§2 第二型曲线积分 教学目的：掌握第二型曲线积分的定义，性质和计算公式． 教学要求：(1)掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别． (2)了解两类曲线积分的联系． 教学建议：(1) 要求学生必须掌握第二型曲线积分的定义和计算公式． （2）两类曲线积分的联系有一定的难度，可要求较好学生掌握，并布置这方面习题 教学程序： 一. 第二型曲线积分的定义: 1. 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功: 一质点受变力F(x,y)的作用沿平面曲线C 运动,当质点从C 之一端点A 移动到另一端B 时,求力F(x,y)所做功W. 大家知道,如果质点受常力 F 的作用沿直线运动, 位移为s.那末这个常力所做功为 W=||F||||s||cos θ 其中||F||.||s||分别表示向量(矢量)的长度,θ为F 与S 的夹角 现在问题的难度是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?还是用折线逼近曲线和局部一常代变的方法来解决它(微分分析法). 为此,我们对有向曲线C 作分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内 插入n-1个分点,,.....,,121-n M M M 与 A=n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向 小曲线段i i M M 1-(i=1,2,……,n)以Si ? 记为小曲线段i i M M 1-的弧长.}max{Si ?=λ 设力F(x,y)在x 轴和y 轴方向上的投影分别为 P(x,y)与Q(x,y) 即F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=P(x,y)i+Q(x,y)j 由于),,().,(111i i i i i i y x M y x M --- 记11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x 和i i m C 1-=(),(y x ??) 从而力F(x,y)在小曲线段i i M M 1-上所作的功 i W ),(i F ηξ≈i i m C 1-= P(j i ηξ,)i x ?+Q (j i ηξ,)i y ? 其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力F 沿C(AB)所作的功可近似 i W =∑=n i i W 1 i n i i i i n i i i y s Q x S P ?+?≈∑∑==1 1 ),()),((ηη 当0→λ时,右端积分和式的极限就是所求的功,这种类型和式极限计算上述形式的和式上极限,得
第2讲圆锥曲线一、填空题 1. 抛物线x=1 4y2的焦点坐标为. 2. 双曲线 2 10 x - 2 2 y =1的焦距为. 3. (2013·南通二模)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆与双曲线y2-3x2=3共焦点,且经过点(2,2),则该椭圆的离心率为. 4. (2013·南通三模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线x2=2py(p>0)上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3,则焦点到准线的距离为. 5. 椭圆 2 9 x + 2 2 y =1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若PF1=4,则∠F1PF2的大小为. 6. 若椭圆 2 2 x a+ 2 2 y b=1的焦点在x轴上,过点 1 1, 2 ?? ? ??作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰 好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是. 7. (2013·苏、锡、常一模)已知F1,F2是双曲线的两个焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在此双曲线上,则此双曲线的离心率为. 8. (2013·宿迁一模)已知双曲线 2 2 x a- 2 2 y b=1(a>0,b>0),A,C分别是双曲线虚轴的上、下端 点,B,F分别是双曲线的左顶点和左焦点.若双曲线的离心率为2,则BA与CF夹角的余弦值为. 二、解答题
9. 已知椭圆C经过点A 3 1, 2 ?? ? ??,两个焦点分别为(-1,0),(1,0). (1) 求椭圆C的方程; (2) E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值. 10. (2012·南京二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: 2 2 x a+ 2 2 y b=1(a>b>0)的离心率为 3 ,以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切. (1) 求椭圆C的方程; (2) 已知点P(0,1),Q(0,2),设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T,求证:点T在椭圆C上. (第10题) 11. (2013·徐州、宿迁三模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E: 2 2 x a+ 2 2 y b=1(a>b>0)的 离心率e=3 ,A1,A2分别是椭圆E的左、右两个顶点,圆A2的半径为a,过点A1作圆A2的切线,切点为 P,在x轴的上方交椭圆E于点Q.
