§2.2 LTI连续系统的响应
通信与信息工程学院 江帆
一．物理系统的模型
?许多实际系统可以用线性系统来模拟。 ?若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用 线性常系数微分方程来描述。
二．微分方程的列写
?根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 ?对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑 约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及 四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL,KVL.
三．n阶线性时不变系统的描述
一个线性系统，其激励信号e(t )与响应信号r (t )之间 的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述
d n r (t ) d n ?1 r ( t ) d r (t ) + C1 + L + C n ?1 + C nr (t ) C0 n n ?1 dt dt dt d m e( t ) d m ?1 e ( t ) d e( t ) = E0 + E1 + L + E m ?1 + E m e( t ) m m ?1 dt dt dt
若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为 常系数的n阶线性常微分方程。 阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。
四．求解系统微分方程的经典法
分析系统的方法：列写方程，求解方程。 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t) 微分方程的经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解） 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励 f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。
齐次解 是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。 （齐次解的函数形式见P41表2-1）
特征根λ
单实根
齐次解yh (t )
Ceλt
r重实根
(Cr ?1t r ?1 + Cr ?2t r ?2 + L + C1t + C0 )eλt
eα t [C cos( β t ) + D sin( β t )]或Aeα t cos( β t ? θ )，其中Aejθ = C + jD
一对共轭复根λ1，＝α ± j β 2
r重共轭复根
[ Ar ?1t r ?1 cos( β t + θ r ?1 ) + Ar ?2t r ?2 cos(β t + θ r ?2 ) + L + A0 cos(β t + θ0 )]eα t
特解 的函数形式与激励函数的形式有关。P41表2-2
激励f (t )
特解y p (t )
tm
Pmt m + Pm?1t m?1 + L + Pt + P0 1
Peα t ( Pt + P0 )eα t 1
所有的特征根均不等于0；
t r [ Pmt m + Pm ?1t m ?1 + L + Pt + P0 ] 有r重等于0的特征根； 1
α 不等于特征根； α 等于特征单根； α 等于r重特征根；
所有的特征根均不等于 ± j β
eα t
( Pr t r + Pr ?1t r ?1 + L + Pt + P0 )eα t 1
cos( β t )或 sin( β t )
P cos( β t )+Q sin( β t )
或A cos( β t ? θ ),其中Aejθ =P+jQ
经典法
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
Ak e α k t 注意重根情况处理方法。 ∑
k =1 n
特
全
解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 Ak 。
几种典型激励函数相应的特解
激励函数e(t) 响应函数r(t)的特解
E (常数 )
tp eα t
cos(ω t ) sin (ω t )
t p e α t sin (ω t ) t p e α t cos (ω t )
B(常数 )
B1t p + B2 t p ?1 + L + B p t + B p +1
Be α t
B1 cos(ω t ) + B2 sin (ω t )
(B t + B t + (D t + D t
p 1 2 p 1 2
p ?1
+ L + B p t + B p +1 e α t cos(ω t )
)
p ?1
+ L + D p t + D p +1 e α t sin (ω t )
)
五．初始条件---平衡法
我们一般将激励信号加入的时刻定义为0，响应 为 t ≥ 0 + 时的方程的解，初始条件
d n ?1 r ( 0 + ) d r (0 + ) d 2 r (0 + ) r (0 + ) , , L, , 2 d t n ?1 dt dt
初始条件的确定是此课程要解决的问题。
用系数匹配法求0+初始值 若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时 用t = 0+时刻的初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2…，n-1)。 而y(j)(0 +)包含了输入信号的作用，不便于描述系统 的历史信息。 在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了 系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态 或起始值。 通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。 这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-) 设法求得y(j)(0+)。
六．零输入相应和零状态相应
系统相应的划分 自由响应＋强迫响应 (Natural+forced) 暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state) 零输入响应＋零状态响应 (Zero-input+Zero-state)
各种系统响应定义 (1)自由响应： 也叫固有响应，由系统本身特性决定的， 和外加激励形式无关。对应于齐次解。 强迫响应：形式取决于外加激励。对应于特解。 (2)暂态响应： 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中 暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。 稳态响应：由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态 响应分量。 没有外加激励信号的作用，只由起始状 (3)零输入响应： 态（起始时刻系统储能）所产生的响应。 零状态响应： 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状 态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。
六．零输入响应和零状态相应响应
线性非时变系统(LTI)的完全响应也可以分解为零输入 响应和零状态响应 yx(t)表示零输入响应：激励为零时仅由系统的初始状 态所引起的响应； yf(t) 表示零状态响应：系统的初始状态为零（即系 统的初始储能为零）时，仅由输入信号所引起的响 应
y (t ) = y x (t ) + y f (t )
1.零输入响应： 在零输入条件下，线性常系数微分方程等式右端均 为零，化为齐次方程。若其特征根全为单根，则其 零输入响应：
y x (t ) =
i =1
∑ c xi e
n
λit
式中cxi为待定常数，由初始状态yx(0+)确定 因为是输入为零， 所以yx(0+) = yx(0-)= y(0-)
2.零状态响应： 若系统的初始储能为零，亦即初始状态为零，这时 描述系统的微分方程仍为非齐次方程。若其特征根 均为单根，则其零状态响应为：
y f (t ) = ∑ c fi e
i =1
n
λi t
+ y p (t )
式中Cfi为待定常数，由初始状态yf(0+)确定。因为 是零状态响应，所以yf(0-) = 0
（3）完全响应 完全响应可分解为自由响应和强迫响应，也可分解为 零输入响应和零状态响应，它们的关系为：
y ( t ) = ∑ ci e λ i t +
自由响应 i =1 4 1 3 42 n 强迫响应
y p (t ) = {
零输入响应
c xi e λ i t + ∑ c fi e λ i t + y p (t ) ∑ 1 =1 4 i =424 1 3 i14 4 24 4 3 4
零状态响应
n
n
自由响应和零输入响应都是齐次方程的解，但两者的 系数各不相同 cxi仅由系统的初始状态所决定，而ci要由系统的初始 状态和激励信号共同来确定。 自由响应包含零输入响应的全部和零状态响应的一部 分。
本节小结
系统的完全响应可以分为零输入响应和零状态响 应。 求解零输入响应时，方程的初始状态： yx(0+) = yx (0-)= y(0-) 求解零状态响应时，方程的初始状态： yf(0-) = 0， yf(0+) 可由平衡法求得
求并联电路的端电压 v (t )与激励 i s (t ) 间的关系。 电阻 电感 电容
1 iR (t ) = v (t ) R 1 t i L (t ) = ∫ v (τ ) d τ L ?∞ d v (t ) iC (t ) = C dt
iR i s (t ) R L iL C ic + a
例2-2-1
v (t )
?
