整式的加减
教学目标1.复习巩固合并同类项和去括号法则
2.进一步经历用字母表示数量关系的过程，培养符号意识
3.会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理
重点灵活准确地运用整式的加减的步骤进行运算
难点
运用整式的加减解决数学问题，培养学生的应用意识
教学
用具
课件
教学
环节
说明二次备课
新课导入回顾上一章学习的有理数运算：由于引进了负数，学习了有理数的运算。当由数扩展到整式时，也要学习整式的运算。
回顾整式的定义，猜测整式的运算是什么？整式的加减是什么加减是什么的加减？
课程讲授三个题组练习，复习前面所学知识。
1、对整式、单项式、多项式的基本概念
2、合并同类项练习和去括号法则练习
3、列代数式练习
和学生共同回忆以前的知识，降低教学难度，激发兴趣，从而顺利过渡到本节知识内容，为下一个环节做好铺垫。
动手实践
验证猜想
【探究活动一】
学生任写一个两位数，将两数字交换位置后得到的结果与原数相加，写出自己得到的结果，与其他同学交流结果，根据以下问题进行讨论。
讨论1：这些和有什么规律？
讨论2：这个规律对任何一个两位数都成立吗？为什么？
学生讨论，老师引导学生总结
【探究活动二】
每名学生任写一个三位数，交换它的百位与个位数字，又得一个数与原数相减，思考结果有什么规律？这个规律对任何一个三位数都成立吗？为什么？
在活动过程中让学生充分发挥主体作用，从自己的视点去观察、归纳、自然地认识到整式的化简实质上就是整式的加减。
通过两个两个数字游戏，使学生通过用字母表示数量关系的过程，发展符号感，体会整式的加减运算的必要性。
归纳探究
【议一议】
在上面的两个问题中，分别涉及到了整式的什么运算？
说说你是如何运算的？
整式的加减运算实质和运算结果
归纳：进行整式加减运算时，有括号先去括号，再合并同类项。
通过上面的两个数字游戏，学生实际上已经经历了整式加减运算的两个步骤，新的问题的提出，目的是引导学生独立总结整式加减运算的法则、发展有条理的思考及语言表达能力。
例题讲解
例1、计算
（1）2x2-3x+1与-3x2+5x-7的和
（2）-x2+3xy-0.5y2与-0.5x2+4xy-1.5y2的差
由教师和学生共同完成，
对本节的法则进行巩固练习，训练学生的运算技能，帮助学生灵活运用整式的加减的步骤进行运算。
巩固提高
书本96页随堂练习1—4
97页习题3.7 2 （1）（3）
随堂练习由教师指定几名学生板演，其余学生在笔记本上解答，教师巡视，发现问题及时解决，有针对性的进行板书，
训练学生熟练规范的进行整式的加减运算
小结师生小结
这堂课你有什么收获
学生反思、体会课堂中所学内容并归纳总结，教师补充升华. 北师大版七年级上数学《整式的加减》（第三课时）教学设计
培养学生概括的能力，使知识形成体系，并渗透数学思想方法
作业
布置
习题
板书
设计
课后
反思
七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．下列说法错误的是（）
A．半圆是弧
B．所有内角都相等的多边形是正多边形
C．三角形的三个外角中，最多有三个钝角
D．三角形的三条角平分线交于一点
【答案】B
【解析】根据圆的有关概念对A进行判断，根据正多边形的定义对B进行判断，根据三角形的有关概念对C，D进行判断即可.
【详解】A. 半圆是弧，此说法正确，不符合题意；
B．各边都相等且各内角都相等的多边形是正多边形，此说法错误，符合题意；
C. 锐角三角形的三个外角中，有三个钝角；直角三角形的三个外角中有两个钝角；钝角三角形的三个外角中有两个钝角；故此说法正确，不符合题意；
D. 三角形的三条角平分线交于一点，此说法正确，不符合题意.
故选B.
