2020-2021学年第一学期期末测试
人教版八年级数学试题
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.
1. 下列运算正确的是（ ） A. 3
6
9
a a a +=
B. 3333
3a a a a ??=
C. (
)
4
37a
a -=
D. 459236a a a ?=
2. 下面四个图形中，属于轴对称图形的
是（ ）
A. B.
C.
D.
3. 下列各式中，正确的是（ ）
A. 22a a b b =
B. 2
2(1)2
11x x x
--=-+ C. 1
ab a +＝b +1
D. 22a b a b
++＝a +b
4. 如图，在ABC 中，90,ACB ∠=?过点C 作CD AB ⊥于,30D A ∠=?，1,BD =则AD 的长是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是( )
A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
6. 若要使等式()()2
2
3434x y x y A +=-+成立，则A 等于（ ） A 24xy
B. 48xy
C. 12xy
D. 50xy
7. 下列三角形中：①有两个角等于60°的
三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（
） A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③④
8. 若分式242
x x -+的值为0,则（ ）
A. 2x =
B. 2x =-
C. 2x =或2x =-
D. 2x ≠或2x ≠-
9. 如图，在钝角三角形ABC 中，ABC ∠为钝角，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧；再以点C 为圆心，
AC 长为半径画弧；两弧交于点,D 连结,AD CB 的延长线交AD 于点E .下列结论：CE ①垂直平分AD ；
CE ②平分ACD ∠；ABD ③是等腰三角形；ACD ④是等边三角形．其中正确的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝10，S △ABC ＝60，AD ⊥BC 于点D ，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB ＋PD 最小，则这个最小值为（ ）
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的FAST 望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为_____．
12. 我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置. 经测算，原来a 天用水b 吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水________吨.
13. 如果4,8,m n a b ==那么232m n +=_______________________．(用含,a b 的式子表示)
14. 在RtΔABC 中，∠B=90°，∠A=30°,DE 垂直平分AC,交AC 于点E,交AB 于点D,连接CD,若BD=2,则AD 的长是___.
15. 若解分式方程
1244
x m
x x -=+++产生增根，则m =__________． 三、解答题(本大题共8个小题，满分 75分)
16. 因式分解: （1）4
4
16x y -； （2）3296x x x +- 17. 解下列方程. (1)
21
122x x x
=+
-- (2)2221141242
x x x +=-- 18. 先化简222
21211
11
m m m m m m m +-+?---+，再从11,0,12--，中选一个合适的数作为m 的值代入求值. 19. 为中华人民共和国成立70周年献礼，某灯具厂计划加工6000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量. 20. 在ABC ?中，DE 垂直平分AB ，分别交AB 、BC 于点D 、E ，MN 垂直平分AC ，分别交AC ，BC 于点M 、N ．
⑴如图①，若112O BAC ∠=，求EAN ∠的度数； ⑵如图②，若82O BAC ∠=，求EAN ∠的度数；
⑶若BAC α∠=(90)o α≠，直接写出用α表示EAN ∠大小的代数式．
21. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到
222()2a b a ab b +=++，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式____________________________________ （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式. （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若10a b c ++=，35ab ac bc ++=，则222a b c ++=_________. 22. 在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=?，AD BC ⊥，垂足G ，且AD AB =．60EDF ∠=?，
其两边分别交边AB ，AC 于点E ，F ． （1）求证：ABD △是等边三角形； （2）求证：BE AF =．
23. 已知ABC 中，90,,A AB AC D ∠=?=为BC 的中点.
（1）如图1，若E F 、分别是AB AC 、上的点，且BE AF =.求证:DEF 为等腰直角三角形；
（2）若,E F 分别为,AB CA 延长线上的点，如图2，仍有BE AF ，其他条件不变，那么DEF 是否仍为等腰直角三角形？请证明你的结论.
答案与解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.
