最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义
第1讲 与有理数有关的概念
考点·方法·破译
1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.
3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.
经典·考题·赏析
【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”
解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】
01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）
A ． －18%
B ． －8%
C ． ＋2%
D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )
A ． －5吨
B ． ＋5吨
C ． －3吨
D ． ＋3吨
03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京
时间15：00，纽约时问是_ ___
【例２】在－22
7
，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )
A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0????
???
????????
正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；
（2）按整数、分数分类，有理数?????????????????
正整数
整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－
22
7
是分数，0.033.
3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．
【变式题组】
01．在7，0，15，－12，－301，，－1
8
，100，1，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，
正整数 .
02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－13
8
，，－，123,
【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，1
6，…，找规律到第2007个数是 .
【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归
纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－1
2007
.
【变式题组】
01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5
＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 . 02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则填____. 03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为__ __ . 【例４】（2008年河北张家口）若1＋m
2
的相反数是－3，则m 的相反数是____.
【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题m
2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。
【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( )
A ．5
B ． 1
5 C ． －5 D ． －15
02．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______
03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的 数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A 、B 、C 内的 三个数依次为( )
A ． － 1 ,2，0
B ． 0，－2，1
C ． －2，0，1
D ． 2，1，0
【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b |＞a ，则a ,b 、－a ,－b 的大小顺序是( ) A ． b ＜－a ＜a ＜－b B ． –a ＜b ＜a ＜－b C ． –b ＜a ＜－a ＜b D ． –a ＜a ＜－b ＜b 【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,
即|a |,用式子表示为|a |＝0)0(0)(0)a a a a a >??
=??-
(.本题注意数形结合思想，画一条数轴
标出a 、b ,依相反数的意义标出－b ,－a ,故选A ．
【变式题组】
01．推理①若a ＝b ，则|a |＝|b |；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④若 |a |≠|b |，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）
A ． 4个
B ． 3个
C ． 2个
D ． 1个 02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a |a ＋|b |b ＋|c |
c
＝ .
03．a 、b 、c 为不等于O 的有理数，则a |a |＋b |b |＋c
|c |的值可能是____.
【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则
a +b
ab
的值. 【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.
解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故
a +
b ab ＝1232＝38
【变式题组】
01．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )
A ． －4
B ． －1
C ． 0
D ． 4
03．已知|a |＝8，|b |＝2，且|a －b |＝b －a ，求a 和b 的值
【例７】（第18届迎春杯）已知(m ＋n )2
＋|m |＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．
【解法指导】本例的关键是通过分析(m ＋n )2
＋|m |的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问
题转化为(m ＋n )2
＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.
解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O ∴(m ＋n )2＋|m |≥0，而(m ＋n )2
＋|m |＝m
∴ m ≥0,∴(m ＋n )2＋m ＝m ，即(m ＋n )2
＝0
∴m ＋n ＝O ① 又∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②
由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－4
9
【变式题组】 01．已知(a ＋b )2
＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –1|＝0，求a －b ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a |＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,
求y 的最大值.
演练巩固·反馈提高
01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,1
42
…根据其规律可知第9个数是( )
A ． 1
56 B ． 172 C ． 190 D ．
1110
02．（芜湖）－6的绝对值是( )
A ． 6
B ． －6
C ． 16
D ． －1
6
03．在－22
7
,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )
A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个 04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )
A ． a －b
B ． b －a
C ． –a ＋b
D ． –a －b
05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )
A ． 0和6
B ． 0和－6
C ． 3和－3
D ． 0和3 06．若－a 不是负数，则a ( )
A ． 是正数
B ． 不是负数
C ． 是负数
D ． 不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b ,则|a |＝|b | ②若a ＝－b ,则|a |＝|b |③若|a | ＝|b |，则a ＝－b ④若|a |＝|b |,则a ＝b
A ． ①②
B ． ③④
C ． ①④
D ． ②③
08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b |的大小关系正确 的是( )
A ． |b |＞a ＞－a ＞b
B ． |b | ＞b ＞a ＞－a
C ． a ＞|b |＞b ＞－a
D ． a ＞|b |＞－a ＞b
09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.
10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝__ __.
11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a |a ＋|b |b ＋|abc |abc ＋|c |
c
=
12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、b
a
的形式，试求a 、
b 的值.
13．已知|a |＝4，|b |＝5，|c |＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －c ．
14．|a |具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x 为有理数时，|x －1|＋|x －3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.
15．点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB |．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，|AB |＝|OB |＝|b |＝|a －b |当A 、B 两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |；②如图3，点A 、B 都在原点的左边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －(－a )＝|a －b |；③如图4，点A 、B 在原点的两边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －（－a ）＝|a －b |；综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a －b |．
回答下列问题:
⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ；
⑶当代数式|＋1|＋|－2|取最小值时，相应的的取值范围是 ．
培优升级·奥赛检测
01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为19991
9的线段，则此线段在这条数轴上最多
能盖住的整数点的个数是( )
A ． 1998
B ． 1999
C ． 2000
D ． 2001 02．（第18届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b |＋|b －c |＝|a －c |；③（a －b ）(b －c )(c －a )＞0；④|a |＜1－bc ．其中正确的结论有( )
A ． 4个
B ． 3个
C ． 2个
D ． 1个 03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a |＋b |b |＋c |c | - abc
|abc |的所有可能
的值为（ ）
A ． －1
B ． 1或－1
C ． 2或－2
D ． 0或－2 04．已知|m |＝－m ，化简|m －1 |－|m －2|所得结果( )
A ． －1
B ． 1
C ． 2m －3
D ． 3－ 2m
05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p |＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( )
A ． 30
B ． 0
C ． 15
D ． 一个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .
07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a |＋|x －b |＝a －b 成立的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m |＋|n |－5＝0所有这样的整数组(m ，n )共
有 组 09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m |m ＋|n |n ＋|p |p ＝1．则2mnp
|3mnp |＝ .
