一、等比数列选择题
1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352
a a +=，245
4a a +=，则n n S =a （ ）
A ．14n -
B ．41n -
C ．12n -
D ．21n -
2．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ）
A ．8
B ．8-
C ．16
D ．16-
3．已知正项等比数列{}n a 满足11
2
a =
，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ）
A ．
312
或112
B ．
31
2 C ．15
D ．6
4．已知数列{}n a 满足112a =
，*
11()2
n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=，*n N ∈，且数列
{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）
A ．(,1)-∞
B ．3
(1,)2
-
C ．3(,)2
-∞
D ．(1,2)-
5．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2
n
n n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．
11021
B ．
11022 C ．1
1023
D ．1
1024
6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2n C ．1+(n +1)×2n
D ．1+(n -1)×2n
7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A ．80里
B ．86里
C ．90里
D ．96里
8．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40
B ．81
C ．121
D ．242
9．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12
B ．18
C ．24
D ．32
10．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝
1
4，且a n ＝1n n
b b +，则b 2020＝（ ）
A ．22017
B ．22018
C ．22019
D ．22020
11．已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a ++
+=，
则k =（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
12．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂. A ．55989
B ．46656
C ．216
D ．36
13．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则4
2
S S =（ ） A ．76
B ．32
C ．
2132
D ．
14
14．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35
124
a a a ++的取值范围为（ ） A ．73,
2??
????
B ．()3,+∞
C ．73,
2?? ???
D ．[
)3,+∞
15．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（ ） A ．1或1-
B ．1
C ．2或2-
D ．2
16．已知1，a 1，a 2，9四个实数成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，9五个数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）等于（ ） A ．8
B ．﹣8
C ．±8
D ．98
17．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
18．正项等比数列{}n a 的公比是1
3
，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14
B ．13
C ．12
D ．11
19．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a
14a =，则
14
m n +的最小值为（ ） A ．
53
B ．
32
C ．
43
D ．
116
20．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n
n S a b n =---?+，*n N ∈，则
存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）
A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列
B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列
C ．·
n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·
n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 二、多选题21．题目文件丢失！
22．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的
2
3
再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤
C ．n S 的最小值为
700
3
D ．n S 的最大值为400
23．记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）
A ．1
12n n n S S ++-= B ．12n n a
C ．21n
n S =-
D ．1
21n n S -=-
24．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（ ） A ．3q = B ．数列{}2n S +是等比数列 C ．5121S =
D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥
25．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，781a a ?>，
871
01
a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．791a a ?> C ．n S 的最大值为9S
D ．n T 的最大值为7T
26．已知数列{}n a 的首项为4，且满足(
)*
12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（ ）
A ．n a n ??
?
???
为等差数列 B ．{}n a 为递增数列
C ．{}n a 的前n 项和1
(1)24n n S n +=-?+
D ．12n n a +??????的前n 项和2
2
n n n T +=
27．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{
}21
n
a n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a =
B ．2
21
n a n =
- C ．21
n n
S n =
+ D ．1n n S na +=
28．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =
C ．135********a a a a a +++
+=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a +++= 29．已知数列{}n a 满足11a =，()*123n
n n
a a n N a +=
∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ??
+????
为等比数列
B ．{}n a 的通项公式为1123
n n a +=-
C ．{}n a 为递增数列
D ．1n a ???
???
的前n 项和2
234n n T n +=-- 30．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称
{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）
A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B ．已知4
n a n n
=+
，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21n
n a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2
D ．已知2
2020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<
31．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +??
?????
的前
n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ）
A ．数列{}1n a +是等差数列
B ．数列{}1n a +是等比数列
C ．数列{}n a 的通项公式为21n
n a =-
D ．1n T <
32．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）
A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列
B ．若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列
C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?仍为等差数列
D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?仍为等比数列；
33．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2
{}n a 是等比数列
B ．若32a =，732a =，则58a =±
C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列
D ．若数列{}n a 的前n 和1
3n n S r -=+，则1r =-
34．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( )
A ．数列n S n ??
????
的前10项和为100
B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =
C ．若
11
16
25n
i i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则
116m n
+的最小值为25
12
35．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1
n n
n
b a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；
B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；
C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；
D ．若112n
n a ??=-- ???，则其“倒差数列”有最大值.
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一、等比数列选择题
1．D 【分析】
根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果. 【详解】
因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352
a a +=
，2454a a +=，
所以2
4135
1
452
2
q a a a a =++==， 因此()()11
1
1111112
21112n n
n
n n n n n n
a q S q q a a q q q ---??- ?
