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参数方程和极坐标系知识点与例题(整理过的)

J3参数方程和极坐标系

一、 知识要点

(一)曲线的参数方程的定义:

在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数,即 ⎩

⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值,由方程组所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数.

(二)常见曲线的参数方程如下:

1.过定点(x 0,y 0),倾角为α的直线:ααsin cos 00t y y t x x +=+= (t 为参数) 其中参数t 是以定点P (x 0,y 0)为起点,对应于t 点M (x ,y )为终点的有向线段PM 的数量,又称为点P 与点M 间的有向距离.

根据t 的几何意义,有以下结论.

○1.设A 、B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB =A B t t -=B A A B t t t t ⋅--4)(2.○2.线段AB 的中点所
对应的参数值等于2

○1.设A 、B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB =A B t t -=B A A B t t t t ⋅--4)(2.○2.线段AB 的中点所对应的参数值等于2

B A t t +. 2.中心在(x 0,y 0),半径等于r 的圆:θ

θsin cos 00r y y r x x +=+= (θ为参数) 3.中心在原点,焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆:θθ

sin cos b y a x == (θ为参数)(或 θ

θsin cos a y b x ==) 中心在点(x 0,y 0)焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数)ααα(.sin ,cos 00⎩

⎨⎧+=+=b y y a x x 4.中心在原点,焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线:θθtg sec b y a x ==(θ为参数)(或 θ

θec a y b x s tg ==) 5.顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上的抛物线:pt y pt x 222

== (t 为参数,p >0)