10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.
11．已知(|x＋1|＋|x－2|)（|y－2|＋|y＋1|）（|z－3|＋|z＋1|）＝36，求x＋2y＋3z的最大值和最小值.
12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2
个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规
律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好，试求k0所表示的数.
13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小并求出调出电脑的最少总台数.
第02讲有理数的加减法
考点·方法·破译
1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.
2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.
3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.
4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.
经典·考题·赏析
【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了元，下午收盘时又涨了元，则股票A这天的收盘价为（）
A．元B．元C．元D．18元
【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－）＋
（）＝，故选C．
【变式题组】
01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）
A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃
02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________
03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155m，则它们的平均海拔高度为__________
【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）
【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；
⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.
解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85
【变式题组】
01．（－）＋（－31
2
）＋（－1
3
4
）＋（－1
1
4
）
02．（－）＋＋（－）＋（－）
03．＋31
4
＋（－3
1
8
）＋11
2
3
＋（－）
【例３】计算
1111 12233420082009 ++++
????
【解法指导】依
111
(1)1
n n n n
=-
++
进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.
解：原式＝
1111111 (1)()()()
2233420082009 -+-+-++-
＝
1111111
1
2233420082009
-+-+-++-＝
1
1
2009
-＝
2008
2009【变式题组】
01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋…＋99＋（－100）
02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
12的长方形，接着把面积为1
2
的长方形等分成两个面积为
14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为1
8
的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算
11111111
248163264128256
+++++++＝__________.
【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ）
A ．a ＞b ＞－b ＞－a
B ．a ＞－a ＞b ＞－b
C ．b ＞a ＞－b ＞－a
D ．－a ＞b ＞－b ＞a 【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.
解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b | 将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b ＞a
【变式题组】
01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜
号）
02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）
03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大
小 【例５】4
25－（－33311）－（－）－（－21811
） 【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数
变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.
解：4
25－（－33311）－（－）－（－21811）＝425＋33311＋＋21811
＝＋＋（33311＋218
11
）＝6＋55＝61 【变式题组】
01．21511()()()()(1)32632
--+---+-+
02．4
34－（＋）－（－31
4
）＋（－）
03．178－－（－432
21
）＋153
19
21
－
【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少第n个数是多少⑵这列数中有多少个数是正数从第几个数开始是负数⑶求这列数中所有正数的和. 【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.
解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)
⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.
⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169
【变式题组】
01．(杭州)观察下列等式1－1
2
＝
1
2
，2－
2
5
＝
8
5
，3－
3
10
＝
27
10
，4－
4
17
＝
64
17
…依你发
现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少
02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.
【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求1
2
＋（
1
3
＋
2
3
）＋（
1
4
＋
2
4
＋
3
4
）＋（
1
5
＋
2
5
＋
3
5
＋
4 5）＋…＋（
1
50
＋
2
50
＋…＋
48
50
＋
49
50
）
【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.
解：设S＝1
2
＋（
1
3
＋
2
3
）＋（
1
4
＋
2
4
＋
3
4
）＋…＋（
1
50
＋
2
50
＋…＋
48
50
＋
49
50
）
则有S＝1
2
＋（
2
3
＋
1
3
）＋（
3
4
＋
2
4
＋
1
4
）＋…＋（
49
50
＋
48
50
＋…＋
2
50
＋
1
50
）
将原式的和倒序再相加得
2S＝1
2
＋
1
2
＋（
1
3
＋
2
3
＋
2
3
＋
1
3
）＋（
1
4
＋
2
4
＋
3
4
＋
3
4
＋
2
4
＋
1
4
）＋…＋（
1
50
＋
2 50＋…＋
48
50
＋
49
50
＋
49
50
＋
48
50
＋…＋
2
50
＋
1
50
）
即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49(491)
2
?+
＝1225∴S＝
1225
2
【变式题组】
01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210
02．
（第8届希望杯试题）计算（1－1
2
－
1
3
－…－
1
2003
）
（
1
2
＋
1
3
＋
1
4
＋…＋
1
2003
＋
1
2004
）
－（1－1
2
－
1
3
－…－
1
2004
）（
1
2
＋
1
3
＋
1
4
＋…＋
1
2003
）
演练巩固·反馈提高
01．m是有理数，则m＋|m|（）
A．可能是负数B．不可能是负数
C．必是正数D．可能是正数，也可能是负数
02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）
A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5
03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）
A． 1 B．0 C．－1 D．－3
04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）
A．两数一定都是正数B．两数都不为0
C．至少有一个为负数D．至少有一个为正数
05．下列等式一定成立的是（）
A．|x|－ x＝0 B．－x－x＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃
07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）
A．－a B．0 C．2a D．－2a
08．设x是不等于0的有理数，则||||
2
x x
x
值为（）
A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2
09．（济南）2＋(－2)的值为__________
10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________ ⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________ 11．计算下列各题：
⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－＋－＋－
⑶－－31
4
＋－7
1
2
⑷－－（－）－|－
23
10
|
12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99
13．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远⑵若每千米耗油千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克
14．将1997减去它的1
2
，再减去余下的
1
3
，再减去余下的
1
4
，再减去余下的
1
5
……以此类
推，直到最后减去余下的
1
1997
，最后的得数是多少
15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与
众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如1
3
＋
1
15
来表示
2
5
，用
1
4
＋
1
7
＋
1
28
表示
3
7
等等.现有90个埃及分数：
12，13，14，15，…190，191
，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗
培优升级·奥赛检测
01．（第16届希望杯邀请赛试题）
12341415
24682830
-+-+-+-+-+-+-等于（ ）
A ．
14
B ．14
-
C ．
12
D ．12
-
02．自然数a 、b 、c 、d 满足
21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41
b ＋51
c ＋6
1d 等于（ ） A ．1
8
B ．
316
C ．
732
D ．
1564
03．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋
b ＋
c ＋
d 值是（ ）
A ．30
B ．32
C ．34
D ．36 04．（第7届希望杯试题）若a ＝
1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝19971997
19981998
，则a 、b 、c
大小关系是（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜c ＜a
C ．c ＜b ＜a
D ．a ＜c ＜b
05．11111
(1)(1)(1)(1)(1)132435
1998200019992001
+
+++
+?????的值得整数部分为
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
06．(－2)2004＋3×(－2)2003
的值为（ ）
A ．－22003
B ．22003
C ．－22004
D ．22004
07．（希望杯邀请赛试题）若|m |＝m ＋1，则(4m ＋1)2004
＝__________ 08．
12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋59
60
）＝__________
53
4333231309．
1919197676
7676761919
-＝__________
10．1＋2－22
－23
－24
－25
－26
－27
－28
－29
＋210
＝__________
11．求32001×72002×132003
所得数的末位数字为__________
12．已知(a ＋b )2
＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求ab
13．计算(
11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (1
1000
－1)
14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n 3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003
的
值.