1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点； 2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题； 3.数学运算（数的运算、代数式运算）也是这里的考查要求之一． 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离). 2.圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)； (2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)； (3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0). 3.圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 ①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为 e ＝c a ＝1－ b 2a 2. ②在双曲线中： c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝c a ＝1＋b 2a 2. (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 ①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). ②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±a b x ，焦点坐标F 1(0，－ c )，F 2(0，c ). (3)抛物线的焦点坐标与准线方程 ①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ????p 2，0，准线方程x ＝－p 2. ②抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ????0，p 2，准线方程y ＝－p 2. 4.弦长问题
第2讲 圆锥曲线 A 组 基础达标 1. (2019·武汉调研)已知双曲线x 24 －y 2 b 2 ＝1(b >0)的渐近线方程为3 x ±y ＝0，那么b ＝________． 2. (2019·厦门质检)若抛物线x 2＝ay 的焦点到准线的距离为1，则a ＝________． 3. 已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为53 ，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为12，那么椭圆的短轴长为________． 4. (2019·南方凤凰台密题)已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2 b 2 ＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线l ：4x －3y ＋10＝0垂直，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝－40x 的准线上，那么双曲线的方程为____________． 5. 若双曲线M 的焦点是F 1，F 2，且双曲线M 上存在一点P ，使得△PF 1F 2是有一个内角为2π3 的等腰三角形，则双曲线M 的离心率是________． 6. (2019·全国卷)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236 ＋y 2 20 ＝1的两个焦点，M 为椭圆C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则点M 的坐标为________． 7. (2019·百校大联考)已知双曲线的两个焦点分别为F 1，F 2，若以F 1F 2为边作正方形F 1F 2MN ，且此双曲线恰好经过边F 1N 和F 2M 的中点，则此双曲线的离心率为________． 8. (2019·郑州三测)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2 －y 2 b 2 ＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足 PF 1·PF 2＝－a 2，则双曲线离心率的取值范围为________． 9. (2019·苏州最后一卷)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2 b 2 ＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12 ，P 是椭圆C 上的一个动点，且△PF 1F 2面积的最大值为3 . (1) 求椭圆C 的方程； (2) 设斜率不为零的直线PF 2与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴 于点T ??? ?0，18 ，求直线PQ 的斜率.
第2讲椭圆、双曲线、抛物线 【高考考情解读】高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大． 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1 (1)设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23 －x 2 ＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的 一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值等于________． (2)已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝________. 答案 (1)3 (2)22 3 解析 (1)焦点坐标为(0，±2)，由此得m －2＝4，故m ＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝26，||PF 1|－|PF 2||＝23，两式平方相减得4|PF 1||PF 2|＝4×3，所以|PF 1|·|PF 2|＝3. (2)方法一 抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)恒过定点 P (－2,0)． 如图，过A 、B 分别作AM ⊥l 于点M ， BN ⊥l 于点N . 由|F A |＝2|FB |，则|AM |＝2|BN |，点B 为AP 的中点． 连接OB ，则|OB |＝1 2|AF |， ∴|OB |＝|BF |，点B 的横坐标为1， 故点B 的坐标为(1,22)． ∴k ＝22－01－(－2) ＝223. 方法二 如图，由图可知，BB ′＝BF ，AA ′＝AF ， 又|AF |＝2|BF |， ∴ |BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|＝1 2 ， 即B 是AC 的中点．