1. 下列运算正确的是（ ） A. 369a a a += B. 33333a a a a ??=
C. ()
4
3
7a a -=
D. 459236a a a ?=
【答案】D 【解析】 【分析】
运用合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方法则进行计算，即可选出正确答案． 【详解】A ．369a a a +=不是同类项不能合并，故该选项错误，不符合题意， B ．3333339a a a a a ++?==?，故该选项错误，不符合题意， C ．343412()a a a ?-==，故该选项错误，不符合题意， D ．459236a a a ?=，故该选项计算正确，符合题意， 故选D ．
【点睛】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，正确运用同底数幂的乘法、幂的乘方法则进行计算是解题关键．
2. 下面四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
由定义可知，如果将一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形是轴对称图形；接下来，根据上述定义对各选项中的图形进行分析，即可做出判断.
【详解】根据轴对称图形的定义可知：选项A 、B 、D 所给的图形均不是轴对称图形，只有选项C 的图形是轴对称图形. 故选C.
【点睛】此题考查轴对称图形的判断，解题关键在于握判断一个图形是否为轴对称图形的方法. 3. 下列各式中，正确的是（ ）
A. 22a a b b
=
B. 22(1)211x x x --=
-+ C. 1
ab a +＝b +1
D. 22a b a b
++＝a +b
【答案】B 【解析】 【分析】
2
2
a a
b b =等式成立的条件是a ＝0或a ＝b 时；因式分解法化简分式
22(1)1x x --＝2(1)(1)(1)x x x -+-；根据分式的基本性质化简
1ab a
+＝b+1
a ．
【详解】解：A.a b 与2
2a b
在a ＝0或a ＝b 时才成立，故选项A 不正确；
B.
2
2(1)1x x --＝2(1)(1)(1)x x x -+-＝21x -+，故选项B 正确； C.
1ab a
+＝b+1
a ，故选项C 不正确；
D. 22
a b a b
++不能化简，故选项D 不正确；
故选：B ．
【点睛】本题考查分式的化简，解题关键是熟练掌握分式的基本性质.
4. 如图，在ABC 中，90,ACB ∠=?过点C 作CD AB ⊥于,30D A ∠=?，1,BD =则AD 的长是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
由余角性质可知∠BCD=∠A,根据BD=1可以得到CD 的长度，进一步得到AD 的长度． 【详解】由题意，∠BCD 和∠A 都与∠B 互余，∴∠BCD=∠A=30
∴BC=2BD=2,CD=3BD=3,AC=2CD=23,AD=3CD=3×3=3．
故选C．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握30角的对边、邻边与斜边的关系是解题关键．
5. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是()
A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
【答案】A
【解析】
【分析】
过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴OP 平分∠AOB （角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选A ．
【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
6. 若要使等式()()2
2
3434x y x y A +=-+成立，则A 等于（ ） A. 24xy B. 48xy
C. 12xy
D. 50xy
【答案】B 【解析】 【分析】
利用A=（3x+4y ）2-（3x-4y ）2，然后利用完全平方公式展开合并即可． 【详解】解：∵（3x+4y ）2=9x 2+24xy+16y 2，（3x-4y ）2=9x 2-24xy+16y 2， ∴A=9x 2+24xy+16y 2-（9x 2-24xy+16y 2）=48xy ． 故选：B ．
【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±
b ）2=a 2±2ab+b 2,掌握公式是关键． 7. 下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ） A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③④
【答案】D 【解析】 【分析】
根据等边三角形的判定判断．
【详解】两个角为 60°，则第三个角也是 60 °，则其是等边三角形，故正确； ② 这是等边三角形的判定 2 ，故正确；
③ 三角形内角和为180°，三个角都相等，即三个角的度数都为60°，则其是等边三角形，故正确； ④ 这是等边三角形定义，故正确．
【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的判定，解题关键是熟记等边三角形性质和定义进行解答.