第03讲 有理数的乘除、乘方
考点·方法·破译
1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.
2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.
3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.
4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.
5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.
经典·考题·赏析
【例１】计算⑴
11()24?- ⑵1124? ⑶11
()()24
-?- ⑷25000?
⑸371
3()()(1)()56
9
7
-?-??-
【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积. 解：⑴
11111()()24248?-=-?=- ⑵11111()24248
?=?= ⑶11111
()()()24248
-?-=+?=
⑷250000?= ⑸37
13371031
()()(1)()()5
697
56973
-?-??-=-???=-
【变式题组】
01．⑴(5)(6)-?- ⑵1
1()124
-? ⑶(8)(3.76)(0.125)-??-
⑷(3)(1)2(6)0(2)-?-??-??- ⑸111112(2
111)42612
-?-+- 2．24(9
)5025-? 3．1111(2345)()2345
????---
4．111(5)323(6)3333
-?+?+-?
【例２】已知两个有理数a 、b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么（ ）
A ．a ＞0，b ＜0
B ．a ＜0，b ＞0
C ．a 、b 异号
D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大
【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a 、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.
解：由ab ＜0知a 、b 异号，又由a ＋b ＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D ．
【变式题组】
01．若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ）
A ．a ＋b ＞0
B ．b ＋c ＜0
C ．ab ＋ac ＞0
D ．a ＋bc ＞0 02．已知a ＋b ＞0，a －b ＜0，ab ＜0，则a___________0，b___________0，|a|_________|b|.
03．(山东烟台)如果a ＋b ＜0，
0b
a
>，则下列结论成立的是（ ） A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＜0 C ．a ＞0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞0
04．(广州)下列命题正确的是（ ）
A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0
B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0
C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0
D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0 【例３】计算
⑴(72)(18)-÷- ⑵11(2)3÷- ⑶13
()()1025
-
÷ ⑷0(7)÷- 【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再
确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.
解：⑴(72)(18)72184-÷-=÷= ⑵17331(2)1()1()3377
÷-=÷-=?-=-
⑶131255
()()()()10251036
-
÷=-?=- ⑷0(7)0÷-= 【变式题组】
01．⑴(32)(8)-÷- ⑵112(1)36÷- ⑶10(2)3÷- ⑷13()(1)78
÷-
02．⑴12933÷?
⑵311()(3)(1)3524-?-÷-÷ ⑶53
0()35
÷-? 03．
113
()(10.2)(3)245
÷-+-÷?-
【例４】（茂名）若实数a 、b 满足
0a b a b
+=，则ab
ab ＝___________. 【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进一步代入结论得出结
果.
解：当ab ＞0，2(0,0)2(0,0)a b a b a b a b >>?+=?-<
+=，∴ab ＜0，从而ab ab ＝－1.
【变式题组】
01．若k 是有理数，则(|k|＋k )÷k 的结果是（ ）
A ．正数
B ．0
C ．负数
D ．非负数 02．若A ．b 都是非零有理数，那么
ab a b a b ab
++的值是多少 03．如果
0x y x
y
+
=，试比较x
y
-
与xy 的大小. 【例５】已知2
23
(2),1x y =-=-⑴求2008
xy
的值； ⑵求3
2008x y
的值.
【解法指导】n a 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 解：∵2
2
3
(2),1x y =-=- ⑴当2,1x y ==-时，2008
20082(1)2xy =-=
当2,1x y =-=-时，2008
2008(2)(1)2xy
=-?-=-
⑵当2,1x y ==-时，332008200828(1)x y ==-,2,1x y =-=-时，33
20082008
(2)8(1)x y -==--
【变式题组】
01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则n
m 的值是___________.
02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n
n
x y --的值，这里n 是正整数.
【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）
A ．×106
B ．×106
C ．×107
D ．×107
【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n
的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．
【变式题组】 01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）
A ．×105
B ．×105
C ．×104
D ．103×103 02．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数
法表示正确的是（ ）
A ．×105亩
B ．×106亩
C ．253×104亩
D ．×107亩 【例７】（上海竞赛）
2222
22221299110050002200500010050009999005000
k k k ++???++???+-+-+-+-+
【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22
(50)50k -+
原式＝2222
22222222
1299(150)50(250)50(50)50(9950)50
k k ++???++???+-+-+-+-+ ＝2222
22222222199298[
][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++???+-+-+-+-+ 222222222
495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+ ＝49222+1++???+个
＝99 【变式题组】 1
3333
+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006
????????????
A ．
31003 B ．31004 C ．1334 D ．11000
2．（第10届希望杯试题）已知
11111111
1.2581120411101640
+++++++=求111111112581120411101640
---+--++的值.