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查. 真 题 感 悟 1.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝± 2 2 x D.y ＝± 32 x 解析 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2 －a 2 ＝2a ，即b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x . 法二 由e ＝c a ＝ 1＋? ?? ??b a 2 ＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2 x . 答案 A 2.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2 ＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN → ＝( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析 过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23 (x ＋2)，由?????y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2 －5x ＋4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN → ＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8. 答案 D 3.(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，
第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称 性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时, 求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P
第2讲 圆锥曲线的方程与性质 一、 单项选择题 1. (2020·重庆调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 2 3＝1有公共焦点，那么双曲线C 的方程为( ) A. x 28－y 2 10＝1 B. x 24－y 2 5＝1 C. x 25－y 2 4＝1 D. x 24－y 2 3＝1 2. (2020·惠州调研)已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 交于点M ，若2FM →＝MN →，则|FN →|等于( ) A. 58 B. 12 C. 38 D. 1 3. (2020·三明一模)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A. x 24－y 2 12＝1 B. x 212－y 2 4＝1 C. x 23－y 2 9＝1 D. x 29－y 2 3＝1 4. (2020·淮北二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与 过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝4 5，则椭圆C 的离心率为( ) A. 35 B. 57 C. 45 D. 67
二、 多项选择题 5. 若F 为拋物线C ：y 2＝3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法中正确的是( ) A. 抛物线的焦点到准线的距离为3 B. A ，B 两点之间的距离为12 C. 原点O 到直线AB 的距离为38 D. △OAB 的面积为9 4 6. 已知圆M ：x 2 ＋y 2 ＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 2 3＝1(a >0) 的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过点F 的直线l 与圆M 相切，则( ) A. m ＝－1 B. m ＝13 C. c ＝－1 D. a ＝2 7. 已知椭圆C ：x 24＋y 2 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，那么以下说法中正确的是( ) A. 若过点F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为8 B. 椭圆C 上存在一点P ，使得PF 1→·PF 2→ ＝0 C. 椭圆C 的离心率为12 D. 若P 为椭圆x 24＋y 2 ＝1上的一点，Q 为圆x 2＋y 2＝1上的一点，则点P ，Q 的最大距离为3 三、 填空题 8. 在平面直角坐标系xOy 中，若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3,1)，则该双曲线的离心率为________． 9. (2020·广州质检)若抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为3 3的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于另一点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是________． 10. 已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，那么当
2013年高考数学能力加强集训： 专题五第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 一、选择题(每小题4分，共24分) 1．(2012·贵阳模拟)抛物线y ＝14x 2 的焦点坐标是 A.? ???? 116，0 B ．(1,0) C.? ?? ?? －116，0 D ．(0,1) 解析 把抛物线方程化为标准形式得x 2＝4y ， ∴焦点坐标为(0,1)． 答案 D 2．(2012·黄岗模拟)椭圆短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，则这个椭圆的离心率是 A.1 2 B.22 C.63 D.33 解析 据题意知b a ＝33，∴e 2 ＝1－b 2a 2＝23，∴e ＝63. 答案 C 3．(2012·荆州模拟)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为 A.3716 B.115 C ．2 D ．3 解析 易知直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，据抛物线的定义知所求的距离之和的最小值为点F 到直线l 1的距离，即 d ＝ |4×1－3×0＋6| 42＋(－3) 2＝2. 答案 C
4．(2012·大纲全国卷)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝ A.1 4 B.3 5 C.3 4 D.45 解析 利用双曲线的定义及余弦定理求解． 由x 2－y 2＝2知，a 2＝2， b 2＝2，c 2＝a 2＋b 2＝4，∴a ＝2，c ＝2. 又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝4， ∴由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝3 4. 答案 C 5．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为 A ．5x 2 －4y 2 5＝1 B.x 25－y 2 4＝1 C.y 25－x 2 4＝1 D ．5x 2 －5y 2 4＝1 解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，∴c ＝1； 又e ＝5，a ＝15，b 2＝c 2－a 2＝45，所以该双曲线方程为5x 2 －5y 24＝1，故选 D. 答案 D 6．(2012·芜湖模拟)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是 A ．5 B ．8 C.5＋2 D.17－1 解析 设圆心为C ，则C (0,4)，半径r ＝1，设抛物线的焦点F (1,0)，据抛物
