代数拓扑的主要内容及其历史
拓扑学的名称首见于德国数学家利斯廷（listing，-），拓扑是topology 的中文音译，以前长期被称作位置分析（analysis situs），关于位置分析的经典例子是欧拉解决的（Eluer，1707-1783）科尼斯堡七桥问题。拓扑学是研究几何图形在被弯曲，拉大，缩小或任意变形下保持性质不变得一门学科。
20世纪中期最伟大的数学家赫尔曼·外尔（H.weyl，1885-1955）曾经说过：20世纪将是抽象代数的魔鬼和拓扑学的天使争夺数学灵魂的时期。诚如此，从1900年希尔伯特在国际数学家大会上宣读的23个问题中竟然没有一个是拓扑的问题开始，到1935年在苏联召开的国际拓扑学大会的召开，拓扑学的发展可谓天翻地覆，一大批新的概念和理论建立了起来，整个拓扑学仿佛有做不完的问题。数学灵魂争夺的最终结果是群进入了拓扑学。一方面20世纪数学（特别是抽象代数学）的发展为拓扑学提供了工具从而形成了代数拓扑这一学科，另一方面拓代数扑学的发展反过来又促进了新的数学的产生（典型的例子是同调代数，范畴论）。
代数拓扑是现代数学的主流。法国布尔巴基学派的迪厄多内说过：代数拓扑和微分拓扑是现代数学的女王。陈省身先生当年在中央研究院主持工作训练新人时，吸取了苏联函数论学派的和波兰泛函分析学派的成功的经验，认为当时数学的主流乃是代数拓扑，应当以代数拓扑为主要学习内容，培养从全国各地选拔的青年才俊。这种方式取得了很大的成效，如首届国家最高科技奖吴文俊的早期工作就是代数拓扑，廖山涛，张素诚，杨忠道等都出自代数拓扑讨论班。
代数拓扑起源于庞加莱的组合拓扑学，本文旨在简要叙述一下代数拓扑的历史。毫无疑问，早期的代数拓扑学已经成为经典。本文简要介绍一下同调的思想发展史，即组合拓扑学是如何发展到代数拓扑学的。那么组合拓扑学的主要研究对象是什么？同调群是如何引入拓扑学的？同调群的拓扑不变性又是由谁证明的？上同调群、相对上同调群、局部同调群、上同调环之间有什么关系呢？通过一学期的学习，使我下定决心以这种方式写这篇作业。本学期的主要内容是多面体的同调论，我的思路是以重大人物的伟大功绩和重大定理的发明为线索，阐明代数拓扑中许多重要又不为人所知的事实和重大思想，这仅是我的一个尝试。
代数拓扑的主要方法思路：代数拓扑学中的最基本的研究对象是----单纯复合形及其多面体。然后从几何性质出发，利用群的术语，对于每一个多面体的一个固定的剖分，即对于每一个单纯复合形，引进它的同调群，同调群集中反映了单纯复合形的许多重要的几何性质。并进而引出了上同调群，并由此可以定义上同调环，代数拓扑最终导致了同调代数的产生。
1庞加莱（H.poincare,1854-1912）
庞加莱基本引进同调群，尽管他没有以群论的语言表述出来，但是庞加莱已经拥有了全部的同调思想，他引进的是另一个拓扑不变量--基本群。
庞加莱当时法国乃至世界上是伟大的法国数学家，被称为掌握全部数学的最后一位全才，他的哲学思维在数学家中也是首屈一指。庞加莱在1895年发表了他的论文【位置分析】，随后又做了5篇补充（1899,1900，1902,1902,1904），从而一举开创了组合拓扑学。
庞加莱的方法是以多面体为对象，把点、棱、面推广为标准构件----单形，然后把所有图形都分解为单形的组合---复形，从而得到其拓扑性质。（单形和复形的术语是又不劳威尔引入的）
从上面我们已经看出，庞加莱以一般流形以及把它们三角剖分之后构成的复合形为拓扑学的研究对象。并把欧拉公式推广到庞加莱公式，建立了庞加莱对偶定理。庞加莱还留下了一系列猜想，最著名的是庞加莱猜想和主猜测。庞加莱猜想一直吸引着其后数学家的注意，并最终以俄罗斯数学家佩雷尔曼解决而画上圆满的符号。佩雷尔曼也因此获得了2006年数学界最高的荣誉---菲尔兹奖。
组合拓扑学的最主要的拓扑不变量是贝蒂数和挠系数，对此庞加莱已经明了。因为庞加莱对偶定理明确告知我们：对于可定向的n维闭流形，k维挠系数=n-k维挠系数。
庞加莱的另一个大贡献是他引入一个非数值的拓扑不变量---基本群，在区分单连通上很有作用，基本群其实是一维同伦群。本文不讨论它们，因为我对此几乎一无所知。那么后来的同调群这个非数值的拓扑不变量引入组合拓扑，似乎也就没什么大惊小怪了。因为早在1895年庞加莱就定义了基本群，而同调群的引入是埃米?诺特提醒了拓扑学家，她这样认为：为什么非要把不变量看做数呢？苏联的数学家亚历山大洛夫和瑞士的霍普夫大受影响，从而开始了代数拓扑真正开始---群进入拓扑学。
