2008-2011年高考及北京市模拟试卷创新题小题汇编详解
1.（10-11年上学期北师大实验高三摸底考试理14）
设()f n 是对一切正整数n 有定义的函数，且(1)1f =，()(1)k
f n =-（1n >，k 是n 的素约数的个数）．令()()
d n
F n f d =∑（其中d n 表示d 是n 的约数，上式表示对n 的一切约数d 的函数()f d 求和），则(9)F = ；(2011)F = ．
【解析】 1-；0．
解法一：
依据定义：11(9)(1)(3)(9)1(1)(1)1F f f f =++=+-+-=-；
∵2011是素数，∴1(2011)(1)(2011)1(1)0F f f =+=+-=． 解法二：
来计算()F n 的表达式．根据算术基本定理，可以设12
12s t t t s n p p p =??? ，其中12,,,s p p p 为n 的全部素因子，1(1)i t i s ≥≤≤．
设d 是n 的约数，根据f 的定义，当1212i i i k k r
r
r
i i i d p p p =??? 时，()(1)k f d =-，且(1)f 正好可以视作0k =的情
形．而|()()d n
F n f d =∑，求和是对n 的全体约数d 求和．由于()f d 的取值只可能是(1)k -，所以只需计算出，
取值(1)k -的约数d 的个数即可．这等价于求n 的只有k 个素因子的约数d 的个数．
0k =时，显然只有1d =，个数为1；1k =时，11i r
i d p =，其中1111,1i i i s r t ≤≤≤≤，d 只能取
122
2211
1
22
2
,,,,,,,,,,,,s t t t s s
s
p p p p p p p p p ，个数是121
s
s i i t t t t =+++=∑ ；
一般地对于k 为任意的情形，当d 的素因子取12,,,k i i i p p p 时，1212i i i k k r
r r i i i d p p p =??? ，
由于i j r 能取1到j i t ，由乘法原理，这种情况下的d 的个数是12k i i i t t t ??? ；由于d 的素因子可以取任意k 个，所以总的只有k 个素因子的约数d 的个数是12121k k k i i i i i i s
t t t σ=???∑
≤≤≤≤≤；
由此可知，|1()()1(1)s
k k d n
k F n f d σ===+-?∑∑；
考虑多项式12()()()()s h x x t x t x t =--- ．由韦达定理可知： 12()()()()s h x x t x t x t =---
1212(1)(1)n n n k n k s k s x x x x σσσσ---=-?+?-+-?++-
在上式中两边赋值1x =即得
121()1(1)(1)(1)(1)(1)s
k
k s k F n h t t t σ==+-?==---∑
∴当1212s t t t s
n p p p =??? 时，12()(1)(1)(1)s F n t t t =--- ； ∵293=，∴(9)121F =-=-；
∵120112011=，∴(2011)110F =-=．
1．
（10-11年上学期海淀高三期末统考理8） 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1B F ∥面1A BE ，则1B F 与平面11CDD C 所成角的正切值构成的集合是（ ） A ．{}2 B ． B
．
C
．{|2t t ≤≤ D
．2t t ??????≤
A 1
B 1
D 1C 1
A B
C D
E S
F E N M
R
Q P
D
C B A C 1
D 1B 1
A 1
【解析】 C ．
过平面Γ外一点P 能作无穷多条直线l 平行于平面Γ，这无穷多条直线构成一个过P 点且与Γ平行的平面； 由此可知：过1B 且平行于平面1A BE 的直线有无穷多条，这些直线构成一个平面．先作出这个平面如右图所示：作11B M A E ∥交1CC 于M ，作11B P A B ∥交AB 的延长线于P ，那么11B PM A BE ∥；于是F 既在面1B PM 上又在侧面11CDD C 上，F 的轨迹为两者的交线；
为作出交线，如图所示：延长1B M 交BC 的延长线于R ，连接PB 交DC 的延长线于Q ，则QM 即为平面1B PM 与平面11CDD C 的交线；延长QM 交11C D 于N ，则MN 为F 的轨迹（F 限定在正方体的侧面上而不是整个侧面平面上）；
设正方体棱长为2，易知M 是1CC 中点，2PB =，2CR =，111QC CM MC C N ====． 任取MN 上一点F ，由于1C 是1B 在平面11CDD C 上的射影，所以1B F 与平面11CDD C 所成的角即为11B FC ∠，
其正切为
111B C C F ；111max 1C F C M C N ===
，11min C F M ==
，∴112tan B FC ∠≤≤C ；
2．
（10-11年上学期海淀高三期末统考理14）
在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为
1212(,)d P Q x x y y =-+-．若点()1,3A -，则(,)d A O = ；已知点()1,0B ，点M 是直线30(0)kx y k k -++=>上的动点，(,)d B M 的最小值为 ．
【解析】 4；32 (1)
2 3 (01)
k k
k k ?
+???+<
率为正的直线．设直线与x 轴交于点P ，与1x =交于点Q ，则PBQ 构成直角三角形．如右图所示． 先考虑1k >的情形：此时若M 介于PQ 间例如点3M ，
我们有：
333333(,)d B M BN N M BN N P BP =+>+=，也就是
M 处在PQ 间
如点1M ：时(,)d B M 在P 点取最小值；若M 在QP 延长线上例
1111(,)d B M BN N M BP =+>，所以此时(,)d B M 在
P 点取最小值；
若M 在PQ 延长线上例如点2M ：
2222(,)d B M BN N M BQ =+>，所以此时(,)d B M 在Q 点取最小值；又由于1k >时BQ BP >，所以综合知3min (,)2d B M BP k
==+
； 类似地可以知道：若1k <，则M 分别在QP 延长线上、PQ 间、PQ 延长线上时，(,)d B M 分别在P 点，Q
点，Q 点取最小值，又此时BP BQ >，故min (,)23d B M BQ k ==+； 若1k =则BP BQ =，(,)d B M 在PQ 间任意一点都取到最小值．
【点评】 这题用数形结合，采用直角距离的几何意义加分类讨论不难解决，如用函数定义来做也是可以的，但是显
然不如几何意义来得直观有效．
3． （10-11年上学期海淀高三期末统考文14）
在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为
1212(,)d P Q x x y y =-+-．若点()1,3A -，则(,)d A O = ；已知()1,0B ，点M 为直线20
x y -+=上动点，则(,)d B M 的最小值为 ．
【解析】 4；3．
解法一（定义法）：
12, 2(,)10123, 2121, 1x x d B M x y x x x x x --<-??