目录 1 引言 (1) 2 文献综述 (1) 2.1国内外研究现状 (1) 2.2国内外研究现状评价 (1) 2.3提出问题 (2) 3预备知识 (2) 3.1第二型曲线积分的定义 (2) 3.2第二型曲线积分的性质 (3) 4第二型曲线积分的计算 (4) 4.1直接计算 (4) 4.2利用格林公式计算 (12) 4.3利用曲线与路径无关计算 (14) 4.4利用奇偶对称性计算 (16) 4.5利用数学软件Mathmatic进行计算 (16) 5结论 (19) 5.1主要观点 (19) 5.2启示 (19) 5.3局限性 (19) 5.4努力方向 (19) 参考文献 (20)
1 引言 第二型曲线积分与第一型曲线积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线积分可以看成是定积分的计算，其意义较容易理解，计算也相对简单.而第二型曲线积分又称为对坐标的积分，具有第一型曲线积分不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，变力分别在x轴，y轴沿曲线做功，这在物理学上有着重要的应用. 对于不同类型的被积函数，对应的计算方法也不同.为了使计算更为简单，本文阐述了第二类曲线积分的计算方法，不仅可以通过参数方程转化为定积分来计算，而且对于平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算，第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化计算或利用了数学软件Mathmatic进行计算. 2 文献综述 2.1 国内外研究现状 查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了第二型曲线积分的计算.刘玉琏在文献[1]中论述了第二形曲线积分的概念及其性质；富景龙在文献[2]中概括了第二型曲线积分被积函数的类型；薛嘉庆在文献[3]中讲了被积函数的类型不同有不同的计算方法，并给出了相应的例子；刘国均等在文献[4-5]中探究了第二型曲线积分可以化为定积分来计算，并给出公式及相应的证明；刘莲芬等在文献[6-7]介绍了在第二型曲线积分的计算中将路径的参数方程表示出来；王景克在文献[8-9]简述了做题常用的技巧；陈先开在文献[11-12]研究了曲线积分与路径无关问题与如何判断曲线积分与路径无关；陈文灯，黄先开在文献[13]中介绍了格林公式，并提供了一定的实例，并通过实例总结了计算第二型曲线积分的一般步骤；武艳等在文献[14]给出利用对称性计算第二型曲线积分，使得计算简单；阳明盛及林建华在文献[15]中提出了用数学软件Mathemactica解题的调用格式，使得复杂的计算简单化. 2.2国内外现状评价 从上面相关的研究中可以看出，许多对第二型曲线积分计算的研究者从不同的方面进行了相应的研究，但都只是从某一个方面进行讨论，大部分文献都没有结合数学软件Mathmatic进行空间画图及计算.
专题六 第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题 A 组 1．已知方程x 2 2－k ＋y 2 2k －1 ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ( C ) A ．(1 2，2) B ．(1，＋∞) C ．(1,2) D ．(1 2 ，1) [解析] 由题意可得，2k －1>2－k >0， 即? ?? ?? 2k －1>2－k ，2－k >0，解得1
( D ) A ． 73 B ．54 C ．43 D ．53 [解析] 由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a ，b 的关系式，然后求 出双曲线的离心率即可．因为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)， ∴3b ＝4a ，∴9(c 2－a 2)＝16a 2 ，∴e ＝c a ＝53 ，故选D ． (理)(2016·天津卷，6)已知双曲线x 24－y 2 b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长 为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为 ( D ) A ．x 24－3y 24＝1 B ．x 24－ C ．x 24－y 2 4 ＝1 2 －12 ＝[解析] 为矩形．双曲线的渐近线方程为 y ＝±b x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4y ＝b 2 x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝ 4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2 ＝12， D ． C 于A ，B 两点，交C 的准线于 D ， E 两点．已 ( B ) B ．4 D ．8 [解析] 由题意，不妨设抛物线方程为y 2 ＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A (4p ，22)，D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 2 4 ＋5， 得p ＝4.故选B ． (理)(2016·浙江卷，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2 ＝1(n >0)的焦 点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则 ( A ) A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1
2 2 - - = > > - = > > - = > > = 2 专题九 解析几何 第二十七讲 双曲线 2019 年 2 1.（2019 全国 III 理 10）双曲线 C ： x y =1 的右焦点为 F ，点 P 在 C 的一条渐进线 4 2 上，O 为坐标原点，若 PO = PF ，则△PFO 的面积为 A ． 3 2 4 B ． 3 2 2 C ． 2 2 y 2 D ． 3 2.（2019 江苏 7）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x - = 1(b > 0) 经过点（3，4)， b 2 则该双曲线的渐近线方程是 . x 2 3.（2019 全国 I 理 16）已知双曲线 C ： a 2 y 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2， b 2 过 F 1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A ，B 两点．若 F 1 A = AB ， F 1B ? F 2 B = 0 ，则 C 的离心率为 ． 4.（2019 年全国 II 理 11）设 F 为双曲线 C ： x a 2 y 2 1(a 0, b 0) 的右焦点， O 为坐标 b 2 原点，以OF 为直径的圆与圆 x 2 + y 2 = a 2 交于 P ，Q 两点.若 PQ = OF ，则 C 的离心率 为 A ． B ． C ．2 D ． 5．（2019 浙江 2）渐近线方程为 x ±y =0 的双曲线的离心率是 A ． 2 2 B ．1 C ． 2 D ．2 6. （ 2019 天津理 5 ） 已知抛物线 y 2 = 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线 x 2 y 2 1 (a 0, b 0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且| AB | 4 | OF | （ O 为 a 2 b 2 原点），则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 2 2 3 5 3 5 2