8. 若分式242
x x -+的值为0,则（ ）
A. 2x =
B. 2x =-
C. 2x =或2x =-
D. 2x ≠或2x ≠-
【解析】 【分析】
化解分式方程，即可求解，最后检验．
【详解】24
02
x x -=+，
(2)(2)
02
x x x +-=+，
20x -=，
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解， 故选：A ．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，特别注意最后需检验． 9. 如图，在钝角三角形ABC 中，ABC ∠为钝角，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧；再以点C 为圆心，
AC 长为半径画弧；两弧交于点,D 连结,AD CB 的延长线交AD 于点E .下列结论：CE ①垂直平分AD ；
CE ②平分ACD ∠；ABD ③是等腰三角形；ACD ④是等边三角形．其中正确的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】C 【解析】 分析】
依据作图可得CA=CD ，BA=BD ，即可得到CB 是AD 的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到结论．
【详解】由作图可得，CA=CD ，BA=BD ， ∴CB 是AD 的垂直平分线， 即CE 垂直平分AD ，故①正确；
∴∠CAD=∠CDA ，∠CEA=∠CED ， ∴∠ACE=∠DCE ，
即CE 平分∠ACD ，故②正确； ∵DB=AB ，
∴△ABD 是等腰三角形，故③正确； ∵AD 与AC 不一定相等，
∴△ACD 不一定是等边三角形，故④错误； 综上，①②③正确，共3个， 故选：C ．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定、等边三角形的判定，解题时注意：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝10，S △ABC ＝60，AD ⊥BC 于点D ，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB ＋PD 最小，则这个最小值为（ ）
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三角形的面积公式即可得到AD 的长度，再由最短路径的问题可知PB ＋PD 的最小即为AD 的长．
【详解】∵1060ABC
AB AC BC S AD BC ⊥＝，＝
，＝，
∴12AD = ∵EF 垂直平分AB
∴点A ，B 关于直线EF 对称 ∴min ()AD PB PD =+ ∴min ()12PB PD +=，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了最短路径问题，熟练掌握相关解题技巧及三角形的高计算方法是解决本题的关键.
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的FAST 望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为_____． 【答案】5.19×10﹣3 【解析】 【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00519＝5.19×10﹣
3， 故答案为：5.19×10﹣
3．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12. 我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置. 经测算，原来a 天用水b 吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水________吨. 【答案】244b
a a
+
【解析】 【分析】
根据题意表示出原来每天的用水量，现在每天的用水量，两者相减，计算得出结果. 【详解】∵原来a 天用水b 吨， ∴原来每天用水
b
a
吨， 现在多用4天，则现在()4+a 天使用b 吨，
∴现在每天用水
4
+b
a 吨， ∴现在每天比原来少用水()()244444+--==+++
b a ab b b b
a a a a a a
吨，
故答案为
244b
a a
+.
【点睛】本题考查分式的计算，根据题意列出表达式是关键.
13. 如果4,8,m n a b ==那么232m n +=_______________________．(用含,a b 的式子表示) 【答案】ab 【解析】 【分析】
直接利用同底数幂的
乘法运算法则将原式变形进而得出答案． 【详解】解：（1）∵4,8,m n a b ==∴232,2m n a b ==， ∴232m n +=23m n a a a b ?=?； 故答案为ab.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的逆运算，正确掌握运算法则是解题的关键．
14. 在RtΔABC 中，∠B=90°，∠A=30°,DE 垂直平分AC,交AC 于点E,交AB 于点D,连接CD,若BD=2,则AD 的长是___.
【答案】4 【解析】 【分析】
首先根据题意DE 垂直平分AC,可判断AD=CD ，可得出△ADC 是等腰三角形，∠A=∠ACD=30°，又因为在RtΔABC 中，∠B=90°，∠A=30°,得出∠ACB=60°，∠BCD=30°，又由BD=2,根据三角函数值，得出sin ∠BCD=
BD CD =1
2
，得出CD=4，进而得出AD=4. 【详解】解：∵DE 垂直平分AC, ∴AD=CD ，
∴△ADC 是等腰三角形，∠A=∠ACD=30° 又∵在RtΔABC 中，∠B=90°，∠A=30°, ∴∠ACB=60°，∠BCD=30° 又∵BD=2,
∴sin ∠BCD=BD CD =1
2
∴CD=4 ∴AD=4. 故答案为4.