--??=
=
==--?? ???
. 故选：D. 2．C 【分析】
根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值. 【详解】
因为254,32a a ==，所以3
5
2
8a q a ==，所以2q ，
所以2
424416a a q ==?=，
故选：C. 3．B 【分析】
由等比中项的性质可求出3a ，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】
正项等比数列{}n a 中，
2432a a a =+，
2332a a ∴=+，
解得32a =或31a =-（舍去） 又112
a =
， 23
1
4a q a ∴=
=， 解得2q
，
5
151
(132)
(1)312112
a q S q --∴===--，
故选：B 4．C 【分析】 由*11()2n n a a n N +=
∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列，1
2
n n a =，得2(2)2n n n
n b n a λ
λ-=
=-，结合数列{b n }是单调递增数列，可得1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立，参变分离后即可得解．
【详解】 由*11
()2
n n a a n N +=
∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列， 所以1111()222
n n n a -=
=， 2(2)2n n n
n b n a λ
λ-=
=- ∵数列{n b 是单调递增数列， ∴1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立， 即1
(12)2
(2)2n n n n λλ++->-，整理得：2
2
n λ+<
3
2λ∴＜ ，
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了已知数列的单调性求参，一般研究数列的单调性的方法有： 一、利用数列单调性的定义，由1n n a a +>得数列单增，1n n a a +<得数列单减； 二、借助于函数的单调性研究数列的单调性. 5．C 【分析】
根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n n
a a +=+ ，构造11n a ??
+????
为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=
+，所以两边取倒数得
12121n n n n a a a a ++==+，则11
1121n n a a +??+=+ ???
，
所以数列11n a ??+????为等比数列，则111
11122n n n a a -??+=+?= ???
，
所以121n n a =-，故10
1011
211023
a ==-. 故选：C 【点睛】
方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中
1
q
x p =
-）来进行求解. 6．D 【分析】
利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ，求出数列{a n }的通项公式，再利用错位相减法求和即可. 【详解】
设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，
所以由题设得()
()
3136
1617
11631a q S q a q S q ?-?==-?
?-?
=
=?-?
， 两式相除得1+q 3=9，解得q =2， 进而可得a 1=1， 所以a n =a 1q n -1=2n -1， 所以na n =n ×2n -1.
设数列{na n }的前n 项和为T n ， 则T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1， 2T n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n ，
两式作差得-T n =1+2+22
+…+2n -1
-n ×2n
=
1212
n
---n ×2n =-1+(1-n )×2n ， 故T n =1+(n -1)×2n . 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 7．D 【分析】
由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为1
2
，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可．
【详解】
由题意可知此人每天走的步数构成
1
2
为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]
2378
1
12a -=-， 解得1192a =，∴此人第二天走1
192962
?
=里， ∴第二天走了96里，
故选：D ． 8．C 【分析】
根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出
5S 的结果.
【详解】
因为12234,12a a a a +=+=，所以23
12
3a a q a a +=
=+，所以1134a a +=，所以11a =， 所以()5515113121113
a q S q
--===--， 故选：C. 9．C 【分析】
将已知条件整理为()()22121328a q q q -+=，可得()
2218
3221q q a q +=
-，进而可得
()44
2
7612249633221
q a a a q q q q +=+=-，分子分母同时除以4
q ，利用二次函数的性质即
可求出最值. 【详解】
因为{}n a 是等比数列，543264328a a a a +--=，
所以432
111164328a q a q a q a q +--=，
()()222
1232328a q q q q q ??+-+=??，
即()()2
2
121328a q q q -+=，所以()
2
218
3221q q a q +=
-，
()()46
5
4
2
4
7611112
2124
82424
9696332321
2121q a a a q a q a q q q a q q a q q q +=+=+=?==---
，
令210t q =>，则()22
2421211t t t q q
-=-=--+， 所以211t q
==，即1q =时2421
q q -最大为1，此时24
24
21q q -最小为24， 所以7696a a +的最小值为24， 故选：C 【点睛】
易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 10．A 【分析】
根据已知条件计算12320182019a a a a a ????的结果为2020
1
b b ，再根据等比数列下标和性质求
解出2020b 的结果. 【详解】 因为1
n n n
b a b +=
，所以3201920202020
24
12320182019123
201820191
b b b b b b a a a a a b b b b b b ????=
????
?=， 因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =， 所以()()
()123
201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ???=??????
