知识点2：圆的对称性
圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线。
注意：（1）圆的对称轴有无数条。
（2）圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任何角度后，仍与自身重合。
知识点 3：圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等
例1如图，⊙O 的半径O A、OB 分别交弦C D 于点E、F，且C E＝DF．试问：
(1) OE 等于O F 吗？
(2) AC 与 B D 有怎样的数量关系？
例2如图，AB 是⊙O 的直径．
(1)若 OD//AC， C D 与 B D 的大小有什么关系？为什么？
(2) 把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由．
知识点4：圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系
1.10的弧：将顶点在圆心的周角等分成360 份时，每一份的圆心角是10的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360 份，我们把10的圆心角所对的弧叫做10的弧。
2.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
注意：（1）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，不是指角与弧相等（角与弧是两个不同的图形）
（2）度数相等的角为等角，但度数相等的弧不一定是等弧。
例1如图，在☉O 中，弦A D∥BC，DA=DC，∠AOC=1600，则∠BCO 的度数(
) A．200B．600 C. 400D．500
例 2 如图，在△ABC 中，∠A=700，☉O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为
例3如图，AB，CD 是⊙O 的两条直径，过点A作A E//CD 交⊙O 于点E，连接B D，DE．求证：BD＝DE.
例4如图，点O在∠MPN 的平分线上，☉O 分别交P N、PM 于点A、B 和点C、D．求证：∠PCO=∠NAO．
知识点5：垂径定理及垂径定理的推论
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
2.定理的条件：（1）直径、弦
（2）直径垂直弦
3.定理的结论：（1）弦被直径平分
（2）弦所对的两条弧被平分
4.垂径定理的推论
如果一条直线具有：
（1）经过圆心；
（2）垂直于弦；
（3）平分弦（非直径的弦）；
（4）平分弦所对的劣弧；
（5）平分弦所对的优弧这五个性质中的任意两个，那么这条直线就具有余下的三个性质，简称“知二推三”。
注意：在垂径定理推论中，一定不能忽视“弦不是直径”这一条件。因为一个圆的任意两条直径都能互相平分，但未必垂直。
例1、如图，∠C＝90°，⊙C 与A B 相交于点D，AC＝5，CB＝12，则A D＝．
例2、如图，⊙O 过点B、C，圆心O在等腰直角三角形A BC 的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O 的半径为( )
例3、如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则B C 的长为
．
例4、如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB 的长为
．
例5 、如图，点 A 是半圆上一个三等分点，点 B 是AN 的中点，点 P 是直径 MN 上一动点，⊙O 的半径为 1，则 AP+BP 的最小值为．
例6、如图，AB、CD是半径为 5 的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点 E，CD⊥MN于点 F，P为 EF上的任意一点，则 PA+PC的最小值为．
例7、如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是（2，a）（a>2），半
2，则a的值为径为 2，函数 y＝x 的图象被⊙P 截得的弦 AB 的长为3
课后练习：
1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则
∠AOD=( )
A．70° B．60°
C．50° D．40°
2．如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→AB→BO的路径运
动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间关系的
是( )
3．已知：如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，过CO的中点D作DE∥AB 交⊙O于点E，连接EO，则∠EOC的度数为__________．
4．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长分别交弦AB，AC于点E，F，∠B=∠C求证：CE=BF
5．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交O于点B，且EB=OC，求∠A的度数
6．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，若点P的坐标为(4,2)，点A的坐标为(2,0)，则点B的坐标为__________．
7．在半径为5cm的圆内有两条平行弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则两弦之间的距离为__________．
8、如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为__________．
9．如图，在⊙O中，AB，AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，求证：四边形ADOE是正方形．
10．有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗？
圆垂径定理专题练习题 1．垂径定理：垂直于弦的直径____这条弦，并且____弦所对的两条弧． 2．如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC＝( ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是( ) A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5 4. 如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为___． 5. 如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于点E. (1)请写出四个不同类型的正确结论； (2)若BE＝4，AC＝6，求DE的长． 6. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是( )
A．4 B．5 C．6 D．8 7. 为了测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示(单位：cm)，则该铁球的 直径为____． 8. H5N1亚型高致病性禽流感是一种传染速度很快的传染病，为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3 千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感疫区， 如图所示，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在免疫区内有多少千米？ 9．如图，直线与两个同心圆交于图示的各点，MN＝10，PR＝6，则MP＝____． 10．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB＝8 cm，AG＝1 cm，DE＝2 cm， 则EF＝____cm. 11. 如图，⊙O的直径AB＝16 cm，P是OB的中点，∠APD＝30°，求CD的长．
勾股定理知识点归纳和题型归类 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
垂径定理—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．理解圆的对称性； 2．掌握垂径定理及其推论； 3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题． 【要点梳理】 知识点一、垂径定理 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 要点诠释： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （4）圆的两条平行弦所夹的弧相等. 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【典型例题】 类型一、应用垂径定理进行计算与证明 1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是．
【答案】5. 【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA， ∵AB=CD，CE=1，ED=3， ∴OM=EN=1，AM=2， ∴ 【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题. 举一反三： 【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径． 【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB， ∴ 1 2 MO HN CN CH CD CH ==-=- 11 ()(38)3 2.5 22 CH DH CH =+-=+-=， 111 ()(46)5 222 BM AB BH AH ==+=+=， ∴在Rt△BOM中，OB== 【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】 【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.