演练巩固·反馈提高
01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）
A ．互为相反数
B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数
C ．都是负数
D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（ ）
A ．b ＜0，c ＞0
B ．b ＞0，c ＜0
C ．b ＜0，c ＜0
D ．b ＞0，c ＞0 04．若|ab |＝ab ，则（ ）
A ．ab ＞0
B ．ab ≥0
C ．a ＜0，b ＜0
D ．ab ＜0 05．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a b
m cd m
+-+
的值为（ ）A ．－3 B ．1 C ．±3 D ．－3或1
06．若a ＞
1
a
，则a 的取值范围（ ） A ．a ＞1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞－1 D ．－1＜a ＜0或a ＞1
07．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④
1a
b
=-，其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 08．若ab≠0，则
a b
a b
+的取值不可能为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．－2
09．11
10
(2)(2)-+-的值为（ ）
A ．－2
B ．(－2)21
C ．0
D ．－210
10．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正
确的是（ ）
A ．×107
B ．×106
C ．×105
D ．×104
11．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________. 12．21
221(1)
(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.
13．如果2x y x y +=，试比较x y
-与xy 的大小. 14．若a 、b 、c 为有理数且1a b c a b c ++=-，求abc
abc
的值.
15．若a 、b 、c 均为整数，且3
2
1a b c a -+-=.求a c c b b a -+-+-的值.
培优升级·奥赛检测
01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则
,,x y y z z x
y z z x x y
------中负数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个或2个
02．计算1
2
3
4
5
211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=???归纳各计算结果中的个位
数字规律，猜测2010
2
1-的个位数字是（ ）
A ．1
B ．3
C ．7
D ．5
03．已知2345
0ab c d e ＜，下列判断正确的是（ ）
A ．abcde ＜0
B ．ab 2cd 4e ＜0
C ．ab 2cde ＜0
D ．abcd 4e ＜0
04．若有理数x 、y 使得,,,
x
x y x y xy y
+-这四个数中的三个数相等，则|y |－|x |的值是（ ） A ．12
-
B ．0
C ．12
D ．32
05．若A ＝2
4
8
16
32
64
(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A －1996的末位数字是
（ ）
A ．0
B ．1
C ．7
D ．9 06．如果2001
2002()
1,()1a b a b +=--=，则20032003a b +的值是（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．－1
07．已知55
44
33
22
22,33,55,66a b c d ====，则a 、b 、c 、d 大小关系是（ ）
A ．a ＞b ＞c ＞d
B ．a ＞b ＞d ＞c
C ．b ＞a ＞c ＞d
D ．a ＞d ＞b ＞c
08．已知a 、b 、c 都不等于0，且
a b c abc a b c abc
+++的最大值为m ，最小值为n ，则2005
()m n +＝___________. 09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘
积的总和是___________.
第一组：1
5,3,4.25,5.75
3
-第二组：112,315- 第三组：52.25,,412
- 10．一本书的页码从1记到n ，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果
得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少
11．（湖北省竞赛试题）观察下列规律排成一列数：1
1，12，21，13，22，31，14，23，32
，
41，15，24，23，42，51，1
6
，…(＊)，在(＊)中左起第m 个数记为F(m)，当F(m)＝1
2001
时，求m 的值和这m 个数的积.
12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442
填入
方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值.
13．(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数，并且
111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1);
2233A m m =-+-+???-+ 111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n
=-+-+???-+
证明：⑴11,;22m n A B m n ++=
= ⑵1
26
A B -=，求m 、n 的值.
第04讲 整式
考点·方法·破译
1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.
2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念. 3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.
4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.
经典·考题·赏析
【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数. (1)x +1 (2)1
x (3)xx 2 (4)?3
2x 2x
【解法指导】 理解单项式的概念:由数与字母的乘积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，π是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.
复习课一(2.1－2.4) 例1 计算： (1)(－34)－(－12)＋(＋34)＋(＋8.5)－13； (2)0－(－256)＋(－527)－(－21 6)－????－657. 反思：进行有理数的加减混合运算往往是把加减法统一成加法，再利用加法的运算律进行简化计算．灵活地运用加法的交换律和结合律是简化的关键，往往把互为相反数的先加，同分母的先加，同号的先加． 例2 计算： (1)(－3)÷????－134×0.75×73 ÷3； (2)(114－56＋1 2 )×(－12)； (3)(－24)÷??? ?－14＋18－12. 反思：进行有理数乘除混合运算时往往是把乘除统一成乘法，再利用乘法交换律和结合律进行简化运算，在计算过程中还应注意结果的符号不要搞错．分配律的逆向使用有一定的难度，关键是找准相同的因数才能准确地计算． 例3 开学时，某校对七年级(1)班的男生进行了单杠引体向上的测验，以能做7次为达标标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，第一小组8名男生的成绩如下表：
(1)第一小组的达标率是多少？ (2)平均每人做了多少个引体向上？ 反思：用有理数的混合运算解决实际问题时，要分析清楚题意，选择正确的运算．运算过程中能用运算律的要使用运算律来简化计算． 1．计算：(－1)÷(－5)×(－1 5 )的结果是( ) A ．－1 B ．1 C ．－1 25 D ．－25 2．据探测，月球表面白天阳光垂直照射的地方温度高达127℃，而夜晚温度可降低到零下183℃.根据以上数据推算，在月球上昼夜温差有( ) A ．56℃ B ．－56℃ C ．310℃ D ．－310℃ 3．下列计算：①0－(－5)＝－5；②(－3)＋(－9)＝－12；③23×(－94)＝－3 2；④(－36)÷(－ 9)＝－4.其中正确的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．(凉山州中考)若x 是2的相反数，|y|＝3，则x －y 的值是( ) A ．－5 B ．1 C ．－1或5 D ．1或－5 5．数轴上的点A 和点B 所表示的数互为相反数，且点A 对应的数是－2，P 是到点A 或点B 距离为3的数轴上的点，则所有满足条件的点P 所表示的数的和为( ) A ．0 B ．6 C ．10 D ．16 6．(1)(____________)÷4＝－31 2 ； (2)比6的相反数小4的数是____________； (3)如果一个数除以它的倒数，商是1，那么这个数是____________． 7．(1)若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且|c|＝1，则a ＋b c ＋c 2 －cd ＝____________，