22
22019
201910101010
1010101010102a a a a a =???==
所以
20192020
12b b =，又114
b =，所以201720202b =， 故选：A. 【点睛】
结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若(
)*
2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，
（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2
m n p q t a a a a a ?=?=.
11．B 【分析】
本题首先可设公比为q ，然后根据132185k a a a +++
+=得出()2284k q a a ++=，再
然后根据24242k a a a +++=求出2q
，最后根据等比数列前n 项和公式即可得出结
果. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ， 则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，
即()2285184k q a a +
+=-=，
因为24242k a a a +++=，所以2q
，
则()21123
221112854212712
k k k a a a a a ++?-+++++=+==
-，
即211282k +=，解得3k =， 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：本题考查根据等比数列前n 项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 12．B 【分析】
第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量． 【详解】
设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得 数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q = 所以{}n a 的通项公式：1
66
6n n n a -=?=
到第6天，所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂． 故选：B ． 13．B 【分析】
由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)
111(1)11a q S q q q a q S q
q
---===+---求解. 【详解】
在等比数列{}n a 中，5312a a a +=， 所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=，
解得2
12
q =
所以4142
42212(1)1311(1)12
1a q S q q q a q S q q
---===+=---， 故选：B 【点睛】
本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题, 14．C 【分析】
由等比数列性质求得3a ，把35
124
a a a ++表示为1a 的函数，由函数单调性得取值范围． 【详解】
因为等比数列{}n a 的前5项积为32，所以53
32a =，解得32a =，则23511
4a a a a =
=，35
124
a a a +
+ 1111a a =++
，易知函数()1
f x x x
=+在()1,2上单调递增，所以35173,242a a a ??+
+∈ ???， 故选：C ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得32a =，选1a 为参数． 15．C 【分析】
根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
因为12a =，且53a a =，所以2
1q =，解得1q =±， 所以9
1012a a q ==±.
故选：C. 16．A 【分析】
由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果. 【详解】
设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则有139d +=，4
19q ?=，
解之可得83
d =
，2
3q =， ()22218
183
b a a q ∴-=??=.
故选：A. 17．B 【分析】
设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得
515(12)
512a S -==-，解得1531
a =
，由此能求出该女子所需的天数至少为7天． 【详解】
设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，
由题意得515(12)
512a S -==-，解得1531a =
， 5
(12)
3120
12
n n S -∴=-，解得2125n ． 因为6264=，72128=
∴该女子所需的天数至少为7天．
故选：B 18．B 【分析】
根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ； 【详解】
解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以2
31a =. 所以31a =，2
11a q ∴=，因为1
3
q =
，所以19a =. 因此()3131131a q S q
-==-.
故选：B 19．B 【分析】
设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得2
2q q =+，解得2q
，
根据存在两项m a 、n a
14a =
14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出．
解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >， 满足：7652a a a =+，
22q q ∴=+，
解得2q
，
存在两项m a 、n a
14a =，
∴14a =，
6m n ∴+=，
m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，
则
14m n
+的最小值为143242+=．
故选：B ． 20．D 【分析】
由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：
(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---?+=+-?-+，
∴当1n =时，有110S a a ==≠；
当2n ≥时，有1
1()2n n n n a S S a bn b --=-=-+?， 又当1n =时，0
1()2a a b b a =-+?=也适合上式，
1()2n n a a bn b -∴=-+?，
令n b a b bn =+-，1
2n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，
故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；
因为11
()22n n n a a b bn --+=-??，0b ≠，所以{
}1
2
n bn -?即不是等差数列，也不是等比数
列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：
由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解，考查学生的计算能
力.
二、多选题
22．AC 【分析】
由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可 【详解】
由题可知，第一次着地时，1
100S =；第二次着地时，221002003
S =+?；
第三次着地时，2
32210020020033S ??
=+?+? ???；……
第n 次着地后，2
1
222100200200200333n n S -??
??
=+?+?+
+? ? ?
??
??
则2
1
1222210020010040013333n n n S --????
????
??=++++=+- ? ? ? ? ? ? ?????
???
???
，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为400700
10033
+=； 综上所述，AC 正确 故选：AC 23．BC 【分析】
根据数列的增减性由所给等式求出1a d 、，写出数列的通项公式及前n 项和公式，即可进行判断. 【详解】
数列{a n }为单调递增的等比数列，且24100a a +=>，0n a ∴>
23464a a a =，2364a ∴=，解得34a =，
2410a a +=，4
410q q
∴+=即22520q q -+=，解得2q
或
12
， 又数列{a n }为单调递增的等比数列，取2q
，3124
14
a a q =
==， 1
2
n n
a ，212121
n n n S -==--，()1121212n n n
n n S S ++-=---=.