群进入拓扑学没什么大不了的，当时的哥廷根大学是世界的数学中心，以埃米?诺特的为首的抽象代数学派如日中天，抽象代数的思维迅速的进入了数学的各个领域并且占有了它，拓扑、数论、几何都由于获得了新思路而生机勃勃，其后代数拓扑，代数数论，代数几何一直是数学的主流。代数拓扑就是在这个大背景下形成的。
那么我们看一下复形的同调群是怎么定义的。
单形
一个单形只不过是一个n维的三角形，也就是说0维的单形只不过是一个点，以为单行是一条线段，二维单形是一个三角形，三位单形是一个四面体，n维单形是一个具有n+1个定点的广义的四面体。
一个单形较低维的面还是单形。
复形
一个复形是具有下述性质的一组有限个单形：组中任何两个单形的交，如果有的话，是一个公共的面，并且组中每一个单形的面也是组中的单形。即单形要规则相处。
在引入同调群的过程中，最重要的是单形定向和边缘运算这两个概念。对于一组顶点，当选定过顶点的一个顺序，就给了它一个定向。
一个单形的边缘由这个单形所包含的低一维的单形组成。一个二维单形的边缘由三个一维的单形组成。边缘其实就是其顺向面的组合。
对于一个给定的复形，可以做它的q维定向单形的线性组合，系数我们一般取整数。这样一个线性组合我们称之为链。经过我们验证，所有的这样的链组成
一个群，我们叫做k维链群，记作(,)
C K J。这其实是一个自由Abel群。
q
一个边缘为零的链叫做一个闭链。所以有些链是闭链，这样的闭链组合在一
起也构成一个群，我们叫做q维闭链群，记作(,)
Z K J。闭链之中有些是其他链
q
的边缘我们把它叫做q维边缘链，我们把闭链群中边缘链组合起来，发现也构成
一个群，我们把这样的群叫做q维边缘链群，记作(,)
B K J。
q
而k 维闭链群和k 维边缘链群的商群
()()q q Z K B K 就是这个复形的同调群，记作
(,)q H K J ！ 这里只不过是用群的语言进行了一下描述，前面已经说过，庞加莱已经定义了贝蒂数和挠系数，而整同调群的结构定理恰恰告诉我们，告诉了我们同调群就知道了贝蒂数和挠系数，二者是一样的！
整同调群的结构：n 维的有限复形K 的q 维整同调群能唯一分解成下述直和：
1q ()q H K J J J J J θθ=++++++…………。
前面为q R 个J 的直和，q R 就是前面所述的贝蒂数，i ?就是前面所述的挠系数。
同调群（贝蒂数，挠系数）可以取自不同的系数群。美国数学家维不仑和亚历山大引进了模2同调群，模2同调群的优点是不用区分方向。同为美国数学家的莱夫谢兹用有理数做链的系数，而苏联数学家庞特亚里金则更加广泛，直接用交换群作为链的系数。这些都是对同调群的推广。
同调群反映了复形的几何性质。例如n 维有限复形的零维贝蒂数等于复形的连通分支的个数。
庞加莱公式：欧拉得出了多面体的欧拉公式，即V-E+F=2。而单形和复形是多面体的推广，庞加莱把它推广到n 维复形，其中q 维单形的个数是q a ，q 维贝
蒂数是q R ，则庞加莱示性数为0(1)n
n q q a =-∑，它等于0
(1)n n q q R =-∑。这是复形的一个
拓扑不变量。
关于如何计算同调群，庞加莱用关联矩阵给出了算法，当时还没有计算机，这在现代情形下可以用计算机来机械完成。
至此我们大致说清楚了同调群。庞加莱的思想太过超前，且注意直觉思维的重要性。当时，大多数法国数学家把自己限制在狭小的范围内研究函数论，而没有关注庞加莱的拓扑学思想。实际上，庞加莱的思想广博深刻，大大超越了时代，庞加莱的工作在法国后继无人，关于关同调群的拓扑不变性的严密证明（实际上是贝蒂数和挠系数不变性）庞加莱也没有完成。虽然法国没人继承，但是拓扑学的思想已经生根开花，世界范围内涌现出一大批拓扑学家。尤其著名的是布劳威尔，霍普夫，后来更是形成了苏联和美国两大拓扑学派。在为代数拓扑注入了严密基础的数学家中，有一个人不得不提，他就是直觉主义的另一旗帜人物—布劳威尔。
2布劳威尔
布劳威尔是荷兰伟大的数学家和哲学家，直觉主义的坚定拥护者。在1909-1913年短短的5年里，他创立了单形逼近方法来证明拓扑不变形，其中尤为著名的是维数的拓扑不变性。我们在这里提两个重要的概念和定理，一是单形
逼近，二是不劳威尔不动点定理。
我们重点关注一下同调群的拓扑不变性是如何证明的。
如果两个多面体作为拓扑空间同胚，那么它们的同调群有什么关系呢？答案是同构。本学期所学习的课程从重心重分开始，从复形K 的链群到重心重分SdK 的链群建立了链映射，并诱导出了同调群的同态，进而证明了同调群的重分不变性，并用重分不变性证明了拓扑不变性。最后提到了伦型不变性，虽然伦型不变性包括了前两者，但是作为历史，我们有必要看一下这个思想过程。
