高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较
强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=
a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1
1
1)1(1121+-=+=+=
-+n n n n n n a a n n
分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即
)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n
n --+??????+-+-+-=
所以n
a a n 1
11-=-
211=a ，n
n a n 1231121-=-+=∴
变式:（2004，全国I ，个理22．本小题满分14分）
已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；
（II ）求{ a n }的通项公式.
解： k k k a a )1(122-+=-，k k k a a 3212+=+
∴k k k k k k a a a 3)1(312212+-+=+=-+，即k k k k a a )1(31212-+=--+ ∴)1(313-+=-a a ， 2235)1(3-+=-a a
…… ……
k k k k a a )1(31212-+=--+
将以上k 个式子相加，得
]1)1[(2
1
)13(23])1()1()1[()333(22112--+-=-+???+-+-++???++=-+k k k k k a a
将11=a 代入，得
1)1(2
1
321112--+?=++k k k a ， 1)1(2
1
321)1(122--+?=-+=-k k k k k
a a 。
经检验11=a 也适合，∴???????--?+?--?+?=-+)(1)1(2132
1)(1)1(21321222
1
21为偶数为奇数n n a n
n n n n
类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 1
1+=
+，求n a 。 解：由条件知1
1+=
+n n
a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即
1342312-??????????n n a a a a a a a a n n 1433221-??????????=n a a n 1
1=?
又321=a ，n
a n 32
=∴ 例:已知31=a ，n n a n n a 2
31
31+-=
+ )1(≥n ，求n a 。 解：1231
32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-??????+---?+---=
3437
52633134
8531n n n n n --=
????=---。
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a
(n ≥2)，则{a n }的通项1
___n a ?=?
?
12n n =≥
解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+???+++=-+13211)1(32，用此式减去已知式，得 当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+，又112==a a ，
n a a a a a a a a a n n =???====∴-1
3423121,,4,3,1,
1，将以上n 个式子相乘，得2!
n a n =)2(≥n
类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=?-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且
23
3
11=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=?=n n n b ,所以
321-=+n n a .
变式:（2006，重庆,文,14）
在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________ （key:321-=+n n a ）
变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{b n }滿足12111
*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明：数列{b n }是等差数列；
（Ⅲ）证明：
*122311...().232
n n a a a n n
n N a a a +-<+++<∈ （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈
112(1),n n a a +∴+=+
{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列
12.n n a ∴+=
即 *
21().n
n a n N =-∈
（II ）证法一：
1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+
12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=
122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①
12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=
21(1)20.n n nb n b ++-++=
③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+=
*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈
{}n b ∴是等差数列
证法二：同证法一，得 1(1)20n n n b nb +--+= 令1,n =得1 2.b =
设22(),b d d R =+∈下面用数学归纳法证明 2(1).n b n d =+- （1）当1,2n =时，等式成立
（2）假设当(2)n k k =≥时，2(1),k b k d =+-那么
122[2(1)]2[(1)1].1111k k k k b b k d k d k k k k +=
-=+--=++----- 这就是说，当1n k =+时，等式也成立 根据（1）和（2），可知2(1)n b n d =+-对任何*
n N ∈都成立
{}1,n n n b b d b +-=∴是等差数列
（III ）证明：
1121211
,1,2,...,,1212
2(2)2
k k k k k k a k n a ++--==<=--
12231 (2)
n n a a a n
a a a +∴
+++<
111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232
k k k k k k
k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-
1222311111111
...(...)(1),2322223223
n n n n a a a n n n a a a +∴
+++≥-+++=-->-
*122311...().232
n n a a a n n
n N a a a +∴-<+++<∈ 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （或
1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：
q
q a q p q a n n n n 1
11+?=++引入辅助数列{}n b （其中n
n
n q
a b =），得：q
b q p b n n 1
1+=
+再待定系数法解决。 例:已知数列{}n a 中，651=
a ,1
1)2
1(31+++=n n n a a ，求n a 。 解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以1
2+n 得：1)2(3
2211+?=?++n n n n a a
令n n n a b ?=2，则1321+=+n n b b ,解之得：n
n b )3
2(23-=
所以n
n n
n n b a )31(2)21(32
-== 变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分） 设数列{}n a 的前n 项的和1412
2333
n n n S a +=
-?+，1,2,3,n =
（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n
n n
T S =，1,2,3,
n =，证明：
1
3
2n
i i T =<∑
解：（I ）当1=n 时，3
2
3434111+-==a S a 21=?a ； 当
2
≥n 时，
)3
2
23134(3223134111+?--+?-=
-=-+-n n n n n n n a a S S a ，即
n n n a a 241+=-，利用n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）
。
（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数）的方法，解之得：n n n a 24-= (Ⅱ)将n n n a 24-=代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 1
3×(2n+1－1)(2n+1－2)
= 2
3
×(2n+1－1)(2n －1)
T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n
－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1
) 所以,
1
n
i i T =∑
= 3
2
1
(
n
i =∑12i
－1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1
) < 32
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足?