【点睛】
本题考查了圆的有关概念，多边形的概念以及三角形的有关概念，熟练掌握这些概念是解决此题的关键．2．下列四大手机品牌图标中，是轴对称的是（）
A．B．C． D．
【答案】A
【解析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
3．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．
4．如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人找到了两个标志点A（2，1），C（0，1）．则“宝藏”点B的坐标是（）
A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（l，0）
【答案】B
【解析】根据点A、C的坐标可知平面直角坐标系，据此可得答案．
【详解】根据题意可建立如图所示坐标系，
则“宝藏”点B的坐标是（1，2），
故选：B．
【点睛】
本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出平面直角坐标系是解题的关键．
5．如图，△ABC沿BC方向平移得到△DEF，已知BC=7，EC=4，那么平移的距离为( )
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【解析】观察图象，发现平移前后，B、E对应，C、F对应，根据平移的性质，易得平移的距离=BE=BC-EC=3，进而可得答案．
【详解】解：由题意平移的距离为：BE=BC-EC=7-4=3，
故选：B．
【点睛】
本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等，对应线段平行(或在同一直线上)且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．任何一对对应点所连线段的长度都等于平移的距离．
6．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（）
A．
83
74
x y
x y
-=
?
?
+=
?
B．
83
74
x y
x y
+=
?
?
-=
?
C．
34
87
x x
+-
=D．
34
87
y y
-+
=
【答案】A
【解析】设有x人，物品的价格为y元，根据所花总钱数不变列出方程即可．【详解】设有x人，物品的价格为y元，
根据题意，可列方程：
83
74
x y
x y
-=
?
?
+=
?
，
故选A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．
7．如图，利用直尺圆规作∠AOB的角平分线OP.则图中△OCP≌△ODP的理由是
A．边边边
B．边角边
C．角角边
D．斜边直角边
【答案】A
【解析】根据角平分线的作图方法解答．
【详解】解：根据角平分线的作法可知，OC=OD，CP=DP，
又∵OP是公共边，
∴△OCP≌△ODP的根据是“SSS”．
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，熟悉角平分线的作法，找出相等的条件是解题的关键．
8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，如果∠1＝40°，∠2＝30°，那么∠A＝（）
A．40°B．30°C．70°D．35°
【答案】D
【解析】根据折叠的性质得到∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，一，再根据平角的性质和三角形内角和定理得出答案.
【详解】因为折叠使∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，所以∠1+∠AEA′=180°，因为∠1=40°，所以∠AEA′=140°，即∠AED=∠A′ED=70°，同理求出∠ADE=∠A′DE=75°，因为ΔA′DE的内角和180°，所以∠A′=180°-70°-75°=35°，即∠A=35°.
【点睛】
本题考查折叠的性质、平角的性质、三角形内角和定理来解，熟练掌握折叠会出现相等的角和线段. 9．已知一个三角形的两条边分别是3cm、4cm，则第三条边长度可以是（）
A．1cm B．10cm C．7cm D．5cm
【答案】D
【解析】根据三角形的三边关系：三角形第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【详解】解：4-3＜x＜4+3，
则1＜x＜1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
10．已知3a＝6，3b＝4，则32a﹣b的值为（）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】D
【解析】根据同底数幂除法法则计算.
【详解】解：∵3a＝6，3b＝4，
∴32a﹣b＝（3a）2÷3b＝36÷4＝9，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是同底数幂除法，熟练掌握同底数幂除法法则是解题的关键.
二、填空题题
11．计算：
4222x x x ++=--______________________。 【答案】-1 【解析】对于本题4222x x x ++=--,其最简公分母为x-2,所得通分结果为4-22
x x -- .先选取各项分式的最小公分母，可以得到最小公分母为：x-2.将各分式合并为一个分式,把分子合并即可得到通分结果.
【详解】通分,得4-2
2x x --
合并同类项,得2-2x
x -
得： -1
故答案为：-1.
【点睛】
此题考查分式的加减，解题关键在于掌握分式中分母不为零.