复形K 和L 之间的链群(),()q q C K C L 存在一序列的同态q f ，那么它们的同调
群(),()q q H K H L 有什么关系呢？答案是什么也没有。链映射：但是当这组同态q f 满足1q q q q f f -?=?时，称为复形K 到复形L 的一个链映射，这时则链映射可诱导
出同调群的同态。由此不同的链映射可诱导出不同的同调群(),()q q H K H L 的同
态，但是什么时候诱导出的同态相同呢？当两个链映射同伦时，诱导出相同的同
调群之间的同态。链同伦：q D ：1()()q q C K C L +??→，
满足11q q q q q q D D g f +-?+?=-。D 叫做从f 到g 的连轮移。
到底复形K 和复形L 之间能否建立链映射呢？这点通过单纯映射得到了保证。我发现，代数拓扑的所有定义都是从单形开始定义，然后定义复形，进而定义到链，这是否是一个规律呢？单纯映射既有明显的几何直观，又自然诱导出一个链映射。
在同调群的重分不变性的证明中，关键的两个概念是重分链映射和标准链映射，分别是K 到SdK 的链映射和SdK 到K 的链映射，我们可以证明这两个链映射诱导出的同调群的同态互逆，从而一举证明了同调群的重分不变性。
在同调群的拓扑不变性的证明中，我们证明了任何一个映射都可以由单纯映射来“逼近”，我觉得这点和非线性函数由线性函数逼近，不连续函数由连续函数逼近类似。
同调群的拓扑不变形：如果两个多面体作为拓扑空间同胚，那么它们的各维同调群同构。我们发现如果复形K 到复形L 之间的映射?有星形性质,则K 到L 存在单纯逼近，这是著名的单纯逼近定理。由于证明中用到了重分不变性，所以还要说明这跟重分的次数没有关系。
最后我们获取了如下事实，即如果复形K 复形L 存在着连续映射，则它们的各维同调群同态。这真是几何直观和代数机械运算的完美结合。
布劳威尔不动点定理：n 维球到其自身的任意连续映射都有一个不动点。这个定理运用极广，尤其在微分方程中。此后这个定理又得到了大规模的推广，如
亚历山大不动点定理，莱夫谢兹不动点定理，还有泛函分析上的肖德尔不动点定理。 最后我不得不花费篇幅说一下布劳威尔这个人。布劳威尔1881年2月27日生于荷兰的奥弗希，1966年12月2日卒于布拉里克姆。1904年毕业于阿姆斯特丹大学。后在G.曼诺利的影响下，开始接触拓扑学和数学基础。1912年为阿姆斯特丹大学教授，同年为荷兰皇家科学院院士。他强调数学直觉，坚持数学对象必须可以构造，被视为直觉主义的创始人和代表人物。
他在代数拓扑方面的研究似乎是受到了他的哲学观的制约。后来著名的代数学家，也是他的同乡，风靡一时的【近世代数学】的作者范德瓦尔登在评价他时说道：
即使布劳威尔最重要的研究贡献是在拓扑学领域，但是他也从来没有教过拓扑学的课程，而总是且仅是教授直觉主义基础。好像他自己不再相信自己在拓扑学方面的成果。因为从直觉主义的观点看，它们不正确。他根据自己的哲学将之前做过的每一件事---他最伟大的成果---都判定为不正确。他是一个非常奇怪的人，疯狂的热爱着自己的哲学。
3苏联学派和美国学派
在两位伟大先驱的激励下，拓扑学工作者蓄势待发，形成了强大的团体。比较著名的有苏联的亚历山大洛夫学派和美国的拓扑学派。美国的代数拓扑学派人员众多，在代数拓扑的发展过程中做出了重要的贡献。前面我们已经提到过亚历山大，莱夫谢兹，还有维不仑，莫尔斯等都是大拓扑学家。不过我学的不够，他们的工作很多东西我不能深刻理解，甚至完全不懂。
代数拓扑学最显著地特点是可以定义代数运算，这点后来愈发的明显，上同调群，上同调环大抵如此，令我们可喜的是还能找到它们的几何背景。而代数几何就没那么幸运了，在几次抽象过程中，几何痕迹被完全消除了，最终变成了纯抽象的格罗登迪克的概型论。
由于受到抽象代数的影响，各种群纷纷进入拓扑学。下同调群，上同调群，相对同调群，局部同调群大行其道，一时间好不热闹。
有了下同调群的定义，不难验证上同调群和相对同调群。尤其是上同调群完全可以理解为纯代数的推广。
上同调群：设K 为n 维复形，()q C K 是它的以整系数为系数的q 维链群，则
同态群Hom ((),)q C K G 叫做K 的以G 为值群的q 维上链群，记作(,)q C K G ，它的
元素叫做K 的下链，访此，可定义上边缘运算，上闭链和上闭链群，上边缘链和上边缘链群，并进而定义出上同调群。同样它的几何意义明显,这点和下同调群
一样。
相对同调群：复形K 和非空子复形L 都有各自的同调群，相对同调群主要揭示了两者之间的关系，即用K-L 上的单形和K 上的边缘运算划归到K-L 上的边缘运算定义出同调群。
