2009级数学类高等代数期末考试试题A 卷
班级 学号 姓名 成绩
一、（25分）设()n n M F ?表示域F 上的所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间。取定()n n A M F ?∈，对于任意的()n n X M F ?∈，定义()X AX XA σ=-。
（1）证明：σ为()n n M F ?上的一个线性变换。
（2）证明：对于任意的,()n n X Y M F ?∈都有()()()XY X Y X Y σσσ=+。
（3）当a b A c d ??=????
时，求σ在给定基 1112212201101111,,,11110110F F F F ????????====????????????????
下的矩阵表示。 （4）当1402A -??=????
时，求()Ker σ的一组基与维数。 二、（15分）设数域K 上3维线性空间V 的线性变换A 在V 的一个基123,,ααα下的
矩阵为010440212A ????=-????-??。求线性变换A 的Jordan 标准形。 三、（20分）设A 是域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，证明：（1）如果W 是A 的一维不变子空间，那么W 中任何一个非零向量都是A 的特征向量；反之，如果ξ是A 的一个特征向量，那么ξ生成的子空间ξ<>是A 的一维不变子空间。
（2）A 可以对角化的充分必要条件是V 可以分解成A 的一维不变子空间的直和。
四、（20分）设22()V M F ?=，在V 中取一个基11122122,,,E E E E 。
（1）求它的对偶基11122122,,,f f f f ，要求写出ij f 的表达式。
（2）求V 上任意一个线性函数f 的表达式。
五、（20分）证明：n 维酉空间V 上的线性变换A 是Hermite 变换A 当且仅当在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是Hermite 矩阵。
班级 学号 姓名 成绩
一、（15分）设()n n M F ?为数域F 上所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间。取定()n n A M F ?∈，对于任意的()n n X M F ?∈，定义()X AX XA σ=-。
（1）证明：σ为()n n M F ?上的一个线性变换。
（2）证明：对于任意的,()n n X Y M F ?∈都有()()()XY X Y X Y σσσ=+。
（3）当a b A c d ??=????
时，求σ在给定基 123410111111,,,00001011αααα????????====????????????????
下的矩阵表示。 二、（15分）设数域F 上4维线性空间V 的线性变换A 在V 的一个基1234,,,αααα下
的矩阵为3402452400320021A -????--??=??-??-??。求线性变换A 的Jordan 标准形。 三、（20分）设A 是数域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，证明：A 可以对角化当且仅当V 可以分解成A 的一维不变子空间的直和。
四、（20分）设33()V M ?=，在V 中取一个基(,1,2,3)ij E i j =。
（1）求它的对偶基(,1,2,3)ij f i j =，要求写出ij f 的表达式。
（2）求V 上任意一个线性函数f 的表达式。
五、（15分）证明：n 维欧几里得空间V 上的线性变换A 是斜对称变换当且仅当A 在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是斜对称矩阵。
六、（15分）设A 是数域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，试写出你所知道的A 可以对角化的充要条件。
班级 学号 姓名 成绩
一、（15分）设()n n M F ?为数域F 上所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间。取定()n n A M F ?∈，对于任意的()n n X M F ?∈，定义()X AX XA σ=-。
（1）证明：σ为()n n M F ?上的一个线性变换。
（2）证明：对于任意的,()n n X Y M F ?∈都有()()()XY X Y X Y σσσ=+。
（3）当a b A c d ??=????
时，求σ在给定基 123401101111,,,11110110αααα????????====????????????????
下的矩阵表示。 二、（15分）设数域F 上4维线性空间V 的线性变换A 在V 的一个基1234,,,αααα下
的矩阵为310
0110030534131A -??????=??-??--??，求线性变换A 的Jordan 标准形。 三、（20分）设A 是数域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，证明：A 可以对角化当且仅当A 的最小多项式()m λ在[]F λ中能分解成不同的一次因式乘积。
四、（20分）设22()V M ?=，在V 中取一个基(,1,2)ij E i j =。
（1）求它的对偶基(,1,2)ij f i j =，要求写出ij f 的表达式。
（2）求V 上任意一个线性函数f 的表达式。
五、（15分）证明：n 维欧几里得空间V 上的线性变换A 是对称变换当且仅当A 在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵。
六、（15分）设A 是数域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，试写出你所知道的A 可以对角化的充要条件。
班级 学号 姓名 成绩
一、（25分）设()n n M F ?为数域F 上所有n 阶矩阵构成的F 上线性空间。取定可逆矩阵()n n A M F ?∈，对于任意的()n n X M F ?∈，定义1()X AXA σ-=。
（1）证明：σ为()n n M F ?上的一个线性变换,而且是一个同构映射。
（2）证明：对于任意的,()n n X Y M F ?∈都有()()()XY X Y σσσ=。
（3）当2n =，取定2001A ??=????
