华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题
一（12分）设f(x)是区间I 上的连续函数。证明：若f(x)为一一映射，则f(x)在区间I 上严格单调。
二（12分）设
1,()0x D x x ?=??
为有理数
，为无理数
证明：若f(x), D(x)f(x) 在点x=0处都可导，且f(0)=0,则
'(0)0f =
三（16分）考察函数f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式： 2
()
(0,0)a b a b
a b ab a b +≥>>
四（16
分）设级数
1
n a
∞
=∑收敛，试就1
n n d ∞
=∑为正项级数和一般项级数两种
情况分别证明1
n a
∞
=∑
五（20分）设方程(,)0F x y =满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数
y=f(x)。又设(,)F
x y 具有连续的二阶偏导数。 （1）
求
''()f x
（2）
若0000(,)0,()F x y y f x ==为f(x)的一个极值，试证明：
当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 同号时，0()f x 为极大值； 当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 异号时，
0()f x 为极小值。
（3）
对方程2
227x
xy y ++=，在隐函数形式下（不解出y ）求y=f(x)
的极值，并用（2）的结论判别极大或极小。
六（12分）改变累次积分
4204
842
(4)x x x
I dx y dy --=-??
的积分次序，并求其值。
七（12分）计算曲面积分222
(cos cos cos )s
I x y z ds αβγ=
++??
其中s 为锥面z =
上介于0z h ≤≤的一块，
{}c o s
,c o s ,c o s αβγ为s 的下侧法向的方向余弦。
华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题
一． 简答题（20分） （1） 用定义验证：22323lim 212
n n n n →∞+=++； （2） '
2
cos ,0(),()ln(1),0
x x f x f x x x
计算3.
二（12
分）设f(x)有连续的二阶导函数，且
''0
()2,[()()]sin 5,f f x f x xdx π
π=+=?求f(0).
三（20分）
（1）已知1n n a ∞
=∑为发散的一般项级数，试证明1
1
(1)n n a n
∞
=+
∑也是发散级数。
（2）证明11
2sin
3n
n n x
∞
=∑在()0,+∞上处处收敛，而不一致收敛。
四（12分）设
2222:,D x y z t ++≤222()(),D
F t f x y z dxdydz =++???其
中f 为连续函数，f(1)=1.证明'(1)4.F π=
五（12分）设D 为由两抛物线
21y x =-与2
1y x =-+所围成的闭域。
试在D 内求一椭圆，22
221,x y a b
+=使其面积为最大。
六（12分）设(,)u x y 有连续二阶偏导数，(,)F u t 有连续一阶偏导数，且
满足'
'
(,)
0,x y F u u ='2'2()()0,s t F F +≠证明：
''''''2()0.xx yy xy
u u u -=
七（12分）设()f x 为(,)-∞+∞的周期函数，其周期可小于任意小的正数。证明若()f x 在(,)-∞+∞上连续，则()f x ≡常数。
华东师范大学1999年攻读硕士学位研究生入学试题
一．设0,a >10x a << ，1(2),n
n n x x x a
+=-n N
∈，
证明：{}n x 收敛，并求其极限。
二.证明：若函数
f 在区间I 上处处连续，且为一一映射，则f 在I 上为严格
单调.
三.用条件极值的方法证明不等式：
2
2221212......n n x x x x x x n n ++++++??≥ ?
??
(0,1,2,...,)k x k n >=
四.设()f x 在
(,)a ∞上可导，且'lim ()x f x →+∞
=+∞，证明()f x 在
(,)a ∞上不一致连续。
五.设()f x 在
[],a b 上二阶可导，且
()0f x ≥，''()0f x <，证明：
2()(),b a
f x f t dt b a
≤
-?
[],x a b ∈.
六.设(,)f x y 在[][],,D a b c d =?上有二阶连续偏导数。 （1） 通过计算验证：
''''(,)(,)xy yx D
D
f x y dxdy f x y dxdy =??
??
（2） 利用（1）证明：
''''(,)(,),xy yx f x y f x y =(,)x y D ∈.
七.设对每个,()n n f x 在
[]
,a b 上有界，且当
n →∞
时，
()(),n f x f x x ?
∈[],a b 证明：
（1） ()f x 在[],a b 上有界；
（2） lim sup ()sup ()n n a x b
a x b
f x f x →∞
≤≤≤≤=,(sup lim ())n n a x b f x →∞
≤≤=
八．设2000,(,)S
R P x y ?为S 的内点，111(,)P x y 为S 的外点，证明：
直线段01P P 至少与S 的边界S ?有一个交点。
华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题
一．（24分）计算题： （1）0
11
lim(
);ln(1)x x x
→-+
（2）32
cos sin ;1x x
dx cos x
?+?
