最小二乘法实现实验数据拟合的简单尝试
班级物理1201
学号201210800123
姓名叶圣泓
最小二乘法实现实验数据拟合的简单尝试
叶圣泓
（浙江工业大学理学院，物理1201，201210800123，浙江 杭州 310029）
摘要：在实验科学、社会科学和行为科学中，实验和勘测常常会产生大量的数据。为了解释这些数据或者根据这些数据做出预测、判断，给决策者提供重要的依据,需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。由于数据拟合方法所处理的数据量大而且不能保证每一个数据没有误差，所以要求一个函数严格通过每一个数据点是不合理的。结合一些简单物理实验的数据，使用最小二乘法进行数据拟合以了解最小二乘法的使用。
关键词：最小二乘法；数据拟合；物理实验 中图分类号：O 01 029
Least squares method to implement simple experimental data fitting
(College of Science ，Zhejiang University of technology ，Hangzhou 310029，Zhejiang ，China )
Abstract ：In the experimental science, social science and behavioral science, experiment and survey will often produce a large amount of data. In order to explain the means of these data or make predictions based on these data, judgment, and provide important basis to decision makers, we need to fitting of measurement data, looking for a function reflect the change rule of data. Due to the large amount of data of data fitting method and we can't guarantee every data without error, so it’s not reasonable to ask a function strictly through each data point. Combined with some simple physical experiment data, use the least-square method for fitting to understand the use of the least-square method.
Key words ：the least-square method ；data fitting ；physical experiment
引 言
在科学和工程试验中，经常产生一组数据11(,),...,(,)N N x y x y ,这里的横坐标{}k x 是明确的。数值方法的目标之一是确定一个将这些变量联系起来的函数()y f x =。通常会选择一类可用的函数并确定它们的系数。选择函数的可能性是多种多样的。一般会根据物理情况采用 一个基本数学模型来确定函数的形式。最小二乘法是较为基础的数据拟合方法，在这里将结合大一大学基础物理实验学习中实际测得的一些数据，用最小二乘法获得它们的拟合曲线并进行简要分析。
在我们研究两个变量(),x y 之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据
()()()1122,,,,....,,m m x y x y x y ；将这些数据描绘在X-Y 直角坐标系中，先简单推导一下一元
一次线性函数的最小二乘拟合，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如（式1-1）。
j y Ax B =+（式1-1)
其中：A 、B 是任意实数
为建立这直线方程就要确定A 和B ，应用“最小二乘法原理”，将实测值i y 与利用（式1-1）计算值j y Ax B =+的离差i j y y -的平方和
2
()
i
j
y y -∑最小为“优化判据”。
令：2
()
i
j
y y ?=
-∑（式1-2)把（式1-1）代入（式1-2）中
得：2()i
j
y Ax
B ?=
--∑（式1-3)
当
2
()i j y y -∑最小时，可用函数 ? 对A 、B 求偏导数，令这两个偏导数等于零。
2()i i B Ax y +-∑（式1-4) 2()i i i x B Ax y +-∑（式1-5)
亦即：
i
i y
nB A x =+∑∑（式1-6) 2
()i i
i
i x y A x
B x =+∑∑∑（式1-7)
得到的两个关于A 、 B 为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：
2
2i i i i i i n x y x y A n x x -=
??
- ?
??
∑∑∑∑∑（式1-8) =B y Ax -（式1-9)
这时把A 、B 代入（式1-1）中， 此时的(式1-1）就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点
()()()1122,,,,....,,m m x y x y x y ，为了判断
关联式的好坏，可借助相关系数“R ”，统计量“F ”，剩余标准偏差“S ”进行判断。
在（式1-1）中，m 为样本容量，即实验
次数；Xi 、Yi 分别任意一组实验X 、Y 的数值。
实验一
(来自《大学基础物理实验教程》 浙江工业大学物理实验中心编 实验二十三 1.电偏转)
电偏转公式推导：
在逸出初始动能忽略时，加速电场中 设加速电压为2U
p E Uq = 21
2
k z E mv = k p E E = 即
221=2
z m v e U 偏转电场中 tan y z
v v θ=
,设偏转电压为d U ,距离为d ,长为l
d y U E d =
d y U e
F E e d == d y y eU t mv F t d == d y ev
v t md
=
2t a n 2d U l
U d θ=
亮点偏离中心距离 2=2d U l
D L
U d
所以d D V -为线性函数。 数据记录如下：
（1）2V 为600V 时，列表23-1，记录Y 轴d D V -。
(只取第一组数据)
（2）作d D V -图，求斜率得电偏转灵敏度。
由散点图推测函数为y Ax B =+型，
从前一部分知，2
2i i i i i i n x y x y A n x x -=
??