=-+-=-++=-??+>?
≤≤最小值为3．
解法二（数形结合）：
用直角距离的几何意义，参见上题．
4．
（10-11年上学期西城高三期末统考理14）
在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的“折线距离”．则坐标原点O
与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是 ；圆221x y +=
上一点与直线
20x y +-上一点的“折线距离”的最小值是 ．
【解析】
第一问，可直接利用折线距离的几何定义：
则)
M
，
设直线20x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点M 、N
：(N ；当点Q 在MN 的延长线上时，
(,)(,)d O Q d O N ≥；当点Q 在NM 的延长线上时，
(,)(,)d O Q d O M ≥；当点Q 在MN 之间时，(,)
(,d O Q d O M ≥
，
min (,)(,)d O Q d O M ==，当Q 点与M 点重合时取
到等号．
第二问，类似第一问可知，当1P 在单位圆上固定一点时，对于直线MN 上任一点1Q ，当且仅当11PQ x ∥轴时1111(,)d P Q PQ =取最小；
为了求水平距离11PQ 的最小值，如图所示，过1P
作x 轴的平行线交直线MN 于1Q ，过1P 作直线MN 的垂线垂足为1H ；则1111P H
PQ 为定值，为直线MN 的倾角的正弦：
∴1111PQ =
；求水平距离11PQ 的最小值即为求11PH 的最小值； 过O 点作直线MN 的垂线，交单位圆于P ，垂足为H ，则当且仅当1P 与P 重合时，11PH 取到最小值PH ；
此时过P 作x 轴的平行线交直线MN 于Q ，则11PQ 也取到最小值PQ ；
∵2OH =
=，1OP =，∴1PH =
，PQ =
=
∴11min (,)d P Q PQ ==
，当11,P Q 分别与,P Q 重合时取到等号．
5．
（10-11年上学期西城高三期末统考文14）
在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的“折线距离”．在这
个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； ③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线． 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）
【解析】 ①③④．
①设点的坐标为(,)x y ，根据定义有1x y +=，这是4条线段围成的正方形，如上图所示．②自然错误．更一般地，易见到点P 的“折线距离”等于a 的点的集合同样也是以P 为中心半对角线长为a 的斜45?正方形，这是欧氏距离下圆的近似；
③设点的坐标为(,)x y ，根据定义有1124x x y ++-+=，整理得11
22
x x y ++-=-，画出其图像是上
图所示的六边形，面积为6．更一般地不难证明：若,M N 纵坐标相同，2MN c =，则到,M N 两点的“折线距离”和为2()a a c >的点的集合也是类似的对称六边形，以MN 为对称轴，以MN 中点为对称中心，长
为2a ，高为2()a c -，水平边长为2c ，面积222()S a c =-，这是欧氏距离下椭圆的近似；若,M N 横纵坐标均不同时情况将异常复杂．
④设点的坐标为(,)x y ，根据定义有111x x +--=，解得1
2
x =±，这是两条竖直直线，如上图所示．更
一般地不难证明：若,M N 纵坐标相同，2MN c =，则到,M N 两点的“折线距离”差的绝对值为2()a a c <的点的集合也是两条竖直直线，与MN 中点距离为a ，这是欧氏距离下双曲线的近似；若,M N 横纵坐标均不同时情况将异常复杂．
6．
（10-11年上学期东城高三期末统考理8文8）
已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x ∈R ，有()f x m x ≤，则称()f x 为F 函数．给出下列函数：①()0f x =；②2()f x x =；③()sin cos f x x x =+；④2()1
x
f x x x =
++；⑤()f x 是定义在R 上的奇
函数，且满足对一切实数12,x x 均有1212()()2f x f x x x --≤．其中是F 函数的序号为（ ）
A ．①②④
B ．②③④
C ．①④⑤
D ．①②⑤
【解析】 C ．
()f x m x ≤?0x =时(0)0f =，0x ≠时()
f x m x
≤，即过原点的弦斜
率有界．
①()0f x =显然满足上面性质；
②2()f x x =，(0)0f =但0x ≠时
()
f x x x
=无界；
③()sin cos f x x x =+，(0)0f ≠；
④2()1
x
f x x x =
++，(0)0f =且0x ≠时2
()1413f x x x x =++≤； ⑤如右图所示，()f x 是奇函数则(0)0f =；又
1212()()2f x f x x x
--≤恒成立，所以所有的弦斜率绝对值有界2，自然2也是过原点的弦的界，所以()
2f x x
≤（也可以直接取20x =得到）． 7．
（10-11年上学期东城高三期末统考理14）
已知函数2()ln(1)f x a x x =+-，在区间(0,1)内任取两个实数,p q ，且p q ≠，不等式
(1)(1)
1
f p f q p q
+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】
[15,)+∞． (1)(1)(1)(1)
(1)(1)
f p f q f p f q p q p q +-++-+=-+-+，然后1p +，1q +可以作为整体换元；
∴题中条件等价于在区间(1,2)内
对于任意两个实数12x x <，都有2121
()()
1f x f x x x ->-；
解法一：
也就是区间(1,2)内任一割线斜率都大于1；我们证明这与区间(1,2)内任一切线斜率都大于1等价． 如图所示，若区间(1,2)内任一割线斜率都大于1，由于对区间内任一点C ，都存在割线AB 平行于过C 点的切线；而AB 斜率大于1，所以C 点的切线斜率也大于1，由C 的任意性，所以任一切线斜率都大于1；