故选：BC 【点睛】
本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题. 24．ACD 【分析】
根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 【详解】
因为521127,==a a a ，所以有431127273q a q q q a ?=??=?=，因此选项A 正确；
因为131(31)
132n n n S -==--，所以131+2+2(3+3)132
n
n n S -==-， 因为+1+11
1(3+3)+22
2=1+1+21+3(3+3)2
n n
n n n S S -=≠常数， 所以数列{}2n S +不是等比数列，故选项B 不正确； 因为5
51(31)=1212
S =
-，所以选项C 正确； 11130n n n a a q --=?=>，
因为当3n ≥时，22222lg lg =lg()=lg 2lg n n n n n n a a a a a a -+-++?=，所以选项D 正确. 故选：ACD 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 25．AD 【分析】
根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】
因为11a >，781a a ?>，
871
01
a a -<-， 所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.
27981a a a =
因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误； 又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确. 故选：AD 【点睛】
本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 26．BD 【分析】
由12(1)0n n n a na ++-=得
121n n a a n n +=?+，所以可知数列n a n ??
????
是等比数列，从而可求出12n n a n +=?，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于
1
11
222
n n n n a n n +++?==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +??????的前n 项和. 【详解】
由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=?+，所以n a n ??
????是以1141a a ==为首项，2为公比的
等比数列，故A 错误；因为11422n n n
a n
-+=?=，所以12n n a n +=?，显然递增，故B 正确；
因为23
112222n n S n +=?+?+
+?，342212222n n S n +=?+?++?，所以 2
3
1
2
1222
2
n n n S n ++-=?++
+-?(
)222122
12
n
n n +-=
-?-，故
2(1)24n n S n +=-?+，
故C 错误；因为1
11
222n n n n a n n +++?==，所以12n n a +??????的前n 项和2
(1)22n
n n n n T ++==， 故D 正确. 故选：BD 【点晴】
本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 27．ABD 【分析】
由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21
n
a n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】
由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=， 则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即2
21n a n =-，而122211
a =
=?-也成立， ∴2
21n a n =
-，*n N ∈，故数列{}21
n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，
∴111111111121 (133557232121212121)
n n
S n n n n n n =-
+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD 【点睛】
关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否
符合n a 通项，并由此得到{}21
n
a n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S . 28．ACD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】
对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；
对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：
13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++???+=+-+-+-+
+-=，故C
正确.
对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2
121a a a =，
()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，
()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，2
20192019202020192018a a a a a =-，可得222
12201920202019201920202019
a a a a a a a a
+++==，故D 正确；
故选：ACD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 29．ABD 【分析】 由()*123n
n n
a a n N a +=
∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案. 【详解】 因为
112323n n
n n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11
340a +=≠， 所以13n a ??+?
???
是以4为首项，2位公比的等比数列，1
1342n n a -+=?即1123n n a +=-，故
选项A 、B 正确. 由{}n a 的通项公式为1
12
3
n n a +=
-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确.
因为
1231n n
a +=-，所以 1n a ??
????
的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-+
+-=++
+-
22(12)2312
234n n n n +-?-=?-=--.选项D 正确，
故选：ABD 【点睛】
本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题. 30．BCD 【分析】
根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()
1111
111n k n n n k k n a a a a q
q q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，
n k n a a +<，故错误；
B. ()()244441++n k
n n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +????+-?
?-=++-+=-= ?
? ? ? ?+??????
，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；
C. ()()
()()()()
21212111n k
n n k
n k n a a n k n k ++??-=++--+-=+---??