垂径定理 一、知识回顾 1、到定点距离等于的点的集合叫做圆，定点叫做，定长叫做；连接圆上任意两点间的线段叫做，经过圆心的弦叫做；圆上任意两点间的部分叫做，它分为、、三种。 2、能够的两个圆叫做等圆；能够互相的弧叫做等弧，他只能出现在中。 3、圆既具有对称性，也具有对称性，它有对称轴。 4、垂直于弦的直径，并且；平分弦（不是直径）的直径，并且。 5、顶点在的角叫做圆心角；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等，也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的、、；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的、、。 6、顶点在，并且相交的角叫做圆周角。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的；在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧。 7、半圆（或直径）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是。 8、如果一个多边形的都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的。圆的内接四边形。 二、典例解析 例1 如图，某市新建的滴水湖是圆形人工湖，为了测量该湖的半径，小明和小亮在湖边选取A、B、C三根木桩，使得A、B之间的距离等于A、C之间的距离，并测得BC=240m，A 到BC的距离为5m。请帮忙求出滴水湖的半径。 D两点，已知C（0,3）、D（0，-7），求圆心E的坐标。
变式2 已知O e 的半径为13cm ，弦AB ∥CD ，AB=10cm ，CD=24cm ，求AB 和CD 之间的距离。 变式3 如图，O e 的直径AB=15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在半圆AMB 上滑动（点C 与点A ，点D 与点B 不重合），且CE ⊥CD 交AB 于点E ，DF ⊥CD 于点F 。 （1）求证：AE=BF ；（2）在动弦CD 的滑动过程中，四边形CDFE 的面积是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请予以证明并求出这个值。 变式4 如图，某地方有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一竹排运送一货箱欲从桥下通过，已知货箱长10米，宽3米，高2米，问货箱能否顺利通过该桥？ 例2 如图，BC 是O e 的直径，OA 是O e 的半径，弦BE ∥OA 。求证：弧AC=弧AE 。 H D N M F E C B A
中考数学二轮复习勾股定理知识点及练习题及答案 一、选择题 1．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F 是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=?BEC ，1FG =，则2AB 为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 2．如图，点A 的坐标是(2)2， ，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ） A ．（2，0） B ．（4，0） C ．（－22，0） D ．（3，0） 3．已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a+b=10，ab=18,c=8，则该三角形的形状是 （ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 4．如果直角三角形的三条边为3、4、a ，则a 的取值可以有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，P 是BC 上一点，且DB ＝DC ，过BC 上一点P ，作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥DC 于F ，已知：AD ：DB ＝1：3，BC ＝46，则PE+PF 的长是（ ） A ．6 B ．6 C ．42 D ．266．已知：如图在△ABC ，△AD E 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论： ①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2）， 其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知△ABC的三边分别是6，8，10，则△ABC的面积是（） A．24 B．30 C．40 D．48 8．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)() A．3 B．5 C．4.2D．4 9．甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75?的方向航行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它的航行方向为（） A．北偏西15?B．南偏西75° C．南偏东15?或北偏西15?D．南偏西15?或北偏东15? 10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离是（） A．3 4 B． 3 5 C． 4 5 D． 12 5 二、填空题 11．如图，AB＝12，AB⊥BC于点B， AB⊥AD于点A，AD＝5，BC＝10，E是CD的中点，则AE的长是____ ___． 12．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A，B，C是网格线交点）．
典型例题分析： 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深 度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. 2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的 最大深度为________cm. 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长． 5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是 的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF. O A E F
例题3、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径. 2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。 例题4、相交问题 如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长. 例题5、平行问题 在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离. 例题6、同心圆问题 如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的 半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=?. 例题7、平行与相似 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证： FD EC =. A B D C E O