反之，若区间(1,2)内任一切线斜率都大于1，由于任一条割线AB ，都存在,A B 间一点C ，使得C 点的切线与割线AB 平行；所以AB 的斜率必定大于1；所以任一割线斜率都大于1；
∴1212x x ?<<<，
2121
()()
1f x f x x x ->-12t ??<<，()1f t '> 解法二：
x
1212x x ?<<<，
2121
()()
1f x f x x x ->-
2121()()f x f x x x ?->-2211()()f x x f x x ?->- ()f x x ?-在区间(1,2)内单调递增 ()f x x ?-的导数为正()10f x '?->
12t ??<<，()1f t '>
∴()211
a
f t t t '=
->+在区间(1,2)上恒成立；即(12)(1)a t t >++在区间(1,2)上恒成立； 而(12)(1)t t ++在区间(1,2)上单调递增且在端点2处趋向于15， ∴15a ≥（可以取到等号），所以a 的取值范围是[15,)+∞．
8．
（10-11年上学期朝阳高三期末统考理8）
如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点． 已知下列判断： ①1AC ⊥平面1B EF ； ②1B EF ?在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；
③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线； ④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关．
其中正确判断的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解析】 B ．
①显然错误，用特殊值法很容易举出反例：例如E 和1D 重合，F 和B 重合，这时平面1B EF 就是对角面11BB D D ，此时1111AC BB D D ⊥但1A C 显然与11AC 不重合，111AC BB D D ⊥不成立； ②如图，设E 在1CC 上的射影为M ，则1B EF ?在侧面11BCC B 上的正投影就是1B MB ?，
其面积121
2
B MB S a ?=为定值，a 为正方体棱长；
③∵平面1B EF 与平面ABCD 不重合且共点F ，故必有交线l ，∴平面1111A B C D 内只要是平行于l 的直线都将平行于平面1B EF ；
事实上如图，延长1B F 交1A A 延长线于N ，连接EN 交AD 于R ，则RF 就是平面1B EF
与平面ABCD 的交线，平面1111A B C D 内只要平行于RF 的直线（不经过1B ）必定平行于平面1B EF ； ④分别取F 点与B 点、A 点重合的情形就知道该命题错误；
事实上，由于RF 就是平面1B EF 与平面ABCD 的交线，而1B 在平面ABCD 内的射影为B ，故过B 作BS RF ⊥的延长线于S ，则1B SB ∠就是两个平面的二面角；二面角的大小由BS 长决定．F 位臵不但影响到BF 长，还影响到N 点位臵，进而影响到R 点位臵和BFS ∠大小． 综上知①④错误，②③正确．
9．
（10-11年上学期朝阳高三期末统考理14）
已知数列*{} ()n a n ∈N 满足：*1log (2) ()n n a n n +=+∈N ，定义使123......k a a a a ????
为整数的数* ()k k ∈N 叫做企盼数，则区间[1, 2011]内所有的企盼数的和为 ． 【解析】
2026． 123234(1)log 3log 4log 5log (2)k k a a a a k +????=????+
ln 3ln 4ln 5ln(2)ln(2)
ln 2ln 3ln 4ln(1)ln 2
k k k ++=
????=+ 若k 为企盼数，则123k a a a a ???? 为整数设为t ，则
ln(2)
ln2
k t +=，则有22t k +=，也就是2k +必须为2的整数幂次；
由于12011k ≤≤，∴322013k +≤≤，
这个范围内2的整数幂次只有4,8,16,32,64,128,256,512,1024
∴[1, 2011]内所有的企盼数的和为481632641282565121024292026++++++++-?=．
F
E D C B
A
A 1
B 1
C 1
D 1S
D 1C 1
B 1
A 1
A
B C
D E F M N R
10． （10-11年上学期朝阳高三期末统考文8）
如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，1CC 的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线（ ）
A ．有无数条
B ．有2条
C ．有1条
D ．不存在
【解析】 A ．
∵平面1D EF 与平面11ADD A 不重合且共点1D ，所以必有交线l ，
∴平面11ADD A 内只要是平行于交线l 的直线都与平面1D EF 平行，故必有
无数条满足题设的直线；
为了看得更清楚，如图所示，设DC 中点为M ，11D C 中点为N ，则平面EMN ∥平面11ADD A ．设MN 与1D F 交于点S ，则ES 就是平面EMN 与平面1D EF 的交线；过S 作SR CD ∥交1DD 于R ，连接AR ，则AR ES ∥，于是平面11ADD A 内只要与AR 平行的
直线（不经过1D ）都必定与平面1D EF 平行．
11． （10-11年上学期丰台高三期末统考理14） 定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的 “新驻点”，如果函数()g x x =，
()ln(1)h x x =+，()cos x x ?=（x π??
∈π ?2??
，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ．
【解析】
γαβ>>． ()g x x =，()1g x '=，∴1α=；
()ln(1)h x x =+，1
()1
h x x '=
+，∴1ln(1)1ββ+=+；
()cos x x ?=，()sin x x ?'=-，∴cos sin γγ=-，∵γπ??
∈π ?2??