（3）设(,)z z x y =是由方程
222(,)0F xyz x y z ++=,所确定的可微隐函数，试求grad Z.
二．（14分）证明：（1）111n
n +????
??+?? ???????
为递推数列；
（2）111
ln(1)1n n n
<+<+，n=1,2,….
三．（12分）设f 在[],a b 中任意两点之间都具有介值性，而且f
在
()
,a b 内可导，'|
()|f x K ≤（正常数）, (,).x a b ∈证明f 在点a 右连续（同
理在点b 左连续）.
四．（14分）设1
2
(1).n
n I x dx =-?
证明:
（1）1221
n n n
I I n -=+,n=2,3…;
（2
）,n I ≥n=1,2,3….
五（12分）设S 为一旋转曲面，由平面光滑曲线
{
(),[,]
(()0)z y f x x a b f x ==∈≥饶
x 轴旋转而成。试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为
2(b
a
A f x π
=?
（提示：据空间解几知道S 的方程为222()y z f x +=）
六（24分）级数问题：
（1） 设sin ,0()1,0
x
x f x x x ?≠?
=??=?,求()
(0)k f
。
（2）
设1
n
n n a =∑收敛，lim 0n n na →∞
=证明:
11
1
()n
n
n n n n n n a a a +==-=∑∑
（3）
设{()}n f x 为[]
,a b 上的连续函数序列，且
()(),[,]n f x f x x a b ?∈
证明：若()f x 在[],a b 上无零点。则当n 充分大时()n f x 在[],a b 上也无零点，并有
[]11
,,()()
n x a b f x f x ?∈
华东师范大学2001年攻读硕士学位研究生入学试题
一．（30分）简单计算题. 1）验证：当x →+∞时，2
02x
t x e dt ?与2
x e
为等价无穷大量.
2）求不定积分2
ln(1)
x dx x
+?。
3）求曲线积分:2()sin ,OA
I y cosy dx x ydy =
-+?
其中有向曲线OA 如图所示. 4）设
f
为可微函数，222()u
f x y z =++
和方程2
3
326(*)x y z xyz ++=
试对以下两种情形，分别求u
x
??在点0(1,1,1)P 处的值： （1）由方程(*)确定了隐函数:(,);z z x y =
（2）由方程(*)确定了隐函数:(,).y y x z =
二.（12
分）求由椭球面222
2221x y z a b c
++=与锥面222
2220.(0)x y z z a b c
+-=≥所围立体的体积。
三.（12分）证明：若函数()f x 在有限区间(),a b 内可导，但无界，则其导函数'()f x 在(),a b 内亦必有界.
四.（12分）证明：若1
n
n a
∞
=∑绝对收敛，则
121
(...)n
n
n n a
a a a =+++∑亦必绝
对收敛.
五（17分）设()f x 在[]0,1上连续，(1)0.f = 证明：
1）{}n
x 在[]0,1上不一致收敛；
2）{()}n f x x 在[]0,1上一致收敛。
六（17分）设函数
()f x 在闭区间[],a b 上无界,证明：
1）[]{},,n x a b ??使；lim ()n n f x →∞
=∞；
2）
[],,c a b ?∈使得：0,()f x δ?>在[](,),c c a b δδ-+?上无界。（若能用两种不同方法证得2），奖励5分）
华东师范大学2002年攻读硕士学位研究生入学试题
一.（12分）计算：
1.222sin()
lim .2100
n n n n n →∞++-；
2.2
sin 1lim(
).1
x x x x
e →-
-
3.设F 为3R 上的可微函数，由方程23(,,)0F xy yz zx =确定了z 为x
与y 的函数，求,x y z z 在点(1,1)的值.
二.（15分）设函数
,f g 均在(),a b 内有连续导数，且对于任何(),x a b ∈，
有'
'
()()()()()0F x f x g x g x f x =->，求证： 1.,f g 不可能有相同的零点； 2.f
的相邻点之间必有
g
的零点；
3.在()f x 的每个极值点()0,x a b ∈，存在0x 的某邻域，使得()g x 在该邻
域中是严格单调的.
三.（15分）设初始值1a R ∈给定，用递推公式314
2(1,2...)1n n n
a a n a +==+得到数列{}n a 。 1.求证数列{}n a 收敛；
2.求{}n a 所有可能的极限值；
3.试将实数轴R 分成若干个小区间，使得当且仅当在同一区间取初始值，{}n a 都收敛于相同的极限值.
四.（12分）设0a c >>
，求椭球体222
2
21x y z a c
++=的表面积.