，当n 为奇数时，()2110k
k --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110k
k +-->，存在2
k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，
则()()()
2
2
2
2020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *
∈N 成立，
则()2
20k t k +->，对于3k ≥成立，且()2
20k t k +-≤，对于k 2≤成立
即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立 所以23t -<，且22t -≥ 解得45t ≤<，故正确. 故选：BCD 【点睛】
本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 31．BCD 【分析】
由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公
式可得n a ，1112211
(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ． 【详解】
解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，
可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，
则12n
n a +=，即21n n a =-，
又1112211
(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得2
2311111111
111212*********
n n n n T ++=-
+-+?+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 32．ABD 【分析】
根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案. 【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++，
若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列， 若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；
对于B ，若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，
可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；
对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?，即为
12n a a a ++?+，12n n a a ++?+，213n n a a ++?+，?，
即为2
2322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，
故C 正确；
对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，?不一定为等比数列，
比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，?，均为0，不为等比数列.故
一、等比数列选择题 1．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期?感染者与其他人的接触频率?每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34 B ．35 C ．36 D ．37 2．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 3．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ． 503 B ． 507 C ． 100 7 D ． 200 7 4．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078 a a a a +=+（ ） A 1 B 1 C ．3- D ．3+5．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 6．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40 B ．81 C ．121 D ．242 7．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件 11a >，66771 1, 01 a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a > B ．01q << C ．n S 的最大值为7S D ．n T 的最大值为7T 8．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N * ∈，m n m n a a a +=?，若 1262n a a a ++???+=，则n =（ ）
高考之等比数列及函数公式 一、等比数列求和公式 q≠1时Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q) q=1时Sn=na1 (a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比) 二、等比数列求和公式推导 Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q) qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1) Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1) a(n+1)=a1qn Sn=a1(1-qn)/(1-q)（q≠1） 三、倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方sin2（A）） 四、半角公式 sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cos α)/sinα 五、降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 六、辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) 七、三角函数常用公式 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题25 等比数列（学生版） 一．选择题（共6小题） 1．（2014?全国）等比数列4x +，10x +，20x +的公比为( ) A ． 1 2 B ． 43 C ． 32 D ．53 2．（2014?大纲版）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若23S =，415S =，则6(S = ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 3．（2014?重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是( ) A ．1a ，3a ，9a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列 D ．3a ，6a ，9a 成等比数列 4．（2014?上海）如果数列{}n a 是一个以q 为公比的等比数列，*2()n n b a n N =-∈，那么数列{}n b 是( ) A ．以q 为公比的等比数列 B ．以q -为公比的等比数列 C ．以2q 为公比的等比数列 D ．以2q -为公比的等比数列 5．（2013?福建）已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)n m n m n m n m b a a a -+-+-+=++?+，(1)1(1)2(1)n m n m n m n m a a a -+-+-+=?g g g e，*(,)m n N ∈，则以下结论一定正确的是( ) A ．数列{}n b 为等差数列，公差为m q B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2m q C ．数列{}n e为等比数列，公比为2 m q D ．数列{}n e为等比数列，公比为m m q 6．（2012?北京）已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是( ) A ．1322a a a +… B ．222 1322a a a +… C ．若13a a =，则12a a = D ．若31a a >，则42a a >
等比数列练习题 一、选择题 1.(2009年广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得( )2 2 8 41112a q a q a q ?=,即2 2q =,又因为等比数列}{n a 的公比为 正数，所以q = 故212a a q = == ,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n 则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 答案：A 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B 解析： 20 ,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S 5.（2008四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.() (),01,-∞+∞ C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞ 答案 D 6.（2008福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.（2007重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A 8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+1 答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ． 10.(2007湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．101 22 - D ．11122- 答案 B 11.（2006湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D 解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 12.（2008浙江）已知{}n a 是等比数列，4 1 252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ） A.16（n --4 1） B.6（n --2 1） ,,a b c ,,c a b