b
根据KCL
iR (t ) + iL (t ) + iC (t ) = iS (t )
代入上面元件伏安关系，并化简有
d i S (t ) d 2 v (t ) 1 d v (t ) 1 + + v (t ) = C 2 dt R dt L dt
这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。
例2-2-2
d d2 d3 求微分方程 3 r (t ) + 7 2 r (t ) + 16 r (t ) + 12r (t ) = e (t ) dt dt dt 的齐次解.
系统的特征方程为 α 3 + 7α 2 + 16α + 12 = 0 特征根： 2 (α + 2) (α + 3) = 0
α 1 = ?2(重根 ) , α 2 = ?3
因而对应的齐次解为
rh (t ) = ( A1 t + A2 )e ?2 t + A3 e ?3 t
控制系统时间响应分析”实验报告
实验一、“控制系统时间响应分析”实验报告 一、实验类型 验证性实验 二、实验目的 1、 求系统在时间常数τ不同取值时的单位脉冲、单位阶跃响应和任意输入响应，熟悉系统时间响应的定义和图形曲线 2、 求系统的上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间等性能指标，熟悉系统瞬态性能指标的定义。 三、实验仪器与设备（或工具软件） 计算机，MATLAB 软件 四、实验内容、实验方法与步骤 已知系统传递函数 50 )1(05.050)(2+++=s s s G τ 1、求系统在时间常数τ不同取值时的单位脉冲、单位阶跃响应和任意输入 响应。 应用impulse 函数，可以得到τ=0，τ=0.0125、τ=0.025时系统单位脉冲响 应；应用step 函数，同样可以得到τ=0，τ=0.0125、τ=0.025时系统单位阶跃响应。 2、求系统的瞬态性能指标 五、实验结果 1、系统在时间常数τ不同取值时的单位脉冲、单位阶跃响应和任意输入响 t=[0:0.01:0.8];%仿真时间区段 nG=[50]; tao=0; dG=[0.05 1+50*tao 50]; G1=tf(nG,dG); tao=0.0125; dG=[0.05 1+50*tao 50]; G2=tf(nG,dG); tao=0.025; dG=[0.05 1+50*tao 50]; G3=tf(nG,dG);%三种τ值下，系统的传递函数模型 [y1,T]=impulse(G1,t);[y1a,T]=step(G1,t); [y2,T]=impulse(G2,t);[y2a,T]=step(G2,t);
连续系统零极点分布与频响特性的关系 班级：02 学号：2014210 请利用MATLAB软件绘制下列因果系统的零极点图和频率响应特性曲线，并分析系统的滤波特性。 (1) H1(s); 程序如下： close all b=[2]; a=([1 2]); SYS=tf(b,a); pzplot(SYS); axis([-4,4 -2,2]); figure; freqs(b,a); MATLAB绘制的零、极点图和频率响应特性曲线如图所示。
-2-1.5-1-0.5 00.511.52 Real Axis (seconds -1 ) I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1) -10 1 -80 -60-40-200 Frequency (rad/s) P h a s e (d e g r e e s ) 10 10 10 10 -0.7 10 -0.4 10 -0.1 Frequency (rad/s) M a g n i t u d e (2) H 2(s) ; 程序如下： close all b=[1 0]; a=([1 2]); SYS=tf(b,a); pzplot(SYS); axis([-4,4 -2,2]); figure; freqs(b,a); MATLAB 绘制的零、极点图和频率响应特性曲线如图所示。 零极点图 频率特性曲线图
Real Axis (seconds -1) I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1) 10 10 10 10 Frequency (rad/s) P h a s e (d e g r e e s ) 10 10 10 10 10 101010 Frequency (rad/s) M a g n i t u d e
实验一、“控制系统时间响应分析”实验报告 一、实验类型 验证性实验 二、实验目的 1、 求系统在时间常数τ不同取值时的单位脉冲、单位阶跃响应和任意输入响应，熟悉系统时间响应的定义和图形曲线 2、 求系统的上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间等性能指标，熟悉系统瞬态性能指标的定义。 三、实验仪器与设备（或工具软件） 计算机，MATLAB 软件 四、实验内容、实验方法与步骤 已知系统传递函数 50 )1(05.050)(2+++=s s s G τ 1、求系统在时间常数τ不同取值时的单位脉冲、单位阶跃响应和任意输入响应。 应用impulse 函数，可以得到τ=0，τ=0.0125、τ=0.025时系统单位脉冲响应；应用step 函数，同样可以得到τ=0，τ=0.0125、τ=0.025时系统单位阶跃响应。 