第五章 平面向量第三节 平面向量的数量积
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）
1.【广西梧州、崇左两市联考高三（上）摸底】设向量，满足|+|=，||=1，||=2，则?等于
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2.【“五个一名校联盟” 高三教学质量监测（一）6】b a ,是两个向量，2,1==b a 且a b a ⊥+)(，则a 与
b 的夹角为（ ）
A.
30 B.
60 C.
120 D.
150
3. 【重庆高考理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）
9
.2A -
.0B .C 3 D.152
4.【·长春调研】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(b ＋λa)⊥c ，则λ的值为( )
A ．－311
B ．－113
C.12
D.35
5.【高考辽宁卷文第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ?=，0b c ?=，则0a c ?=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ?∧? D ．()p q ∨?
6.【·北京东城质量检测】已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b)b ，则|c|＝________. A.2 B.22 C.28 D.216
7. 【黄冈市高三5月适应性考试】非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???
且12AB AC AB AC ?=，则⊿ABC 为( )
A.三边均不等的三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰非等边三角形
8.【全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷）】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且
1
cos 3
α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β等于（ ）
A.
23 B. 22 C. 223 D. 423
9. 【高考浙江卷文第9题】设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t a b +的最小值为1（ ）
A.若θ确定，则 ||a 唯一确定
B.若θ确定，则 ||b 唯一确定
C.若||a 确定，则 θ唯一确定
D.若||b 确定，则 θ唯一确定
10.【高二暑假作业】设O 为坐标原点，()1,1A ，若点()221,
,01,01,x y B x y x OA OB y ?+≥??
≤≤???≤≤??
满足则取得最小值
时，点B 的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.无数个 11.【高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a|=22
3
|b|，且（ab ）⊥（3a+2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、
4π B 、2π C 、34
π D 、π 12.【原创题】对于非零向量,a b ，下列命题中正确的是（ ）. A.a ∥b ?a 在b 上的投影为a B.0a b ?=0a ?=或0b = C.a ⊥b ?()2
a b a b ?=?
D.a c b c ?=??a b =
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）
13.【黄石二中、鄂南高中、鄂州高中三校高三上学期期中联考文科数学试题】已知向量,a b 的夹角为
3
π
，
||2,||1a b ==，则||||a b a b +-的值是_____;
14.【高考天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21
,,36
BE BC DF DC =
=则AE AF ?的值为． 15.【高三六校联考（一）数学（文）】在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=?，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则=?+?CA CP CB CP
16.【淮安市高三上学期第一次摸底考试数学试题】如图，已知ABC ?中，4AB AC ==，90BAC ∠=，
D 是BC 的中点，若向量1
4
AM AB m AC =
+?，且AM 的终点M 在ACD ?的内部（不含边界），则AM BM ?的取值范围是．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【高考名师推荐】设向量
（1）若，求x 的值
（2）设函数
，求f(x)的最大值
18.【威海市高三3月模拟】已知向量(cos ,sin )a αα=，(1+cos ,sin )b ββ=-. （1）若3
π
α=
，(0,)βπ∈，且a b ⊥，求β；
（2）若=βα，求a b ?的取值范围.
19.【重点中学盟校高三第一次联考】已知向量)7,1(1-=a ，)1,1(=d ，对任意*
N n ∈都有a a n n +=+1. （1）求||n a 的最小值； （2）求正整数,m n ,使m n a a ⊥
(第13题图)
D
C
A
20. 【石家庄市高中毕业班第一次模拟】已知O 为锐角△ABC 的外心，AB=6，AC=10，
AO xAB yAC =+,且2x+10y=5，求边BC 的长.
21.【南昌市高三第二次模拟】如图已知ABC △中，1,2,120AB AC BAC ==∠=?，点M 是边BC 上的动点，动点N 满足30MAN ∠=?（点,,A M N 按逆时针方向排列）．
（1）若2AN AC =，求BN 的长；
（2）若3AM AN ?=，求△ABN 面积的最大值． 22. 【鹰潭市高三第二次模拟考试】如图：()(
)
3,,3,A m m B
n n -两点分别在射线,OS OT 上移动，且
1
2
OA OB ?=-,O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+
（1）求点P 的轨迹C 的方程;
（2）设01,2Q x ?? ???
，过Q 作（1）中曲线C 的两条切线，切点分别为,M N ，①求证:直线MN 过定点; ②若7OM ON ?=-,求0x 的值。 高
考
模
拟
复
习
试
卷
试
题
模
拟
卷
A
B
C
N
考试时间：120分钟；满分150分
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合[0,5]U =,2
{|230,}A x x x x N =--<∈，B=0,11,3)(3,5)??（）（,则()U A C B ?=( )
A.{0，1，2)
B.{1,0，1,2,3}
C. {0，1}
D.{2}
2.已知z=2
(1)23i i
++(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 3.已知函数2
()2sin ()4
f x x π
=+
，则下列结论正确的是( )
A. ()f x 是奇函数
B. x =4π
-
是()f x 一条对称轴 C. ()f x 的最小正周期为2
π
D. (4π-,0)是()f x 的一条对称轴
4.已知命题p ?:存在x ∈(1,2)使得0x
e a ->,若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（）
A.(2
e ,+∞) B.[2e ,+∞) C.(∞,e ) D.(∞, e ]
5.执行如下图所示的程序框图，则输出的i 值为（）
A ．3 B.4 C.5 D.6
6.《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．15
7.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（） A.3πB.