第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词： 曲面积分；曲线积分 1 引 言 第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的 重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 2 第二型曲线积分 例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线y=22ax x -到点o （0，0） 的弧. 方法一：利用格林公式法 L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ?? ??+=- ????????，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的. 解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L , ()()()()()()11sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy =-++---++-?? 记为12I I I =- ， 则由格林公式得：()1cos cos x x D D Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ??????????? ()()22 D b a dxdy a b a π =-= -?? 其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0
数学分析第二型曲线积分
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§2 第二型曲线积分 教学目的与要求： 掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别． 教学重点，难点： 重点：第二型曲线积分的定义和计算公式 难点：第二型曲线积分的计算公式 教学内容： 第二型曲线积分 一 第二型曲线积分的意义 在物理学中还碰到另一种类型的曲线积分问题。例如一质点受力),(y x F 的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力),(y x F 所作的功(图220-)。 为此在曲线B A ) 内插入1-n 个分点121,,,-n M M M Λ，与n M B M A ==,0一起把有向曲线B A ) 分成n 个有向小曲线段),,2,1(1n i M M i i Λ=-，若记小曲线段i i M M 1-的弧长为 i s ?，则分割T 的细度为 i n i s T ?=≤≤1max 。 设力),(y x F 在x 轴和y 轴方向的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ，那么 )),(),,((),(y x Q y x P y x F =。 又设小曲线段i i M M 1-在x 轴与y 轴上的投影分别为1--=?i i i x x x 与1--=?i i i y y y ，其中),(i i y x 与),(11--i i y x 分别为分点i M 与1-i M 的坐标，记 ),(1i i M M y x L i i ??=-， 于是力),(y x F 在小曲线段i i M M 1-上所作的功 i i i i i i M M i i i y Q x p L F W i i ?+?=?≈-),(),(),(1ηξηξηξ, 其中),(i i ηξ为小曲线段i i M M 1-上任一点。因而力),(y x F 沿曲线B A ) 所作的功近似的等于 ∑∑∑===?+?≈=n i i i i n i i i i n i i y Q x p W W 1 1 1 ),(),(ηξηξ 当细度0→T 时，上式右边和式的极限就应该是所求的功。这种类型的和式的极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分。
第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧 【知识要点】 一．双曲线三大定义 定义 1．到两定点距离之差的绝对值（小于两定点距离）为定值的点的轨迹是双曲线． 几何性质：双曲线上任一点到两焦点的距离之差的绝对值为定值． 定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（大于1）的点的轨迹是双曲线． 几何性质：双曲线上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率e ． 定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（大于0）的点的轨迹是双曲线． 几何性质：双曲线上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22 a b ． 二．双曲线经典结论汇总 1．AB 是双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点， 则22a b k k AB OM =?，即 0 20 2y a x b k AB =． 等价形式：21,A A 是双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 上关于原点对称的任意两点，B 是双曲 线上其它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则22 21a b k k B A B A =?． 2．双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为双曲线上异于实轴端点 的任意一点θ=∠21PF F 则（1）2 122||||1cos b PF PF θ =-；（2）双曲线的焦点角形的面积为 2 tan 221θb S PF F = ?． 3．过双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交双 曲线于C B ,两点，则直线BC 有定向且0 20 2y a x b k BC -= （常数）． 4．P 为双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为双曲线内一定点， 则||||2||12PF PA a AF +≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线且P 和2,F A 在y 轴同侧时，等号成立． 5．已知双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x ，O 为坐标原点，Q P ,为双曲线上两动点，且