高考数学-等比数列的前n 项和·例题解析 【例1】 设等比数列的首项为a(a ＞0)，公比为q(q ＞0)，前n 项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n 项和为6560，求a 和q ． 解 由S n =80，S 2n =6560，故q ≠1 a q q a q q n n () ()11112----????? ???=80=6560 q =81n ① ②③ ∵a ＞0，q ＞1，等比数列为递增数列，故前n 项中最大项为a n ． ∴a n =aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q －1 ⑤ ③ ④ 化简得⑥3a =2q 由⑤，⑥联立方程组解得a=2，q=3 【例2】求证：对于等比数列，有＋＋．S S =S (S S )n 22n 2 n 2n 3n 证 ∵S n =a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n-1 S 2n =S n ＋(a 1q n ＋a 1q n+1＋…＋a 1q 2n-1) =S n ＋q n (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n-1) =S n ＋q n S n =S n (1＋q n ) 类似地，可得S 3n =S n (1＋q n ＋q 2n ) ∴＋＋＋＋S +S =S [S (1q )] =S (22q q ) n 22n 2n 2n n 2n 2n 2n S (S S )=S [S (1q )S (1q q )] =S (22q q ) S S =S (S S ) n 2n 3n n n n n n 2n n 2n 2n n 22n 2 n 2n 3n ＋＋＋＋＋＋＋∴＋＋ 【例3】 一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．
1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2 －8n D ．S n ＝12 n 2 －2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2 ＝2，则{a n }前10项的和等于( ) A.1－2103 B ．－1－210 3 C ．210－1 D ．1－210 3．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3 ＋a 2)，则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A ．－9 B ．9 C ．－81 D ．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( ) A ．15 B ．－15 C ．30 D ．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，
2017年高考试题分类汇编（数列） 考点1 等差数列 1.（2017·全国卷Ⅰ理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=， 648S =，则{}n a 的公差为 C A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2.（2017·全国卷Ⅱ理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则 11n k k S ==∑ ． 21n n + 3.（2017·浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是 “465+2S S S >”的 C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点2等比数列 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-，则 4a =____．8- 2.（2017·江苏卷）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知 374S = ,6634 S =，则8a = . 32 3.（2017·全国卷Ⅱ理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远 望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍， 则塔的顶层共有灯 B A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 考法3 等差数列与等比数列综合 1.（2017·全国卷Ⅲ理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ， 6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A A ．24- B ．3- C ．3 D ．8
1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( ) A．a n＝2n－5 B．a n＝3n－10 C．S n＝2n2－8n D．S n＝1 2 n2－2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n}满足，a n＋1＋2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项的和等于( ) A.1－210 3 B．－ 1－210 3 C．210－1 D．1－210 3．已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠－1，且a5＋a4＝3(a3 ＋a2)，则9 a1a2a3…a9等于( ) A．－9 B．9 C．－81 D．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( ) A．－12 B．－10 C．10 D．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n}的公差不为零，S n为其前n项和，S3＝9，且a2－1，a3－1，a5－1构成等比数列，则S5＝( ) A．15 B．－15 C．30 D．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，S n的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要
见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则此人第4天走的里程是________里． 8．(2019·雅礼中学调研)若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________． 三、解答题 9．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9 ＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式； (2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 10．已知数列{a n }是等比数列，并且a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a 2n ，记S n 为数列{b n }的前n 项和，证明：S n ＜ 163 . B 级 能力提升 11．(2019·广州调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3 (n ∈N * )的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．23－2 D.92 12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1，1)，b ＝(1，a 10)，若a ·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足2a n －1
专题六 数列 第十六讲 等比数列 2019年 1.（2019全国1理14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若21461 3 a a a ==，，则S 5=____________． 2.（2019全国3理5）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16 B ． 8 C ．4 D ． 2 3.（2019全国2卷理19）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比 例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比 都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A B C ． D ． 2．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若 11a >，则 A ．13a a <，24a a < B ．13a a >，24a a < C ．13a a <，24a a > D ．13a a >，24a a > 3．（2017新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红 光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381