2、求系统的瞬态性能指标 五、实验结果 1、系统在时间常数τ不同取值时的单位脉冲、单位阶跃响应和任意输入响 t=[0:0.01:0.8];%仿真时间区段 nG=[50]; tao=0; dG=[0.05 1+50*tao 50]; G1=tf(nG ,dG); tao=0.0125; dG=[0.05 1+50*tao 50]; G2=tf(nG ,dG); tao=0.025; dG=[0.05 1+50*tao 50]; G3=tf(nG,dG);%三种τ值下，系统的传递函数模型 [y1,T]=impulse(G1,t);[y1a,T]=step(G1,t); [y2,T]=impulse(G2,t);[y2a,T]=step(G2,t); [y3,T]=impulse(G3,t);[y3a,T]=step(G3,t);%系统响应 subplot(131),plot(T,y1,'--',T,y2,'-.',T,y3,'-') legend('tao=0','tao=0.0125','tao=0.025') xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)');grid on; subplot(132),plot(T,y1a,'--',T,y2a,'-.',T,y3a,'-') legend('tao=0','tao=0.0125','tao=0.025') grid on;xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)');%产生图形 t=[0:0.01:1];u=sin(2*pi*t);% 仿真时间区段和输入 Tao=0.025;
目录 前言 (1) 正文 (1) 2.1设计目的和思想 (1) 2.2数字电子钟基本设计原理及设计方法 (2) 2.2.1时间计数单元设计 (4) 2.2.2用74LS48和74LS90构成秒和分计数器电路 (8) 2.2.3校时单元电路设计 (8) 2.3数字电子钟的组装与调试 (9) 致谢 (10) 参考资料 (11)
前言 数字电子钟是日常生活中常见的一种工具，大到机场等公共场所的时间屏幕，小到我们的手表、闹钟等，而且其报时功能也给人们提供了方便，因此，了解报时电子钟的工作原理是很有必要的，也很有趣，因此我选择了这个题目—数字电子钟。 数字电路与逻辑设计课程的核心是时序逻辑电路、组合逻辑电路和触发器，这些也是我们学通信的的学生最基本要掌握的知识，通过实践可以加深对课本知识的理解，能够处理一些实际中的情况，因此这次数电课程设计，我选择了数字电子钟这个题目，虽然在日常生活中很常见，看起来也很简单，但是其中包含了很多学问。在这个项目中，校时是一个很重要的模块，即要可以正常校时，又不能干扰到时间计数显示模块，而时间显示比较简单，用熟悉的芯片就可以做出来了，老师说过，对芯片等元器件的了解程度等于将军手中可以调动的兵力，掌握了芯片功能，也就掌握了主动权。 这次课程设计的选题—数字电子钟，不仅可以加深我对数字电路与逻辑设计课程的理解，也可以提高自己的动手能力以及实际中解决问题的能力，培养对这门课程的兴趣。 正文 2.1设计目的和思想 设计目的： 1培养数字电路的设计能力； 2掌握数字电子钟的设计、组装、和调试方法； 3、进一步巩固所学的理论知识，提高运用所学知识分析和解决实际问题的能力 4、提高电路布局、布线及检查和排除故障的能力。 数字电子钟是一种用数字电路技术实现时、分、秒计时的装置，与机械式时钟相比具有更高的准确性和直观性，且无机械装置，具有更更长的使用寿命，因此得到了广泛的使用。数字电子时钟从原理上讲是一种典型的数字电路，其中包括了组合逻辑电路和时序电路。 因此，我们设计与制作数字时钟就是为了了解数字钟的原理，从而学会制作数字电子钟、且由于数字电子钟的制作进一步了解各种在制作中用到的中小规模集成电路的作用及使用
第三章 系统频率特性 系统的时域分析是分析系统的直接方法，比较直观，但离开计算机仿真，分析高阶系统是困难的。系统频域分析是工程广为应用的系统分析和综合的间接方法。频率分析不仅可以了解系统频率特性，如截止频率、谐振频率等，而且可以间接了解系统时域特性，如快速性，稳定性等，为分析和设计系统提供更简便更可靠的方法。 本章首先阐明频率响应的特点，给出计算频率响应的方法，接着介绍Nyquist 图和Bode 图的绘制方法、系统的稳定裕度及系统时域性能指标计算。 3.1 频率响应和频率特性 3.1.1 一般概念 频率响应是指系统对正弦输入的稳态响应。考虑传递函数为G(s)的线性系统，若输入正弦信号 t X t x i i ωsin )(= (3.1-1) 根据微分方程解的理论，系统的稳态输出仍然为与输入信号同频率的正弦信号，只是其幅值和相位发生了变化。输出幅值正比于输入的幅值i X ，而且是输入正弦频率ω的函数。输出的相位与i X 无关，只与输入信号产生一个相位差?，且也是输入信号频率ω的函数。即线性系统的稳态输出为 )](sin[)()(00ω?ωω+=t X t x (3.1-2)
由此可知，输出信号与输入信号的幅值比是ω的函数，称为系统的幅频特性，记为)(ωA 。输出信号与输入信号相位差也是ω的函数，称为系统的相频特性，记为)(ω?。 幅频特性： )()()(0ωωωi X X A = (3.1-3) 相频特性： )()()(0ω?ω?ω?i -= (3.1-4) 频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性，可表示为： )()()(0ωωωj X j X j G i = (3.1-5) 频率特性)(ωj G 是传递函数)(s G 的一种特殊形式。任何线性连续时间系统的频率特性都可由系统传递函数中的s 以ωj 代替而求得。 )(ωj G 有三种表示方法： )()()(ω?ωωj e A j G = (3.1-6) )()()(ωωωjV U j G += (3.1-7) )(sin )()cos()()(ω?ωωωωjA A j G += (3.1-8) 式中，实频特性： )(cos )()(ω?ωωA U = 虚频特性：
实验三连续时间LTI系统分析 一、实验目的 （一）掌握使用Matlab进行连续系统时域分析的方法 1、学会使用符号法求解连续系统的零输入响应和零状态响应 2、学会使用数值法求解连续系统的零状态响应 3、学会求解连续系统的冲激响应和阶跃响应 （二）掌握使用Matlab进行连续时间LTI系统的频率特性及频域分析方法 1、学会运用MATLAB分析连续系统的频率特性 2、学会运用MATLAB进行连续系统的频域分析 （三）掌握使用Matlab进行连续时间LTI系统s域分析的方法 1、学会运用MATLAB求拉普拉斯变换（LT） 2、学会运用MATLAB求拉普拉斯反变换（ILT） 3、学会在MATLAB环境下进行连续时间LTI系统s域分析 二、实验条件 装有MATLAB的电脑 三、实验内容 （一）熟悉三部分相关内容原理 （二）完成作业