这些同调群和下同调群一样，都是拓扑不变量。但是数学家定义了这么多同调群所为何用？原来他们之间有着很深的联系。
上下同调群的关系：复形K 的上下同调群()q H K ，()q H K ，q q R R =，1q q T T -=
同调序列：这是代数拓扑的核心概念之一，直接指向同调代数。我们发现了这几种同调群如此的神奇，K 是复形，L 是其子复形，我们可建立如下序列同态：10000()()(,)()()()(,)0n n n n H L H K H K L H L H L H K H K L -→→→→→→→→
虽然前面知道了同调群的定义，但是通过定义去计算同调群非常的不方便，其实早在庞加莱时期，他考虑的是多面体的凸胞腔，而不是限于单纯剖分。
块形剖分：把K 的单形适当的聚集起来，做成较少个数的各维块形，得到K 的块形剖分。在计算K 的同调群时，能用块形剖分代替单纯剖分，并且在证明庞加莱对偶定理时，发挥了重要的作用。
数学家们发现，上同调群作为拓扑不变量远不足以区分所有的复形和拓扑空间，因此数学家们又定义了更强的代数不变量—上同调环。上同调环是上链之积诱导出来的，在上同调群之间定义了乘法，从而使()q q
H K ∑成为一个环，称为
上同调环。上同调有着特殊的性质，而下同调却没有，这一点数学家们后来才知道。但无疑闭组合流形很特殊，它有下同调环。
闭组合流形：庞加莱已经发现闭组合流形似乎有着特殊的性质，之所以现在才说闭组合流形，是因为它的证明用到了前面的知识。闭组合流形的地位在于闭假流形和闭拓扑流形之间，庞加莱对偶定理：对于可定向的n 维闭组合流形M ，()()q n q R M R M -=，1()()q n q T M T M --≈，上下同调环同构。
4代数拓扑在中国
陈省身先生和吴文俊院士是我国伟大的数学家，读他们的传记使我非常有感触，陈先生创立了整体微分几何，吴文俊院士的早期工作就和代数拓扑学有关。代数拓扑并不起源于我国，我国在代数拓扑学的工作起源于什么时期呢？我也没有时间来考证。但是陈省身先生证明的高斯-邦内公式使我非常神往，它沟通了代数拓扑和微分几何的联系，还有代数拓扑中的示性类—惠特尼示性类，陈省身类，庞特亚里金示性类和吴文俊给出的吴公式使我感觉代数拓扑学真是太神秘和神奇了。使我我印象最深的是陈先生在1946年主持中央研究院时每周12学时亲
自讲解代数拓扑学，为我国培养了一大批人才。对于我来说，在王老师细致耐心的讲解下，我感觉收获很多。王老师讲解总是可以抓住核心概念并加以几何图形解释，条理清晰，思路分明，在我看来简直是化腐朽为神奇了，心想代数拓扑这么难的东西在王老师手里简直是信手拈来，当时本科我曾自己尝试学习代数拓扑，结果是“感情受到伤害”，而现在我感觉代数拓扑的知识我已掌握，而代数拓扑所反映的数学思想已经留在脑子里并且可以安心的回家睡觉了。
最后感谢王老师为我推荐的那几本书。
课题：拓扑学（下） 【教学目标】了解拓扑学的发展史和有趣概念 【教学重点】拓扑学中的几个典型概念 【教学过程】 等价 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，圆和方形、三角形的形状、大小不同，但在拓扑变换下，它们都是等价图形；足球和橄榄球，也是等价的----从拓扑学的角度看，它们的拓扑结构是完全一样的。 而游泳圈的表面和足球的表面则有不同的拓扑性质，比如游泳圈中间有个“洞”。在拓扑学中，足球所代表的空间叫做球面，游泳圈所代表的空间叫环面，球面和环面是“不同”的空间。 莫比乌斯环（只有一个面）性质 “连通性”最简单的拓扑性质。上面所举的空间的例子都是连通的。而“可定向性”是一个不那么平凡的性质。我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。这样的空间是可定向的。
而德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面不能用不同的颜色来涂满。莫比乌斯曲面是一种“不可定向的”空间。可定向性是一种拓扑性质。这意味着，不可能把一个不可定向的空间连续的变换成一个可定向的空间。 发展简史 萌芽 拓扑学起初叫形势分析学，这是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。欧拉在1736年解决了七桥问题，1750年发表了多面体公式；高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。