三次函数的图像和性质
1.复习(1)怎么求函数的极大值和极小值;(2)某区间内的最值怎么求?
2.形如d cx bx ax x f +++=2
3
)(为三次函数,你能知道其大致图像吗?有什么特点? 我们通过它的导函数来研究它的图像特点. 3.复习二交函数的图像
如图X ∈ 时,Y>0 X ∈ 时Y<0
三次多项式函数与其导函数（为二次函数）之间的对应关系：
设三次多项式函数32
()(0)f x ax bx cx d a =+++>与其导函数2()32f x ax bx c '=++（为二次函数，设它的判别式2412b ac ?=-），我们先只考虑a>0时的情形
4、当0?>时，它们图象的对应关系为：
5、当0?=
6、当0?<时，它们图象的对应关系为：
7.当0a <时，可类似研究3
2
()f x ax bx cx d =+++与其导函数2
()32f x ax bx c '=++的关系.(画出二种图像) 8.总结:其实三次函数只有四种图像
(1) a>0, 0?< (2) 0a <, 0?< (3) a>0, 0?< (3) 0a <, 0?> (4) a>0, 0?>
9.例一. （浙江）设f x '()是函数f(x)的导函数，y f x ='()的图象如左图所示，则y ＝f(x)的图象最有可能是右图的（ ）
10.例二.已知3
2
()26(f x x x m m =-+为常数）在[2,2]-上有最大值3，求此函数在[2,2]-上的最小值 11.练习.函数3
()3f x x x a =--在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为 。
12.三次多项式函数与直线m y =的交点个数探讨.
此问题可以转化为函数)0()(2
3
>+++=a d cx bx ax x f 的图象与x 轴有交点个数问题，这类问题与函数极值有关,所以要求导画表格,通过大致图像来解决.
(1)、当△=01242
≤-ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
(2)、当△=01242
>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，由图象可知，
图1 图2 图3 图4 图5 A.若0)()(21>?x f x f ，即函数)(x f y =极大值和极小值在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根（如图1、2）。 图3
1） 若0)()(21
2） 若0)()(21=?x f x f ，即)(1x f 与)(2x f 中有且只有一个 值为0，所以，原方程有两个实根， 例三.设a 为实数,函数.)(2
3
a x x x x f +--=
(Ⅰ)求)(x f 的极值. (Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点.
问题1 讨论曲线32
()=f x x x x --与直线y=a 的交点个数。 问题2 讨论曲线3
2
()=f x x x -与()g x x a =+图像交点个数.
32()x x x x a ?=---与x 轴的交点个数。可以通过函数的单调性与极值研究函数图象与x 轴的交点个数。
问题3：当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有两个交点； 问题4：当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有三个交点。 解：(I)'()f x =32x －2x －1若'()f x =0，则x ==－
1
3
，x =1 当x 变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表：
∴()f x 的极大值是()327
f a -=
+，极小值是(1)1f a =- (II)函数322()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++-
因为+∞→x ，+∞→y ，-∞→x 时，-∞→y ，所以曲线y =()f x 与x 轴至少有一个交点，结合()f x 的单调性可知：
当()f x 的极大值5
27
a +<0，或者极小值a －1>0时，曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点。 ∴当5
(,)27
a ∈-∞-
∪(1，+∞)时，曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点。 练习:讨论曲线32
11()=232
f x x x x --与直线y=a 的交点个数。
5．设f (x ) = x 3
+bx 2
+ cx + d ，又k 是一个常数. 已知当k < 0或 k > 4时，f (x )– k = 0只有一个实根；当0 < k
< 4时，f (x )– k = 0有三个相异实根, 现给出下列命题：
(1) f (x ) – 4 = 0和f '(x ) = 0有一个相同的实根；(2) f (x ) = 0和f '(x ) = 0有一个相同的实根；(3) f (x )+3 = 0的实根大于f (x )– 1 = 0的任一实根；(4) f (x ) + 4 = 0的实根小于f (x )– 2 = 0的任一实根.；
其中，错误命题的个数是（ D ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
一次函数 二次函数
反比例函数 1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。 2、性质： 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
指数函数y=a x (a＞0，a≠1) 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数； 当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 比较幂式大小的方法： 1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2.当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 二次函数
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--- 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ， 对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-