高考数学大二轮复习专题五解析几何第二讲圆锥曲线的方程与性 质限时规范训练文 1．(2019·咸阳二模)中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B ．2 C.23 3 D. 2 解析：中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直， ∴a ＝b ， ∴c ＝a 2 ＋b 2 ＝2a ， ∴e ＝c a ＝2， 故选D. 答案：D 2．(2019·广元模拟)已知直线l 过点? ?? ??32，2且与x 轴垂直，则以直线l 为准线、顶点在原点的抛物线的方程是( ) A ．y 2 ＝6x B.y 2 ＝－6x C ．x 2＝6y D.x 2 ＝－6y 解析：依题意，设抛物线的方程为：y 2 ＝－2px (p >0)， ∵准线方程为x ＝3 2 ， ∴p 2＝32 ， ∴p ＝3， ∴抛物线的方程是y 2 ＝－6x . 故选B. 答案：B 3．(2019·成都模拟)已知双曲线C ：x 2 －y 2 b 2＝1(b >0)的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为 ( ) A ．y ＝±15x B.y ＝±2x C ．y ＝±3x D.y ＝±3x
解析：双曲线C ：x 2 －y 2 b 2＝1(b >0)的焦距为4，则2c ＝4，即c ＝2， ∵1＋b 2＝c 2 ＝4， ∴b ＝3， ∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ， 故选D. 答案：D 4．(2019·邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( ) A.2512 m B.256 m C.95 m D. 185 m 解析：设抛物线的解析式为：x 2 ＝－2py ，p >0， ∵抛物线过(6，－5)，则36＝10p ，可得p ＝18 5， 抛物线的焦点到准线的距离为18 5. 故选D. 答案：D 5．(2019·浉河区校级月考)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ， 若△AF 1F 2的面积为3，且∠F 1AF 2＝4∠AF 1F 2，则椭圆方程为( ) A.x 23＋y 2 ＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 2 4 ＋y 2 ＝1 D.x 24＋y 2 3 ＝1 解析：椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ， 若△AF 1F 2的面积为3，可得bc ＝3，且∠F 1AF 2＝4∠AF 1F 2，∴∠AF 1F 2＝30°，
第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质 ［做高考真题·明命题趋向］ ［做真题—高考怎么考］ 题型一 圆锥曲线的定义与方程 1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点，若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A ．x 22＋y 2 ＝1 B ．x 23＋y 2 2＝1 C ．x 24＋y 2 3 ＝1 D ．x 25＋y 2 4 ＝1 解析：选B ．由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2| ＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a 2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1 a .在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ ＝a 23a 2＝13，所以13＝1－2????1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2 ＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B ． 2．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆 x 23p ＋y 2 p ＝1的一个焦点，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 解析：选D ．由题意，知抛物线的焦点坐标为???? p 2，0，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p 2 ＝2p ，解得p ＝8，故选D ． 3．(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近 线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 2 3 ＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A ．x 28－y 2 10＝1 B ．x 24－y 2 5＝1 C ．x 25－y 2 4 ＝1 D ．x 24－y 2 3 ＝1 解析：选B ．法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k >0)，即x 24k － y 2 5k
第2讲 双曲线及其性质 考纲展示 命题探究 考点一 双曲线的标准方程 1 双曲线的定义 (1)定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两定点间的距离)的动点的轨迹．两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． (2)符号语言：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)． 2 双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，通过建立适当的坐标系得出的，其形式为： (1)当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)． (2)当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为 y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0)． 3 双曲线方程的几种常见设法 (1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2 b 2 ＝λ(λ≠0)． (2)若双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ，则双曲线方程可设为x 2 m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)或n 2x 2－m 2y 2 ＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－k －y 2 b 2 ＋k
＝1(－b 2