五.（18分）设数列{}n a 有界但不收敛，求证： 1.对于任何1
0,nx
n n x a e ∞
-=>∑收敛；
2.对于任何10,nx n n a e δ∞
-=>∑在[,)δ+∞上一致收敛；
3.1nx n n a e ∞
-=∑在(0,)+∞上不一致收敛.
六.（12分）设函数()f x 在[]0,1上连续，求证：
1
2200
()lim (0)2
x xf t dt f t x π
+→=+?
。
七.（16分）设函数f 在
[]0,a 上严格递增，且有连续导数，(0)0.f =设
g 是
f
的反函数，求证：
1.对于任何[]0,x a ∈，都有()
(())()f x x
x g u du f t dt -=?
?
2.当0,0()x a y f a ≤≤≤≤时，下列不等式成立
00
()()y x
xy g u du f t dt ≤+??,其中当且仅当()y f x =时，等式成立.
华东师范大学2003年攻读硕士学位研究生入学试题
一（30分）简答题（只需写出正确答案）。
1.221sin (1)
lim (1)(2)
x x x x →-=-+ 2.211y arc x ??= ?+??
，则
'
y = 3.
2ln xdx =?
4.sin x
x z y y ??
= ???
，则dz
=
5.22{(,)|1}D x y x y =+≤，则2
2
x
y D
e dxdy +=??
6.
22{(,)|1}L x y x y =+=方向为顺时针方向，则
L
x d y
y d x
-=?
二.（20分）判别题（正确的说明理由，错误的举出反例）
1.若lim 0n n x →∞
=
则0n →∞
=.
2.若
()f x 在(0,)∞上可导，且导函数'
()f x 有界，则()f x 在
(0,)∞上一致连续。
3.若
()f x 在[],a b 上可积，
()()x
a
F x f t dt =?在()0,x a b ∈上可导，则'00()().F x f x =
4.若21
21
()n n n a
a ∞
-=+∑收敛，且lim 0n n a →∞
=则1
n n a ∞
=∑收敛。
三.（17分）求极限sin sin sin lim sin x
t x
t x t x -→?? ?
??
,记此极限为()f x ，求函数
()f x 的间断点，并判别间断点类型.
四.（17分）设'
()f x 在
[]0,a 上连续，且
(0)0f =证明
2
|()|2
a
Ma f x dx ≤?
,其中'
0max |()|x a M f x ≤≤=。
五.（17分）若函数(,)f x y 在
2R 上对x 连续，且存在0L >，对
''',,x y y R ?∈，''''''
|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤-.
求证：(,)f x y 在2R 上连续.
六.（17分）求下列积分:
(,,),(0)S
I f x y z dS a =
>??
其中2
2
2
2
{(,,)|},S x y z x y z a =++=
20,(,,){
x z f x y z +=.
七（17分）设01,r x R <<∈
（1）求证：22
1
112cos 12n
n r r nx rcsx r ∞
=-=+-+∑；
（2）求证：20
ln(12cos )0r x r dx π
-+=?
八（15分）120,0.,.a b a a a b >>==222
111
2,1,2,...n n n
a n a a ++=++= 求证：{}n a 收敛。
华东师范大学2004年攻读硕士学位研究生入学试题
一.（30分）计算题
（1）求2
12
0lim cos 2x x x x →??
- ???；
（2）若2ln sin(arctan ),x
y e x x -=+求'
y .
（3）求2(1)
x
xe dx x --?.
（4）求幂级数1n
n nx ∞
=∑的和函数()f x .
（5）L 为过(0,0O 和(0,)A a 的曲线s i n (0y a
x a =>，
求:3()(2).L
x y dx y dy +++?
（6）求曲面积分
(2),S
x z dydz zdxdy ++??
其中
22,(01),z x y z =+≤≤取上侧.
二（30分）判别题（正确的证明，错误的举反例）
1 .若{,1,2,...,}n x n =是互不相等的非无穷大数列，则{}n x 至少存在一个聚点0(,).x ∈-∞+∞
2. 若()f x 在(,)a b 上连续有界，则()f x 在(,)a b 上一致连续.
3. 若(),()f x g x 在[0,1]上可积，则:
1
1
11lim ()()()()n n i i i f g f x g x dx n n n →∞=-=∑?
4 .若1
n
n a
∞
=∑收敛，则21
n n a ∞
=∑收敛.
5.若在
2R 上定义的函数(,)f x y 存在偏导数(,),(,)x y f x y f x y ，且
(,),(,)x y f x y f x y 在(0,0)上连续，则(,)f x y 在(0,0)上可微.
6 .
(,)f x y 在2R 上连续，
2220000(,){(,)|()()}r D x y x y x x y y r =-+-≤若
00(,),0,(,)0,r
D x y r f x y dxdy ??>=??