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最新人教版七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A．－5吨B．＋5吨C．－3吨D．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___ 【例２】在－ 22 7 ，π，0，0.033 . 3这四个数中有理数的个数（ ) A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? 正整数 正有理数 正分数 负整数 负有理数 负份数 ；
（2）按整数、分数分类，有理数 ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 正整数 整数0 负整数 正分数 分数 负分数 ；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数， － 22 7是分数，0.033 . 3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．【变式题组 】 01．在7，0，15，－ 1 2 ，－301，31.25，－ 1 8 ，100，1，－3 001中，负分数为，整数为，正整数 . 02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－ 1 9 ， 2 15 ，－ 13 8 ，0.1，－5.32，123, 2.333 【例３】（宁夏）有一列数为－1， 1 2 ，－ 1 3 ， 1 4 ，－ 1 5 ， 1 6 ，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－ 1 2007 . 【变式题组】 01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 . 02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为__ __ . 【例４】（2008年河北张家口）若1＋ m 2 的相反数是－3，则m的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反
最新(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A．－5吨B．＋5吨C．－3吨D．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___ 【例２】在－错误!，π，0，0.033 . 3这四个数中有理数的个数（ ) A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数 ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? 正整数正有理数 正分数 负整数 负有理数 负份数 ； （2）按整数、分数分类，有理数?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 正整数 整数0 负整数 正分数 分数 负分数 ；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝ 3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－错误!是分数，0.033 . 3是 无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．【变式题组】 01．在7，0，15，－错误!，－301，31.25，－错误!，100，1，－3 001 中，负分数为，整数 为，正整数 . 02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－错误!，错误!，－错误!，0.1，－5.32，123， 2.333 【例３】（宁夏）有一列数为－1，错误!，－错误!，错误!，－错误!，错误!，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是
星火初一数学辅导老师就初一上学期数学的知识点进行了总结整理，以下是详细内容。 代数初步知识 1、代数式：用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式。 注意：用字母表示数有一定的限制，字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式。 2、列代数式的几个注意事项： （1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写。 （2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号。 （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a ×5应写成5a 。 （4）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成 a 3的形式； （5）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，则应分类，写做a-b 和b-a . 3、几个重要的代数式： （1）a 与b 的平方差是：a 2-b 2； a 与b 差的平方是：（a-b ）2。 （2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是：10a+b ；则三位整数是：100a+10b+c 。 （3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是：5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是：n-1、n 、n+1。 （4）若b ＞0，则正数是:a 2+b ，负数是：-a 2-b ，非负数是：b 2 ，非正数是：-b 2 。 有理数 1、有理数： (1)凡能写成a b （a 、b 都是整数且a ≠0）形式的数，都是有理数。正整数、0、负整数统称
整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。 （注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数） (2)有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。 (3)自然数是指0和正整数；a＞0，则a是正数；a＜0，则a是负数；a≥0 ，则a是正数或0（即a是非负数）；a≤0，则a是负数或0（即a是非正数）。 2、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3、相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0。 (2)注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b； (3)相反数的和为0时，则a+b=0；即a、b互为相反数。 4、绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。 （注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离）。 (2)绝对值可表示为|a|。 (3)|a|是重要的非负数，即|a|≥0。（注意：|a|·|b|=|a·b|）。 5、有理数比大小： （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比0大，负数永远比0小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；
初一数学科总复习 第一章有理数 一、知识要点 本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。有理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。有理数的运算是全章的重点。在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。 基础知识： 1、正数（position number）：大于0的数叫做正数。 2、负数（negation number）：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 3、0既不是正数也不是负数。 4、有理数（rational number）：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数 的形式，这样的数称为有理数。 5、数轴（number axis）：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。 数轴满足以下要求： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度。 6、相反数（opposite number）：绝对值相等，只有负号不同的两个数叫做互为相反数。 7、绝对值（absolute value）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。记做|a|。 由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 8、有理数加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0. （3）一个数同0相加，仍得这个数。 加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。表达式：a+b=b+a。 加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 表达式：（a+b）+c=a+（b+c）