Topology这个词是由J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希腊文τ?πο?和λ?γο?（“位置”和“研究”）。这是拓扑学的萌芽阶段。 1851年，德国数学家黎曼在复变函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。 组合拓扑学的奠基人是法国数学家庞加莱。他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的。他的主要兴趣在流形。在1895～1904年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。 拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。实数的严格定义推动康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓
代数拓扑的主要内容及其历史 拓扑学的名称首见于德国数学家利斯廷（listing，-），拓扑是topology 的中文音译，以前长期被称作位置分析（analysis situs），关于位置分析的经典例子是欧拉解决的（Eluer，1707-1783）科尼斯堡七桥问题。拓扑学是研究几何图形在被弯曲，拉大，缩小或任意变形下保持性质不变得一门学科。 20世纪中期最伟大的数学家赫尔曼·外尔（H.weyl，1885-1955）曾经说过：20世纪将是抽象代数的魔鬼和拓扑学的天使争夺数学灵魂的时期。诚如此，从1900年希尔伯特在国际数学家大会上宣读的23个问题中竟然没有一个是拓扑的问题开始，到1935年在苏联召开的国际拓扑学大会的召开，拓扑学的发展可谓天翻地覆，一大批新的概念和理论建立了起来，整个拓扑学仿佛有做不完的问题。数学灵魂争夺的最终结果是群进入了拓扑学。一方面20世纪数学（特别是抽象代数学）的发展为拓扑学提供了工具从而形成了代数拓扑这一学科，另一方面拓代数扑学的发展反过来又促进了新的数学的产生（典型的例子是同调代数，范畴论）。 代数拓扑是现代数学的主流。法国布尔巴基学派的迪厄多内说过：代数拓扑和微分拓扑是现代数学的女王。陈省身先生当年在中央研究院主持工作训练新人时，吸取了苏联函数论学派的和波兰泛函分析学派的成功的经验，认为当时数学的主流乃是代数拓扑，应当以代数拓扑为主要学习内容，培养从全国各地选拔的青年才俊。这种方式取得了很大的成效，如首届国家最高科技奖吴文俊的早期工作就是代数拓扑，廖山涛，张素诚，杨忠道等都出自代数拓扑讨论班。 代数拓扑起源于庞加莱的组合拓扑学，本文旨在简要叙述一下代数拓扑的历史。毫无疑问，早期的代数拓扑学已经成为经典。本文简要介绍一下同调的思想发展史，即组合拓扑学是如何发展到代数拓扑学的。那么组合拓扑学的主要研究对象是什么？同调群是如何引入拓扑学的？同调群的拓扑不变性又是由谁证明的？上同调群、相对上同调群、局部同调群、上同调环之间有什么关系呢？通过一学期的学习，使我下定决心以这种方式写这篇作业。本学期的主要内容是多面体的同调论，我的思路是以重大人物的伟大功绩和重大定理的发明为线索，阐明代数拓扑中许多重要又不为人所知的事实和重大思想，这仅是我的一个尝试。 代数拓扑的主要方法思路：代数拓扑学中的最基本的研究对象是----单纯复合形及其多面体。然后从几何性质出发，利用群的术语，对于每一个多面体的一个固定的剖分，即对于每一个单纯复合形，引进它的同调群，同调群集中反映了单纯复合形的许多重要的几何性质。并进而引出了上同调群，并由此可以定义上同调环，代数拓扑最终导致了同调代数的产生。 1庞加莱（H.poincare,1854-1912） 庞加莱基本引进同调群，尽管他没有以群论的语言表述出来，但是庞加莱已经拥有了全部的同调思想，他引进的是另一个拓扑不变量--基本群。 庞加莱当时法国乃至世界上是伟大的法国数学家，被称为掌握全部数学的最后一位全才，他的哲学思维在数学家中也是首屈一指。庞加莱在1895年发表了他的论文【位置分析】，随后又做了5篇补充（1899,1900，1902,1902,1904），从而一举开创了组合拓扑学。 庞加莱的方法是以多面体为对象，把点、棱、面推广为标准构件----单形，然后把所有图形都分解为单形的组合---复形，从而得到其拓扑性质。（单形和复形的术语是又不劳威尔引入的）