一、等比数列选择题 1．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，31 4a =，则q =（ ） A ．1- B ．4 C ．12- D ．12 ± 2．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝（ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．15 3．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ??= ，公比q =，则456a a a ??=（ ） A ．32 B ．16 C ．16- D ．32- 4．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A ．80里 B ．86里 C ．90里 D ．96里 6．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个 单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1 122f - B ．第三个单音的频率为1 42f - C ．第五个单音的频率为162f D ．第八个单音的频率为112 2f 7．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40 B ．81 C ．121 D ．242 8．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且63 9S S =，则42a a 的值为（ ） A B ．2 C ．D ．4 10．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ?=，则2122210log log log a a a +++=（ ）
1.【2017浙江，6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【考点】 等差数列、充分必要性 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知 4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若q p ?，则p 是q 的充分条件，若q p ?， 则 p 是q 的必要条件，该题“0>d ”?“02564>-+S S S ”，故为充要条件． 2.【2015高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若 844S S =，则10a =（ ） （A ） 172 （B ）19 2 （C ）10 （D ）12 【答案】B 【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)2 2 a a +??=+??，解得1a =1 2 ， ∴101119 9922 a a d =+= += ，故选B. 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式 【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算. 3.【2014高考重庆文第2题】在等差数列{}n a 中,1 352,10a a a =+=，则7a =（ ） .5A .8B .10C .14D 【答案】B
【解析】 试题分析：设等差数列{}n a的公差为d，由题设知，12610 a d +=，所以，1 102 1 6 a d - ==所以，716268 a a d =+=+=.故选B. 考点：等差数列通项公式. 【名师点睛】本题考查了等差数列的概念与通项公式，本题属于基础题，利用下标和相等的两项的和相等更能快速作答. 4.【2014天津，文5】设 {} n a是首项为 1 a，公差为1-的等差数列，n S为其前n项和，若， ， ， 4 2 1 S S S成等比数列，则 1 a=（） A.2 B.-2 C. 2 1 D . 1 2 - 【答案】D 考点：等比数列 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，本题属于基础题，利用等差数列的前n项和公式表示出， ， ， 4 2 1 S S S然后依据， ， ， 4 2 1 S S S成等比数列，列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识，大多利用通项公式和前n项和公式通过列方程或方程组就可以解出. 5.【2014辽宁文9】设等差数列{}n a的公差为d，若数列1{2}n a a为递减数列，则（）A．0 d
数列专题 高考真题 (2014·I) 17. (本小题满分12分) 已知数列{}的前项和为，=1， ， ，其中为常数. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列并说明理由. (2014·II) 17.（本小题满分12分） 已知数列 满足=1， . （Ⅰ）证明是等比数列，并求 的通项公式； （Ⅱ）证明： . (2015·I)（17）（本小题满分12分） 为数列的前项和.已知， （Ⅰ）求的通项公式： （Ⅱ）设 ,求数列 的前项和。 (2015·I I)（4）等比数列 满足 ，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )
（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 (2015·I I)（16）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． (2016·I)（3）已知等差数列 前9项的和为27， ，则 （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 (2016·I)（15）设等比数列满足 的最大值为 __________。 (2016·II)（17）（本题满分12分） S n 为等差数列的前项和，且=1 ，=28 记 ，其中表示不超过的最大整数， 如 . （I ）求，， ； （II ）求数列的前1 000项和. (2016·III)（12）定义“规范01数列” 如下： 共有项，其中项为0，项为1，且对任意， 中0的个数不少于1的个数.若 ，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个 (2016·III)（17）（本小题满分12分） 已知数列的前项和 ，其中 （I ）证明是等比数列，并求其通项公式； （II ）若 ，求. (2017·I)4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 (2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列
第3节等比数列 【选题明细表】 基础对点练(时间:30分钟) 1.(2016·北京海淀模拟)在数列{a n}中,“a n=2a n-1,n=2,3,4,…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的( B ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:当a n=0时,满足a n=2a n-1,n=2,3,4,…,但{a n}是等差数列,不是等比数列,故充分性不成立;又当{a n}是公比为2的等比数列时,有错误！未找到引用源。=2,n=2,3,4,…,即a n=2a n-1,n=2,3,4,…,所以必要性成立,故选B. 2.(2016·湖北华师一附中3月联考)在等比数列{a n} 中,a2a3a4=8, a7=8,则a1等于( A )
(A)1 (B)±1 (C)2 (D)±2 解析:因为数列{a n}是等比数列,所以a2a3a4=错误！未找到引用源。=8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8,所以q2=2,a1=错误！未找到引用源。=1,故选A. 3.(2016·河北衡水中学五调)已知等比数列{a n}的公比q=2,且2a4, a6,48成等差数列,则{a n}的前8项和为( B ) (A)127 (B)255 (C)511 (D)1 023 解析:因为2a4,a6,48成等差数列, 所以2a6=2a4+48, 所以2a1q5=2a1q3+48,又因为q=2, 所以a1=1, 所以S8=错误！未找到引用源。=255.故选B. 4.(2016·山东烟台一模)已知数列{a n}是等比数列,且每一项都是正数,若a1,a49是2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为( B ) (A)错误！未找到引用源。 (B)9错误！未找到引用源。 (C)±9错误！未找到引用源。(D)35 解析:因为{a n}是等比数列,且a1,a49是方程2x2-7x+6=0的两根,所以a1·a49=错误！未找到引用源。=3.而a n>0, 所以a25=错误！未找到引用源。. 所以a1·a2·a25·a48·a49=(a25)5=9错误！未找到引用源。.故选B.
2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”； （2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. （2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ， 所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 ， 所以 ，其中k =1，2，3，…，m .