1、已知某系统的微分方程如下： )(3)()(2)(3)(t e t e t r t r t r +'=+'+'' 其中，)(t e 为激励，)(t r 为响应。 （1） 用MATLAB 命令求出并画出2)0(,1)0(),()(3='==---r r t u e t e t 时系统的 零状态响应和零输入响应（零状态响应分别使用符号法和数值法求解，零输入响应只使用符号法求解）； 符号法求解零输入响应： >> eq='D2y+3*Dy+2*y=0'; >> cond='y(0)=1,Dy(0)=2'; >> yzi=dsolve(eq,cond); >> yzi=simplify(yzi) yzi = 符号法求解零状态响应：exp(-2*t)*(4*exp(t) - 3) eq1='D2y+3*Dy+2*y=Dx+3*x'; eq2='x=exp(-3*t)*heaviside(t)'; cond='y(-0.001)=0,Dy(-0.001)=0'; yzs=dsolve(eq1,eq2,cond); yzs=simplify(yzs) yzs = (exp(-2*t)*(exp(t) - 1)*(sign(t) + 1))/2 图像如下： 代码：subplot(211) ezplot(yzi,[0,8]); grid on title('á?ê?è??ìó|') subplot(212) ezplot(yzs,[0,8]); grid on
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析 一、实验目的 1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义； 2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用； 3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义； 4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。 基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。 二、实验原理及方法 1 连续时间LTI 系统的频率响应 所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。 上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到： )()()(ωωωj H j X j Y = 3.1 或者： ) () ()(ωωωj X j Y j H = 3.2 )(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即 ? ∞ ∞ --= dt e t h j H t j ωω)()( 3.3 由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说 是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，
实验报告 实验项目名称：运用Matlab进行连续时间信号卷积运算 （所属课程：信号与系统） 学院：电子信息与电气工程学院 专业： 10电气工程及其自动化 姓名： xx 学号： 201002040077 指导老师： xxx
一、实验目的 1、学会运用MATLAB 分析连续系统的频率特性。 2、掌握相关函数的调用。 二、实验原理 1、一个连续LTI 系统的数学模型通常用常系数线性微分方程描述，即 )()()()()()(01 )(01)(t e b t e b t e b t r a t r a t r a m m n n +'++=+'++ (1) 对上式两边取傅里叶变换，并根据FT 的时域微分性质可得： )(])([)(])([0101ωωωωωωE b j b j b R a j a j a m m n n +++=+++ 101)()()()()(a j a j a b j b j b j E j R j H n n m m ++++++==ωωωωωωω H ( j ω )称为系统的频率响应特性，简称系统频率响应或频率特性。一般H ( j ω )是复函数，可表示为： )()()(ω?ωωj e j H j H = 其中， )(ωj H 称为系统的幅频响应特性，简称为幅频响应或幅频特性；)(ω?称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性。H ( j ω )描述了系统响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换间的关系。H ( j ω )只与系统本身的特性有关，与激励无关，因此它是表征系统特性的一个重要参数。 MATLAB 信号处理工具箱提供的freqs 函数可直接计算系统的频率响应的数值解，其语句格式为：H=freqs(b,a,w)其中，b 和a 表示H ( j ω )的分子和分母多项式的系数向量；w 为系统频率响应的频率范围，其一般形式为w1:p:w2，w1 为频率起始值，w2 为频率终止值，p 为频率取值间隔。 H 返回w 所定义的频率点上系统频率响应的样值。注意，H 返回的样值可能为包含实部和虚部的复数。因此，如果想得到系统的幅频特性和相频特性，还需要利用abs 和angle 函数来分别求得。
