第33课时 四边形综合
【例题精讲】
例题1．如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠DAB 交DC 于点E ，连接BE ，过E 作EF ⊥BE 交AD 于F ． (1)求证：∠DEF ＝∠CBE ；
(2)请找出图中与EB 相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由．
例题2．如图，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=6cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且EF=2BE ，则S △AFC 2
cm ．
例题3．如图,矩形纸片ABCD 中,AB =8,将纸片折叠,使顶点B 落在边AD 的E 点上,BG =10.
(1)当折痕的另一端F 在AB 边上时,如图(1).求△EFG 的面积.
(2)当折痕的另一端F 在AD 边上时,如图(2).证明四边形BGEF 为菱形,并求出折痕GF 的长.
例题4．如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的
两个动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：△BDE ≌△BCF ；
（2）判断△BEF 的形状，并说明理由； （3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.
A B C D E F A B C
D E F
G B
C
D
E F G 图（1）
图（2）
A D C E F G
B 思考与收获
例题5．在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N ．
（1）如图（1），当点M 在AB 边上时，连接BN ． ①求证：ABN ADN △≌△；
②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =α，求点M 到AD 的距离及tan α的值； （2）如图（2），若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）． 试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形．
【当堂检测】 1. 如图所示，正方形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上两点，
连接BE 、BF 、DE 、DF ，则添加下列哪一个条件可以判定
四边形BEDF 是菱形（ ）
A 、∠1=∠2
B 、BE =DF
C 、∠EDF =60°
D 、AB =AF 2. 如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面
积分别为5和11，则b 的面积为（ ） A ．4 B ．6 C ．16 D ．55
3. 如图，矩形ABCD 的周长是20cm ，以AB 、CD 为边向外作正方形ABEF 和正方形ADGH ，若正方形
ABEF 和ADGH 的面积之和68cm 2,那么矩形ABCD 的面积是（ ） A ．21cm 2 B ．16cm 2
C ．24cm 2
D ．9cm 2
4.如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 ．
5．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，点G 、H 在DC 边上，且GH=2
1
DC ．若AB=10，BC=12,则图中阴影部分面积是多少？
C B M
A
N
D
图1
C M B
N
A
D
图2
a b
c l A B
D C
E F
1
2 G
D E A
C
F G H B
C
D A
P
H G F
E
D C
B
A
第1题图 第2题图
第3题图 第4题图
第5题图
第7题图 【课后作业】 一、选择题
1.下列说法不正确的是（ ）
A ．有一个角是直角的菱形是正方形
B ．两条对角线相等的菱形是正方形
C ．对角线互相垂直的矩形是正方形
D ．四条边都相等的四边形是正方形 2．在同一平面内，用两个边长为a 的等边三角形纸片(纸片不能裁剪)可以拼成的四边形是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．梯形 3．把矩形纸条ABCD 沿EF GH ，同时折叠，B C ，两点恰好落在AD 边的P 点处，若
90FPH =∠，8PF =，6PH =，则矩形
ABCD 的边BC 长为（ ）
A ．20
B ．22
C ．24
D ．30 4. 如图，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C '
处，BC '交AD 于E ，若22.5DBC ∠=°，则在不添加任何辅
助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（ ）A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个
二、填空题
5.如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE=6㎝，sinA=
5
3
，则菱形ABCD 的面积是__________㎝2．
6.在如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则12+=∠∠
_______度．
7．将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为 ．
8.如图，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点． 9.如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是 ．（结果可用根号表示）
10.如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米.
1
2 50° 第6题图 A E P D G H F B A C
D
A B
E
C ' D
C
22.5 第5题图 D C B A E 第3题图 第4题图
C
A
F
D
E B
G 2
6
B F C
A H D
E G
第8题图
第10题图
第9题图
三、解答题
11.如图，正方形ABCD 中，E 与F 分别是AD 、BC 上一点．在①AE CF =、②BE ∥DF 、③12∠=∠中，请选择其中一个条件，证明BE DF =．
（1）你选择的条件是 （只需填写序号）； （2）证明：
12.如图，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)请在所给的网格内画出以线段AB 、BC 为边的菱形ABCD ；
(2)填空：菱形ABCD 的面积等于_________．
13.已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．
当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=．
（1）当M A N ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN
之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当M A N ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
反思与提高
A
B
C
C F A
B D
E 1
2
B
B
M
B
C
N
C
N
M C
N
M 图1
图2
图3
A
A
A
D
D
D 第11题图
第12题图