七年级数学上册知识点 第一章有理数 1.1 正数与负数 1、正数：大于0的数叫正数。（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）
2、负数：在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。与正数具有相反意义。 3、0既不是正数也不是负数。0是正数和负数的分界，是唯一的中性数。 注意：搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等。 1.2 有理数 1、有理数的分类 整数和分数统称有理数。 （1）整数的分类：正整数、0、负整数 （2）分数的分类：正分数和负分数 2、数轴 （1）定义：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴； （2）数轴三要素：原点、正方向、单位长度； （3）原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； （4）数轴上的点和有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点，不都是表示有理数。 3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（例：2的相反数是-2；0的相反数是0） 4、绝对值 （1）定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。从几何意义上讲，数的绝对值是两点间的距离。 （2）性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。两个负数，绝对值大的反而小。
1.3 有理数的加减法 1、有理数加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 （3）一个数同0相加，仍得这个数。 2、加法的交换律和结合律 （1）a＋b＝b＋a （2）（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 3、有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。 1.4 有理数的乘除法 1、有理数乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0； （3）乘积是1的两个数互为倒数。 2、乘法交换律/结合律/分配律 （1）a×b＝b×a （2）（a×b）×c＝a×（b×c） （3）（a＋b）×c＝a×c＋b×c 3、有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数； （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。
七年级数学优生辅导计划 一、目的 为全面提高教学质量，出色完成学校制定的培养目标，特选拔学科基础扎实、成绩优异、思维敏捷、学习能力超群的学生进行重点培养，为他们脱颖而出创造条件，从而造就一批实践能力强的人才. 二、情况分析 在智力、学习成绩、日常表现等方面相对优秀的那部分学生常常被认为是好学生,也被称为优生。由于这些学生认知结构、判断能力和行为决策水平都有待提高，他们思维活跃不稳定，容易受各种因素的干扰，紧张的学习、激烈的竞争、单调的生活、成长的烦恼，还有来自家长教师及学生自身的过高期望等，常常会诱发这些学生的消极情绪体验，产生不良的心理现象。优生在年级中人数不多，但影响却颇大，抓好对他们的教育，对形成良好的班风校风有很大作用，这些学生能否严格要求自己，大胆工作无疑会对班级工作局面的好坏产生很大影响。优生比“差生”学习成绩好，常常受到老师、家长、同学的赞扬，他们的优越感与日俱增，在教育教学过程中，我们往往只重视对优生的学习成绩的提高，但却忽视对优生的心理障碍的疏导 三、具体措施 1．改进学习方法，培养自学能力。
2．着力培养。对优生要多给予思想上的帮助，使之树立热爱集体、热心为大家服务的思想，鼓励他们大胆工作，并提供发挥他们想象力、创造性的机会，肯定他们的成绩，让他们把科学的学习方法传给大家，达到全体同学共同进步的目的。 3．平等相待。对优生不能因为他们成绩好而一味地“捧”，不能对他们的缺点冷嘲热讽，这些都会导致心理障碍。对他们要热情地支持、深情地指导，让他们成为积极向上、勤奋刻苦、乐于助人的三好学生。 4．严格要求。对优生把真挚的爱与严格的要求统一起来。当优生出现问题时，既要保护他们的自尊心，又要及时、严肃地指出影响他们进步的原因，以及这些错误的严重后果、改正的方法等。在平时的学习中工作中，要为他们创造发挥能力的机会，也让他们严格约束自己，虚心向大家学习，不搞特殊化。 5、教师每天给优生布置几道思考题加强训练，要完成一本课外书习题 6．要让学生学会质疑、提问。鼓励学生求异、求变、求新，善于学习、勤于总结、勇于创新。 7．进行意志品质教育，在学习上遇到困难时要克服各种消极情绪，具有迎难而上、永攀高峰的意志品质。
七年级(初一)数学上册试题 学校： 班级： 姓名： 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：（本大题有10个小题，每小题4分，共40分。每题后面的四个选项中只 有一个正确，请将正确的选项填入题后的括号里） 1．如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数, 那么运出仓库5吨大米表示为（ ）。 A ．－5吨 B ．＋5吨 C ．－3吨 D ．＋3吨 2．下列各式正确的是（ ）。 A ．33--= B ．+(-3)＝3 C ．(3)3--= D ．－(-3)＝-3 3．如图，数轴上的A 、B 两点分别表示有理数a 、b,下列式子中不正确的是（ ）。 A. 0a b +< B. 0a b -< C. 0a b -+> D. b a > 4．地球上的陆地面积约为149 000 000千米2 ，用科学记数法表示为( )。 A.149×106千米2 B. 1.49×108千米2 C. 14.9×107千米2 D. 0.149×109千2 5．在数12、—20、2 1 1 -、 0 、—（—5）、—|＋3|中，负数有( )。 A.2 个 B. 3个 C. 4个 D.5个 6．下列说法中，正确的是（ ）。 A ．a -是正数 B.－a 是负数 C.－a 是负数 D.a -不是负数 7．在下列的代数式的写法中，表示正确的一个是（ ）。 A ．“负x 的平方”记作－2 x B.“y 与31 1的积”记作y 3 11 C.“x 的3倍”记作x3 D.“a 除以2b 的商”记作 b a 2 8．已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，若不另拿钱购买，最多可以喝矿泉水（ ）。 A. 3瓶 B. 4瓶 C. 5瓶 D. 6瓶 9．若,0,5,7>+==y x y x 且那么y x -的值是（ ）。 A. 2或12 B. 2或-12 C. -2或12 D.- 2或-12 10．计算：1 211-=，2 213-=，3 217-=，4 2115-=，5 2131-=，··· ··· 归纳各计算结果中的个位数字规律，则2010 21-的个位数字是（ ） 。 A. 1 B. 3 C. 7 D. 5 二、填空题：（本大题有6个小题，每小题4分，共24分。请将正确的答案填入每题 中的横线上） 11．如果3－m 与2m+1互为相反数，则m=_____ ___。 12．万润发出售的某种品牌的面粉袋上，标有质量为（25±0.2）kg 的字样，从中任 意拿出两袋，它们的质量最多相差 kg 。 13．在数轴上A 点表示3，B 点表示2-，那么A 、B 两点之间的距离是 。
最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京 时间15：00，纽约时问是_ ___ 【例２】在－227 ，π，0，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数； （2）按整数、分数分类，有理数????????????????? 正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数，0.033. 3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．
初一数学复习资料 第一章：有理数 知识要求： 1、有具体情境中，理解有理数及其运算的意义； 2、能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。 3、借助数轴理解相反数与绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值。 4、经历探索有理数运算法则和运算律的过程；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；理解有理数的运算律，并能利用运算律简化运算，及能运用有理数及其运算律解决简单的实际问题。 知识重点： 绝对值的概念和有理数的运算（包括法则、运算律、运算顺序、混合运算）是本章的重点。 知识难点： 绝对值的概念及有关计算，有理数的大小比较，及有理数的运算是本章的难点。 考点： 绝对值的有关概念和计算，有理数的有关概念及混合运算是考试的重点对象。 知识点： 一、有理数的基础知识 1、三个重要的定义： （1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数。 2、有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质符号分类： ?????????????? ???负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ???? ???????????负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 4、相反数 如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。0的相反数是0，互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。 5、绝对值 （1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。 （2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a 表示如下：