初中函数解析式及图象画法 一、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 1、一次函数：y=kx+b（k、b是常数，k 0） 说明：①k 0的常数 ②x指数为1 ③b取任意实数 ④自变量x的取值为一切实数。【x的取值范围（定义域）：x € R】 ⑤函数y的取值是一切实数。【y的取值范围（值域）：y€ R】 k 2、反比例函数：y （k为常数，k 0） x 说明：① 常数k不为零（也叫做比例系数k）②分母中含有自变量x，且指数为1. ③自变量X的取值为一切非零实数。【x的取值范围（定义域）：｛X € R I x丰0｝】（反比例函数 有 意义的条件：分母工0）④函数y的取值是一切非零实数。【y的取值范围（值域）：｛y € R I y丰0｝】 3、二次函数：一般式：y ax2bx c （a 0 , a , b ,c是常数）： 说明：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. ⑵a ,b ,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 、函数图象的常规画法：（描点法画函数图形的一般步骤） 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）; 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来） 1、一次函数y=kx+b图像（直线）的画法：两点法 ①计算必过点（0, b）和（-—,0）［当x=0,时，y= b，过点（0, b）;当y=o,时，x=-—过点（-一，0）］ k k k ②描点（有小到大的顺序） ③连线（从左到右光滑的直线） k 2、反比例函数y k图像（双曲线）的画法：---五点绘图法： x ①列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数） ②描点（有小到大的顺序） ③连线（从左到右光滑的曲线） 3、二次函数y ax2 bx c图象（抛物线）的画法---五点绘图法： 2 ①配方变形：对于二次函数y ax2 bx c经过配方变形为顶点式：y=a（x+■一）2 j4ac_—,其顶点坐标为（ 2a 4a 2 ②确定三特征：开口方向（a正朝上；b负朝下）；对称轴（直线x=-—）；其顶点坐标为（-■一 ,4ac b） 2a 2a 4a ③然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 ④选取五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0, c关于对称轴对称的点-，c、与x轴的交 a b 4ac b 2a' 4a
函数图像画法课件 教学目标 1. 知识与技能：学会用描点法画出简单函数的图象，初步了解函数解析式与函数之间的关系. 2. 过程与方法：渗透数形结合思想，让学生学会函数图象的基本画法. 3. 情感态度与价值观：引导学生积极参与实验与探索活动，体验探索的快乐并从中获得成功的体验，通过细心画图，培养学生养成严谨细致的学习习惯. 教学重点：了解画函数图象的一般步骤，会画出简单函数的图象. 教学难点：函数关系式与函数图象之间的对应关系. 教学准备：多媒体，三角尺 教学方法：讲授与练习相结合，以学生为主体，引导学生自主探讨。 教学过程： ★课前准备 1.复习坐标有关的知识 (1)练习1：根据坐标图读出以下几点的坐标， 并说出各点的坐标。 (2)练习2：在直角坐标系中描出以下几点：
A(0,5)，B(-5,3),C(-4,-1)，D(2,-1),E(2,0) 设计意图：为了画函数图像时能准确的描点而铺垫。 2.下列各点在函数y=3x-1的图像上的点是( ) A。(1，-2) B。(-1，-4) C。(2。, 0 ) D。(0 , 1) 设计意图：复习函数的解与函数图像关系，为下面教学铺垫。 ★提出问题，讲解新课 例题1：在下面式子，y=6 (x>0)，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的对应值，即x y是x的函数。你能画出这个函数的图象吗? 分析讲解： 提问学生：问题(1)作函数图象时应在坐标系中先确定什么? 问(2)怎样确定函数图象的点? 操作方法： (1)分组讨论例1函数图象的画法，然后每人动手画出这个函数的图象，先在组内交流各自所画的图象，然后对比多媒体上的图象，看看自己是否画得正确。 (2) 在黑板上示例，引导学生作图具体方法，规范格式。 a.列表，根据自变量的取值范围取值，按从小到大或者从中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出的图象能反映函数的特征; b.描点，就是在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的点，取点越多，图象越准确;
函数图象的画法与解读 一、选择题 1．如图是某市一天的气温随时间变化的图象，那么这天（）A．最高气温是10℃，最低气温是2℃； B．最高气温是6℃，最低气温是2℃ C．最高气温是10℃，最低气温是-2℃； D．最高气温是6℃，最低气温是-2℃ 2．一根蜡烛原长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧的 速度v（cm/h）?与燃烧的时间t（h）的关系用图象表示 为（） 3．甲、乙二人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，?从图中可以看出，下列结论错误的是（） A．这是一次100米赛跑； B．甲比乙先到达终点 C．乙跑完全程需12.5秒； D．甲的速度是8米/秒 4．已知直线y=ax+b经过一、二、四象限，则下列结论正确的 是（） A．a>0，b>0；B．a>0，b<0； C．a<0，b>0；D．a<0， b<0 5．图8-4所示图形中，表示函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（mn≠0）图象的是（） 6．如图，L甲、L乙分别是甲、乙两弹簧的长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg物体伸长的长度为k甲cm，乙弹簧每挂1kg?物体伸长的长度为k乙cm，则k甲与k乙的关系是（） A．k甲>k乙 B．k甲=k乙 C．k甲
④（a+c ）20 B ．y<0 C ．-2
函数图象的画法 教学目标 1． 知识与技能：学会用描点法画出简单函数的图象，初步了解函数解析式与函数之间的关系. 2． 过程与方法：渗透数形结合思想，让学生学会函数图象的基本画法. 3． 情感态度与价值观：引导学生积极参与实验与探索活动，体验探索的快乐并从中获得成功的体验，通过细心画图，培养学生养成严谨细致的学习习惯. 教学重点：了解画函数图象的一般步骤，会画出简单函数的图象. 教学难点：函数关系式与函数图象之间的对应关系. 教学准备：多媒体，三角尺 教学方法：讲授与练习相结合，以学生为主体，引导学生自主探讨。 教学过程： ★课前准备 1.复习坐标有关的知识 （1）练习1：根据坐标图读出以下几点的坐标， 并说出各点的坐标。 （2）练习2：在直角坐标系中描出以下几点： ()5,0A ，()3,5-B ,()1,4--C ，()1,2-D ,()0,2E 设计意图：为了画函数图像时能准确的描点而铺垫。 2.下列各点在函数13-=x y 的图像上的点是（ ） A 。（1，-2） B 。(-1，-4) C 。(2。, 0 ) D 。(0 , 1) 设计意图：复习函数的解与函数图像关系，为下面教学铺垫。 ★提出问题，讲解新课 例题1：在下面式子，y=x 6 (x>0)，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的对应值，即y 是x 的函数。你能画出这个函数的图象吗？ 分析讲解： 提问学生：问题（1）作函数图象时应在坐标系中先确定什么? 问（2）怎样确定函数图象的点？ 操作方法： （1）分组讨论例1函数图象的画法，然后每人动手画出这个函数的图象，先在组内交流各自所画的图象，然后对比多媒体上的图象，看看自己是否画得正确。 （2） 在黑板上示例，引导学生作图具体方法，规范格式。 a.列表，根据自变量的取值范围取值，按从小到大或者从中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出的图象能反映函数的特征；