时，求σ在给定基 123401101111,,,11110110αααα????????====????????????????
下的矩阵表示。 二、（20分）设22()V M ?=，在V 中取一个基(,1,2)ij E i j =。
（1）求它的对偶基(,1,2)ij f i j =，要求写出ij f 的表达式。
（2）求V 上任意一个线性函数f 的表达式。
三、（20分）设f 是实数域上的3维线性空间V 的一个双线性函数，且f 在V 的
基123,,ααα下的度量矩阵为111125t A t s -????=????-??
（1）问,s t 取何值时，f 是内积？（2）当f 是内积时，求V 的一个标准正交基。
四、（15分）设U 是欧几里得空间V 的一个子空间，P 表示U 在V 上的正交投影，试证明：P 是对称变换。
五、（20分）已知矩阵55()A M ?∈的最小多项式为2()(3)(2)A m x x λ=--。
（1）求矩阵A 的全部互不相同的特征值。（2）矩阵A 的Jordan 标准形是否唯一确定？如果唯一，请说明原因。如果不唯一，请写出其所有可能的Jordan 标准形。
班级 学号 姓名 成绩
一、（25分）设()n n M F ?为数域F 上所有n 阶矩阵构成的F 上线性空间。取定可逆矩阵()n n A M F ?∈，对于任意的()n n X M F ?∈，定义1()X AXA σ-=。
（1）证明：σ为()n n M F ?上的一个线性变换,而且是一个同构映射。
（2）证明：对于任意的,()n n X Y M F ?∈都有()()()XY X Y σσσ=。
（3）特别地，当2n =，1001A ??=??-??
时，求σ在给定基 123410010000,,,00001001αααα????????====????????????????
下的矩阵表示。 二、（20分）设f
是实数域
上的3维线性空间V 的一个双线性函数，且f 在V 的基123,,ααα下的度量矩阵为114102t A t s ????=??????
（1）问,s t 取何值时，f 是内积？（2）当f 是内积时，求V 的一个标准正交基。
三、（15分）设A 是数域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，证明：A 可以对角化当且仅当V 可以分解成A 的一维不变子空间的直和。
四、（20分）对于任意的矩阵()n n A M ?∈,如果满足H A A =，我们称A 是一个Hermite 矩阵。（1）证明：矩阵()n n A M ?∈是一个Hermite 矩阵当且仅当其关于主对角线对称位置的元素有如下特点，ij ji a a =。（2）证明：酉空间V 上的线性变换A 是Hermite 变换当且仅当A 在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是Hermite 矩阵。
五、（20分）已知矩阵33()A M ?∈的最小多项式为()(6)(7)A m x x λ=--。
（1）求矩阵A 的全部互不相同的特征值。（2）矩阵A 的Jordan 标准形是否唯一确定？如果唯一，请说明原因。如果不唯一，请写出其所有可能的Jordan 标准形。
班级 学号 姓名 成绩
一、（12分）已知多项式1615()1f x x x x =++
++，证明：()f x
在有理数域上
不可约。
二、（18分）在线性空间22()M ?上定义映射 2222111-1()()
0101M M X X σ???→???????????
：，
（1）证明：σ是22()M ?到其自身的一个同构映射。
（2）证明：对任意的22(),Y M X ?∈，都有()()()XY X Y σσσ=。
（3）求σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵表示。
三、（15分）设V 是数域K 上的线性空间，η是V 上的一个幂等线性变换
（即2=ηη）。证明：Im Ker V ηη⊕=。
四、（16分）（1）已知矩阵3400-4-5000-23224-2-1A ??????=??????