154πC.334
π
C.6π 8.已知变量,x y 满足240220x y x x y -+≥??≤??+-≥?
，则z =22
22x y x y +++的取值范围是（）
A ．[8,23]
B ．[8,25]
C ．[6,23]
D ．[6,25]
9.已知函数()()sin f x A ωx φ=+002πA ωφ?
?>>< ??
?，，的部分图象如图所
示，若将()f x 的图像上所有点向右平移12
π
个单位得到函数()g x 的图像， 则函数()g x 的单调增区间为（）
A ．[,]36k k π
πππ-
+,k Z ∈B ．2[+,]63k k ππ
ππ+,k Z ∈ C ．[,]1212k k ππππ-+,k Z ∈D ．7[,]1212
k k ππ
ππ--,k Z ∈
10.已知过抛物线2
163
y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，交其准线于C 点,已知
CB =3BF ,则线段AB 的中点M 到准线的距离为( )
A ．
83 B ．3 C ．163
D ． 6 11. 已知双曲线
E ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率5，则该双曲线的一条渐近线被圆C ：
22230x y x +--=截得的弦长为（ ）
A ．
455B ．855
C ．3
D ．2 12. 设点P 在曲线ln y x =上，点Q 在曲线1
1(0)y x x
=->上，点R 在直线y x =上，则
||||PR RQ +的最小值为（）
A ．
2(1)2e -B ．2(1)e - C ．
2
2
D ．2 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量,a b 满足|a |=1,|2|a b -=23，a 在b 方向的投影为
1
2
，则(+2)b a b ?=.
14.如图所示，在△DEF 中，M 是在线段DF 上，DE =3，
DM =EM =2，sin F ∠=3
5
,则边EF 的长为.
15.已知直线
110
l ax y ++=：（
0a >）与直线
2:(4)20l x b y +-+=
（0b >）垂直，则2
2
a b +的最小值为.
16.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足()3(2)f x f x =+，当)2,0[∈x 时，
112
2+101
()log 24x x f x x
x -?≤≤?=?<
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本大题满分12分）在数列{n a }中，1a =1,点（n a ，1n a +）在函数32y x =+图象上. （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）求数列{n na }的前n 项和n T .
18. （本大题满分12分）为了迎接12月16日至12月18日在浙江乌镇召开的第二届国际互联网大会乌镇峰会，组委会对报名参服务的1500名加志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得得到成绩如下：57，63，65,68,72,77,78,78，79,80,83,85，88,90,95.
（Ⅰ）作出抽取15人的测试成绩的茎叶图，根据茎叶图估计志愿者的测试成绩分布情况，写
出统计结论，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩在90分以上（包含90分）的人数；
（Ⅱ）从抽取的15名志愿者成绩在80分以上（包含80分）志愿者中，随机选3名志愿者参加
某项活动，求选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率.
19. （本大题满分12分）在如图所示三棱锥D —ABC 中，AD DC ⊥，，， ∠BAC=45°，平面
平面
，,E F 分别在,BD BC ，且
2DE EB =，2BC BF =．
（Ⅰ）求证：BC ⊥AD ；
（Ⅱ）求平面AEF 将三棱锥D ABC -分成两部分的体积之比．
20. （本大题满分12分）已知12,F F 是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>左右焦点，过1F 的直线交
椭圆于,C D 两点，△2CDF 的周长为8，椭圆的离心率为12
. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）若直线l 与椭圆E 交于,A B 且OA OB ⊥，求证原点O 到直线l 的距离为定值．
21. （本大题满分12分）已知函数2
()(21)(1)ln f x a x ax a x =+--+-，其中a R ∈ . （Ⅰ）当a =1时，求()f x 的极值；
（Ⅱ）当1x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围.
请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本题满分10分）选修4—1几何证明选讲 如图所示，在四边形ABCD 中，AC 交BD 于点E ，
AE EC BE DE ?=?.
（Ⅰ）求证：A 、B 、C 、D 四点共圆;
（Ⅱ）过D 作四边形ABCD 外接圆的切线交BC 的延长线于
F ，
BD CF DF BC ?=?,求证：DC 平分BDF ∠.
23. （本题满分10分）选修4—4 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 和及坐标系中，极点与原点重合，极轴与x 轴非负半轴重合，直线
l 的参数方程为123x t y t
=-???
=-??（t 为参数），曲线C ：2
4sin 20ρρθ-+=． （Ⅰ）将直线l 的方程化为普通方程，将曲线C 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线交于,A B ，求||AB ．
24. （本题满分10分）选修4—1不等式选讲
已知函数()22f x x a x =+--.
（Ⅰ）当1a =时，求不等式()2f x <的解集；
（Ⅱ）若存在实数x 使()2+3f x x ≥-成立，求a 的取值范围.