一．选择题 1.下列各点在函数 2 y x - =的图象上的是（） A.（-2，1）； B.（0，-2）； C.（1，2）； D.（2，-2） 答案:A 2.如图，下列四种表示方式中，能表示变量y是x的函数的有（） A.1个； B.2个； C.3个； D.4个 答案:B 3.已知点A（2，3）在函数y=mx2-x+1的图象上，则m等于（） A.1； B.-1； C.2； D.-2 答案:A 4.若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m-n的值是（） A.2； B.-2； C.1； D.-1 答案:D 5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（） 答案:C 6.如图，在平面直角坐标系中，点B（1，1），半径为1、圆心角为90°的扇形外周有一动点P，沿A→B→C→A运动一圈，则点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）
答案:C 7.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示（实线为甲的路程与时间的关系图象，虚线为乙的路程与时间的关系图象），小王根据图象得到如下四个信息，其中错误的是（） A.这是一次1500米赛跑； B.甲，乙两人中先到达终点的是乙； C.甲，乙同时起跑；D．甲在这次赛跑中的速度为5米/秒 答案:C 8.某电信部门为了鼓励固定消费，推出新的优惠套餐：月租费10元；每月拔打市内在120分钟内时，每分钟收费0.2元，超过120分钟的每分钟收费0.1元；不足1分钟时按1分钟计费．则某用户一个月的市内费用y（元）与拔打时间t（分钟）的函数关系用图象表示正确的是（） 答案:B 9.三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10XX位h(米)随时间t(天)变化的是（）
含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是： ①先画出V 型图顶点?? ? ??-c a b ，；------为什么是这个坐标？ ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-121 ，，两点（0，0），（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ??-121，，两点（－1，0），（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 --- 比较一下，两个函数有什么关系，各自的图像又有什么联系？ 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象； ②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数)(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的
图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2--=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图 4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4 （2）先作出322--=x x y 的图象，如图5。把图5中x 轴下方的图象翻上去，得到图6。图6就是要画的函数图象。 图5 图6 （3）先作出)3lg(+=x y 的图象，如图7。把图7中x 轴下方的图象翻上去，得到图 8。图8就是要画的函数图象。 图6 图7 三、分段函数作图法 分段函数作图法是把原函数等价转化为分段函数后再作图，这种方法是画含有绝对值的函数的图象的有效方法。 例3. 作出下列函数的图象。 （1）1||22+-=x x y ；（2）|1||1|-++=x x y ；（3）|32|2--=x x y 。 解：（1）?????<++≥+-=+-=)0(12)0(121||2222 x x x x x x x x y 图9就是所要画的函数图象。 （2）?? ???><<--≤-=-++=) 1(2)11(2 )1(2|1||1|x x x x x x x y 图10就是所要画的函数图象。 （3）|32|2--=x x y
《二次函数的图像及画法》知识点整理在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。 二次函数y＝ax^2的图像的画法 用描点法画二次函数y＝ax^2的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确。 用描点法画出二次函数y＝x^2的图像，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。 因为抛物线y＝x^2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y＝x2的顶点是图象的最低点.因为抛物线y ＝x2有最低点.所以函数y＝x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标。 基本图像 当a>0时，y＝ax^2的图像 当a<0时，y＝ax^2的图像 二次函数y=ax^2;，y=a^2;，y=a^2+k，y=ax^2+bx+c的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式 y=ax^2; y=ax^2+k y=a^2; y=a^2+k y=ax^2+bx+c 顶点坐标 对称轴 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 当h>0时，y=a^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到． 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a^2+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a^2-k的图象；