定积分及微积分基本原理
【考纲要求】
1、了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.
2、了解微积分基本定理的含义. 【基础知识】
一、曲边梯形的定义
我们把由直线x=a ,x=b (a ≠b ),y =0和曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形。 二、曲边梯形的面积的求法
分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限 三、定积分的概念
一般地,设函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0 ? ??-= ??n a b x x ,在每个小区间[x i -1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2,…,n ),作和式:()()∑ ∑ ==-=?= n i i n i i n f n a b x x f S 1 1 ξ。 如果?x 无限接近于0(亦即n →+∞)时,上述和式S n 无限趋近于常数S ,那么称该常数S 为函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记为:()?= b a dx x f S ,其中? 是积分号,b 是积分上限,a 是积分下限,f (x ) 是被积函数,x 是积分变量,[a ,b ]是积分区间,f (x )dx 是被积式。 说明:(1)定积分 ()?b a dx x f 是一个常数,可以是正数,也可以是负数,也可以是零,即S n 无限趋近的常 数S (n →+∞时)记为 ()?b a dx x f ,而不是S n . (2)用定义求定积分的一般方法是:①分割:n 等分区间[a ,b ];②近似代替:取点ξi ∈[x i -1,x i ];③求和: 1()n i i b a f n ξ=-∑;④取极限:()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑?. 四、定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质1:()()()b b a a kf x dx k f x dx k =? ?为常数(定积分的线性性质); 性质2:1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±? ??(定积分的线性性质); 性质3: ()()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+< ??其中(定积分对积分区间的可加性) 五、定积分的几何意义 1、从几何上看,如果在区间[a ,b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0,那么定积分 ()b a f x dx ?表示由直线x=a , x=b (a ≠b ),y =0和曲线y =f (x )所围成的曲边梯形(如下左图中的阴影部分)的面积。 2、从几何上看,如果在区间[a ,b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≤0,那么定积分 ()b a f x dx ?表示由直线x=a , x=b (a ≠b ),y =0和曲线y =f (x )所围成的曲边梯形(如下左图中的阴影部分)的面积的相反数。 3、从几何上看,如果在区间[a ,b ]上函数f (x )连续,且函数y =f (x )的图象有一部分在x 轴上方,有一部分 在x 轴下方,那么定积分 ()b a f x dx ?表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积。 4、如下右图中阴影部分的面积= S 1 2 [()()]b a f x f x dx -?. 六、微积分基本定理 一般地,如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,并且F'(x )=f (x ),那么()()()b a f x dx F b F a =-? ,这个 结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿—莱布尼茨公式。 为了方便,我们常把()()F b F a -记成() b a F x ,即 ()()()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 。 计算定积分的关键是找到满足F'(x )=f (x )的函数F (x )。 七、公式 ⑴()c cx ='; ⑵()x x cos sin ='; ⑶()x x sin cos =' -; ⑷()111-≠=' ?? ? ??++n mx x n m n n ; ⑸()x a x a ='ln ; ⑹()x x e e =' 八、 定积分的简单应用 1、在几何中的运用:计算图形的面积 方法:画图→定域→分割面积→用定积分表示面积→计算 2、在物理中的应用 ()b a s V t dt = ? ()b a W F x dx =? 九、求定积分的方法 1、数形结合利用面积求; 2、利用微积分基本原理求 【例题精讲】 例1:设()() ()? ??>+≤-=06012 x x x x x f ,求()?-11dx x f . 例2:设()x f y =是二次函数,方程()0=x f 有两个相等的实根,且()22-='x x f . (1)求()x f y =的表达式; (2)求()x f y =的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 3 定积分的概念及微积分基本原理强化训练 【基础精练】 1. 已知()x f 为偶函数且 ()86 =? dx x f ,则()?-6 6 dx x f 等于( ) A .0 B .4 C .8 D .16 2. 设()[][] ?? ?∈-∈=2,1, 21,0, 2x x x x x f ,则 ()?2 dx x f 等于( ) A. 34 B. 45 C. 5 6 D .不存 在 3.如图,函数y =-x 2+2x +1与y =1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是( ) A .1 B. 4 3 C. 3 D . 2 4. 一质点运动时速度与时间的关系为v (t )=t 2 -t +2,质点作直线运动,则此物体在时间内的位移为( ) A. 176 B. 143 C. 136 D. 11 6 5.若1 N 的力能使弹簧伸长1 cm ,现在要使弹簧伸长10 cm ,则需要花费的功为( ) A .0.05 J B .0.5J C .0.25 J D .1 J 6. 若()?+= x dt t t t y 0 sin cos sin ,则y y 的最大值是( ) A .1 B .2 C .-7 2 D .0 7.已知函数y =x 2与y =kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为4 3,则k =________. 8.如图,设点P 从原点沿曲线y =x 2向点A (2,4)移动,记直线OP 、曲线y =x 2及直线x =2所围成的面积分别记为S 1、S 2,若S 1=S 2,则点P 的坐标为________. 9.一辆汽车的速度―时间曲线如图所示,则该汽车在这一分钟内行驶的路程为______米. 10. 若()x f 是一次函数,且 ()51 =? dx x f ,()617 1 = ?dx x xf ,那么()?21dx x x f 的值是________. 4 11.计算以下定积分: (1)? ??? ??-2 1 212dx x x ; (2)???? ? ?+322 1dx x x ; (3)()?-302sin sin π dx x x . 12.已知()x f 为二次函数,且()21=-f ,()00='f ,()21 0-=?dx x f . (1)求()x f 的解析式; (2)求()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值. 【拓展提高】 1.设()? -=1 22dx a x x f . (1)当10≤≤a 与1>a 时,分别求()a f ;(2)当0≥a 时,求()a f 的最小值. 一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题. 2.考查简单定积分的求解. 3.考查曲边梯形面积的求解. 4.与几何概型相结合考查. 1.定积分 (1)定积分的相关概念:在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式. (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分). ②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所 示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. (3)定积分的基本性质:①∫b a kf(x)d x=k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x=∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x=∫c a f(x)d x+∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t,则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等? 提示:相等. 2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗? 提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算. 3.定积分∫b a[f(x)-g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么? 提示:由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积. 2.微积分基本定理:如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么∫b a f(x)d x=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.为了方便,常把F(b)-F(a)记成F(x)| b a,即∫b a f(x)d x=F(x) |b a=F(b)-F(a). 课前预测: 1.∫421 x d x等于( ) A.2ln 2 B.-2ln 2 C.-ln 2 D.ln 2高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
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非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义
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