【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定和利用三角函数求三角形的边长，熟练掌握即可得解. 15. 若解分式方程1244
x m
x x -=+++产生增根，则m =__________． 【答案】-5. 【解析】 【分析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．
【详解】方程两边都乘(x +4)，得
12(4)x m x -=++
∵原方程增根为x =?4，
∴把x=?4代入整式方程，得41m --=， 解得5m =-. 故答案为-5.
【点睛】本题考查分式方程的增根，解决本题时需注意，要将增根x=-4，代入分式方程化为整式方程后的方程中，不然无法求得m 的值.
三、解答题(本大题共8个小题，满分 75分)
16. 因式分解: （1）44
16x y -； （2）3296x x x +-
【答案】（1）2
2
(4)(2)(2)x y x y x y ++-；（2）()2
3x x -.
【解析】 【分析】
（1）两次利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式x ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：（1）4416x y -=2222
(4)(4)x y x y +-=22(4)(2)(2)x y x y x y ++-； （2）3296x x x +-=2
(69)x x x -+=()2
3x x -．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 17. 解下列方程. (1)
21
122x x x
=+
-- (2)2221141242
x x x +=-- 【答案】（1）3x =-是该方程的解；（2）0x =是该方程的解. 【解析】 【分析】
(1)方程两边同时乘以(2x -)，化为整式方程后求解，然后进行检验即可得；
(2)方程两边同时乘以()()22121x x +-，化为整式方程后求解，最后进行检验即可得． 【详解】(1)
21
122x x x
=+
-- 方程两边同时乘以(2x -)，得：221x x =--， 解得：3x =-，
经检验： 3x =-是原分式方程的解；
(2) 22
211
41242
x x x +=-- 方程两边同时乘以()()22121x x +-，得：()()()2
4212121x x x x -+=+-，
解得：0x =，
经检验： 0x =是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤以及注意事项是解题的关键．
18. 先化简222
21211
11
m m m m m m m +-+?---+，再从11,0,12--，中选一个合适的数作为m 的值代入求值. 【答案】1
m
，原式2=-． 【解析】 【分析】
根据分式的混合运算法则对原式进行化简，根据分式有意义的条件选择m 的值，最后代入求解即可．
【详解】解：原式221(1)1
(1)(1)(1)1m m m m m m m +-=?-+--+，
211
(1)1
m m m m +=
-++，
21(1)m m
m m +-=
+，
1
(1)
m m m +=
+，
1m
=
， 由分式有意义的条件知，1m ≠-，0，1，
所以m 应为12-
， 所以当1
2
m =-时，原式2=-．
【点睛】本题考查分式的化简求解，熟练掌握分式的混合运算法则及分式有意义的条件是解题的关键． 19. 为中华人民共和国成立70周年献礼，某灯具厂计划加工6000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量. 【答案】原计划每天加工400套 【解析】 【分析】
该灯具厂原计划每天加工这种彩灯数量为x 套，由题意列出方程即可求解．
【详解】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x 套，则实际每天加工彩灯的数量为1.5x 套， 由题意得：
60006000
51.5x x
-= 解得：x ＝400，
经检验，x ＝400是原方程的解，且符合题意；
答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为400套．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，根据题意列出方程是解题的关键．
20. 在ABC ?中，DE 垂直平分AB ，分别交AB 、BC 于点D 、E ，MN 垂直平分AC ，分别交AC ，BC 于点M 、N ．
⑴如图①，若112O BAC ∠=，求EAN ∠的度数； ⑵如图②，若82O BAC ∠=，求EAN ∠的度数；
⑶若BAC α∠=(90)o α≠，直接写出用α表示EAN ∠大小的代数式．
【答案】（1）∠EAN=44°；（2）∠EAN=16°；（3）当0<α＜90°时，∠EAN=180°-2α；当α＞90°时，∠EAN=2α-180°． 【解析】 【分析】
(1)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE ，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B ，同理可得，∠CAN=∠C ，然后利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C ，再根据∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)代入数据进行计算即可得解；
(2)同(1)的思路，最后根据∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC 代入数据进行计算即可得解； (3)根据前两问的求解，分α＜90°与α＞90°两种情况解答． 【详解】(1)∵DE 垂直平分AB ， ∴AE=BE ， ∴∠BAE=∠B ，
同理可得：∠CAN=∠C ，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)， 在△ABC 中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-112°=68°， ∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=112°-68°=44°； (2)∵DE 垂直平分AB ， ∴AE=BE ， ∴∠BAE=∠B ，