拓扑学是几何学的一个分支，主要研究图形在连续变换下不变的性质。 可参看百科的“拓扑”或“拓扑学”条目。我下面引述的例子不多作解释，可以直接查到。 例如，Euler的七桥问题就是一个拓扑学的问题，因为把七桥连成路径，不论桥和路如何连续的变化，都不影响问题的结果，也就是说，这个问题研究的是一个连续变换下不变的性质。 又如，四色定理（地图可用四色着色）是一个拓扑学的问题，因为地图中的区域大小和具体形状在问题中并不重要，都可以连续的变化，不改变地图可以用四色着色这一性质。 所以，在拓扑学的观点下，圆和三角形的性质没有什么区别，轮胎和戒指的性质没有什么区别，因为它们都可以通过连续变换互相得到。 另一方面，研究图形面积的几何就不是拓扑学，因为在连续变换下，面积可以变化。同样的道理，图形的大小、平行、对称、垂直等等都不是拓扑学的研究领域。 可以看到，拓扑学研究的性质对图形的要求很低（一定程度变了形都没关系），所以它的应用范围也就十分广泛，因而成为现代数学的基础之一。以至于许多看起来跟几何图形没多大关系的地方，也可以应用拓扑学的知识。如分析学中就大量使用点集拓扑学的术语和手段。 拓扑学因研究的领域和方法的不同，有一些分支。如一般拓扑学，又称点集拓扑学，是研究一组抽象的“点”（可以是几何上的，也可以不是）的拓扑性质的；代数拓扑学，利用代数学的手段研究拓扑性质，如同伦论和同调论；微分拓扑学，利用分析学的手段（主要是微分）研究拓扑性质；几何拓扑学，研究几何意义明显的东西（成为流形），如扭结；等等。 注：以上的叙述只是介绍，语言都是在数学上不严谨的。实际的拓扑学研究中，像连续、变换、点等概念，都是需要严格定义的。
拓扑学简介（一）Comments>> | Tags 标签：原创, 拓扑学, 莫比乌斯带季候风发表于 2008-09-29 13:19 拓扑学是现代数学的一个重要分支，同时是渗透到整个现代数学的思想方法。“拓扑”一词是音译自德文topologie，最初由高斯的学生李斯亭引入（1848年），用来表示一个新的研究方向，“位置的几何”。中国第一个拓扑学家是江泽涵，他早年在哈佛大学师从数学大师莫尔斯，学成后为中国带来了这个新学科（1931年）。 拓扑学经常被描述成“橡皮泥的几何”，就是说它研究物体在连续变形下不变的性质。比如，所有多边形和圆周在拓扑意义下是一样的，因为多边形可以通过连续变形变成圆周，右边这个图上，一个茶杯可以连续地变为一个实心环，在拓扑学家眼里，它们是同一个对象。而圆周和线段在拓扑意义下就不一样，因为把圆周变成线段总会断裂（不连续）。为什么要研究这种性质呢？这就要追溯到几百年以前先贤们的遐想了。好在拓扑学比微积分还是新得多，用不着“言必称希腊”，只要从莱布尼兹开始就行。 莱布尼兹作为微积分的主要奠基者之一，对抽象符号有特殊的偏好。经过他深思熟虑以后的微积分符号系统，比如微商符号dy/dx，不久就把牛顿的符号系统比下去了。在1679年的时候，莱布尼兹突发奇想，尝试用抽象符号代表物体的几何性质，用以将几何性质代数化，通过符号的代数运算，由已有的几何性质产生新的几何性质。他不满意笛卡尔的坐标系方法，认为有些几何性质是跟几何体的大小无关的，从而不能直接在坐标系中予以体现。可能是由于这个想法太超前了，在他自己的脑子里也还只是混沌一片，而当年听到他这个想法的很多人，比如惠更斯，干脆就不予理睬。
代数、几何、分析三者到底有什么不同 以正整数作为研究对象的数论，可以看作是算术的一部分，但它不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其它数来表达的观点来研究数的。因此可以说，数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。早在公元前3世纪，欧几里得的《原本》讨论了整数的一些性质。他证明素数的个数是无穷的，他还给出了求两个数的公约数的辗转相除法。这与我国《九章算术》中的“更相减损法”是相同的。埃拉托色尼则给出了寻找不大于给定的自然数N的全部素数的“筛法”：在写出从1到N的全部整数的纸草上，依次挖去2、3、5、7……的倍数(各自的2倍，3倍，……)以及1，在这筛子般的纸草上留下的便全是素数了。当两个整数之差能被正整数m除尽时，便称这两个数对于“模”m同余。我国《孙子算经》(公元4世纪)中计算一次同余式组的“求一术”，有“中国剩余定理”之称。13世纪，秦九韶已建立了比较完整的同余式理论——“大衍求一术”，这是数论研究的内容之一。丢番图的《算术》中给出了求x?＋y?＝z?所有整数解的方法。费尔马指出x^n＋y^n＝z^n在n＞3时无整数解，对于该问题的研究产生了19世纪的数论。之后高斯的《数论研究》(1801年)形成了系统的数论。数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方