?
?-==+q st p
t s
解法二(特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02
=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。若21,x x 是特征方程的两个根，当2
1x x ≠时，数列{}n a 的通项为1
211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1
211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21x x =时，数列{}n a 的通项为1
1)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。
解法一（待定系数——迭加法）:
数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。
由025312=+-++n n n a a a ，得
)(3
2
112n n n n a a a a -=
-+++， 且a b a a -=-12。
则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项，
3
2
为公比的等比数列，于是
11)3
2
)((-+-=-n n n a b a a 。把n n ,,3,2,1???=代入，得
a b a a -=-12，
)32
()(23?-=-a b a a ，
234)3
2
()(?-=-a b a a ，
???
21)3
2
)((---=-n n n a b a a 。
把以上各式相加，得
])3
2()32(321)[(21-+???+++-=-n n a b a a )(3
21)32(11
a b n ---=-。
a b b a a a b a n n n 23)3
2
)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--。
解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532
=+-x x 。
3
2,121=
=x x , ∴1
2
11--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-?+=n B A 。 又由b a a a ==21,，于是
??
?-=-=???
?
??+=+=)(32332b a B a b A B A b B
A a 故1
)
3
2
)((323--+-=n n b a a b a
例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=++，求n a 。 解：由n n n a a a 3
1
3212+=
++可转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 即n n n sta a t s a -+=++12
)(???
????
-==+?313
2st t s ?????-==?311t s 或????
?=-=131t s
这里不妨选用???
??-==311t s （当然也可选用
???
??
=-=1
31t s ，大家可以试一试），则)(3
1112n n n n a a a a --=-+++{}n n a a -?+1是以首项为112=-a a ，公比为31
-的等比数列,
所以1
1)3
1(-+-=-n n n a a ,应用类型1的方法，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得
)1(-n 个等式累加之，即2101)3
1()31()31(--+??????+-+-=-n n a a 3
11)31(11
+--=
-n 又11=a ，所以1
)3
1(4347---=n n a 。
变式:（2006，福建,文,22,本小题满分14分）
已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ （I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式； （III ）若数列{}n b 满足121
11
*44...4(1)(),n
n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列
（I ）证明：
2132,n n n a a a ++=-
21112*21
12(),1,3,2().
n n n n n n n n
a a a a a a a a n N a a ++++++∴-=-==-∴
=∈-
{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列
（II ）解：由（I ）得*12(),n n n a a n N +-=∈
112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+
12*
22...2121().
n n n
n N --=++++=-∈
（III ）证明：
1211144...4(1),n n b b b b n a ---=+
12(...)42,n n b b b nb +++∴=
122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①
12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②
②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20.n n n b nb +--+= ③ 21(1)20.n n nb n b ++-++= ④ ④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+= 即2120,n n n b b b ++-+=
*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈
{}n b ∴是等差数列
类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解
法
：
这
种
类
型
一
般
利
用
??
?≥???????-=????????????????=-)
2()1(11n S S n S a n n n 与
)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n
a 进行求解。
例：已知数列{}n a 前n 项和2
2
14--
-=n n n a S .
（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a . 解：（1）由2
214--
-=n n n a S 得：1
11214-++-
-=n n n a S
于是)21
2
1()(1
2
11--++-
+-=-n n n n n n a a S S
所以1
1121
-+++
-=n n n n a a a n n n a a 2
1211
+=?+. （2）应用类型4（n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ））的方法，上式两边同乘以1
2+n 得：222
11
+=++n n n n a a
由12
1
412
1111=?-
-==-a a S a .于是数列{}
n n a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n
2)1(222=-+=12
-=?n n n a
变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分)
已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n
解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②
由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)
当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;
当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 变式: (2005,江西,文,22．本小题满分14分）
已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3,2
3
,1),3()2
1(211
-==≥--S S n n 且求数列{a n }
的通项公式.