同理可得：∠CAN=∠C ，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC ， 在△ABC 中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-82°=98°，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=98°-82°=16°； (3)当0<α＜90°时， ∵DE 垂直平分AB ， ∴AE=BE ， ∴∠BAE=∠B ，
同理可得：∠CAN=∠C ，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC ， △ABC 中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°
-α， ∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=180°-α-α=180°-2α； 当α＞90°时， ∵DE 垂直平分AB ， ∴AE=BE ， ∴∠BAE=∠B ，
同理可得：∠CAN=∠C ，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)， 在△ABC 中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°
-α， ∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=α-(180°
-α)=2α-180°． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．
21. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到
222()2a b a ab b +=++，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式____________________________________ （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式. （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若10a b c ++=，35ab ac bc ++=，则222a b c ++=_________.
【答案】（1）（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ；（2）见解析；（3）30 【解析】 【分析】
（1）图2的面积一方面可以看作是边长为（a ＋b ＋c ）的正方形的面积，另一方面还可以看成是3个边长分别为a 、b 、c 的正方形的面积+2个边长分别为a 、b 的长方形的面积+2个边长分别为a 、c 的长方形的面积+2个边长分别为b 、c 的长方形的面积，据此解答即可； （2）根据多项式乘以多项式
的
法则计算验证即可；
（3）将所求的式子化为：()()2222
2a a b c b c ab ac bc +++-++=+，然后整体代入计算即得结果． 【详解】解：（1）（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ； （2）（a ＋b ＋c ）2
＝（a ＋b ＋c ）（a ＋b ＋c ）
＝a 2＋ab ＋ac ＋ba ＋b 2＋bc ＋ca ＋cb ＋c 2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ； 所以（1）中的等式成立；
（3）()()2
222221023530a b c a b c ab ac bc ++=++-++=-?=． 故答案为：30．
【点睛】本题是完全平方公式的拓展应用，主要考查了对三数和的完全平方的理解与应用，正确理解题意、熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
22. 在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=?，AD BC ⊥，垂足为G ，且AD AB =．60EDF ∠=?，其两边分别交边AB ，AC 于点E ，F ． （1）求证：ABD △是等边三角形； （2）求证：BE AF =．
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【解析】 【分析】
（1）连接BD ，根据等腰三角形性质得∠BAD=∠DAC=
1
2
×120°，再根据等边三角形判定可得结论；
（2）根据等边三角形性质得∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD ，证△BDE ≌△ADF （ASA ）可得. 【详解】（1）证明：连接BD ， ∵AB=AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD=∠DAC=1
2
∠BAC ， ∵∠BAC=120°， ∴∠BAD=∠DAC=1
2
×120°=60°， ∵AD=AB ，
∴△ABD 是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD 是等边三角形， ∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD ∵∠EDF=60°， ∴∠BDE=∠ADF ， 在△BDE 与△ADF 中，
60DBE DAF BD AD
BDE ADF ∠=∠=???
=??∠=∠?
， ∴△BDE ≌△ADF （ASA ）， ∴BE=AF ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、等边三角形的性质，解决本题的关键是证明△BDE ≌△ADF ．
23. 已知ABC 中，90,,A AB AC D ∠=?=为BC 的中点.
（1）如图1，若E F 、分别是AB AC 、上的点，且BE AF =.求证:DEF 为等腰直角三角形；