则2
(,)0,(,)f x y x y R =∈.
三.（15分）函数()f x 在(,)-∞+∞上连续且lim ()x f x A →∞
=，求证：
()f x 在(,)-∞+∞上有最大值或最小值.
四（15分）求证不等式：221,[0,1].x
x x ≥+∈
五（15分）设
(),1,2...n f x n =在[],a b 上连续且()n f x 在[],a b 上一
致收敛于()f x ,若[,],()0x a b f x ?∈>,求证：,0,N δ?>
使[,],,().n x a b n N f x δ?∈>>
六（15分）设{}n a 满足： （1）0100,1, 2...;k n a a n k k ≤≤=++
（2）级数1
n n a ∞
=∑收敛。求证：lim 0n n na →∞
=.
七（15分）若函数()f x 在[1,)+∞上一致连续，求证：()
f x x
在[1,)+∞上有界.
八（15分）设(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在3
R 有连续偏导数，而且对以任意点为000(,
,)x y z 中心，以任意正数r 为半径的上半球面
2222000:()()(),
r S x x y y z z r -+-+-=0,z z ≥
恒有:
(,,)(,,)r
S P x y z dydz Q x y z dzdx R ++??
(,,)0x y z dxdy =
求证：(,,),(,,)0,x y z R x y z ?=(,,)(,,)0x y P x y z Q x y z +=
华东师范大学2005年攻读硕士学位研究生入学试题
一（24分）判断下列命题的真伪（正确就证明，错误举反例） 1.lim n n a A →∞
=的一个充要条件是：存在正整数N ，对于任意正数
ε
，当
n N >时均有||n a A ε-<.
2.设()f x 在[,)a +∞上连续，()f x 在[,)a +∞上一致连续，那么
2(())f x 在上一致连续.
3.设0,lim 01
n n n a
a n
→∞>=那么正项级数
1
n
n a
∞
=∑收敛.
4.(,)f x y 在点
00(,)x y 沿任意方向的方向导数都存在，则函数
(,)f x y 在点00(,)x y 连续.
二（64分）计算下列各题。 1.求极限22011lim sin x x
x →??- ???
2.
求极限n →∞
华东师范大学2004数学分析试题
华东师范大学2004数学分析 一、（30分）计算题。 1、求 2 1 20)2 (cos lim x x x x -→ 2、若)), sin(arctan 2ln x x e y x +=-求' y . 3、求 ?--dx x xe x 2)1(. 4、求幂级数∑∞ =1 n n nx 的和函数)(x f . 5、 L 为过 ) 0,0(O 和 )0,2 (π A 的曲线 ) 0(sin >=a x a y ,求 ?+++L dy y dx y x . )2()(3 xdx a x da dy x a y cos sin ,sin === 6、求曲面积分??++S zdxdy dydz z x )2(,其中) 10(,22 ≤≤+=z y x z , 取上侧. . 二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例） 1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则} {n x 至少存在一个聚点). ,(0 +∞-∞∈x 2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连 续. 3、若 ) (x f , ) (x g 在] 1,0[上可积，则 ∑?=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 1 10)()()1()(1lim .
4、若∑∞=1n n a 收敛，则∑∞ =1 2n n a 收敛. 5、若在 2 R 上定义的函数 ) ,(y x f 存在偏导数 ),(y x f x ,) ,(y x f y 且),(y x f x , ) ,(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在 (0,0)上可微. 6、),(y x f 在2 R 上连续,} ) ()(|),{(),(22 2 r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若??=>??r D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(0 0 则.),(,0),(2 R y x y x f ∈= 三、（15分）函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞ → 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。 四、（15分）求证不等式:]. 1,0[,122∈+≥x x x 五、设) (x f n , ,2,1=n 在],[b a 上连续,且) (x f n 在],[b a 上一致 收敛于 ) (x f .若 ] ,[b a x ∈?, )(>x f .求证: , 0,>?δN 使 ],[b a x ∈?, N n >,. )(δ>x f n 六、（15分）设}{n a 满足（1）; ,2,1,1000 ++=≤≤k k n a a n k （2）级数∑∞ =1 n n a 收敛. 求证:0 lim =∞ →n n na . 七、（15分）若函数)(x f 在),1[+∞上一致连续，求证： x x f )(在),1[+∞上有界. 八、（15分）设),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在3 R 有连续偏导数，而且对以任意点) ,(00, 0z y x 为中心，以任意正数r 为半径的上半球面, ,)()()(:02202020z z r z z y y x x S r ≥=-+-+-
第四章函数的连续性 §1 连续性概念 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义,并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性. 一函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若 lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1) 则称f 在点x0 连续. 例如, 函数f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续,因为 又如,函数li m x → 2 f ( x) = lim x →2 ( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) . f ( x) = x sin 1 x , x ≠ 0, 0 , x = 0 在点x = 0 连续,因为 lim x →0f ( x) = lim x →0 x sin 1 x= 0 = f ( 0) . 为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为 Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 . 注自变量的增量Δx或函数的增量Δy 可以是正数,也可以是0 或负数. 引进了增量的概念之后,易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于 lim Δy = 0 . Δx→0
《数学分析选论》习题解答 第 一 章 实 数 理 论 １．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ?=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使； （２）存在严格递减数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使． 证明如下： （１） 据假设，ξ>∈?a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1 Λ== εn n n 相应地S a n ∈?,使得 Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ． 因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim . （２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取 Λ,3,2,,1min 1=? ?? ???+ξ=ε-n a n n n ， 就能保证 Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □ ２．证明§1.3例６的（ⅱ）． 证 设B A ,为非空有界数集，B A S ?=，试证： {}B A S inf ,inf m in inf =． 现证明如下． 由假设，B A S ?=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何 B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥． 另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有