解： 12--+=-n n n n a a S S ，
∴)3()2
1
(311≥-?=+--n a a n n n ，两边同乘以n )1(-，可得
1111)2
1
(3)21()1(3)1()1(----?-=--?=---n n n n n n n a a
令n n n a b )1(-=
∴)3()21
(311≥?-=---n b b n n n
221)2
1
(3---?-=-n n n b b
…… ……
223)2
1
(3?-=-b b
∴2
1)
21(41413])2
1()21()21[(3222
212-?-?-=+???++?-=---n n n n b b b )3()2
1
(32312≥?+-=-n b n
又 111==S a ，2
5
123122-=--=-=S S a ，
∴1)1(111-=-=a b ，2
5
)1(222-=-=a b
∴)1()2
1
(34)21(3232511≥?+-=?+--=--n b n n n 。
∴???
?????+-?-=?-?+--=-=---.
,)21(34,,)21(34)2
1
()1(3)1(4)1(111
为偶数为奇数n n b a n n n n n n n n
类型7 b an pa a n n ++=+1)001
(≠≠，a 、p
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令
)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为
{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。
例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
解：设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得
[]12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n
??????+-=-=∴1
3323A B B A A ??
?==1
1
B A 1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故n
n n b 32361?=?=-代入（１）得132--?=n a n n
说明：（1）若)(n f 为n 的二次式，则可设C Bn An a b n n +++=2;(2)本题也可由1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为n n n qb pb b +=++12求之.
变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分） 已知数列｛n a ｝中，111
22
n n a n a a +=
-、点（、）在直线y=x 上，其中n=1,2,3… (Ⅰ)令{}是等比数列；求证数列n n n n b a a b ,31--=- (Ⅱ)求数列{}的通项；
n a (Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+??
??
??
为等差数列？若存在，试求出λ 若不存在,则说明理由
解：（I ）由已知得 111
,2,2
n n a a a n +=
=+
2213313,11,4424
a a a =--=--=-
又11,n n n b a a +=--
1211,n n n b a a +++=--
11112111(1)1
11222.1112n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a b a a b a a a a a a +++++++++++-----∴====------
{}n b ∴是以34-为首项，以1
2
为公比的等比数列
（II ）由（I ）知，13131
(),4222n n n b -=-?=-?
131
1,22n n n a a +∴--=-?
2131
1,22a a ∴--=-?
32231
1,22
a a --=-?
??????
1131
1,22
n n n a a --∴--=-?
将以上各式相加得：
1213111
(1)(),2222n n a a n -∴---=-++???+
11111(1)31313221(1)(1) 2.
12222212
n n n n a a n n n ---∴=+--?=+---=+--
3
2.2
n n a n ∴=+-
（III ）解法一： 存在2λ=，使数列{
}n n
S T n
λ+是等差数列 1212111
3()(12)2222
n n n S a a a n n =++???+=++???++++???+-
11(1)
(1)2
2321212
n n n n -+=?+-- 2213333(1) 3.2222
n n n n n n
--=-+=-++
12131(1)
313342(1).222212
n n n n n T b b b +--=++???+==--=-+- 数列{}n
n S T n λ+是等差数列的充要条件是,(n n
S T An B A n
λ+=+、B 是常数) 即2,n n S T An Bn λ+=+
又213333
3()2222n n n n n n S T λλ+-+=-+
++-+ 231
3(1)(1)222
n n n λ-=+--
∴当且仅当102
λ
-
=，即2λ=时，数列{
}n n
S T n
λ+为等差数列 解法二：
存在2λ=，使数列{
}n n
S T n
λ+是等差数列 由（I ）、（II ）知，22n n a b n +=-
(1)
222n n n S T n +∴+=
- (1)
222n n
n n n n n T T S T n n λλ+--++= 322n n T n
λ--=+
又12131(1)
313342(1)1222212
n n n n n T b b b +--=++???+==--=-+- 13233
()222
n n n S T n n n λλ++--=+-+ ∴当且仅当2λ=时，数列{}n
n
S T n
λ+是等差数列 类型8 r
n n pa a =+1)0,0(>>n a p
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。 例：已知数列｛n a ｝中，2
111,1n n a a
a a ?==+)0(>a ，求数列{}.的通项公式n a 解：由21
1n n a a a ?=+两边取对数得a
a a n n 1lg lg 2lg 1+=+，
令n n a b lg =，则a b b n n 1lg
21+=+，再利用待定系数法解得：12)1(-=n n a
a a 。 变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分） 已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(2
1
,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 解：用数学归纳法并结合函数)4(2
1
)(x x x f -=的单调性证明： （1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，,2
3)4(21,10010=-=