，，∴3π4γ=
因为1
1
y x =+在[)0,+∞内单调递减且从1趋向于0，ln(1)x +在区间[)0,+∞内单调递增从0趋向于+∞，∴
两者有唯一交点，即β有唯一解；
∵1ln(01)01>++，1ln(11)0.69311<+=+ ，∴01β<< ∴γαβ>>
12．
（10-11年上学期丰台高三期末统考文14）
若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，?属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{}X a b c =，，，对于下面给出的四个集合τ：
①
{{}{}{}}a c a b c τ=?，，，，，； ②
{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=?，，，，，，，； ③
{{}{}{}}a a b a c τ=?，，，，，； ④
{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=?，，，，，，，，． 其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是 ．
【解析】 ②④．
①不是拓扑，因为{}a τ∈，{}c τ∈，但{}{}a c τ? ； ②是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足； ③不是拓扑，因为全集{,,}X a b c τ=?；
④是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足．
13． （10-11年上学期石景山高三期末统考文8）
已知(1,1)1f =，(,)*f m n ∈N （m 、*)n ∈N ，且对任意m 、*n ∈N 都有：
F E D C B A A 1B 1C 1D 1
S D 1C 1B 1A 1A B C D
E F M
N R
①(,1)(,)2f m n f m n +=+；②(1,1)2(,1)f m f m +=． 给出以下三个结论：（1）(1,5)9f =；（2）(5,1)16f =；（3）(5,6)26f =．其中正确的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
【解析】 A ．
n 的取值．
那么根据条件①②，1n =时，第一列的数构成一个公比为2的等比数列；据此不难写出每行每列的值，容易验证3个结论全部成立，所以选A ．
14． （10-11年上学期昌平高三期末统考文8）
在集合{}a b c d ，
，，上定义两种运算⊕和?如下：
那么()d a c ?⊕=（ ）
A ． a
B ．b
C ．c
D ．d
【解析】 A ．
直接读图知道，a c b ⊕=；d b a ?=．
15． （10-11年上学期房山区高三期末统考理14文14，2009崇文一模理7文8）
平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好通过()k k *∈N 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数．下列函数： ①()sin πf x x =；②2
()π(1)3f x x =-+；③2
1()3x f x -??
= ???
； ④0.6()log (1)f x x =+；
⑤1
()1
f x x =-，其中是一阶格点函数的有 ．（填上所有满足题意的函数的序号）
【解析】 ②④．
①()sin πf x x =：∵sin π0,m m =∈Z ，∴(,0)m 在()f x 上，()f x 经过无穷个格点(,0)m ；
②2()π(1)3f x x =-+：(1)3f =，当1,m m ≠∈Z 时易见()f m 为无理数，∴()f x 只经过(1,3)这个格点； ③2
1()3x f x -??
= ?
??
： 当2,m m ∈Z ≤时2
21()33m m f m --??
== ?
??
都为整数，∴()f x 经过无穷个格点2(,3)m m -； ④0.6()log (1)f x x =+：(0)0f =；若(
), ,f m n mn =∈Z ，则315n
m ??
=+ ???
，由于3,5互素，左边当且仅当0
n =时才为整数，∴()f x 只经过原点这个格点；
⑤1
()1
f x x =-：若(), ,f m n m n =∈Z ，则(1)1m n -=，解得(,)(2,1)m n =或01-（，），∴()f x 经过两个格点．
16．
（2010北京卷理8）
如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E ，F 在棱11A B 上，
动点P ，Q 在棱AD ，CD 上，若1EF =，1A E x =，DQ y =，DP z =（x ，y ，z 大于零）
，则四面体PEFQ 的体积（ ） A ．与x ，y ，z 都有关
a b c d a b b a b b b b b b c b a b b d a b c d d c d a d c a a a c a a b b c a b a c d d c b a
P 'D 1C 1
B 1A 1
P
Q
M
F
E
D C B A P 'D 1
C 1
B 1
A 1P
Q M F E D C A
B ．与x 有关，与y ，z 无关
C ．与y 有关，与x ，z 无关
D ．与z 有关，与x ，y 无关
【解析】 D ；
如图所示，三角形EFQ 的面积是定值且在平面11A B CD 上． 所以体积只与P 到平面11A B CD 的距离有关．作PP CD '∥ 交BC 于P '，作1P M B C '⊥于M ．因为平面11A B CD ⊥平
面11BCC B ．11P M A B CD '⊥
．且cos 45P M P C ''=?=． 所以体积与z 有关，与x ，y 无关．选D ．
17．
（2010北京卷文8） 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E ，F 在棱11A B 上，点Q 在棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上，若1EF =，DP x =，1A E y =（x y ,大于零），则三棱锥P EFQ -的体积（ ） A ．与x y ,都有关
B ．与x y ,都无关
C ．与x 有关，与y 无关
D ．与y 有关，与x 无关 【解析】 C ； 如图所示，三角形EFQ 的面积是定值且在平面11A B CD 上．所以体积只与P 到平面11A B CD 的距离有关．作PP CD '∥交BC 于P '，作1
PM BC '⊥于M ．因为平面11A B CD ⊥平面11BCC B ．11P M A B CD '⊥
．且cos 45P M P C ''=?=
． 体积与x 有关，与y 无关．故选C ．
18．
（2010北京理14）
如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚
动，设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，则函数()f x 的最小正周期为_____；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为_______． 说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC 沿x 轴负方向滚动．
【解析】 4；π1+．
A 为圆心顺时
针旋转90?90?弧；第二C 的位臵，P 的轨迹是以B
90?弧；第三次滚动以落到x 轴上的C 点为圆心顺时针旋转90?，然后P 到了x 轴上，B 到了原先P 的位臵，P 的轨迹是以C 为圆心1为半径的90?弧；第四次滚动以落到x 轴上的P 点为圆心顺时针旋转90?，然后A 到了x 轴上，C 到了原先A 的位臵，P 点在这个滚动中静止不动．这时PA 边又回到了x 轴上，下一次滚动又以A 为圆心开始，故这4次滚动构成一个周期．由图像知()f x 的最小正周期就是P 连续两次落到x 轴上之间的距离，即正方形的周长4；所围成的面积
C 1
A
A
C 1
A C
A
P
221π11π11π