S A S x inf inf inf ≥?≥； 同理又有S B inf inf ≥．由此推得 {}B A S inf ,inf m in inf ≤． 综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □ ３．设B A ,为有界数集，且?≠?B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?． 并举出等号不成立的例子． 证 这里只证（２），类似地可证（１）． 设B A inf ,inf =β=α．则应满足： β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有． 于是，B A z ?∈?，必有 {}βα≥?? ?? β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ?的一个下界．由于B A ?亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立． 上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则， 这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而，故得 {}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,， 证明： （１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．
第四章 函数的连续性 习题 §1 连续性概念 1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1）()x x f 1 = ； （2） ()x x f = 2． 指出下列函数的间断点并说明其类型： （1）()x x x f 1+ =； （2）()x x x f sin =； （3）()[] x x f cos =； （4）()x x f sgn =； （5）()()x x f cos sgn =； （6）()?? ?-=为无理数； 为有理数， x x x x x f ,, （7）()()?? ? ? ??? +∞<<--≤≤--<<-∞+=x x x x x x x x f 1,11sin 11 7,7,71 3． 延拓下列函数，使其在R 上连续： （1）()2 8 3--=x x x f ； （2）()2cos 1x x x f -=； （3）()x x x f 1cos =. 4． 证明：若f 在点0x 连续，则f 与2f 也在点0x 连续。又问：若f 与2f 在I 上连续， 那么f 在I 上是否必连续？ 5． 设当0≠x 时()()x g x f ≡，而()()00g f ≠。证明：f 与g 两者中至多有一个在0 =x 连续 6． 设f 为区间I 上的单调函数。证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间 断点 7． 设f 只有可去间断点，定义()()y f x g x y →=lim ，证明：g 为连续函数 8． 设f 为R 上的单调函数，定义()()0+=x f x g ，证明：g 在R 上每一点都右连续 9． 举出定义在[]1,0上分别符合下述要求的函数： （1）只在 41,31,21三点不连续的函数； （2）只在4 1 ,31,21三点连续的函数；
第四章 函数的连续性 第一 连续性概念 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1） x x f 1 )(= ； （2）x x f =)(。 证：（1）x x f 1 )(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ，当D x x ∈0,时，有 001 1x x x x x x -=- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ ， 故当00x x x <-时，有 02 01 1x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数ε，取,010 2 0>+= x x εεδ则0x <δ，当 D x ∈ 且δ<-0x x 时， 有 ε<-= -0 011)()(x x x f x f 可见 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续。 (2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ，由于 00x x x x -≤-，从而对任给正数ε，取εδ=，当δ<-0x x 时， 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(+∞-∞连续。 2．指出函数的间断点及类型： （1）=)(x f x x 1 + ； （2）=)(x f x x sin ； （3）=)(x f ]cos [x ； （4）=)(x f x sgn ； （5）=)(x f )sgn(cos x ； （6）=)(x f ???-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ??? ? ???+∞ <<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11 sin )1(17,7 ,71
数学分析华东师大反常 积分 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第十一章反常积分 §1 反常积分概念 一问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限制: 积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制, 考虑无穷区间上的“积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题. 例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图 11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0 至少要多大设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为 mg R2 F = . x2 于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为
r mg R ∫ ∫ 2 ∫ d x = m g R 2 1 - 1 .R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = m g R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间
第二十二章 曲面积分 一、证明题 1.证明:由曲面S 所包围的立体V 的体积等于 V= ()??+β+αS ds r cos z cos y cos x 31其中αcos ,βcos , cpsr 为曲面S 的外法线方向余弦. 2.若S 为封闭曲面,L 为任何固定方向,则 ()??S ds L ,n cos =0 其中n 为曲面S 的外法线方向. 3. 证明 公式 ???V r dx dydz =()??S ds n ,r cos 21 其中S 是包围V 的曲面,n 为S 的外法线方向. r=222z y x ++,r=(x,y,z). 4.证明: 场A=()(z y x 2yz ++,()z y 2x zs ++, ())z 2y x x y ++是有势场并求其势函数. 二、计算题 1.计算下列第一型曲面积分: (1) ()??++S ds z y x ,其中S 为上半球面 222z y x ++=2a 0z ≥; (2) () ??+S 22ds y x ,其中S 为主体1z y x 22≤≤+的边界曲面; (3) ?? +S 22ds y x 1,其中S 为柱面222R y x =+被平面Z=0,Z=H 所截取的P 分; (4) ??S xyzds ,其中S 为平面在第一卦限中的部分.