有理数综合复习（讲义） 课前预习 1. 比较大小： （1）-2 ___ -3； -1 000 ____ 0； 若a<0，则a___2a ． （2）如图，a，b 在数轴上的位置如图所示，请把a，b，-a， - b按照从小到大的顺序进行排列： 2. （1）若a是非负数，b也是非负数，则a+b一定是______ （2）若a是非负数，b是正数，则a+b一定是____ ． （3）若a是正数，b也是正数，则a+b一定是____ ． 3. 正数的绝对值是 _____ ，负数的绝对值是___________ ， 0 的绝对值是___ ． 绝对值等于它本身的数是______ ，绝对值等于它的相反数的数是_________ ．
知识点睛 1. 两个负数比大小， _______________________ ． 2. 有理数混合运算要点： ①__________ ；② _____________ ；③ ____________ ． 3. 折线统计图具体做法： ① ____________________ ；②_______________________ ； ③ ____________________ ． 描点连线时需注意： ① ____________________ ；②_______________________ ； ③ ______________________ ． 精讲精练 1. 最小的正整数是 __ ，最大的负整数是 ____ ，绝对值最小的有理数是____ ，相 反数等于它本身的数是 _______ ，绝对值等于它本身的数是____________ ，倒数等于它本身的数是 ______ ，平方等于它本身的数是_______ ． 2. 下列说法正确的是（） A．1 是最小的正数，最大的负数是1 B．正数和负数统称有理数 C．一个有理数不是整数就是分数 D．3.14不是分数 3. 下列说法正确的是（） A．所有的有理数都可以用数轴上的点来表示 B．绝对值等于它相反数的数是负数C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 D．除0 外，任何数的相反数都是负数 4. 下列说法正确的是（） A．绝对值等于它本身的数是正数 B．符号不同的两个数互为相反数 C．一个数的相反数一定是负数 D．在数轴上，离原点越远的点，表示的数的绝对值越大
数学版七年级上册数学总复习 一、压轴题 1．小刚运用本学期的知识，设计了一个数学探究活动.如图1，数轴上的点M ，N 所表示的数分别为0，12.将一枚棋子放置在点M 处，让这枚棋子沿数轴在线段MN 上往复运动（即棋子从点M 出发沿数轴向右运动，当运动到点N 处，随即沿数轴向左运动，当运动到点M 处，随即沿数轴向右运动，如此反复?）.并且规定棋子按照如下的步骤运动：第1步，从点M 开始运动t 个单位长度至点1Q 处；第2步，从点1Q 继续运动2t 单位长度至点 2Q 处；第3步，从点2Q 继续运动3t 个单位长度至点3Q 处…例如：当3t =时，点1Q 、2Q 、3Q 的位置如图2所示. 解决如下问题： （1）如果4t =，那么线段13Q Q =______； （2）如果4t <，且点3Q 表示的数为3，那么t =______； （3）如果2t ≤，且线段242Q Q =，那么请你求出t 的值. 2．已知长方形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，点F 、G 在边CD 上，连接EF 、EG ．将∠BEG 对折，点B 落在直线EG 上的点B ′处，得折痕EM ；将∠AEF 对折，点A 落在直线EF 上的点A ′处，得折痕EN ． （1）如图1，若点F 与点G 重合，求∠MEN 的度数； （2）如图2，若点G 在点F 的右侧，且∠FEG ＝30°，求∠MEN 的度数； （3）若∠MEN ＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG 的大小． 3．综合与探究问题背景数学活动课上，老师将一副三角尺按图（1）所示位置摆放，分别作出∠AOC ，∠BOD 的平分线OM 、ON ，然后提出如下问题：求出∠MON 的度数． 特例探究“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，OM 和ON 仍然是∠AOC 和∠BOD 的角平分线．其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON 、OD 、OB 在同一直线上．按图3方式摆放时，∠AOC 和
乐学教育学员个性化教学辅导教案 学科:数学任课教师：胡宝根授课时间：2017年月日(星期 ) 姓名年级七年级性别教材版本华东师大版总课时____第___课 教学内容提纲本次课知识点： 系统复习七年级上册的知识点： 有理数 整式的加减 图形的初步认识 相交线和平行线 本次课重点： 有理数的相关知识，整式的加减规则，图形的性质，相交平行的定义和判定。 本次课难点： 有理数大小的比较，整式的加减运算，图形的展开图，平行线的判断。 本次课的考点： 有理数的分类和大小比较，整式的加减运算，图形的基本性质和三维图，相交平行的判定 本次课所学习的方法和能力 掌握有理数的分类，整式的加减运算法则，立体图形的三维图，平行线的判定方法。 课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议： 签字教学组长签字： 第一章略 第二章有理数 1．负数：像-5,-2,-237,-3.6这样的数，这是一种新数，叫做负数；正数：过去学过的那些数(零除外),如10,3,500,5.5等,叫做正数．注意：0既不是正数,也不是负数． 2．正整数、零和负整数统称整数，正分数和负分数统称分数．整数和分数统称有理数．
． 3．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 4．在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数． 5．相反数：只有正负号不同的两个数称互为相反数；在数轴上表示互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等；规定：0的相反数是0；我们通常把在一个数前面添上“-”号，表示这个数的相反数；在一个数前面添上“+”号，表示这个数本身． 6．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.记作|a|； 一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数； 任意有理数a，总有|a|≥0． 7．两个负数，绝对值大的反而小． 8．有理数的加法法则： 1）同号两数相加，取相同的正负号，并把绝对值相加；2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3）互为相反数的两个数相加得0；4）一个数同0相加，仍得这个数. 注意 一个有理数由正负号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，应注意确定和的正负号与绝对值． 9．加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．a+b=b+a． 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. ( a + b )+ c = a + ( b + c )． 10．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 11．有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘.任何数同0相乘，都得0． 12．乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．ab＝ba. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相积乘，或者先把后两个数相乘，积不变. (ab)c＝a(bc). 分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. a(b＋c)＝ab＋ac． 几个不等于0的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 13．倒数：乘积是1的两个数互为倒数；除以一个数等于乘上这个数的倒数. 注意：0不能作除数. 有理数的除法法则： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
