2018年4月高等教育自学考试《工程数学》试题
课程代码：06268
一、单项选择题
1．设A 、B 是n 阶方阵，则下列命题中一定成立的是（D ）
A ．AB=BA
B ．(A+B )2=A 2+2AB +B 2
C ．22))((B A B A B A -=-+
D ．AB A B A A +=+2)(
2．设D 是行列式，ij A 是元素ij a 的代数余子式，下列等式中正确的是（B ）
A ．∑==n k ik ik A a
10 B ．∑==n
k ik ik D A a 1
C ．∑=≠=n k ik ik j i
D A a
1)( D ．∑=+=n k k i ik D A a 1
,1 3．设向量组)2,3,1(),3,,1(),,3,1(),1,2,1(121====βαααk k ，若β不能由321,,ααα线性表示，则=k （D ）
A ．0≠k
B ．3≠k
C ．0=k
D ．0=k 或3=k
4．A ,B 均为n 阶方阵，满足0=AB 且2)(-=n A R ，则必有（C ）
A ．2)(=
B R B ．2)(
C ．2)(≤B R
D ．1)(≥B R
5．设n 元齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵A 的秩5)(-=n A R ，则0=AX 的基础解系中含有的向量个数是（C ）
A ．n
B ．5-n
C ．5
D ．1
6．设A 、B 、C 是任意三个随机事件，则以下命题中正确的是（A ）
A ．
B A B B A -=-)( B ．A B B A =)(
C ．)()(C B A C B A -=-
D ．B A B A B A =)(
7．袋中装有4只球，其中2只红球，2只白球，从中取两球，两球都是白球的概率是（B ）
A ．41
B ．61
C ．161
D ．8
1 8．箱中5件产品中有3件正品，2件次品。今从中依次取两件产品(不放回)，则在第一次取到次品的条件下，第二次取到正品的概率是（D ）
A ．21
B ．51
C ．53
D ．4
3 9．下列命题中不正确的是（C ）
A ．)(1)(A P A P -=
B ．0)(=?P （?是不可能事件）
C ．)()()(B P A P B A P -=+
D ．若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-
10．设X 服从两点分布，且q p X P p X P =-====1}0{,}1{，则下列等式中不正确的
是（C ）
A ．p X E =)(
B ．p X E =)(2
C ．22)(p X E =
D ．pq X D =)(
11．设A ,B ,C 为随机事件，则下列等式中不正确的是（D ）
A ．A
B B A = B ．BA AB =
C ．)()(C B A C B A =
D ．B A B A =
12．一个盒子中装有10个完全相同的球，分别标有号码1，2，…，10，从中任取三球，其中一个球的号码小于5，一个等于5，一个大于5的概率是（A ）
A ．61
B ．21
C ．31
D ．5
1 13．下列命题中，正确的是（C ）
A ．0)(=A P ，则A 是不可能事件
B ．)()()(Y D X D Y X D +=+
C ．)()()(B P A P B A P += ，则0)(=AB P
D ．1)()(=-AB P B A P ，则1)()(=+B P A P
14．方差0)(=X D 的充分必要条件是（A ）
A ．1)}({==X E X P
B ．
C X =
C ．)(X E X =
D ．C X
E X =-)(
15．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，则对Y=4X 的分布函数)(y G ，结论正确的是（B ）
A ．)4()(y F y G =
B ．)4()(y F y G =
C ．)(4)(y F y G =
D ．)(4
1)(y F y G =
二、填空题 16． =??????
? ??0123)4321( 10 。 17．设矩阵???
? ??-=3211A ，E A A B 232+-=，则=-1B 102-1-1?? ? ???。
18．设A ,B 为同阶可逆方阵，则AB 也可逆，且=-1)(AB 11--A B 。
19．矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的 秩 。
20．设向量组)3,1,0,1,7(),22,6,9,4,1(),4,3,2,0,1(),2,1,1,4,6(4321-=--=-=-=αααα向量组的秩等于 4 。
21．设A ,B ,C 三事件，则A ,B ,C 不多于一个发生可表示为A C C B B A 。
22．古典概型是指样本空间元素只有有限个，且每个 基本事件 出现的可能性相同。
23．设A,B 为两事件，a A P =)(，b B P =)(，c A B P =)(，且a ，b ，c 都是已知的小于1的正数，则=)(A B P 1b ac a
--。 24．设随机变量X 的分布密度为??
???<≤-<≤=else or x x a x x x f ,0;21,;10,
)(则a = 2 。
25．设随机变量X 的分布函数为??
???
>≤<-+-≤=1111arcsin 10)(x x x b a x x F ，则E(X)= 0 。
三、计算题
26．设3阶矩阵A 的特征值为1，2，3，属于特征值1，2，3的特征向量依次为T T T )1,0,3(,)2,1,2(,)1,1,2(321=-=-=ααα，求矩阵A 。
解 由题设得,3,2,332211αααααα===A A A 则
????
? ??===321),,()3,2,(),,(),,(321321321321ααααααααααααA A A A .
由于321,,ααα是属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，于是矩阵),,(321ααα=P 可逆，且
1321-????
? ??=P P A
,121011322????? ??--=P ????
? ??-----=-4613513411P ,
所以
.32036118263????
? ??--=A
27．求一正交变换，化二次型31212221442x x x x x x f --+=为标准型。
解：二次型对应的矩阵为
????
? ??----=002022221A 令0=-E A λ 解得
241321-===λλλ 由 241321-===λλλ 分别求得特征向量并单位化,作正交变换
12212213212X Y -?? ?= ? ?-??
, 化标准形为 22212342f y y y =+-
四、应用题
28．某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态分布，从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）
14.6,15.1,14.8,15.2,15.1,14.9
若总体方差06.02=σ，求总体均值μ的置信区间。（05.0=α）
（注：576.2,96.1005.0025.0==u u ）
解： 95.14=x ，
05.0=α时，置信度为95%的置信区间为 [],15.15,75.14606.096.196.14,606.096.196.1496.1,96.1≈??????+-=??
????+-n x n x σσ