12．如果p （a+b,ab ）在第二象限，那么点Q (a,-b) 在第____________象限.
【答案】二
【解析】试题解析:()P a b ab +，在第二象限，
00a b ab ∴+，，
00a b ∴<<，，
0b ，∴->
∴点()Q a b -，在第二象限．
故答案为:二.
13．如果22(1)25x m x +-+是一个完全平方式，那么m 的值为________.
【答案】6或?4.
【解析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m 的值．
【详解】∵多项式()22125x m x +-+是一个完全平方式，
∴2(15)2,m -=
开方得：m?1=5或m?1=?5，
解得：m=6或?4，
故答案为6或?4.
【点睛】
考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.
14．如图，已知OM a ⊥，ON a ⊥，所以OM 与ON 重合的理由是：__________．
【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【解析】观察图形可得OM 、ON 都经过点O ，根据垂线定理即可得出答案.
【详解】解：OM 与ON 重合的理由是：
在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【点睛】
本题需掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
15．如图所示，已知△ABC 的周长是20，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=3，则△ABC 的面积是 ．
【答案】1．
【解析】试题分析：如图，连接OA ，
∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等，
∵△ABC 的周长是20，OD ⊥BC 于D ，且OD=3，
∴S △ABC =12
×20×3=1． 考点：角平分线的性质．
16．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ?∠=，30A ?∠=，先以点C 为旋转中心，将ABC ?按逆时针方向旋转45?得11A B C ?，然后以直线1A C 为对称轴，将11A B C ?轴对称变换，得12A B C ?，则12A B 与AB 所成的α∠度数为__________度．
【答案】75
【解析】由旋转、轴对称的性质及三角形的内角与外角的性质作答．
【详解】解：∵△ABC 按逆时针方向旋转45°，得△A 1B 1C ，
∴∠BCB 1＝45°，
∴∠ACB 2＝180°?∠ACB?∠BCB 1＝45°．
而∠B 2＝∠B 1＝∠B ＝90°?∠A ＝60°．
又∵∠α＋∠A ＝∠B 2＋∠ACB 2，
∴∠α＝75°．
【点睛】
本题主要考查旋转与轴对称的性质：旋转前后，轴对称前后的对应角相等．
17．如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下采用不同的密码．请你运用所学知识，找到破译的“钥匙”．目前，据此“钥匙”已破译出“动脑思考”的真实意思是“装好收获”．请破译“正在做题”真实意思是_____．
【答案】我爱数学
【解析】根据题意找出破译的“钥匙”，以此来破译“正在做题”真实意思即可．
【详解】∵“动脑思考”的真实意思是“装好收获”
∴每个格子对应的是该格子往右1个单位长度，往上2个单位长度所对应的格子
∴“正在做题”真实意思是“我爱数学”
故答案为：我爱数学．
【点睛】
本题考查了图形类的规律问题，掌握破译的“钥匙”是解题的关键．
三、解答题
18．如图，已知：在ABC △中，点D ，E 是边BC 上的两点，且,AB BE AC CD ==.
（1）若90BAC ∠=?，求DAE ∠的度数；
（2）若120BAC ∠=?，直接写出DAE ∠的度数；
（3）设,BAC DAE αβ∠=∠=，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）.
【答案】（1）45°；（2）∠DAE=30°；（3）α+2β=180.
【解析】(1)由题意得出∠BEA=180B
2∠?- ，∠CDA =180C
2∠?-，再在△ADE 中
利用内角和等于180°即可.
(2)同（1）理可快速得出答案.
(3)综合（1）（2）可总结出α与β的之间数量关系.
【详解】（1）∵AB=BE ，AC=CD
∴∠BEA=180B
2∠?- ，∠CDA =180C
2∠?-
在△ADE 中
∠DAE=180°?∠BEA ?∠CDA=180°?180B 180C
22∠∠
?-?-- =1
2(∠B+∠C )=12(180°?∠BAC )=1
2×(180°?90°)=45°
（2）∠DAE=30°
理由：∠DAE=180°?∠BEA ?∠CDA=180°?180B 180C
22∠∠?-?