- ?
??
∑∑∑∑∑
由以上数据得
计算,得
即
将所得函数与数据对比
198
i
x
=∑164.5
i
y
=∑3798
i
i
x y
=∑2
4554
i
x
=∑2
39204i x ??
= ???
∑1445171629156
y x =-14451716,29156
A B ==-
此情况下，总离差为
在误差允许的范围内，所得函数与数据匹配良好。
实验二
(来自《大学基础物理实验教程》 浙江工业大学物理实验中心编 实验二十二 *7.测单边水平方向磁场分布（I S =2.00ma,I M =0.600A ）)
在产生霍耳效应的同时，因伴随着各种副效应，以致实验测得的A 、A ’两极间的电压并不等于真实的霍尔电压H V 值，而是包含着各种副效应所引起的附加电压，因此必须设法消除。根据副效应产生的机理（参阅附录）‘可知，采用电流和磁场换向的对称测量法，基本
上能把副效应的举响从测量结果中消除。即在规定了电流和磁场正、反方向后，分别测量由下列四组不同方向的I ，和B 组合的NA V （A‘、A 两点的电位差）即：
+,S B I + '1A A V V = ,S B I -+ '2A A V V =
,S B I -- '3A A V V = ,S B I +- '4A A V V =
然后求1V 、2V 、3V 和4V 的代数平均数。
2
?()0.630827506
i
i
y y
-=∑
1234
4
H V V V V V -+-=
通过上述的测量方法，虽然还不能消除所有的副效应，但其引入的误差不大，可以略而不计。
只有单边的数据较难整体的了解磁场分布，由于霍尔导体两边磁场分布相同，令x=-x ，V H 不变。得到另一组数据：
作图得：
由于起始测量点不是导体正中央，依数据走向假定x=+2或-2时的数据已到达顶点。 得到
求得 4.349634VAR =根据正态分布函数的形式
2
2
x
H
Vσ-
=
μ=
顶点是其-5.96倍，得
2
2
x
H
Vσ-
=
尝试将其转化为一元一次形式，图像关于y轴对称后两边求对数，得：
2
2
1
ln ln(5.96)ln2ln
22
H
x
Vπσ
σ
=---
令2
'x x
=，2
1
2
A
σ=,ln
H
V y
=,上式即：
1
ln5.96ln2ln'
2
y Ax
πσ
=---
先取
4.349634
σ=（p）
即0.6039597558'
y Ax
=--
1289.98
i
x=
∑12.600858
i
y=
∑
87.79410412
i i
x y=-
∑2344542.6642
i
x=
∑
2
1664048.4
i
x
??
=
?
??
∑
则
3
4.03375967610
A-
=-?
实际计算的是ln（-VH）所以，A应取相反数，则计算得
1
11.13345587
σ=
接下来我们可以回到（p ）以 代替 形成循环。
后面的计算，鉴于篇幅，及我所测数据过于坑爹，就不继续了。这里只是我提供的一种想法。
结论：这一次的学习，是我对于最优化思想在数据拟合中的应用有了一定程度的理解，也是我有目的性的加强了关于数据拟合方面的知识及计算能力，且发现最小二乘法能较好的完成一般数据拟合的任务是一种使用的方法，在遇到非线性拟合时我们可以先将其转化为线性的形式再进行计算。
符号说明
B ：磁场强度。T
D : 光点偏移荧光屏中心的垂直距离。mm
p E :重力势能。j
k E ：动能。j F :作用力。N V H :霍尔电压。V
σ：方差。统计参量无单位。
References
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