数极值的几种方法 1.1函数极值的定义法 说明：函数极值的定义，适用于任何函数极值的求解，但是在用起来时却比较的烦琐. 1.2导数方法 定理（充分条件）设函数()f x 在0x 处可导且0()0f x '=，如果x 取0x 的左侧的值时，()0f x '>，x 取0x 的右侧的值时，()0f x '<，那么()f x 在0x 处取得极大值，类似的我们可以给出取极小值的充分条件. 例1 求函数23()(1)f x x x =-的单调区间和极值 解 23()(1)f x x x =- ()x -∞<<+∞， 3222()2(1)3(1)(1)(52)f x x x x x x x x '=-+-=--. 令 ()0f x '=，得到驻点为10x =，22 5 x = ，31x =.列表讨论如下： 表一：23()(1)f x x x =-单调性列表 说明：导数方法适用于函数()f x 在某处是可导的，但是如果函数()f x 在某处不可导，则就不能用这样的方法来求函数的极值了.用导数方法求极值的条件是：函数()f x 在某点0x 可导. 1.3 Lagrange 乘法数方法 对于问题： Min (,)z f x y = s.t (,)0x y =
如果**(,)x y 是该问题的极小值点，则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 利用这一性质求极值的方法称为Lagrange 乘法数 例2 在曲线3 1(0)y x x = >上求与原点距离最近的点. 解 我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函 数2231 ()w x y y x λ=++- 然后，令此函数对x 的导数和对y 的导数分别为零，再与原等式约束合并得 43 320201x x y y x λλ?+=?? +=???=? 解得 x y ?=? ?= ?? 这是唯一可能取得最值的点 因此 x y ==为原问题的最小值点. 说明：Lagrange 乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的，方法也是比较简单的 :如果**(,)x y 是该问题的极小值点则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 这相当于一个代换数，主要是要求偏导注意，这是高等代数的内容. 1.4多元函数的极值问题 由极值存在条件的必要条件和充分条件可知，在定义域内求n 元函数()f p 的极值可按下述步骤进行：①求出驻点，即满足grad 0()0f p =的点0p ；②在0 p
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】
试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为
实验六 用窗函数法设计 FIR 滤波器 一、实验目的 (1) 掌握用窗函数法设计FIR 数字滤波器的原理和方法。 (2) 熟悉线性相位FIR 数字滤波器特性。 (3) 了解各种窗函数对滤波特性的影响。 二、实验原理 滤波器的理想频率响应函数为H d (e j ω )，则其对应的单位脉冲响应为： h d (n) = ?-π π ωωωπ d e e H n j j d )(21 窗函数设计法的基本原理是用有限长单位脉冲响应序列h(n)逼h d (n)。由于h d (n)往往是无 限长序列，且是非因果的，所以用窗函数。w(n)将h d (n)截断，并进行加权处理： h(n) = h d (n) w(n) h(n)就作为实际设计的FIR 数字滤波器的单位脉冲响应序列，其频率响应函数H(e j ω )为： H(e j ω ) = ∑-=-1 )(N n n j e n h ω 如果要求线性相位特性，则h (n )还必须满足： )1()(n N h n h --±= 可根据具体情况选择h(n)的长度及对称性。 用窗函数法设计的滤波器性能取决于窗函数w(n)的类型及窗口长度N 的取值。设计过程中，要根据对阻带最小衰减和过渡带宽度的要求选择合适的窗函数类型和窗口长度N 。 三、实验步骤 1. 写出理想低通滤波器的传输函数和单位脉冲响应。 2. 写出用四种窗函数设计的滤波器的单位脉冲响应。 3. 用窗函数法设计一个线性相位FIR 低通滤波器，用理想低通滤波器作为逼近滤波器，截止频率ωc =π/4 rad ，选择窗函数的长度N ＝15，33两种情况。要求在两种窗口长度下，分别求出h(n)，打印出相应的幅频特性和相频特性曲线，观察3dB 带宽和阻带衰减； 4 用其它窗函数(汉宁窗(升余弦窗)、哈明窗(改进的升余弦窗)、布莱克曼窗) 设计该滤波器，要求同1；比较四种窗函数对滤波器特性的影响。 四、实验用MATLAB 函数 可以调用MATLAB 工具箱函数fir1实现本实验所要求的线性相位FIR-DF 的设计，调用一维快速傅立叶变换函数fft 来计算滤波器的频率响应函数。