--
=1
2
(∠B+∠C )=
1
2
(180°?∠BAC )= 30°
（3）α+2β=180
理由：∠DAE=180°?∠BEA?∠CDA=180°?180B180C 22
∠∠?-?-
-
=1
2
(∠B+∠C )=
1
2
(180°?∠BAC )
∠DAE=1
2
(180°?∠BAC )
α+2β=180.
【点睛】
本题考查的知识点是等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质.
19．△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AB、AC于点E、D，若△ABC和△BCD的周长分别为21cm和13cm，求△ABC的各边长．
【答案】AB=AC=8；BC=5
【解析】首先设AB=AC=x，根据三角形ABC的周长为21cm，得到BC=21-2x，根据线段垂直平分线的性质，设AD=BD=y，可得CD=AC-AD=x-y，再根据△BCD的周长为13可得BD+CD+BC=13，即
y+(x-y)+(21-2x)=13，即可求出各边长．
【详解】设AB=AC=x
∵三角形ABC的周长为21cm
∴BC=21-2x
∵ED是AB的垂直平分线
∴AD=BD
设AD=BD=y
则:CD=AC-AD=x-y
∵三角形BCD的周长为13cm
∴BD+CD+BC=13
即y+(x-y)+(21-2x)=13
x=8
21-2x=21-2?8= 5
8,5AB AC cm BC cm ∴===
【点睛】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 20．已知：∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O ．试说明DE 平分∠BDC ．
【答案】详见解析
【解析】先证△BED ≌△AEC ，可得到DE ＝CE ，∠BDE ＝∠C ，即可得∠EDC ＝∠C ，所以∠EDC ＝∠BDE ，，即得证
【详解】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠AED ＝∠AED+∠2，即∠BED ＝∠AEC ，
在△BED 和△AEC 中，∠B =∠A ，∠BED ＝∠AEC ，BE=AE
∴△BED ≌△AEC ，
∴DE ＝CE ，∠BDE ＝∠C ，
∵DE ＝CE ，
∴∠EDC ＝∠C ，
∴∠EDC ＝∠BDE ，
∴DE 平分∠BDC ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的证明与性质以及等角代换，关键在于充分掌握全等三角形的证明与性质 21．（1）因式分解：x 2（x-y ）+y 2（y-x ）
（2）用简便方法计算：1252-50×
125+252 【答案】（1）()()2x y x y -+ ；（2）1
【解析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式变形后，利用完全平方公式计算即可求出值．
【详解】解：
（1）原式=x2（x-y）-y2（x-y）
=（x-y）（x2-y2）
=（x-y）2（x+y）；
（2）原式=1252-2×25×125+252
=（125-25）2
=1002
=1．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），
则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．（Ⅰ）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为；
（Ⅱ）若点P的“5属派生点”P′的坐标为（3，﹣9），求点P的坐标；
（Ⅲ）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值．
【答案】（Ⅰ）（7，﹣3）；（Ⅱ）点P（﹣2，1）（Ⅲ）k=±2
【解析】（Ⅰ）根据“k属派生点”计算可得；（Ⅱ）设点P的坐标为（x、y），根据“k属派生点”定义及P′的坐标列出关于x、y的方程组，解之可得；（Ⅲ）先得出点P′的坐标为（a，ka），由线段PP′的长度为线段OP长度的2倍列出方程，解之可得．
【详解】（Ⅰ）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为（﹣2+3×3，﹣2×3+3），即（7，﹣3），故答案为：（7，﹣3）；
（Ⅱ）设P（x，y），
依题意，得方程组：
53 59 x y
x y
+=
?
?
+=-
?
，
解得
2
1
x
y
=-
?
?
=
?
，
∴点P（﹣2，1）．
（Ⅲ）∵点P（a，b）在x轴的正半轴上，