11π122222222
S =
??++?++??=+．
19．
（2010北京卷文14）
如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，设顶点(,)P x y 的纵坐标与横坐标的函数关系式是()y f x =，则函数()f x 的最小正周期为_____；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为_______．
说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC 沿x 轴负方向滚动．
【解析】 4；π1+．解析与上题完全类似．
20． （2009北京理8）
点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于A ，B 两点，且
PA AB =，则称点P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是（ ）
A ．直线l 上的所有点都是“A 点”
B ．直线l 上仅有有限个点是“A 点”
C ．直线l 上的所有点都不是“A 点”
D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“A 点”
【解析】 A
本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型．
本题采作数形结合法易于求解，如图， 设()A m n ，，(1)P x x -， 则(221)B m x n x --+，， ∵A ，B 在2y x =上，
∴2
2
21(2)
n m n x m x ?=??-+=-?? 消去n ，整理得关于x 的方程22(41)210x m x m --+-= ①
∵222(41)4(21)8850m m m m ?=---=-+>恒成立， ∴方程①恒有实数解，∴应选A ．
21．
（2009北京理14）已知数列{}n a 满足：431n a -=，410n a -=，2n n a a =，n *∈N ，则2009a =________；2014a =_________．
【解析】 1，0．
本题主要考查周期数列等基础知识．属于创新题型．
依题意，得2009450331a a ?-==，2014210071007425210a a a a ??-====． ． ∴应填1，0．
22． （2009北京卷文8）设D 是正123P P P ?及其内部的点构成的集合，点0P 是
123PP P ?的中心，若集合{}0|123i S P P D PP PP i =∈=，≤，
，，，则集合S 表示的平面区域是（ ）
A ．三角形区域
B ．四边形区域
C ．五边形区域
D ．六边形区域
【解析】 D ．
本题结合平面几何，考察集合的知识．
如图，(123)i l i =，
，是线段0i P P 的中垂线，每条中垂线都将平面分成两部分，满足0i PP PP ≤的点P 的集合为直线i l 包含0P 的那一侧．因此S 表示的平面区域如图阴影所示．
23．
（2009北京卷文14）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -?，且1k A +?，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有
个． 【解析】
6； 设集合{}D a b c =，
，满足要求，其中a b c <<，因为1c D +?，所以要使c 不是“孤立元”，只能1c D -∈，于是只能1b c =-；同样的，因为1a D -?，所以1a D +∈，从而1b a =+．
因此满足要求的集合只能是连续三个数组成的集合，即只有{123}{234}，
，，，，， {345}{456}{567}{678}，，，，，，，，，，，满足条件．
集合与新概念结合的题型，有一定的难度，考察对数学新定义的理解能力．
24． （2008北京卷理8文8）
如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）
【解析】 B
过M N ，
两点分别作1AA 的平行线，交AB BC ，（或AD CD ，）于点M N ''，，连结M N ''，交BD 于点O ，则MM N N ''为平面四边形．又MN ⊥平面11BB D D ，故1M N B B ⊥，从而MN MM '⊥；又MM '⊥平面ABCD ，故MM M N '''⊥，故MM N N ''为矩形，从而y M N ''=．
当112x BD <=
时，BO x =
，2y MN M N BO ''====
；
当112x BD >
=
时，BO =，
(
)22y MN M N DO BD BO ''====-=； 故图象大致为B ．
25．
（2008北京卷理14）
某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点(, )k k k P x y 处，
其中11x =，11y =，当2k ≥时，1112155512 55k k k k k k x x T T k k y y T
T --??--?????=+--? ? ?????
??????--?????=+- ? ???????
；
()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 【解析】
(1, 2)，(3, 402) 211x x =+，32112x x x =+=+，…，54114x x x =+=+，65115x x x =+-=，……，
于是5111k x x +==，522k x +=，533k x +=，544k x +=，*555()k x k +=∈N ； 543211y y y y y =====，6512y y =+=，……， 于是51525354551k k k k k y y y y y k +++++=====+．
故第6棵树的种植点的坐标为(1, 2)；200854013=?+，20083x =，2008402y =，故第2008棵树的种植点坐标为(3, 402)．
26．
（2010海淀一模理8）
已知数列()1212:,,,0,3n n A a a a a a a n <<< ≤≥具有性质P ：对任意(),1i j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：
P N
M A B C D A 1
B 1
C 1D
1
① 数列0,1,3具有性质P ； ② 数列0,2,4,6具有性质P ；
③ 若数列A 具有性质P ，则10a =； ④ 若数列123a a a ，，具有性质P ，则1322a a a +=． 其中真命题有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【解析】 B ．
①∵134+=，132-=-都不在数列中，∴数列0,1,3不具有性质P ； ②容易验证数列0,2,4,6具有性质P ；
③取i j n ==，n n n a a a +>不在数列中，则0j i a a -=在数列中，而数列中最小的数10a ≥，因此10a =；
④由③的分析知，10a =．由于210a a >=，32a a +3a >不在数列中，因此32a a -必然在数列中．又32a a >，故3210a a a ->=，于是322a a a -=，等式1322a a a +=成立．
27．
（2010海淀一模理14）
在平面直角坐标系中，点集{}
22(,)|1A x y x y =+≤，{}(,)|4,0,340B x y x y x y =-≤≥≥，则 ⑴ 点集{}1111(,)|3,1,(,)P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；
⑵ 点集{}12121122(,)|,,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 ．
【解析】 π；18π+；
点集A 就是整个单位圆；点集B 所表示的区域是如图所示的直角三角形OMN ，其中4OM =，3MN =．
⑴ 点集P 是将点集A 中的所有点横坐标加3纵坐标加1得到的，即都进行了一
个向量(3,1)n = 的平移，所以整体上集合A 也按照向量n