一、选择题 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（） A．5 B．35C．332 D．213 2．如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC=5，AB=8，D为底边上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF= （） A．5 B．8 C．13 D．4．8 3．如图所示，在中，，，.分别以，，为直径作半圆（以为直径的半圆恰好经过点，则图中阴影部分的面积是（） A．4 B．5 C．7 D．6 4．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是( ) A．3 B．15 4 C．5 D． 15 2 5．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，D为BC边上的一点，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（）
A ．2cm B ．2.5cm C ．3cm D ．4cm 6．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ） A ．6 B ．42 C ．8 D ．10 7．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3(如图)．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于( ) A ．1和2之间 B ．2和3之间 C ．3和4之间 D ．4和5之间 8．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，5，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A ．② B ．①② C ．①③ D ．②③ 9．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ） A ．7.5平方千米 B ．15平方千米 C ．75平方千米 D ．750平方千米 10．如图，在ABC ?中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点．已知90ACB ∠=?， 4BE =，7AD =，则AB 的长为（ ） A ．10 B ．53 C ．213 D ．15
圆的垂径定理及其推论知识点与练习 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。若直径AB ⊥弦CD 于点E ，则CE=DE ， ⌒ AC=⌒ AD ；⌒ BC=⌒ BD （2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 若CE=DE ，AB 是直径，则⌒ AC=⌒ AD ；⌒ BC=⌒ BD ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。若AB ⊥CD ，CE=DE ，则CD 是直径，⌒ AC=⌒ AD ；⌒ BC=⌒ BD ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。若⌒ AC=⌒ AD ，AB 是直径，则AB ⊥CD ，CE=DE ，⌒ BC=⌒ BD ④圆的两条平行弦所夹的弧相等。若CD ∥FG ，CD 、FG 为弦，则⌒ FC=⌒ GD 特别提示：①垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 ②垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”． （3）垂径定理及推论的应用： 它是证明圆内线段相等、角相等、垂直关系及利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。 ①垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，其本质是“过圆心”； ②在圆的有关计算中常用圆心到弦垂线段、弦的一半、半径构造出垂径定理的条件和直角三角形，从而应用勾股定理解决问题； 例：如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的， 31圆的半径为2cm ，求AB 的长。解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点C ，由题 意得，∵⌒ AB= ×360o=120o3 1∴∠AOB=120o，∴∠AOC=60o,在Rt △AOC 中，∵∠AOC=60o，OA=2，∴OC = OA=1，∴AB=2AC=2=22 122OC AO 3故AB 的长为23练习 一、选择题 1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ） A 、CM=DM B 、∠ACB=∠ADB C 、AD=2B D D 、∠BCD=∠BDC G A A
【趣味链接】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2，S 3．若S 1，S 2，S 3＝10，则S 2的值是多少呢？ 【知识梳理】 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2 ＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 2、勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数， 那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3、判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是 直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）； （2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形； 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边） 4、注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 5、勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n的线段 【经典例题】【例1】（2016山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角
垂径定理练习题 典型例题分析： 例题、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度 为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. 2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的 最大深度为________cm. 3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F . （1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离. 4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长． 5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2 1 BF. 例题3、度数问题 1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径. O A E F
2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2 、3.求BAC ∠的度数。 例题4、相交问题 如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长. 例题5、平行问题 在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离. 例题6、同心圆问题 如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半 径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=?. 例题7、平行与相似 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证： FD EC =. A B D C E O