![[2020理数]第三章 第一节 导数的概念及运算定积分](https://img.doczj.com/img79/1e5naf5gkt5h6xsg2g0myiu72sw8vvi5-91.webp)
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第三章 导数及其应用
第一节 导数的概念及运算、定积分
[考纲要求]
1．了解导数概念的实际背景．
2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．
3．能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数),y ＝x ,y ＝1
x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x 的导数． 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 5．了解复合函数求导法则,能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数．
6．了解定积分的概念,了解微积分基本定理的含义．
突破点一 导数的运算
[基本知识]
1．导数的概念
称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0
Δy
Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0,即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy
Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
.称函数f ′(x )＝li m Δx →0
f (x ＋Δx )－f (x )
Δx
为f (x )的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝ln x f ′(x )＝1
x 基本初等函数 导函数 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－
1 f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0,a ≠1) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝log a x (a >0,a ≠1)
f ′(x )＝
1x ln a
3.导数运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
(3)????
f x
g x ′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u ),u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( ) (2)求f ′(x 0)时,可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题
1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 答案：－x sin x
2．已知f (x )＝13－8x ＋2x 2,f ′(x 0)＝4,则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x , ∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4,解得x 0＝3. 答案：3
3．已知函数f (x )＝f ′????π4cos x ＋sin x ,则f ????π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′????π4sin x ＋cos x , ∴f ′????π4＝－f ′????π4×22＋22
,
得f ′????π4＝2－1.
∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x . ∴f ????π4＝1. 答案：1
[典例感悟]
1．已知函数f (x )＝x
e x ,则其导函数
f ′(x )＝( )
A.1＋x
e x
B.1－x e x
C ．1＋x
D ．1－x
解析：选B 函数f (x )＝x
e x ,则其导函数
f ′(x )＝e x －x e x e 2x ＝1－x e
x ,故选B.
2．(2019·枣庄三中质检)已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ,则f ′(1)＝( )
A ．－e
B ．1
C ．－1
D ．e
解析：选C 由题可得f ′(x )＝2f ′(1)＋1
x ,则f ′(1)＝2f ′(1)＋1,解得f ′(1)＝－1,所以选C.
3．函数f (x )＝x sin ????2x ＋π2cos ????2x ＋π
2,则其导函数f ′(x )＝________. 解析：∵f (x )＝x sin ????2x ＋π2cos ????2x ＋π2＝1
2x sin(4x ＋π) ＝－12x sin 4x ,∴f ′(x )＝－12sin 4x －1
2
x ·4cos 4x
＝－1
2sin 4x －2x cos 4x .
答案：－1
2
sin 4x －2x cos 4x
[方法技巧]
导数运算的常见形式及其求解方法
1．设f (x )＝x (2 019＋ln x ),若f ′(x 0)＝2 020,则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2
D ．e
解析：选B f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ,由f ′(x 0)＝2 020,得2 020＋ln x 0＝2 020,则ln x 0＝0,解得x 0＝1.
2．(2019·长沙长郡中学一模)等比数列{a n }中,a 1＝2,a 8＝4,函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8),则f ′(0)＝( )
A ．26
B ．29
C ．212
D ．215
解析： 选C f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′,所以f ′(0)＝a 1a 2a 3…a 8＝(a 1a 8)4＝(2×4)4＝212.故选C.
突破点二 导数的几何意义
[基本知识]
函数f (x )在点x 0处 的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0,y 0)处的切线的斜率．相应地,切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．特别地,如果曲线y ＝f (x )在点(x 0,y 0)处的切线垂直于x 轴,则此时导数f ′(x 0)不存在,由切线定义可知,切线方程为x ＝x 0.
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
(1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (2)求曲线过点P 的切线时P 点一定是切点．( ) 答案：(1)√ (2)× 二、填空题
1．已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ,b ∈R),若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0,则a ＋b ＝________.
解析：由题意,得f ′(x )＝a ln x ＋a ,所以f ′(1)＝a ,因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0,所以a ＝2,又f (1)＝b ,则2×1－b ＝0,所以b ＝2,故a ＋b ＝4.
答案：4
2．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________． 解析：∵y ′＝
1x ln 2,∴切线的斜率k ＝1ln 2,∴切线方程为y ＝1ln 2
(x －1),∴所求三角形的面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝1
2
log 2e.
答案：1
2
log 2e
3．设函数f (x )＝g ????x 2＋x 2,曲线y ＝g (x )在点(1,g (1))处的切线方程为9x ＋y －1＝0,则曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为________．
解析：由已知得g′(1)＝－9,g(1)＝－8,
又f′(x)＝1
2g′?
?
?
?x
2＋2x,
∴f′(2)＝1
2g′(1)＋4＝－
9
2＋4＝－
1
2,f(2)＝g(1)＋4＝－4,
∴所求切线方程为y＋4＝－1
2(x－2),即x＋2y＋6＝0.
答案：x＋2y＋6＝0
[全析考法]
考法一求切线方程
“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的,后者A必为切点,前者未必是切点．曲线在某点处的切线,若有,则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．
[例1]已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f (x )在点(2,f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2,－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5, ∴f ′(2)＝1,又f (2)＝－2,
∴曲线f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2,即x －y －4＝0.
(2)设切点坐标为(x 0,x 30－4x 2
0＋5x 0－4),
∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5,
∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2),
又切线过点(x 0,x 30－4x 20＋5x 0－4),
∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0
－2), 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0, 解得x 0＝2或x 0＝1,
∴经过点A (2,－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. [方法技巧]
求切线方程问题的2种类型及方法
(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0,y 0)处的切线方程：点P (x 0,y 0)为切点,切线斜率为k ＝f ′(x 0),有唯一的一条切线,对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0,y 0)的切线方程：切线经过点P ,点P 可能是切点,也可能不是切点,这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点,利用“待定切点法”,即：
①设切点A (x 1,y 1),则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；
②根据题意知点P (x 0,y 0)在切线上,点A (x 1,y 1)在曲线y ＝f (x )上,得到方程组
?????
y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，
求出切点A (x 1,y 1),代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1),化简即得所求的切线方程．
考法二 求切点坐标
[例2] (2019·柳州一模)已知函数f (x )＝e 2x －
1,直线l 过点(0,－e)且与曲线y ＝f (x )相切,则切点的横坐标为( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．e －
1
[解析] 设切点为(x 0,e 2x 0－1
),∵f ′(x )＝2e 2x －1
,∴2e 2x 0
－1
＝e 2x 0－
1＋e
x 0
,化简得2x 0－1＝e2－
2x 0.令y ＝2x －1－e 2
－2x
,则y ′＝2＋2e 2
－2x
>0.∵x ＝1时,y ＝0,∴x 0＝1.故选A.
[答案] A [方法技巧]
求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
考法三 求参数值或范围
[例3] (1)已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1,1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直,则a 的值为( )
A ．－1
B ．1
C ．3
D ．－3
(2)(2019·乐山调研)已知曲线f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1存在两条斜率为3的切线,则实数a 的取值范围是( )
A.????3，72 B ．(3,＋∞) C.?
???－∞，72 D ．(0,3)
[解析] (1)由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上, 所以f (1)＝1,即a ln 1＋b ×12＝1,解得b ＝1, 所以f (x )＝a ln x ＋x 2, 故f ′(x )＝a
x
＋2x .
则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2, 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直, 所以a ＋2＝－1,即a ＝－3. (2)由题得f ′(x )＝2e 2x －2e x ＋a ,