实验六 函数 一、实验目的 1．掌握自定义函数的一般结构及定义函数的方法。 2．掌握形参、实参、函数原型等重要概念。 3．掌握函数声明、函数调用的一般方法。 4. 了解函数的嵌套调用以及函数的递归调用的格式。 二、实验预习 1 .理解为什么要在程序中引入函数？函数的引入对程序的整体结构有什么样的影响？ 2. 函数的定义格式，理解函数的类型说明符根据什么来确定？ 3. 充分理解函数实参和形参的联系和区别，掌握单向值传递的意义。 4. 了解针对不同返回类型的函数返回值的应用，尤其是有无return 语句的区别。 5. 掌握函数调用与函数声明的格式，了解什么情况下需要进行函数声明？什么情况下不需要？ 6. 了解函数嵌套调用和递归调用的原理及使用原则。 三、实验内容 （一）阅读并调试下列程序，根据要求给出程序结果。 1．求三角形面积函数。 ⑴ 编程分析 ① 设三角形边长为a 、b 、c ，面积area 的算法是s=(a+b+c)/2, area=))()((c s b s a s s --- ，其中 显然，要计算三角形面积，需要用到三个参数，面积函数的返回值的数据类型应为实型。 ② 尽管main()函数可以出现在程序的任何位置，但为了方便程序阅读，通常将主函数放在程序的开始位置，并在它之前集中进行自定义函数的原型声明。 ⑵ 参考程序 /* 定义和使用求三角形面积函数的程序 */ #include "math.h" #include "stdio.h" float area(float,float,float); /*函数的声明*/ void main() { float a,b,c; printf("请输入三角形的三个边长值：\n") scanf("%f,%f,%f",&a,&b,&c); if(a+b>c&&a+c>b&&b+c>a&&a>0.0&&b>0.0&&c>0.0) printf("Area=%-7.2f\n",area(a,b,c)); /* 以下是计算任意三角形面积的函数 */ float area(float a,float b,float c) { float s,area_s; s=(a+b+c)/2.0;
求函数最值常用的方法及经典例题讲解 知识点： 一、函数最大（小）值定义 最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值． 思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义． 注意： ①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥． 二、求函数最大（小）值常用的方法． 案例分析： 例1、画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①()3f x x =-+ ②()3 [1,2]f x x x =-+∈- ③2()21f x x x =++ ④2 ()21[2,2]f x x x x =++∈-
类型一、直接观察法 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。 例 1、求函数 1 ,[1,2] y x x =∈ 的值域 A、单调递减，无最小值 B、单调递减，有最小值 B、单调递增，无最大值 D、单调递增，有最大值小试牛刀： 1、求函数 2 1 y x = - 在区间[2，6] 上的最大值和最小值． 2
()5522++=x x x f 类型二、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域) 例： 求函数3456x y x +=+值域。 实战训练场： 1) 求函数2 13-+= x x y 的值域； 2) 函数.11的值域是x x y +-= 类型三、倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例1 、求函数 y = 的值域。 例2、求函数 的值域。
函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根； ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值
续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1 ()(0)f x x x = >. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； （3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数 ()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求 )(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程； 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三： 【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值；
实验六自定义函数 实验目的：熟悉Matlab自定义函数的定义和调用方法 实验内容： 2. 编写程序，在主程序中提示用户输入一组数字，编写子程序文件 find_div2.m找出能被2整除的数字，find_max_min.m找出输入数字中的最大值和最小值之和，find_averag求出输入数字的平均值，sort_number对数字进行排序，在主程序中调用子程序并且把上述结果输出。例如输入的数字为1,2,3,4,5，要求输出格式为：输入数字中能被2整除的数为：2,4 输入数字中最大值与最小值之和为：5+1=6 输入数字的平均值为：3 输入数字从大到小排序为：5,4 3,2,1 主程序： clear,clc s=input('请输入一组数字：','s'); x=str2num(s); find_div2(x); find_max_min(x); find_averag(x); sort_number(x);