进行了平移，得到的点集P 还是一个半径为1的圆，圆心在(3,1)，所以面积依旧是π； ⑵ 点集Q 实际上可以写成：2222(,)(,)x y B
Q x y A ∈=+ ，其中22(,)x y A +看成是A 按
照向量22(,)x y 的平移得到的点集．
而22(,)x y A +得到的是以22(,)x y 为圆心半径为1的圆，所以Q 就是所有圆心在OMN ?里半径为1的圆的并；如图所示：当半径为1的圆在OMN ?边界上滑动时，分别得到矩形ONQP ，矩形NMSR ，矩形MOUT ；在顶点滚动时，得到三个扇形；所以最终Q 就是图示阴影部分．不难求得面积
21
111π118π2
S ON NM MO OM ON =?+?+?+?+?=+
【点评】 解决本题的关键在于发现实质P 是A 的平移，Q 是A 的全体平移的并．如果只从集合,P Q 的描述性表示
入手的话是很抽象的．本题可以推广到一般情形：如果,A B 是两个闭图形，则{}1212|,A B X X X A X B +=+∈∈都是A 的全体平移2X A +的并．
28． （2010海淀一模文14）
若点集{}
22(,)|1A x y x y =+≤，{}(,)|11,11B x y x y =--≤≤≤≤，则 ⑴点集{}1111(,)|1,1,(,)P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；
⑵点集{}12121122(,)|,,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为___________ ．
【解析】 π；12π+；
点集A 就是整个单位圆；点集B 所表示的区域是边长为2的正方形KLMN ，如图所示．
⑴ 点集P 是将点集A 中的所有点横纵坐标均加1得到的，即都进行了一个
向量(1,1)n = 的平移，所以整体上集合A 也按照向量n
进行了平移，得到的点集P 还是一个半径为1的圆，圆心在(1,1)，所以面积依旧是π； ⑵点集Q 实际上可以写成：2222(,)(,)x y B
Q x y A ∈=+ ，
其中22(,)x y A +看成是A 按照向量22(,)x y 的平移得到的点集．
而22(,)x y A +得到的是以22(,)x y 为圆心半径为1的圆，所以Q 就是所有圆心在正方形KLMN 里半径为1的圆的并；如图所示：当半径为1
的圆在
x
KLMN 边界上滑动时，分别得到4个长为2宽为1的矩形；在顶点滚动时，得到4个扇形；所以最终Q
就是图示阴影部分．不难求得面积π
424412π4
S =+?+
?=+．
29．
（2010朝阳一模理14）
一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是 x -，另一个是3x +．设第n 次生成的数的个数为n a ，则数列{}n a 的前n 项和n S = ；若1x =，前n 次生成的所有数．．．
中不同的数的个数为n T ，则n T = ． 【解析】
21n -； 1 (1)
3 (2)
4 6 (3)n n n n =??
=??-?
≥． 11a =，22a =，34a =，每次生成数的个数都比上一次翻倍，所以12n n a -=，21n n S =-；
为了研究所有生成数中不同数的个数，我们用一个双排单链表来考察一下生成数的过程： 1n =时，只有1个数x ；
2n =时，共有3个数：3
x x x
→+↓-
3n =起，生成的所有数形成了一个双排单链表3A ，其中箭头代表生成过程：
3633
x x x x x x →+→+↓-+←---
4n =时的链表4A 如下：
3369
6336
x x x x x x x x x x -→+→+→+↑↓-+←-+←-←----
这个链表k A 具有这样的规律：
①第一排从左往右，第二排从右往左，都是公差为3的等差数列；第一排的x 与第二排的x -对应；
②两排项数相同但是错开1项，除掉第一排的尾项与第二排的首项以外，其余项一一对应且互为相反数； ③在生成数的过程中，第一排的数只能生成其右边和下边的数，第二排的数只能生成其左边和上边的数，箭头表明了生成的过程；
④从n k =到1n k =+时，根据③，链表k A 的中间段不可能再生成新数，只有第一排尾项与第二排首项能生成新数，第一排尾项为两排右边各加一项，变成1k A +两排的新尾项；k A 第二排首项为两排左边各加一项，变成1k A +两排的新首项； ⑤根据④，1k A +的链表每排项数比k A 的链表多2，3A 每排有3项，4A 每排有5项，∴(3)k A k ≥每排有23k -项；
⑥当1x =时，k A 的第一排被3除余1，第二排被3除余2，所以两排的项不会重复，从而k A 列出了前k 次生成的所有不同的数；∴n T 为链表n A 的项数，即46(3)n T n n =-≥；另外23T =，11T =． 下面给出了链表k A ：
3(3)3(2)3(1)
3(2)3(3)3(2)
x k x x k x k x k x k x x k --→→+-→+-↑↓-+-←-+-←-←---
30．
（2010朝阳一模文14）
一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是 x -，另一个是3x +．设第n 次生成的数的个数为n a ，则数列{}n a 的前n 项和n S = ；若1x =，前n 次生成的所有数．．．
中不同的数的个数为n T ，则4T = ． 【解析】
21n -；10． 11a =，22a =，34a =，每次生成数的个数都比上一次翻倍，所以12n n a -=，21n n S =-； 4n =，1x =时，生成的所有数为：
21471052147
-→→→↑↓←←-←--
∴410T =．
31．
（2010东城一模理14）
如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在函数()f x 的定义域内，就有()f a ，()f b ，()f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“Л型函数”．则下列函数：
①()f x ； ②()sin g x x = (0,π)x ∈； ③()ln h x x = [2,)x ∈+∞， 是“Л型函数”的序号为 ．
【解析】 ①③；
若,,0a b c >，a b c +>，
则c ，故①满足；若,,2a b c ≥，a b c +>，则
(1)(1)1a b a b a b --?+≥≥，ln ln ln()ln()ln a b ab a b c +=+>≥，故③满足；②反例：3a b ==，π
2
c =时，
,,a b c 构成三角形，但π
sin sin 1sin 2
a b +<=，故sin ,sin ,sin a b c 不构成三角形．
32． （2010石景山一模理14文14）
在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，
（2,n n *∈N ≥，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：
①若{}n a 是等方差数列，则{}
2
n a 是等差数列；
②{}
(1)n -是等方差数列；
③若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （k *∈N ，k 为常数）也是等方差数列； ④若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）
【解析】 ①②③④．
由定义可知，{}
2n a 是公差为p 的等差数列，①正确；
()()2
2
1110(2,*)n n n n -????---=∈????
N ≥为常数，故(){}
1n -是等方差数列，②正确；
若221(2,*)n n a a p n n --=∈N ≥，则
()()()22222222(1)1121(1)kn k n kn kn kn kn kn k k n a a a a a a a a kp -----+--=-+-++-= 为常数，③对；
设{}n a 公差为d ，则221111()()()n n n n n n n n p a a a a a a d a a ----=-=-+=+，结合11()()n n n n p d a a p d a a +-=+??=+?