2.计算??S 2ds z ,其中S 为圆锥表面的一部分. S:?? ???θ=θ?=θ?=cos r z sin sin r y sin cos r x D:???π≤?≤≤≤20a r 0 这里θ为常数(0<θ<2 π). 3.计算下列第二型曲面积分 (1) ()?? -S dydz z x y +dzdx x 2+()dx dy x z y 2+,其中S 为x=y=z=0,x=y=z=a 平成所围成的正方体并取处侧为正向; (2)()()()??+++++S dxdy x z dzdx z y dydz y x ,其中S 是以原点中心,边长为2的正方体 表面并取外侧正向; (3)??++S zxdxdy yzdzdx xydydz ,其中S 是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体 表面并取外侧为正向; (4) ??S yzdzdx ,其中S 是球面,222z y x ++=1的上半部分并取外侧为正向; (5)?? ++S 222dxdy z dzdx y dydz x ,其中S 是球面()2a x - +()2b y -+()2c x -=R 2并取外侧为正向. 4.设某流体的流速为V=(x,y,0),求单位时间内从球面x 2+y 2 +z 2=4的内部流过球面的流量 5.计算第二型曲面积分 I=()??S dydz x f +()dzdx y g +()dx dy z h 其中S 是平行分面体(a x 0≤≤,b y 0≤≤,c z 0≤≤)表面并取外侧,f(x),g(y),h(z)为S 上的连续函数, 6.设磁场强度为E(x,y,z),求从球内出发通过上半球面x 2+y 2 +z 2=a 2,z=0的磁通量, 7.应用高斯公式计算下列曲面积分: (1) ??++S sydxdy zxdzds yzdydz ,其中S 为单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧; (2) ??++S 222dxdy z dzds y dydz x ,其中S 是立方体≤0x,y,z a ≤的表面取外侧; (3) ??++S 222dxdy z dzds y dydz x ,其中S 为锥面x 2+y 2 =z 2与平面z=h 所围的空间区域(h z 0≤≤)的表面方向取外侧; (4) ??++S 332dxdy z dzds y dydz x ,其中S 是单位球面x 2+y 2+z 2=1的外侧; (5) ??++S dxdy 2ydzds xdydz ,其中S 为上半球面Z=222y x a --的外侧.
习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0 华东师大2019年数学分析试题 一、（24分）计算题： （1） 求011lim()ln(1)x x x →-+； （2） 求32cos sin 1cos x x dx x +?g （3） 设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=所确定的可微隐函数， 试求grad z 。 二、（14分）证明： （1）11(1)n n +??+???? 为递减数列： （2） 111ln(1),1,21n n n n <+<=+???? 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之 一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。三、（12分）设f(x)在[],a b 中任意两点之间都具有介质性，而且f 在（a ，b ）内可导， '()f x K ≤ （K 为正常数） ，(,)x a b ∈ 证明：f 在点a 右连续，在点b 左连续。 四、（14分）设1 20(1)n n I x dx =-?，证明： 五、（12分）设S 为一旋转曲面，它由光滑曲线段 绕x 轴曲线旋转而成，试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为： 2(b a A f x π=? 六、（24分）级数问题： （1） 其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧， “死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴石穿，绳锯木断的功效。设 sin ,01,0()x x x x f x ≠=?=??{}[]() x a,b ()()11()()n n n f x f x f x f x f x ∈? ?，求 ()(0),1,2,k f k =L （2） 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教 谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故 ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P .3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明|||| 2 22 2c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是2 2 b a +，OC 的长度是2 2 c a +， AC 的长度为||c b -。因为三角形两边的差 大于第三边，所以有 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章 第六章 微分中值定理及其应用 一、 填空题 1．若0,0>>b a 均为常数，则=??? ? ? ?+→x x x x b a 3 2 lim ________。 2．若2 1 sin cos 1lim 0 =-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。 3．曲线x e y =在0=x 点处的曲率半径=R _________。 4．设2442 -+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________。 5．= -+→x e x x x 10 )1(lim ___________。 6．设) 4)(1()(2 --=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根， 它们分别位于________ 区间； 7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的 __________=ξ； 8．函数3 )(x x f =与2 1)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定 理条件的_____=ξ； 9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ； 10．函数 2 )(x e x f x =的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33 -=的极大值点是______，极大值是 _______。 