，求A 的Jordan 标准形A J 。 （2）问以A J 为Jordan 标准形的矩阵只有矩阵A 吗？如果不是，你能再构造一个以A J 为Jordan 标准形的矩阵吗？
五、（15分）对于任意的矩阵()n n A M ?∈,如果满足-H A A =，我们称A 是一个反Hermite 矩阵。证明：酉空间V 上的线性变换ξ是反Hermite 变换当且仅当ξ在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是反Hermite 矩阵。
六、（24分）（1）证明：相似矩阵具有相同的最小多项式。
（2）试举反例说明，具有相同最小多项式的矩阵不一定相似。
（3）证明：具有相同的特征多项式和最小多项式的矩阵一定相似。
（3）为错题，试举反例！
班级 学号 姓名 成绩
一、（12分）已知多项式192()191f x x x =++，证明：()f x
在有理数域
上不可约。
二、（18分）在线性空间22()M ?上定义映射 22221010-1(11)(1)
M M X X X σ??????????????→：，
（1）证明：σ是22()M ?上的一个线性变换。
（2）证明：对任意的22(),Y M X ?∈，都有()()+()XY X Y X Y σσσ=。
（3）求σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵表示。
三、（15分）在线性空间()n n M ?中，我们用0()n n M ?表示迹为零的矩阵组成的集合。证明：0()=()n n n n M I M ??⊕。
四、（16分）（1）已知矩阵313
4-110-1005300-3-1A ??????=??????求A 的Jordan 标准形A J 。 （2）问以A J 为Jordan 标准形的矩阵只有矩阵A 吗？如果不是，你能再构造一个以A J 为Jordan 标准形的矩阵吗？ 五、（20分）对于任意的矩阵()n n A M ?∈,如果满足H A A =，我们称A 是一个Hermite 矩阵。证明：酉空间V 上的线性变换ξ是Hermite 变换当且仅当ξ在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是Hermite 矩阵。
六、（24分）（1）证明：相似矩阵具有相同的最小多项式。
（2）试举反例说明，具有相同最小多项式的矩阵不一定相似。
（3）证明：具有相同的特征多项式和最小多项式的矩阵一定相似。
（3）为错题，试举反例！
2013级数学类高等代数II 期末考试试题 A 卷
班级 学号 姓名 成绩
2013级考试时使用的试卷
一、填空题（每空3分，共计39分）
（1）设K 是数域，0()[]f x K x ≠∈，()p x 为[]K x 中不可约多项式，如果存在复数c 使得()()0f c p c ==，那么()p x 与()f x 的关系为 。
思考：如果没有本题红色部分，结果如何？
（2）已知多项式43232()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+--，那么((),())f x g x 为 。
（3）在实数域上的线性空间中函数1,cos ,cos 2,cos3x x x 生成的子空间维数
为 。
（4）设V 与W 分别是四元齐次线性方程组12342340x x x x +++=与1234234x x x x ===的解空间，则V W +的维数是 。
（5）已知数域K 上的线性空间33()M K ?，令{}33()T V A M K A A ?=∈=，则V 的维数是 ，V 的一组基为 。
（6）在实数域上的线性空间2中如下定义一个线性变换22:,σ→
([,])[,]a b a b a b σ=-+，则σ在基[0,1],[1,1]T T αβ==的矩阵是 。
（7）设三维线性空间V 上的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵为33[]ij A a ?=，则σ
在基231,,ααα下的矩阵为 。
（8）已知实数域上线性空间3中三个向量
123[0,1,1],[1,0,1],[1,1,0]e e e ===，
123,,f f f 与123,,e e e 互为对偶基，则对于3123[,,]X x x x =∈有3()f X = 。
（9）已知四阶方矩阵A 的特征多项式为22()(3)(6)f λλλ=+-，其最小多项式为2()(3)(6)m λλλ=+-，则A 的Jordan 标准型为 ，特征值6的特征子空间维数为 ，(3)rank A I += 。
（10）设V 是数域K 上的二维线性空间，σ是V 上的一个线性变换，σ在基12
,αα
下的矩阵为2439-??????
，则σ的全部不变子空间是 。 二、（16分）设σ是数域K 上n 维线性空间V 上的线性变换，证明：3V I σ=当且仅当2()()V V rank I rank I n σσσ-+++=，这里V I 表示V 上的恒等变换。
三、（21分）设σ是n 维欧几里得空间V 的一个线性变换且满足条件
((),)(,()),,V σαβασβαβ=-?∈
（1）若λ是σ的一个特征值，证明：0λ=。
（2）证明：V 中存在一组标准正交基，使得2σ在此基下的矩阵为对角矩阵。
（3）设σ在V 的某组标准正交基下的矩阵为A ，证明：将A 看作复数域上的矩
阵，其特征值必为零或者纯虚数。
四、（18分）已知复数域上的线性空间22()M ?，令 {}22()()0,H V A M Tr A A A ?=∈==且
（1）证明：V 对于矩阵的加法，以及实数与矩阵的数量乘法成为实数域上的线
性空间，并且说明V 中元素均具有如下形式 12321232
31,,,,1a a ia a a a i a ia a +??∈=-??--??其中 （2）对于V 中的任意两个矩阵12312323
1231,a a ia b b ib A B a ia a b ib b ++????==????----????,如下定义双线性函数112233:(,)f V V A B a b a b a b ?→++。证明:如上定义的双线性函数是V 上的一个内积,从而V 成为欧几里得空间;并且求出V 的一个标准正交基.