当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）= ，则． 令，得x=e.列表如下： x e(e，+∞) +0– f（x）极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知，b k=k， .因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。
一、等比数列选择题 1．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比 如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕 = 大吕 = 太簇．据此，可得正项等比数列{} n a 中，k a =（ ） A ．n - B ．n -C ． D ． 2．若1，a ，4成等比数列，则a =（ ） A ．1 B ．2± C ．2 D ．2- 3．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2 n n n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ． 11021 B ． 11022 C ．1 1023 D ．1 1024 4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0 D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞0 5．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （ ） A ．180 B ．160 C ．210 D ．250 6．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝1 4 ，且a n ＝1n n b b +，则b 2020＝（ ） A ．22017 B ．22018 C ．22019 D ．22020 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352 a a +=，24 5 4a a +=，则n n S =a （ ） A ．14n - B ．41n - C ．12n - D ．21n - 8．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件 11a >，66771 1, 01 a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a > B ．01q << C ．n S 的最大值为7S D ．n T 的最大值为7T 9．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =（ ）. A ．710S = B ．723 S = C ．7623 S = D ．7127 3 S =
一、等比数列选择题 1．数列{a n }满足2 1 1232222 n n n a a a a -+++?+= (n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ） A ．55 12?? ??? B ．10 112??- ??? C ．9 112??- ??? D ．66 12?? ??? 2．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ． 503 B ． 507 C ． 100 7 D ． 200 7 3．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{} 2 n a 的前n 项和为n T ，若2 (1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．()3,+∞ B ．()1,3- C ．93,5?? ??? D ．91,5? ?- ?? ? 4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2n C ．1+(n +1)×2n D ．1+(n -1)×2n 5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （ ） A ．180 B ．160 C ．210 D ．250 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352 a a +=，245 4a a +=，则n n S =a （ ） A ．14n - B ．41n - C ．12n - D ．21n - 8．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N * ∈，m n m n a a a +=?，若 1262n a a a ++???+=，则n =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 9．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（ ）
新数学高考《数列》专题解析 一、选择题 1．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则10 6 S S 等于（ ） A ．-3 B ．5 C ．-31 D ．33 【答案】D 【解析】 【分析】 先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公 式，即可求解10 6 S S 的值，得到答案. 【详解】 由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =， 可得313366316(1)1121(1)1118 1a q S q q a q S q q q ---====--+-，解得2q =， 所以1011051055 16 (1)11133(1)11a q S q q q a q S q q ---===+=---. 故选：D . 【点睛】 本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 2．已知等差数列{}n a 中，若311,a a 是方程2210x x --=的两根，单调递减数列 {}()*n b n N ∈通项公式为27n b n a n λ=+.则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞- B ．1,3??-∞- ??? C ．1,3??-+∞ ??? D ．()3,-+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出71a =，再根据{}n b 是递减数列，得到1 21 n λ<-+对*n N ∈恒成立，即得解. 【详解】 ∵311,a a 是方程220x x --=的两根，∴3112a a +=.
一、等比数列选择题 1 ． 12 的等比中项是（ ） A ．－1 B ．1 C D ．± 2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且63 9S S =，则42a a 的值为（ ） A B ．2 C ．D ．4 3．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8 B ．8± C ．8- D ．1 4．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记 {}n a 的前n 项积为n T ，则下列选项错误的是（ ） A ．01q << B ．61a > C ．121T > D ．131T > 6．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ??= ，公比q =，则456a a a ??=（ ） A ．32 B ．16 C ．16- D ．32- 7．已知数列{}n a 满足112a = ，* 11()2 n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=，*n N ∈，且数列 {}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．3 (1,)2 - C ．3(,)2 -∞ D ．(1,2)- 8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2n C ．1+(n +1)×2n D ．1+(n -1)×2n 9．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则2020 2021 ln ln a a = （ ） A ．1:3 B ．3:1 C ．3:5 D ．5:3 10．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ） A ．2± B ．2 C ．3± D ．3 11．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ）
畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643 培优点十 等差、等比数列 1．等差数列的性质 例1：已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=_______ 【答案】35 【解析】∵{}n a ，{}n b 为等差数列，∴{}n n a b +也为等差数列， ∴()()()3311552a b a b a b +=+++，∴()()553311235a b a b a b +=+-+=． 2．等比数列的性质 例2：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（ ） A ．10 B ．20 C ．100 D ．200 【答案】C 【解析】与条件4610a a +=联系，可将所求表达式向4a ，6a 靠拢， 从而()()2 22 71339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+， 即所求表达式的值为100．故选C ． 3．等差、等比综合 例3：设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=L ，若11a b =，1111a b =， 则有（ ） A ．66a b = B ．66a b > C ．66a b < D ．66a b >或66a b < 【答案】B 【解析】抓住1a ，11a 和1b ，11b 的序数和与6a ，6b 的关系，从而以此为入手点． 由等差数列性质出发，11a b =，1111111111a b a a b b =?+=+， 因为11162a a a +=，而{}n b 为等比数列，联想到111b b ?与6b 有关， 所以利用均值不等式可得：11162b b b +>=；