12．设x xe x f =)(，则函数) () (x f n 在=x _______处取得 极小值_________。 13．已知bx ax x x f ++=23 )(，在1=x 处取得极小值2-， 则=a _______，=b _____。 14．曲线2 2)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点，则 =k ________。 15．设)2,1()1()(Λ=-?=n x n x f n ，n M 是)(x f 在[]1,0上的最 大值，则=∞ →n n M lim ___________。 16．设)(x f 在0 x 可导，则0)(0 ='x f 是)(x f 在点0 x 处取得 极值的______条件； 17．函数x bx x a x f ++=2 ln )(在1=x 及2=x 取得极值，则 ___ ___,==b a ； 18. 函数 3 2 2 3 )(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数x x x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在?? ??? ?2,0π上的最大值为______， 最小值为_____； 21. 设点 ) 2,1(是曲线 b a x y +-=3)(的拐点,则 ______ _____,==b a ; 22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为 第一章实数集与函数 导言数学分析课程简介( 2 学时 ) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期： 三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是 可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听 为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； [2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； [4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003. 2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设. 3.内容多,课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重. 数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ， 1 再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明| ||| 2222c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是 2 2b a +，OC 的长度是2 2c a +， a c b ) ,(b a A ) ,(c a C x y O 第十一章 重积分 §1 二重积分的概念 1.把重积分 ??D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0?,并用直线网x=n i ,y=n j (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点. 2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界. 3.证明定理:若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积. 4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7. 性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且 ()?+D g f =??+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ??≤D D g f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得 ()D ,f f D ?ηξ=?. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且 210D D D Y =,?=11D int D int I , 试证二重积分性质3. 性质3(区域可加性) 若210D D D Y =且11D int D int I ?=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且 ?0D f =??+2 1D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明: (1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D >?; (2)若在D 内任一子区域D D ?'上都有 ?' =D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。 . 7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得 ()()??D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()??D dxdy y ,x g . 8.应用中值定理估计积分 ?? ≤-++10y x 22y cos x cos 100dxdy 的值 §2 二重积分的计算 1.计算下列二重积分: (1)()??-D dxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3?; (2) ??D 2dxdy xy ,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0?,(ⅱ)D=[]3,0 []2,0?; (3)()??+D dxdy y x cos ,其中D=[]π???????π,02,0; (4) ??+D dx dy x y 1x ,其中D=[][]1,01,0?. 2. 设f(x,y)=()()y f x f 21?为定义在D=[]?11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且 ?D f =???1122 b a b a 21f f . 习 题 十 1. 求下列曲线所围图形的面积． (1) y x x x y = ===1 14，，，0=； (2) 轴； y x y y ==3 8，， (3) ； y e y e x x x ==?，，1 (4) y x y x x ===lg .，，，001=10； (5) x y y x ==2 380，，=1； (6) y x y y x y =+===14，，，；3 (7) ； y x x y 2 24=?