（3）设U 是一个酉矩阵，对任意的A V ∈，规定1()U g A UAU -=，证明：U g 是V 上的正交变换。
五、（6分）设K 是数域，()n n A M K ?∈且()1rank A =时，求A I -的最小多项式。
课程编号：MTH17168 北京理工大学2013-2014学年第二学期
2013级数学类高等代数II 期末考试试题 B 卷
班级 学号 姓名 成绩
一、填空题（每空3分，共计39分）
（1）设(),()f x g x 是有理数域
上的多项式，且(),()f x g x 在复数域内无公共根，则(),()f x g x 在有理数域上的最大公因式为 。
（2）已知多项式323()265,()32f x x x x g x x x =+++=--，那么((),())f x g x 为 。
（3）在实数域上的线性空间4[]x 中，多项式223x x ++
在基332,,1,x x x x ++ 1x +下的坐标是 。
（4）设V 与W 分别是三元齐次线性方程组123350x x x -+=与12323x x x ==的解空间，则V W +的维数是 。
（5）已知数域K 上的线性空间33()M K ?，令{}33()()0V A M K Tr A ?=∈=，则V 的维数是
，V 的一组基为 。
（6）在实数域上的线性空间2中如下定义一个线性变换22:,σ→ ([,])[2,2]a b a b b a σ=++，则σ在基[1,0],[1,1]T T αβ==的矩阵是 。
（7）设三维线性空间V 上的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵为33[]ij A a ?=，则σ在基312,,ααα下的矩阵为 。
（8）已知实数域上线性空间3中三个向量[1,0,2],[1,2,1],[0,2,1]e e e ===，
123,,f f f 与123,,e e e 互为对偶基，则对于3123[,,]X x x x =∈有2()f X = 。
（9）已知四阶方矩阵A 的特征多项式为22()(5)(2)f λλλ=-+，其最小多项式为2()(5)(2)m λλλ=-+，则A 的Jordan 标准型为 ，特征值5的特征子空间维数为 ，(2)rank A I += 。
（10）设V 是数域K 上的二维线性空间，σ为V 上的一个线性变换，σ在基12
,αα下的矩阵为2439-??????
，则σ的全部不变子空间是 。 二、（16分）设σ是数域K 上n 维线性空间V 上的线性变换，证明：24V I σ=当且仅当(2)(2)V V rank I rank I n σσ-++=，这里V I 表示V 上的恒等变换。
三、（21分）设σ是n 维欧几里得空间V 的一个线性变换且满足条件
((),)(,()),,V σαβασβαβ=-?∈
（1）若λ是σ的一个特征值，证明：0λ=。（2）证明：V 中存在一组标准正交基，使得2σ在此基下的矩阵为对角矩阵。（3）设σ在V 的某组标准正交基下的矩阵为A ，证明：将A 看作复数域上的矩阵，其特征值必为零或者纯虚数。
四、（18分）已知实数域上的线性空间22()M ?，22()M ?中所有形如a b b c ??????的矩阵构成集合记为W ，定义映射
:1(,)[det()det()det()]2
W W A B A B A B σ?→
→+-
- （1）证明：σ是一个对称双线性函数；（2）求σ在基100001,,000110??????????????????
下的度量矩阵M ；（3）对于上述矩阵M ，求()T T X MX f X X X
=的最大值与最小值。 五、（6分）设K 是数域，()n n A M K ?∈且A 可逆，*A 表示A 的伴随矩阵，()r m λλ=+ 1r a a a λλ-++++（,1,2,,1a K i r ∈=-）为A 的最小多项式（r n ≤），求*
A
的最小多项式。
课程编号：MTH17168 北京理工大学2015-2016学年第二学期
2015级数学类高等代数II 期末考试试题A 卷
一、（15分）证明：在[]K x 中，22g f 当且仅当g f 。
二、（20分）设A 是矩阵空间22K ?上的一个线性变换，1102B ??=????， 且22,AX XB X K ?=?∈。（1）求A 在22K ?的自然基11122122,,,E E E E 下的矩阵；
（2）证明：线性变换A 可对角化；
（3）求22K ?的一个基，使得A 在该基下的矩阵为对角矩阵。
三、（15分）设A 是有限维线性空间V 上的一个可逆线性变换，W 是A 的不变子空间，证明：W 也是1A -的不变子空间。
四、（20分）设V 是实数域上的一个3维线性空间，123,,ααα是V 的一个基，已
知V 上一个双线性函数f 在基123,,ααα下的度量矩阵为1202510A a b ????=??????
。 （1）,a b 满足什么条件时，f 对称？（2）,a b 满足什么条件时，f 是内积？
（3）当f 是内积时，对参数b 满足条件的最小正整数取值，求V 的一个标准正交基。
五、（15分）（1）证明：若k 级Jordan 块()0k J λ满足()()200k k J J λλ=，则k=1；
（2）证明：若Jordan 形矩阵J 满足2J J =，则J 是对角矩阵。
六、（15分）设V 是数域K 上的一个n 维线性空间，12,,,n ααα是V 的一个基，取m n A K ?∈，用()N A 表示齐次线性方程组AX=0的解空间， 令()(){}
112212,,,n n n W c c c c c c N A ααα=+++∈。 （1）证明：W 是V 的一个子空间；
（2）构造映射()()
:,,,,N A W c c c c c c σααα→+++，证明：σ是同
构映射。