法，称为初等数论。17世纪中叶以后，曾受数论影响而发展起来的代数、几何、分析、概率等数学分支，又反过来促进了数论的发展，出现了代数数论(研究整系数多项式的根—“代数数”)、几何数论(研究直线坐标系中坐标均为整数的全部“整点”—“空间格网”)。19世纪后半期出现了解析数论，用分析方法研究素数的分布。二十世纪出现了完备的数论理论。5、抽象代数1843年，哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年，格拉斯曼推演出更有一般性的几类代数。1857年，凯雷设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是相容的)，就能研究出许多种代数体系。1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；狄德金和克隆尼克创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。1926年，诺特完成了理想(数)理论；1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。到现在为止，数学家们已经研究过200
《代数拓扑》课程简介 06191080 代数拓扑 3 Algebraic Topology 3-0 预修要求：群论，点集拓扑 面向对象：三、四年级本科生(秋冬学期开课) 内容简介：紧曲面的分类，基本群，自由群，Seifert-Van Kampen定理，覆盖空间及分类。 选用教材或参考书： Algebraic Topology: An Introduction, William Massey, Springer-Verlag, 1977 《代数拓扑》教学大纲 06191080 代数拓扑 3 Algebraic Topology 3-0 面向对象：三、四年级本科生(秋冬学期开课) 预修要求：群论，点集拓扑 一、教学目的和基本要求 在点集拓扑的基础下，本课程用代数的手段来研究拓扑空间。代数拓扑有两大分支：同伦论和同调论。本课程只学习同伦论的两个基本概念：基本群和覆盖空间。它们在复变函数，微分几何，图论和很多数学分支有广泛的应用。学习基本群时要有群论的知识。 二、课程主要内容及学时分配 每周3学时，共16周。 紧曲面的分类10 基本群8 自由群8 Seifert-Van Kampen定理8 覆盖空间及其分类14 三、相关教学环节安排: 每两周布置作业15 到25 题。 四、教学方式: 授课, 答疑 五、考试方式及要求: 闭卷考试. 总成绩作业占20%，期中考占20%, 大考占60%. 六、教材及主要参考书: 教材: Algebraic Topology: An Introduction, W. Massey, Springer-Verlag, 1977 主要参考书: Topology, J. Munkres, 机械工业出版社, 2004 Algebra, T.W. Hungerford, Springer-Verlag, 1973 七、有关说明: 双语教学课程
王涛 2010110676 代数拓扑的主要内容及其历史 拓扑学的名称首见于德国数学家利斯廷（J.B.listing，1808-1882），拓扑是topology的中文音译，以前长期被称作位置分析（analysis situs），关于位置分析的经典例子是欧拉解决的（L.Eluer，1707-1783）科尼斯堡七桥问题。拓扑学是研究几何图形在被弯曲，拉大，缩小或任意变形下保持性质不变得一门学科。 20世纪中期最伟大的数学家赫尔曼·外尔（H.weyl，1885-1955）曾经说过：20世纪将是抽象代数的魔鬼和拓扑学的天使争夺数学灵魂的时期。诚如此，从1900年希尔伯特在国际数学家大会上宣读的23个问题中竟然没有一个是拓扑的问题开始，到1935年在苏联召开的国际拓扑学大会的召开，拓扑学的发展可谓天翻地覆，一大批新的概念和理论建立了起来，整个拓扑学仿佛有做不完的问题。数学灵魂争夺的最终结果是群进入了拓扑学。一方面20世纪数学（特别是抽象代数学）的发展为拓扑学提供了工具从而形成了代数拓扑这一学科，另一方面拓代数扑学的发展反过来又促进了新的数学的产生（典型的例子是同调代数，范畴论）。 代数拓扑是现代数学的主流。法国布尔巴基学派的迪厄多内(J.Dieudonne,1906-1998)说过：代数拓扑和微分拓扑是现代数学的女王。