第三章 系统频率特性 系统的时域分析是分析系统的直接方法，比较直观，但离开计算机仿真，分析高阶系统是困难的。系统频域分析是工程广为应用的系统分析和综合的间接方法。频率分析不仅可以了解系统频率特性，如截止频率、谐振频率等，而且可以间接了解系统时域特性，如快速性，稳定性等，为分析和设计系统提供更简便更可靠的方法。 本章首先阐明频率响应的特点，给出计算频率响应的方法，接着介绍Nyquist 图和Bode 图的绘制方法、系统的稳定裕度及系统时域性能指标计算。 3.1 频率响应和频率特性 3.1.1 一般概念 频率响应是指系统对正弦输入的稳态响应。考虑传递函数为G(s)的线性系统，若输入正弦信号 t X t x i i ωsin )(= (3.1-1) 根据微分方程解的理论，系统的稳态输出仍然为与输入信号同频率的正弦信号，只是其幅值和相位发生了变化。输出幅值正比于输入的幅值i X ，而且是输入正弦频率ω的函数。输出的相位与i X 无关，只与输入信号产生一个相位差?，且也是输入信号频率ω的函数。即线性系统的稳态输出为 )](sin[)()(00ω?ωω+=t X t x (3.1-2)
由此可知，输出信号与输入信号的幅值比是ω的函数，称为系统的幅频特性，记为)(ωA 。输出信号与输入信号相位差也是ω的函数，称为系统的相频特性，记为)(ω?。 幅频特性： )()()(0ωωωi X X A = (3.1-3) 相频特性： )()()(0ω?ω?ω?i -= (3.1-4) 频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性，可表示为： )()()(0ωωωj X j X j G i = (3.1-5) 频率特性)(ωj G 是传递函数)(s G 的一种特殊形式。任何线性连续时间系统的频率特性都可由系统传递函数中的s 以ωj 代替而求得。 )(ωj G 有三种表示方法： )()()(ω?ωωj e A j G = (3.1-6) )()()(ωωωjV U j G += (3.1-7) )(sin )()cos()()(ω?ωωωωjA A j G += (3.1-8) 式中，实频特性： )(cos )()(ω?ωωA U = 虚频特性：
实验二连续时间系统的频率响应 37022613 张士龙 一、实验目的 1、加深对连续时间系统频率响应理解； 2 、掌握借助计算机计算任意连续时间系统频率响应的方法。 二、实验原理 连续时间系统的频率相应可以直接通过所得的表达式计算，也可以通过零极点图通过几何的方法来计算，而且通过零极点图可以迅速的判断系统的滤波特性。 1、在S平面上标出系统的另几点位置： 2、选择S平面的坐标原点为起点，沿虚轴向上移动，计算此时各极点和零点与该点的模和夹角： 3、与所有零点的模相乘，再除以各极点模，得到对应频率出的幅频特性值; 4、将所有零点的幅角相加，减去各极点的幅角，得到对应频率处的相角。 三、实验内容 1、流程图 2、源程序 #include
int z=0,p=0; float temp=0; printf("please input the zero point's number:"); scanf("%d",&z); printf("please input the zero point's real part:"); for(i=0;i 频率响应介绍_频率响应概念 频率响应是指将一个以恒电压输出的音频信号与系统相连接时，音箱产生的声压随频率的变化而发生增大或衰减、相位随频率而发生变化的现象，这种声压和相位与频率的相关联的变化关系称为频率响应。也是指在振幅允许的范围内音响系统能够重放的频率范围，以及在此范围内信号的变化量称为频率响应，也叫频率特性。在额定的频率范围内，输出电压幅度的最大值与最小值之比，以分贝数（dB）来表示其不均匀度。频率响应在电能质量概念中通常是指系统或计量传感器的阻抗随频率的变化。 频率响应确定方法分析法基于物理机理的理论计算方法，只适用于系统结构组成易于确定的情况。在系统的结构组成给定后，运用相应的物理定律，通过推导和计算即可定出系统的频率响应。分析的正确程度取决于对系统结构了解的精确程度。对于复杂系统，分析法的计算工作量很大。 实验法频率响应图册采用仪表直接量测的方法，可用于系统结构难以确定的情况。常用的实验方式是以正弦信号作为试验信号，在所考察的频率范围内选择若干个频率值，分别测量各个频率下输入和稳态输出正弦信号的振幅和相角值。输出与输入的振幅比值随频率的变化特性是幅频特性，输出与输入的相角差值随频率的变化特性是相频特性。 频率响应性能系统的过渡过程与频率响应有着确定的关系，可用数学方法来求出。但是除一阶和二阶系统外，这样做常需要很多时间，而且在很多情况下实际意义不大。常用的方法是根据频率响应的特征量来直接估计系统过渡过程的性能。频率响应的主要特征量有：增益裕量和相角裕量、谐振峰值和谐振频率、带宽和截止频率。 增益裕量和相角裕量它可提供控制系统是否稳定和具有多大稳定裕量的信息。 谐振峰值Mr和谐振频率rMr和r规定为幅频特性|G（j）|的最大值和相应的频率值。对于具有一对共轭复数主导极点（见根轨迹法）的高阶线性定常系统，当Mr值在（1.0～1.4）M0范围内时，可获得比较满意的过渡过程性能。其中M0是=0时频率响应的幅值。r的大小表征过渡过程的快速性：r值越大，系统在单位阶跃作用下输出响应的快速性越好。带宽和截止频率截止频率c规定为幅频特性|G（j）|达到0.7M0并继续下降时的临界频率。 实验二连续时间系统的频率响应 39022622龚小川 一．实验目的： 1. 进一步加深对连续时间系统频率响应理解； 2．掌握借助计算机计算任意连续时间系统频率响应的方法。 二．实验原理 1.本实验的基本内容就是将系统函数的幅频特性曲线以及相频特性曲线给画出来。 而系统函数∏∏==--= n i i m j j p s z s K s H 1 1 ) ) (()(,令jw s =,则∏∏==--= n i i m j j p jw z jw K jw H 1 1 ) ) (()( ∑∑∏∏∏∏======-==?=∑∑=?=-=-==n i i m j j n i i m j j w j n i j i m j j j j i i j j j w M N K jw H e jw H e M e N K jw H e M p jw e N z jw n i i m j j i j 1 1 1 1) (1 ] [ 1] [ )(,)()()(,1 1 θψ??θψθψ 即（1）计算所有零点模之积及极点模之积，两者之商即为)(s H 的幅度； （2）计算所有零点相角之和及极点相角之和，两者之差即为)(s H 的相角。 2.