，两式相减可
得2110()20n n d a a d d +-=-=?=，故{}n a 是常数列，④对．
33．
（2010西城一模理14）
设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈?，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数． 如果定义域是[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是 ． 如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，
那么实数a 的取值范围是 ． 【解析】
2m ≥；11a -≤≤． 第一问，依定义，22()x m x +≥在[1,)-+∞上恒成立，即220mx m +≥在[1,)-+∞上恒成立；由于0m ≠，分两种情况讨论：
①0m <时，若2
m
x >-，22mx m <-，矛盾；所以这种情形不存在；
②0m >时，在[1,)-+∞上，一次函数22mx m +在1x =-处取到最小值22m m -+，根据题意，只需要最小
值220m m -+≥即可，解得2m ≥； ∴实数m 的取值范围是2m ≥；
第二问，用数形结合的思想来解决．
如图所示，先作出()y f x =的图象，其图象是由三条直线构成的折线，与x 轴有三个交点2(2,0)a -、(0,0)、2(2,0)a ；极大值点22(,)a a -；极小值点
22(,)a a -；
而(4)f x +是()f x 沿x 轴向左平移4个单位得到的图象，当且仅当(4)f x +的右端直线整体处于()f x 的左端直线上方时，才有(4)()f x f x +≥恒成立
（如图所示的实线与虚线）；即当且仅当2
2
242a a --≤时()f x 才是4高调函数，解得a 的取值范围是[]1,1-．
34．
（2010西城一模文14）
设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈?，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数． 现给出下列命题：
①函数1()2x
f x ??
= ???
为R 上的1高调函数；
②函数()sin 2f x x =为R 上的π高调函数；
③如果定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2,)+∞；
其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）
【解析】 ②③；
①中()f x 为减函数，故不可能是1高调函数；②中，(π)()f x f x +=，故②正确；
2()(1)f x x x =-≥的图象如下图所示，要使得(1)(1)1f m f -+-=≥，有2m ≥；1x -≥时，恒有(2)()f x f x +≥，故2m ≥即可，③正确．
35．
（2010西城二模文8）
给出函数()f x 的一条性质：“存在常数M ，使得()f x M x ≤对于定义域中的一切实数x 均成立” ．则
下列函数中具有这条性质的函数是（ ）
A ．1
y x
= B ．2y x = C ．1y x =+ D ．sin y x x =
【解析】 D
条件需存在常数M 使得y M x ≥恒成立，这就意味着y
x
必须在定义域上存在上界；
对于选项A ，21y x x =无上界；对于选项B ，y x x =无上界； 对于选项C ，
11y x x =+无上界，对于选项D ，sin y
x x
=有上界1．
36．
（2010西城二模文14）
我们可以利用数列{}n a 的递推公式2
,,n n n n a a n ??
=???为奇数
为偶数()
n *∈N 求出这个数列各项的值，使得这个数列中的
每一项都是奇数．则2425a a += ；
研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第 项． 【解析】
28，640． 2412633a a a a ====，同时2525a =，因此242528a a +=；
第k 个5出现在第152k -?项，因此第8个5是该数列的第752640?=．
x )
y
37．
（2010海淀二模理14）给定集合{1,2,3,...,}n A n =，映射:n n f A A →满足： ①当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；
②任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈．
则称映射f ：n n A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”． 表1
⑴ 已知表2表示的映射f ： 44A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；
⑵ 若映射f ：1010A A →是“优映射”，且方程()f i i =
的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是 ．
【解析】 ⑴ 或
⑵考虑怎样的映射f 才能构成优映射，设f 是一个优映射，则： 若(1)1f =，不难知道此时()(2)f i i i n =≤≤，即f 是恒等映射；
若11(1)(1)f k k =>，则可知1()(21)f i i i k =-≤≤，此时如果1()1f k =，则又有1()(1)f i i k i n =+≤≤； 若1221()()f k k k k =>，则又有12()(11)f i i k i k =+-≤≤，此时又转化成对2()1f k =还是23()f k k =的讨论：若2()1f k =，则2()(1)f i i k i n =+≤≤；
若2332()()f k k k k =>，类似地23()(11)f i i k i k =+-≤≤；
如此过程反复进行，至多进行1n -次，最终我们可以得到：f 是n n A A →的优映射，当且仅当存在一个单增序列121(0)t k k k t <<<< ≥，使得f 在该序列上是右轮换映射，在其余值是恒等映射，即：1(1)f k =，12()f k k =，…，1()t t f k k -=，()1t f k =，1()(1,,,)t f i i i k k =≠ ．
在本题中，满足()f i i =的解恰有6个的优映射，其轮换序列为1231k k k <<<，有39C 84=种情形，所以满足题意的优映射有84个．
38．
（2010海淀二模文14）给定集合{1,2,3,...,}n A n =，*n ∈N ．若f 是n n A A →的映射，且满足： ⑴ 任取,,n i j A ∈若i j ≠，则()()f i f j ≠；
⑵ 任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈．
则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”．
例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”．
⑴ 已知f ：44A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）； ⑵ 若f ：20102010A A →是“优映射”， 且(1004)1f =，则(1000)(1007)f f +的最大值为 ．
【解析】 ⑴ 或
⑵考虑怎样的映射f 才能构成优映射，设f 是一个优映射，则： 若(1)1f =，不难知道此时()(2)f i i i n =≤≤，即f 是恒等映射；
若11(1)(1)f k k =>，则可知1()(21)f i i i k =-≤≤，此时如果1()1f k =，则又有1()(1)f i i k i n =+≤≤； 若1221()()f k k k k =>，则又有12()(11)f i i k i k =+-≤≤，此时又转化成对2()1f k =还是23()f k k =的讨论：若2()1f k =，则2()(1)f i i k i n =+≤≤；
若2332()()f k k k k =>，类似地23()(11)f i i k i k =+-≤≤；
如此过程反复进行，至多进行1n -次，最终我们可以得到：f 是n n A A →的优映射，当且仅当存在一个单增序列121(0)t k k k t <<<< ≥，使得f 在该序列上是右轮换映射，在其余值是恒等映射，即：1(1)f k =，
12()f k k =，…，1()t t f k k -=，()1t f k =，1()(1,,,)t f i i i k k =≠ ．
本题中，由于(1004)1f =，所以轮换序列满足1004t k =，于是(1000)1004t f k =≤，(1007)1007f =，∴
{}max (1000)(1007)100710042011f f +=+=．
39．
（2009西城二模理14，2010东城二模理8）已知集合{}1234A =，，，，函数()f x 的定义域、值域都是A ，
且对于任意i ∈A ，()f i i ≠． 设1a ，2a ，3a ，4a 是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表1
2341234()()()()a a a a f a f a f a f a ?? ??