陈省身先生当年在中央研究院主持工作训练新人时，吸取了苏联函数论学派的和波兰泛函分析学派的成功的经验，认为当时数学的主流乃是代数拓扑，应当以代数拓扑为主要学习内容，培养从全国各地选拔的青年才俊。这种方式取得了很大的成效，如首届国家最高科技奖吴文俊的早期工作就是代数拓扑，廖山涛，张素诚，杨忠道等都出自代数拓扑讨论班。 代数拓扑起源于庞加莱的组合拓扑学，本文旨在简要叙述一下代数拓扑的历史。毫无疑问，早期的代数拓扑学已经成为经典。本文简要介绍一下同调的思想发展史，即组合拓扑学是如何发展到代数拓扑学的。那么组合拓扑学的主要研究对象是什么？同调群是如何引入拓扑学的？同调群的拓扑不变性又是由谁证明的？上同调群、相对上同调群、局部同调群、上同调环之间有什么关系呢？通过一学期的学习，使我下定决心以这种方式写这篇作业。本学期的主要内容是多面体的同调论，我的思路是以重大人物的伟大功绩和重大定理的发明为线索，阐明代数拓扑中许多重要又不为人所知的事实和重大思想，这仅是我的一个尝试。 代数拓扑的主要方法思路：代数拓扑学中的最基本的研究对象是----单纯复合形及其多面体。然后从几何性质出发，利用群的术语，对于每一个多面体的一个固定的剖分，即对于每一个单纯复合形，引进它的同调群，同调群集中反映了单纯复合形的许多重要的几何性质。并进而引出了上同调群，并由此可以定义上同调环，代数拓扑最终导致了同调代数的产生。 1庞加莱（H.poincare,1854-1912） 庞加莱基本引进同调群，尽管他没有以群论的语言表述出来，但是庞加莱已经拥有了全部的同调思想，他引进的是另一个拓扑不变量--基本群。 庞加莱是当时法国乃至世界上是伟大的法国数学家，被誉为掌握全部数学的最后一位全才，他的哲学思维在数学家中也是首屈一指。庞加莱在1895年发表了他的论文【位置分析】，随后又做了5篇补充（1899,1900，1902,1902,1904），从而一举开创了组合拓扑学。
拓扑学简介 拓扑学是现代数学的一个重要分支，同时是渗透到整个现代数学的思想方法。“拓扑”一词是音译自德文topologie，最初由高斯的学生李斯亭引入（1848年），用来表示一个新的研究方向，“位置的几何”。中国第一个拓扑学家是江泽涵，他早年在哈佛大学师从数学大师莫尔斯，学成后为中国带来了这个新学科（1931年）。拓扑学经常被描述成“橡皮泥的几何”，就是说它研究物体在连续变形下不变的性质。比如，所有多边形和圆周在拓扑意义下是一样的，因为多边形可以通过连续变形变成圆周，右边这个图上，一个茶杯可以连续地变为一个实心环，在拓扑学家眼里，它们是同一个对象。而圆周和线段在拓扑意义下就不一样，因为把圆周变成线段总会断裂（不连续）。为什么要研究这种性质呢？这就要追溯到几百年以前先贤们的遐想了。好在拓扑学比微积分还是新得多，用不着“言必称希腊”，只要从莱布尼兹开始就行。莱布尼兹作为微积分的主要奠基者之一，对抽象符号有特殊的偏好。经过他深思熟虑以后的微积分符号系统，比如微商符号dy/dx，不久就把牛顿的符号系统比下去了。在1679年的时候，莱布尼兹突发奇想，尝试用抽象符号代表物体的几何性质，用以将几何性质代数化，通过符号的代数运算，由已有的几何性质产生新的几何性质。他不满意笛卡尔的坐标
系方法，认为有些几何性质是跟几何体的大小无关的，从而不能直接在坐标系中予以体现。可能是由于这个想法太超前了，在他自己的脑子里也还只是混沌一片，而当年听到他这个想法的很多人，比如惠更斯，干脆就不予理睬。莱布尼兹在三百多年前想要建立的，是现在称为“代数拓扑”的学问，中间经过欧拉，柯西，高斯，李斯亭，莫比乌斯，克莱因，特别是黎曼和贝迪的思考和尝试，终于在19，20世纪之交，由法国天才数学家庞卡莱悟到了。在这些先驱中，高斯名气最大，被称为数学王子；大家可能不太熟悉黎曼，其实他同高斯在数学史上的地位是相当的，他在19世纪中叶的很多想法直到现在还有着巨大的影响；莫比乌斯，他在数学上有很多贡献，不过他为世人所知还多半是因为用他的名字命名的奇怪曲面：莫比乌斯带。左边这个图就是莫比乌斯带，它的重要特性是，虽然在每个局部都可以说正面反面，但整体上不能分隔成正面和反面。这种曲面叫做“单侧曲面”。在这样的曲面上散步一定很别扭，哈哈。这次来谈谈拓扑学中有代表性的一个课题，扭结分类问题。所谓扭结，顾名思义就是一根绳子首尾相接，它可能打了结。更一般的，可以是几根绳子，除了自身打结以外，还互相打结。对具体的一个扭结，也许可以通过做实验的办法判断它是否打结，但是数学家希望找一个普适的，定量的办法。比如说，任意画一个扭结（它实际上是一个空间扭结的平面投影），比如这