第一章：有理数 一、有理数的基础知识 1、三个重要的定义 （1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数； （2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数； （3）0即不是正数也不是负数，0是一个具有特殊意义的数字，0是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。 概念剖析：①判断一个数是否是正数或负数，不能用数的前面加不加“+”“－”去判断，要 严格按照“大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数”去识别。 ②正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。 ③所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；正整数、0、负整数统称为整数，正整数、0、负整数组成整数集合； ④常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差之说，其算法为高温减低温等等； 例1 下列说法正确的是( ) A 、一个数前面有“－”号，这个数就是负数； B 、非负数就是正数； C 、一个数前面没有“－”号，这个数就是正数； D 、0既不是正数也不是负数； 例2 把下列各数填在相应的大括号中 8，43，0.125，0，3 1 -，6-，25.0-， 正整数集合{ } 整数集合{ } 负整数集合 { } 正分数集合{ } 例3 如果向南走50米记为是50-米，那么向北走782米记为是 ____________, 0米的意义是______________。 例4 对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量2克，记作+2克，那么5-克表示_________________________ 知识窗口：正数和负数通常表示具有相反意义的量，一个记为正数，另一个就记为负数，我 们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为正，把相反意义的量规定为负。 例5 若0>a ，则a 是 ；若0，则b a -是 ； （填正数、负数或0） 2、有理数的概念及分类 整数和分数统称为有理数。 有理数的分类如下： （1）按定义分类： （2）按性质符号分类： ?????????????????负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ???? ???????????负分数负整数负有理数正分数正整数 正有理数有理数0 概念剖析：①整数和分数统称为有理数，也就是说如果一个数是有理数，则它就一定可以化 成整数或分数； ②正有理数和0又称为非负有理数，负有理数和0又称为非正有理数； ③整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部分不为0的小数，但并不是所有小数都是有理数，只有有限小数和无限循环小数是有理数； 例6 若a 为无限不循环小数且0>a ，b 是a 的小数部分，则b a -是（ ） A 、无理数 B 、整数 C 、有理数 D 、不能确定 例7 若a 为有理数，则a 不可能是（ ） A 、整数 B 、整数和分数 C 、)0(≠p p q D 、π 3、数轴 标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。 画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。 在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 概念剖析：①画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可； ②数轴的方向不一定都是水平向右的，数轴的方向可以是任意的方向； ③数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等； ④有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地，设a 是一个正数，则数轴上表
七年级数学上册辅导资料 七年级数学上册辅导资料 一、教材解读 知识点1有理数加减法统一成加法的意义 1.有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式. 如：(-11)-(+7)+(-4)-(-3)=(-11)+(-7)+(-4)+(3) 2.在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式：如：(-11)+(-7)+(-4)+(+3)=-11-7-4+3 3.和式的读法：一是按这个式子表示的意义，读作“-11，-7，-4，+3的和”二是按运算意义读作“负11，减7，减4，加3”. 例1把下列各式写成省略加号的和的形式. (1)(-26)-(-7)+(-10)-(-3); (2)(-30)-(-8)+(-12)-(-5). 分析：先统一成加法，再省略括号和加号. 解：(1)(-26)-(-7)+(-10)-(-3)=-26+(+7)+(-10)+(+3)=-26+7-10+3. (2)(-30)-(-8)+(-12)-(-5)=(-30)+(+8)+(-12)+(+5)=-30+8- 12+5. 小结：在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，符号容易变错，做这样的题目时，一定要注意符号的变化. 知识点2有理数的加减混合运算的加法和步骤
1.运用减法法则将有理数的混合运算中的加减法变化为加法，写成省略加号，括号的代数和. 2.利用加法的交换律、结合律简化运算，这里应注意的是：通常把同号(指同正、同负)的结合，整数与整数结合，同分母分数或容易通分的分数结合，互为相反数的结合，几个加数能凑整的结合在一起相加;对于特殊结构的计算题要灵活运用运算律. 例2计算：(-47111)-(-5)+(-4)-(+3).8248 分析：加减混合运算应注意有条理按步骤进行，下面将具体作法及其根据写在每一步后面的括号里，以便你更好地归纳. 解：原式=(-47111)+(+5)+(-4)+(-3)(统一化成加法)8248 7111+5-4-3(省略加号)8248 7111=-4-4+5-3(加法交换律)8428 7111=(-4-4+3)+5(加法结合律)8482 7111=(-4+4+3)+5(加法法则)8482 11=-12+542 3=-6(加法法则).4=4 小结：把同号的数相结合相加，这样可以使计算简便. 二、典型题解析 (一)基本概念题 例1把下列各式写成省略加号的和的形式，并说出它们的两种读法. (1)-2-(+3)-(-5)+(-4); (2)(+8)-(-9)+(-12)+(+5). 分析：先把加减法统一成加法;再省略括号和加号.
?????????有理数?????)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数) 0(零?? ???----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数 北师大版初中数学定理知识点汇总七年级上册 第二章有理数及其运算 ※ ※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 ※相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ※绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点 的距离。数a 的绝对值记作|a|。 ※正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。 ?????<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或???<-≥)0()0(||a a a a a ※绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相 反数； 互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0 ②若|a|=0，则a=0， ③若|a|=b ，则a=±b ④对任何有理数a,都有|a|=|-a| ※有理数加法法则： ※加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 ¤灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：①互为相反的 0 -1 -2 -3 1 2 3 越来越大
两个数，可以先相加； ②符号相同的数，可以先相加； ③分母相同的数，可以先相加； ④几个数相加能得到整数，可以先相加。 ※有理数减法法则： ※有理数乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 ②任何数与0相乘，积仍为0。 ※如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。（如：-2与21、3553与… 等） ※乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。 ¤有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号； ②求出各因数的绝对值的积。 ¤乘积为1的两个有理数互为倒数。注意： ①零没有倒数 ②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先 化成假分数。 ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 ※有理数除法法则：①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把 绝对值相除。 ②0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。 ※有理数的乘方 ※注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51； =???? a n a a a a 个 幂