?，
若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为_________．
【解析】
216； (1),(2),(3),(4)f f f f 是1,2,3,4的排列，且()f i i ≠．1,2,3,4的排列中，有1个位臵相同的排列有14C 28?=个，有2
个位臵相同的排列有24C 16?=个，有3个位臵相同（即完全相同）的排列有1个，所以4个位臵全不相同的排列有4!8619---=个．即函数f 的取值有9种情形；而1234,,,a a a a 可以为1,2,3,4的任一排列，故表总张数为4!9216?=个．
40． （2010东城二模理14）
已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若1212121,2,n n n n n n a a a a a a a a ++++===++，且121n n a a ++≠，则
123a a a ++= ，2010S = ． 【解析】 6，4020．
易算出34563,1,2,3,a a a a ==== ，即{}n a 是周期为3的数列，故1236a a a ++=，20102010
640203
S =?=．
41． （2010二模东城文8）
已知数列{}n a 中，1a b =（0b >），11
1n n a a +=-+（*n ∈N ），能使n a b =的n 可以等于（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
【解析】 C
∵21
1a b =-+；311111b a b b +=-=--++；4111a b b b
=-=+-+ ∴41a a =，接着52a a =，63a a =，{}n a 是周期为3的周期数列；
∴1n a b a ==当且仅当1n -为周期的整数倍，即31n k =+，符合条件的只有C 项．
42．
（2010丰台二模理14）对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ???（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2, 4”，“2, 3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组
()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是 ．
【解析】
6； 原先的“倒序”经过逆序排列之后变成“顺序”，“顺序”变成“倒序”，所以逆序排列中的“顺序数”为2
5C 46-=．
43． （2010丰台二模文8）
在一个数列中，若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数（有限数列最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中常数称公积．若数列{}n a 是等积数列，且62a =，公积为6，则159********a a a a a ????????的
值是（ ）
A ．5022
B ．5023
C ．5032
D ．5033
【解析】 D ．
分析条件可知，该数列为3,2,3,2,3,2, ，也就是说所有的奇数项都是3．
于是159********a a a a a ????????20091
15034
3
3-+==．
44．
（2009朝阳二模理8）
已知满足条件221x y +≤的点()x y ，构成的平面区域的面积为1S ，满足条件22[][]1x y +≤的点()x y ，构
成的平面区域的面积为2S ，（其中[]x 、[]y 分别表示不大于x 、y 的最大整数），则点12()S S ，一定在（ ）
A ．直线y x =左上方的区域内
B ．直线y x =上
C ．直线y x =右下方的区域内
D ．直线7x y +=左下方的区域内
【解析】 A ．
221x y +≤就是单位圆面，所以1=πS ．而求2S 就要费一番周折了：
()()()()()()22[][]1[],[]1,0,0,1,0,0,0,1,1,0x y x y +?=--≤，根据取整函数的定义可以画出其图像如下：
可见2
2
[][]1x y +≤代表的区域是一个十字，所以25S =．所以A ，B ，C 中只有A 对，D 也是错误的，5π7+>．
注：此题如果直接根据[], []x x y y ≤≤而试图得到2222121[][]1x y x y S S +?+?<≤≤是错误的（虽然结
果正确）．由图示可以看到，两块区域并不是互相包含的关系，各自都含有对方没有的部分，22221[][]1x y x y +?+≤≤是错误的，例如0.5x y ==-．
45．
（2009朝阳二模理13）对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）：当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m n m n ⊕=+；而当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n m n ⊕=?．例如464610⊕=+=,373710⊕=+=，343412⊕=?=．在上述定义中，集合
(){}*|12M a b a b a b =⊕=∈N ，，，的元素有 个．
【解析】 15；
,m n 同奇偶时有11组：()()()111,210,,111 ，
，，；,m n 异奇偶时有4组：()()()()112,121,34,43，，，，．
46． （2009朝阳二模文8，10-11年上学期昌平高三期末统考理8）
已知满足条件221x y +≤的点()x y ，构成的平面区域的面积为1S ，满足条件22[][]1x y +≤的点()x y ，构
成的平面区域的面积为2S ，（其中[]x 、[]y 分别表示不大于x 、y 的最大整数），例如[]0.31-=-，[1.2]1=，
则1S 与2S 的关系是（ ）
A ．12π3S S +=+
B ．12S S =
C ．12S S >
D ．12S S <
【解析】 D ．
221x y +≤就是单位圆面，所以1=πS ．而求2S 就要费一番周折了：
()()()()()()22[][]1[],[]1,0,0,1,0,0,0,1,1,0x y x y +
?=--≤，根据取整函数的定义可以画出其图像如下：
可见2
2
[][]1x y +≤代表的区域是一个十字，所以25S =．所以B ，C ，D 中只有D 对，A 也是错误的．
47．
（2009崇文二模理14）
定义“和常数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做和常数列，这个常数叫做该数列的和常．已知数列{}n a 是和常数列，且12a =，和常为5，那么18a 的值
为 ，若n 为偶数，则这个数列的前n 项和n S 的计算公式为 ．
【解析】
3；5
2
n S n =． 该数列为2，3，2，3，…，2，3，偶数顶为3，故183a =．
若n 为偶数，5
522
n n S n =?=．