通过零极点图通过几何的方法来计算，而且通过零极点图可以迅速地判断系统的滤波特性。 通过零极点图进行计算的方法是： （1）在S 平面上标出系统的零极点位置； （2）选择S 平面的坐标原点为起始点，沿虚轴向上移动，计算此时各极点和零点 与该点的膜和夹角； （3）将所有零点的模相乘，再除以各极点的模，得到对应频率处的幅频特性的值；（4）将所有零点的幅角相加，减去各极点的幅角，得到对应频率处的相角。 三．实验流程图 实验三 连续时间LTI 系统分析 一、实验目的 （一）掌握使用Matlab 进行连续系统时域分析的方法 1、学会使用符号法求解连续系统的零输入响应和零状态响应 2、学会使用数值法求解连续系统的零状态响应 3、学会求解连续系统的冲激响应和阶跃响应 （二）掌握使用Matlab 进行连续时间LTI 系统的频率特性及频域分析方法 1、学会运用MATLAB 分析连续系统的频率特性 2、学会运用MATLAB 进行连续系统的频域分析 （三）掌握使用Matlab 进行连续时间LTI 系统s 域分析的方法 1、学会运用MATLAB 求拉普拉斯变换（LT ） 2、学会运用MATLAB 求拉普拉斯反变换（ILT ） 3、学会在MATLAB 环境下进行连续时间LTI 系统s 域分析 二、实验条件 装有MATLAB 的电脑 三、实验内容 （一）熟悉三部分相关内容原理 （二）完成作业 1、已知某系统的微分方程如下： )(3)()(2)(3)(t e t e t r t r t r +'=+'+'' 其中，)(t e 为激励，)(t r 为响应。 （1） 用MATLAB 命令求出并画出2)0(,1)0(),()(3='==---r r t u e t e t 时系统的 零状态响应和零输入响应（零状态响应分别使用符号法和数值法求解，零输入响应只使用符号法求解）； 符号法求解零输入响应： >> eq='D2y+3*Dy+2*y=0'; >> cond='y(0)=1,Dy(0)=2'; >> yzi=dsolve(eq,cond); >> yzi=simplify(yzi) yzi = 符号法求解零状态响应：exp(-2*t)*(4*exp(t) - 3) eq1='D2y+3*Dy+2*y=Dx+3*x'; eq2='x=exp(-3*t)*heaviside(t)'; cond='y(-0.001)=0,Dy(-0.001)=0'; yzs=dsolve(eq1,eq2,cond); yzs=simplify(yzs) yzs = (exp(-2*t)*(exp(t) - 1)*(sign(t) + 1))/2 图像如下： 代码：subplot(211) ezplot(yzi,[0,8]); grid on title('á?ê?è??ìó|') subplot(212) ezplot(yzs,[0,8]); grid on title('á?×′ì??ìó|') 数值计算法： t=0:0.01:10; sys=tf([1,3],[1,3,2]); f=exp(-3*t).*uCT(t); y=lsim(sys,f,t); plot(t,y),grid on ; axis([0 10 -0.001 0.3]); title('êy?μ????·¨μ?á?×′ì??ìó|') 目录 一、前馈控制系统设计 1、前馈控制系统选择原则 1.1 扰动量可测不可控原则 (2) 1.2 控制系统精确辨识原则 (2) 1.3被控系统自衡原则 (3) 1.4 优先性原则 (3) 1.5 经济性原则 (4) 2、工程整定 2.1 整定的总体原则 2.1.1 稳定性 (4) 2.1.2快速性 (5) 2.1.3 反馈控制的静差 (5) 3、前馈-反馈复合系统工程整定 (5) 二、实例仿真 (6) 2.1前馈控制系统整定 (7) 2.2反馈控制系统前向通道稳定性分析 (7) 2.3、反馈控制系统整定 (8) 2.4、系统仿真 (9) 三、心得体会 (11) 四、参考文献 (12) 一、前馈控制系统设计 1.1 前馈控制系统选择原则 前馈控制系统的选择主要有一下原则： 1.1.1 扰动量可测不可控原则 扰动量的可测性是补偿的前提条件，不可测的扰动量无法设计前馈补偿器。如果干扰可控，则可通过控制方法消除扰动对系统的影响，而没有必要采用前馈这种迂回的方式，在被控系统“腹中”消除干扰的影响了。 例如在很多过程控制中，温度是一个主要干扰源。温度可以测量（直接测量或间接测量），满足可测条件。而在某些环境如实验室中，温度可以通过空调等进行调节（不满足不可控条件），将温度对控制对象的影响降到最低，这时就没有必要对温度采取前馈控制方式消除影响了。 而在很多现场情况下（如被控对象在室外等），温度不易调节（满足不可控条件），这时应采取前馈控制方式消除由于温度对系统的影响。 1.1.2 控制系统精确辨识原则 控制中的每一个环节的传递特性都应能精确辨识。作为开环控制，构成前馈控制系统中的任何一个环节都应尽可能准确，因为开环控制系统中的任何一环节对系统的控制精确度都有一定影响。相比之下，闭环控制对系统中环节的要求要“松”得多。 1.1.3被控系统自衡原则 实验报告 实验名称：连续时间系统的频率响应 一、实验目的： 1 加深对连续时间系统频率响应理解； 2 掌握借助计算机计算任意连续时间系统频率响应的方法。 二、实验原理： 连续时间系统的频率响应可以直接通过所得表达式计算，也可以通过零极点 图通过用几何的方法来计算，而且通过零极点图可以迅速地判断系统的滤波特 性。 根据系统函数H(s)在s平面的零、极点分布可以绘制频响特性曲线，包括幅 频特性 H(jw) 曲线和相频特性?(w)曲线。这种方法的原理如下： 假定，系统函数H(s)的表达式为 当收敛域含虚轴时，取s = jw，也即在s平面中，s沿虚轴从- j∞移动到+ j∞时， 得到 容易看出，频率特性取决于零、极点的分布，即取决于Zj 、Pi 的位置，而式中K 是系数，对于频率特性的研究无关紧要。分母中任一因子(jw- Pi )相当于由极点 p 引向虚轴上某点 jw的一个矢量；分子中任一因子(jw-Zj)相当于由零点Zj引至虚轴上某点 jw的一个矢量。 在右图示意画出由零点Zj和极点 Pi 与 jw点连接构成的两个矢量，图中Nj、Mi 分别表示矢量的模，ψj、θi 表示矢量的辐角（矢量与正实轴的夹角，逆时针为正）。