子程序： function find_div2(x) b=length(x); for i=1:b A(i)=x(i); end c=find(rem(A,2)==0); A=A(c); disp(['输入数字中能被2整除的数为：',num2str(A)]) 子程序： function find_max_min(x) a=max(x); b=min(x); c=a+b; disp(['输入数字中最大值与最小值之和为:',num2str(a),'+',num2str(b),'=',num2str(c) 子程序： function find_averag(x) a=mean(x); disp(['输入数字的平均值为: ',num2str(a)]) 子程序: f unction sort_number(x) a=sort(x); b=fliplr(a); disp(['输入数字从大到小排序为：',num2str(b)])
学科分类号110 本科毕业论文 题目求函数极值的若干方法 姓名张成银学号1106020540066 院(系) 数学与计算机科学学院 专业数学与应用数学年级11级 指导教师李晟职称副教授 二○一五年五月
贵州师范学院本科毕业论文诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本科毕业论文作者签名： 年月日
目录 摘要 (1) Abstract (2) 引言 (3) 1 一元函数极值问题 (3) 1.1一元函数极值的定义 (3) 1.2 一元函数极值的求解方法 (3) 1.2.1 导数法 (3) 1.2.2 配方法 (4) 1.2.3 实例分析 (5) 2 二元函数极值问题 (8) 2.1 二元函数极值的定义 (8) 2.2 二元函数极值求解的一般方法 (8) 2.2.1 二元函数取得极值的条件 (8) 2.2.2 二元函数一般求解步骤 (9) 2.2.3实例分析 (9) 2.3 二元函数条件极值的求解 (11) 3 函数的极值在经济生活中的应用 (12) 结语 (15) 参考文献 (16) 致谢 (17)
摘要 函数极值是函数很重要的性质之一，求函数极值的问题既是一个培养学生逻辑思维能力的问题，又是一个学以致用、解决生产科研问题的数学方法。并且，在生产、生活中，生产者和消费者经常以利润为主，把实际问题按要求达到最大和最小的优化，形成一定的有效理论，实现效用最大的目标。本文主要是研究并归纳当函数极值分别为一元函数或者为二元函数时，用简单的定义求解其极值的方法和函数的极值在经济生活中的运用。 关键词：函数极值；极大值；极小值
实验名称：实验六函数 班级学号姓名 实验地点完成日期成绩 （一）实验目的与要求 1．掌握高级语言中定义和使用函数的方法； 2．掌握通过“值传送”调用函数的方法； 3. 掌握函数的嵌套调用和递归函数的设计方法； 4．进一步练习阅读检查与调试修改高级语言程序的方法。 （二）实验内容 1．调试运行如下二程序，分析调用函数前后程序1中a，b这二个变量的值是否发生改变？为什么？程序2中数组a的二个元素的值是否发生改变？为什么？ 程序1(变量作函数实参) int main( ) { int a=3,b=6; printf("a=%d,b=%d￥n",a,b); exchange1(a,b); printf("a=%d,b=%d￥n",a,b); return 0; } void exchange1(int x,int y) { int t; t=x;x=y;y=t; printf("x=%d,y=%d￥n",x,y); } 程序2（数组名作函数实参) int main( ) { void exchange2(int x[2]); static int a[2]={3,6};
printf("a[0]=%d,a[1]=%d￥n",a[0],a[1]); exchange2(a); printf("a[0]=%d,a[1]=%d￥n",a[0],a[1]); return 0; } void exchange2(int x[2]) { int t; t=x[0];x[0]=x[1];x[1]=t; printf("x[0]=%d,x[1]=%d￥n",x[0],x[1]); } 2. 写一个判别素数的函数，在主函数输入一个整数，输出是否素数的信息。 本程序应当准备以下测试数据：17、2、1。分别输入数据，运行程序并检查结果是否正确。 3. 编写转换函数，将十进制整数n(-2^31<=n<=2^31-1)转换成k(2<=k<=16)进制数。字母请使用大写。（HLOJ 8001） （三）实验具体步骤 1．调试运行如下二程序，分析调用函数前后程序1中a，b这二个变量的值是否发生改变？为什么？程序2中数组a的二个元素的值是否发生改变？为什么？ 程序1(变量作函数实参) int main( ) { int a=3,b=6; printf("a=%d,b=%d￥n",a,b); exchange1(a,b); printf("a=%d,b=%d￥n",a,b); return 0; } void exchange1(int x,int y) { int t; t=x;x=y;y=t; printf("x=%d,y=%d￥n",x,y); }