=， (8) ． x y y x =?=2 10()， 2. 求抛物线以及在点y x x =?+?2 4(,)03?和处的切线所围图形的面积． (,)30 3. 设曲线与直线y x x =?2y ax =，求参数，使该曲线与直线围图形面积为 a 92 ． 4. 曲线与相交于原点和点f x x ()=2 g x cx c ()=>3 0（）(,)11 2 c c ，求的值，使位于区间c [,01 c 上，两曲线所围图形的面积等于 23． 5. 求星形线所围图形的面积（a ）． x a t y a t t ==?????≤≤cos sin 3 3 02 （）π>0 6. 求下列极坐标方程所表曲线所围成的图形的面积． (1) 三叶玫瑰线r =83sin θ； (2) 心形线r =?31(sin )θ； (3) r =+1sin θ与r =1； (4) r =2与r =4cos θ． 7. 证明：球的半径为R 、高为的球冠的体积公式为： h V h R = ?13 32 π()h 8. 计算圆柱面与所围立体（部分）的体积． x y a 22+=2 2 x z z ==，0z ≥0 9. 计算两个柱面与所围立体的体积． x y a 2 2 +=222a z x =+ 10. 计算四棱台的体积．四棱台的上底面是边长为与b 的矩形，下底面是边长为与a A B 的矩形，高为． h 11. 求下列曲线围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积． (1) ； y x x =≤sin () 0π≤；(2) y x x y ===2 20，，(3) y x y x == 2，； (4) ； y x x e =≤ln () 1≤3 (5) ． y x y x ==2 2 ， 12. 求y x =，x 轴和x =4所围图形分别绕x 、y 轴旋转所得旋转体的体 积． 13. 求曲线与曲线所围图形的面积．并将此图形绕y x x =?3 2y x =2 y 轴旋转，求所得旋转体的体积． 14. 求下列曲线的弧长． (1) ； y x x 2301=≤，()≤ (2) y x x =≤≤ln ()，38； (3) x y y y = ?≤≤141 2 12ln ()，e ； (4) r a a =>≤≤θθ ，()003； (5) r a =≤sin ()3 3 03≤θ θπ，； (6) ． x a t t t y a t t t t =+=?≤≤(cos sin )(sin cos )()，，02π 15. 计算曲线：的质量中心（线密度x y a y 2 2 20+=≥ ()ρ为常数）． 16. 计算星形线：在第一象限的质量中心（线密 度x a y a ==cos sin 3 θ，3 θρ为常数） ． 17. 计算下列曲线所围图形的质量中心． (1) ax ； y ay x a ==>2 2 0， () (2) x a y b x a y b 222 2100+=≤≤≤≤，，()； (3) 轴，()y a x x =sin ，01≤≤x ； 18. 若1公斤的力能使弹簧伸长1厘米，问把弹簧伸长10厘米要作多少功？ 19. 物体按规律x ct =3 （c ）做直线运动，设介质阻力与速度的平方成正比，求物体从.>0x =0到x a =时，阻力所作的功． 20. 一圆台形的水池，深15厘米，上下口半径分别为20厘米和10厘米， §6 重积分的应用 (一) 教学目的：学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力． (二) 教学内容： 曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式． 基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式 和引力的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须掌握曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题． ________________________________________ 一 曲面的大面积 设D 为可求面积的平面有界区域函数在D 上具有连续一阶偏导数，讨论由方程 D y x y x f z ∈=),(,),( 所确定的曲面S 的面积i σ? ==i i i i 1 1当 0||||→T 时，可用和式∑=?n i i A 1的极限作为S 的面积 首先计算i A ?的面积，由于切平面的法线向量就是曲面S 在),,(i i i i M ζηξ处的法线向量，记它与z 轴的夹角为i γ，则 ),(),(11 cos 22 i i y i i x i f f ηξηξγ++= i i i y i i x i i i f f A σηξηξγσ?++=?= ?),(),(1cos 22 ∑∑==?++=?n i i i i y i i x n i i f f A 1 221),(),(1σηξηξ 是连续函数),(),(122i i y i i x f f ηξηξ++在有界闭域上的积分和，所以当0||||→T 时，就得 到 ∑=→?++=?n i i i i y i i x T f f S 1220||||),(),(1lim σηξηξ dxdy y x f y x f D i i y i i x ??++=),(),(122 或 ∑??=→=?=?n i D i i T z n dxdy S 10|||||),cos(||)cos |lim γσ 例 1 求圆锥 22y x z += 在圆柱体 x y x ≤+22内那一部分的面积 解 dxdy y x z y x z S D i i y i i x ??++= ?),(),(122 x y x D ≤+22: 所求曲面方程为 ?+= 22y x z 2222,y x y z y x x z y x +=+= 第十四章 幂级数 一、证明题 1. 证明:设f(x)=∑∞=0n n n x a 在x=R 是否收敛).应用这个结果证明: ∑?∞=--==+1 n 1n n 11)(ln2dx x 1101. 2. 证明 (1) y=∑∞ =0n 4n (4n)!x 满足方程y (4)=y (2) y=∑∞ =0n 2n )(n!x 满足方程x y ''+y '-y=0. 3. 证明:设f(x)为幂级数∑∞=0n n n x a 在(-R,R)上的和函数,若f(x)为奇函数,则该级数仅出现奇次 幂的项,若f(x)为偶函数,则该级数仅出现偶次幂的项. 4. 设函数f(x)在区间(a,b)内的各阶导数一致有界,即存在正数M,对一切x ∈(a,b),有|f (n)(x)|≤M(n=1,2,3,…),证明:对(a,b)内任一点x 与x 0有 f(x)=∑∞ =0n n 00(n))x -(x n!)(x f 二、计算题 1.求下列幂级数的收敛半径与收敛区域. (1) ∑n nx ; (2) ∑n n 2x 2n 1; (3) ∑n 2 x (2n)!)(n!; (4) ∑n n x r 2 ,(0华东师大数学分析试题
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