对于任意零点Zj 、极点Pi ，相应的复数因子（矢量）都可表示为： 于是，系统函数可以改写为 当ω延虚轴移动时，各复数因子（矢量）的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。这种方法称为s 平面几何分析。通过零极点图进行计算的方法是： 1 在S 平面上标出系统的零、极点位置； 2 选择S 平面的坐标原点为起始点，沿虚轴向上移动，计算此时各极点和零点与该点的膜模和夹角； 3 将所有零点的模相乘，再除以各极点的模，得到对应频率处的幅频特性的值； 4 将所有零点的幅角相加，减去各极点的幅角，得到对应频率处的相角。 三、实验内容 用 C 语言编制相应的计算程序进行计算，要求程序具有零极点输入模块， 可以手工输入不同数目的零极点。 计算频率从0～5频段的频谱，计算步长为0.1，分别计算上面两个系统的幅频特性和相频特性，将所得结果用表格列出，并画出相应的幅频特性曲线和相频特性曲线。 判断所给系统的滤波特性，对于带通滤波器，计算出 3dB 带宽的起始频点和结束频点；对于低通或高通滤波器，计算出3dB 带宽的截止或开始的频率。 四、画出系统一和系统二的零极点图 系统一 系统二 五、程序流程图和程序代码 程序流程图如下： 实验三：二阶系统的频率响应 1．实验目的 ① 学习频率特性的实验测试方法； ② 掌握根据频率响应实验结果绘制Bode 图的方法。 2．实验预习要点 ① 自行设计二阶系统电路。 ② 选择好必要的参数值，计算出相应的频率响应数值，预测出所要观察波形的特点，与实验结果比较。 3．实验设备 计算机、XMN-2自动控制原理模拟实验箱、CAE-PCI 软件、万用表。 4．实验内容 典型二阶系统的方框图和模拟电路图如图3-26所示。 图3-26 典型二阶系统 闭环频率特性为： 22() 1 () 12n n C j R j j ωωωωξωω=-+ 闭环传递函数为： 222 ()1 ,()2n n n n C s R s s s T ωωξωω==++（T 是时间常数） 各运算放大器运算功能： OP1，积分，（1 ,T RC TS -=） ； OP2，积分，（1 ,T RC TS -=） ； OP9，反相，（-1）； OP6，反相比例，（3 ,10010 f R k k -=?）。 可以得到： 11 n T RC ω= = 3 12210010f R k ξ==? 4. 实验步骤 ○1 选定R 、C 、f R 的值，使n =1,=0.2ωξ ○ 2 用Cae98产生r(t)=X sin t ω，使系统得稳态响应为c(t)=C sin( t+ )ωφ; ○ 3 改变输入信号的频率，使ω的值等于或接近于0.2，0.4，0.6，0.8，1.0，1.2，1.4，1.6，2.0，3.0rad/s ，稳态时分别记录系统得响应曲线，振幅C( )ω和相位( )φω的数据记录于表3-2； 表3-2 振幅C( )ω和相位( )φω的数据记录 ○ 4 根据表格所整理的数据，在半对数坐标纸上绘制bode 图，标出,r r M ω ○ 5 根据绘制的bode 图分析二阶系统的%,s t δ ○ 6 可能的话，改变系统的n ω或者ξ，重复上述3-5。 5. 思考题 ○ 1 理论计算不同ω和 ( )φω，并和实验结果进行比较。 ○ 2 能否根据所得的bode 图确定二阶系统的传递函数。 实验3 利用matlab 求LTI 连续系统的响应 一． 实验目的： 1． 了解LTI 系统的冲激响应h(t)及matlab 实现； 2． 了解LTI 系统的阶跃响应g(t)及matlab 实现； 3． 了解LTI 系统的零状态响应； 二． 实验原理： 设描述连续系统的微分方程为： () ()()()∑∑===M j j j N i i i t f b t y a 0 则可以用向量a 和b 来表示该系统，即: ],,,,[011a a a a a N N Λ-= ],,,,[011b b b b b M M Λ-= 注意：在用向量来表示微分方程描述的连续系统时，向量a 和b 的元素一定要以微分方程时间求导的降幂次序来排列，且缺项要用零来补齐。 1． impulse()函数 函数impulse()将绘出由向量a 和b 表示的连续系统在指定时间范围内的冲激响应h(t)的时域波形，并能求出指定时间范围内冲激响应的数值解。impulse()函数有如下几种调用格式： ● impulse(b,a) ● impulse(b,a,t) ● impulse(b,a,t1:p:t2) ● y= impulse(b,a,t1:p:t2) 详细用法可查阅帮助文件。 2． Step()函数 函数step()将绘出由向量a 和b 表示的连续系统在指定时间范围内的阶跃响应g(t)的时域波形，并能求出指定时间范围内阶跃响应的数值解。step()函数有如下几种调用格式： ● step(b,a) ● step(b,a,t) ● step(b,a,t1:p:t2) ● y= step(b,a,t1:p:t2) 3.lsim()函数 函数lsim()将绘出由向量a 和b 表示的连续系统在指定时间范围内对函数x(t)响应的时域波形，并能求出指定时间范围内响应的数值解。lsim()函数有如下几种调用格式： ● lsim(b,a,x,t) ● y=lsim(b,a,x,t) 三． 范例程序 已知描述某电路的微分方程是 实验2 离散系统的频率响应分析和零、极点分布 一、实验目的 通过MATLAB仿真简单的离散时间系统，研究其时域特性，加深对离散系统的冲激响应，频率响应分析和零、极点分布的概念的理解。 二、基本原理 离散系统的时域方程为 其变换域分析方法如下： 频域 ) ( ) ( ) ( ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ω ω ωj j j m e H e X e Y m n h m x n h n x n y= ? - = * =∑∞ -∞ = 系统的频率响应为 ω ω ω ω ω ω ω jN N j jM M j j j j e d e d d e p e p p e D e p e H - - - - + + + + + + = = ... ... ) ( ) ( ) ( 1 1 Z域 ) ( ) ( ) ( ] [ ] [ ] [ ] [ ] [z H z X z Y m n h m x n h n x n y m = ? - = * =∑∞ -∞ = 系统的转移函数为 N N M M z d z d d z p z p p z D z p z H - - - - + + + + + + = = ... ... ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 分解因式 ∏- ∏- = ∑ ∑ = = - = - = - = - N i i M i i N i i k M i i k z z K z d z p z H 1 1 1 1 ) 1( ) 1( ) ( λ ξ ，其中i ξ 和i λ 称为零、极点。 在MATLAB中，可以用函数[z，p，K]=tf2zp（num，den）求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane（z，p）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane （num，den）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。 另外，在MATLAB中，可以用函数 [r，p，k]=residuez（num，den）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos（z，p，K）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。 三、实验内容及要求 一个LTI离散时间系统的输入输出差分方程为 y(n)-1.6y(n-1)+1.28y(n-2) =0.5x(n)+0.1x(n-1) （1）编程求出此系统的单位冲激响应序列，并画出其波形。 （2）若输入序列x(n)=δ(n)+2δ(n-1)+3δ(n-2)+4δ(n-3)+5δ(n-4),编程求此系统输出序列y(n),并画出其波形。 （3）编程得到系统频响的幅度响应和相位响应，并画图。 （4）编程得到系统的零极点分布图，分析系统的因果性和稳定性。 解答： 实验二 连续时间系统得频率响应 龚小川 一.实验目得： 1、 进一步加深对连续时间系统频率响应理解; 2.掌握借助计算机计算任意连续时间系统频率响应得方法。 二.实验原理 １、本实验得基本内容就就是将系统函数得幅频特性曲线以及相频特性曲线给画出来。 而系统函数，令,则 ∑∑∏∏∏∏======-= =?=∑∑=?=-=-==n i i m j j n i i m j j w j n i j i m j j j j i i j j j w M N K jw H e jw H e M e N K jw H e M p jw e N z jw n i i m j j i j 1 1 1 1) (1 ] [ 1] [ )(,)()()(,1 1 θψ ??θψθψ 即（１)计算所有零点模之积及极点模之积,两者之商即为得幅度； (2)计算所有零点相角之与及极点相角之与,两者之差即为得相角。 2、通过零极点图通过几何得方法来计算,而且通过零极点图可以迅速地判断系统得滤波特性。 通过零极点图进行计算得方法就是: (1)在Ｓ 平面上标出系统得零极点位置； (2)选择Ｓ 平面得坐标原点为起始点,沿虚轴向上移动,计算此时各极点与零点 与该点得膜与夹角; (３)将所有零点得模相乘,再除以各极点得模,得到对应频率处得幅频特性得值； （4)将所有零点得幅角相加，减去各极点得幅角,得到对应频率处得相角。 三.实验流程图 四.实验代码 ＃include ＂stdiｏ、h" #includｅ"math、h＂ #ｉnｃlｕｄe"ｇｒaｐhiｃｓ、h" floatａtannｅw（ｆｌoａt ｔ1，ｆｌoaｔt2)； ｉｎt mａiｎ() ｛ floａt z[10][２],p［10][2],out[１00][3],f[5０］; ｉｎt ａ，ｉout; int i,iｔemp，ｋ,ktemｐ,j，m,n; ?float w,temp１，tｅmp２,prew,pｒetｅmｐ1,prｅteｍp2,ptemｐ,h,fouｔ; ?int gdriver,gｍoｄe=0; ?chａr ｓ［1０]； ｇdriveｒ=0; /**／ for(ｉ=０;i<=10；ｉ++） { a=scａｎf("%f％ｆj",＆ｚ［i][0］,&ｚ［i][1])； ?if(a!=0）； elｓe ?{ ?ｆflｕsh（stdｉｎ）;/*清空输入缓冲区,使得第二个scanf不被忽略＊/ for（k=0;ｋ<=10;k+＋) ??{ ａ=ｓcaｎｆ(＂%f ％fj＂,&p[ｋ］[0],＆p[k］[１］)； ｉｆ（a！=0）; elsｅ ???bｒeａk; ?｝ ?ｂreaｋ; ?} ?｝ ／**/ ?iｎｉtgrａpｈ(＆gｄriveｒ，&gｍodｅ, ＂e:\\tｃ\\ｂgi＂)； ?sｅtbkcolor(10）； sｅtcolor（４); setｌinestyle(1,0,１)； rectanｇle(50,２0，６０0,４20); for（pteｍｐ=2０；pteｍp<＝420;ptemｐ=pｔｅmp+50) liｎe(50，pteｍp,600,pｔemp); ｆor(ｐtｅｍｐ=５０;ｐtemp<=600;ptｅmp=ptemp+50) liｎｅ（ptemp,20，ptemｐ,420)； setlinｅstyｌe(0,0,1)； setcｏｌor(1); line(2０0,20,200，420);频率响应介绍_频率响应概念
实验二 连续时间系统的频率响应
连续时间LTI系统分析
前馈反馈控制系统
信号与系统连续时间系统的频率响应
二阶系统的频率响应
实验3 利用matlab求LTI连续系统的响应
离散系统的频率响应分析和零、极点分布
实验二 连续时间系统的频率响应
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