高三数学总复习讲义——三角函数性质与图像
知识清单：
arcsin ,22a ππ??
∈-????
、[]arccos 0,a π∈、arc tan (,)22a ππ∈-
注意：反三角数符号只表示．．．这个范围的角，其他范围的角需要用诱导公式变到这个范围.备注：
以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．．
. 函数sin()y A x ω?=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x
=????→图例变化为
②sin()y A x ω?=+(A >0,ω>0)相应地，
①的单调增区间2,222
k k ππππ??-++??
?
?
???→变为
222
2
k x k π
π
πω?π-
+++≤≤
的解集是②的增区间.
注:
⑴)sin(
?ω+=x y 或cos()y x ω?=+（0≠ω）的周期ω
π
2=T ;
⑵sin()y x ω?=+的对称轴方程是2
x k π
π=+
（Z k ∈），对称中心(,0)k π；
cos()y x ω?=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2
k ππ+；
)tan(?ω+=x y 的对称中心（
0,2
π
k ）.
课前预习
1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 . 2． 函数1π2sin()2
3
y x =+的最小正周期T = ． 3．函数sin 2
x
y =的最小正周期是（ ） (A)
2
π
(B)π (C) 2π (D) 4π 4．函数]),0[)(26
sin(2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间是( )
(A)]3,0[π (B)]127,12[ππ (C) ]65,3[ππ (D)],6
5[ππ
5．函数2
2cos()()363
y x x πππ=-≤≤的最小值是（ ）
()2A -
()B ()1C - ()1D
6．为了得到函数)6
2sin(π
-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）
(A)向右平移6π个单位长度 (B)向右平移3π
个单位长度
(C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3
π
个单位长度
7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象
上所有点向左平移3
π
个单位，所得图象的解析式是__________________.
8．
函数sin y x x =在区间[0,2
π
]的最小值为______.
9．适合13sin ,,32x x ππ??
=-∈????的角x 是（ ）
1()arcsin()3A - 1()arcsin 3B - 1()2arcsin()3C π+- 1
()arcsin()3D π--
10．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +
32
5
（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；
⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。
11．求函数f (x )=12
1log cos()34x π
+的单调递增区间
12．求3arctan 2arctan 1arctan ++的值. 典型例题
EG1、三角函数图像变换
将函数1
2cos()32
y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？
变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4
y x π
=-的图像？
变式2：将函数12cos()26
y x π
=-的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？
变式3：将函数1sin(2)33
y x π
=
+的图像作怎样的变换可以得到函数sin y x =的图像？ EG2、三角函数图像
函数sin()(0,0,02)y A x A ω?ω?π=+>><<一个周期的图像如图所示，试确定A ，,ω?的值．
变式1：已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ?????
?=+< ??????
?的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最
小正周期T 和初相?分别为（ ） Ａ．6T =，π6?=
Ｂ．6T =，π3?= Ｃ．6πT =，π6?= Ｄ．6πT =，π
3
?= 变式2：函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2??
-????
，的简图是（ ）
变式3：如图，函数π
2cos()(0)2
y x x ωθθ=+∈R ，≤
≤ 的图象与y
轴交于点(0
求θ和ω的值． EG3、三角函数性质
求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时x (1) 34sin(2)23
y x π
π=+； (2) 6sin(2.52)2y x =-++
变式1：已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ??
-????
上的最小值是2-，则ω的最小值等
于 （ ）
（A ）23 （B ）3
2
（C ）2 （D ）3
变式2：函数y =2sin x 的单调增区间是（ ）
A ．［2k π－
2π，2k π＋2π］（k ∈Z ）B ．［2k π＋2π
，2k π＋2
3π］（k ∈Z ） C ．［2k π－π，2k π］（k ∈Z ）D ．［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ） 变式3：关于x 的函数f （x ）=sin （x +?）有以下命题：
①对任意的?，f （x ）都是非奇非偶函数； ②不存在?，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数； ③存在?，使f （x ）是奇函数； ④对任意的?，f （x ）都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_____.因为当?=_____时，该命题的结论不成立。
变式4、函数()12sin 4f x x π?
?= ??
?＋的最小正周期是 .
变式5、下列函数中，既是（0，
2
π
）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( ) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2
变式6、已知??
????∈2,0πx ，求函数)125cos()12cos(x x y +--=ππ的值域 变式7、已知函数12
()log (sin cos )f x x x =-
⑴求它的定义域和值域；
⑵求它的单调区间；
⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性.
EG4、三角函数的简单应用
电流I 随时间t 变化的关系式sin I A t ω=，[)0,t ∈+∞，设10ωπ= /rad s ，5A =．
(1) 求电流I 变化的周期；
(2) 当11310,
,,,20010020050
t =(单位s )时，求电流I ．
变式1：已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ω?=+．
（１）右图是sin()I A t ω?=+（ω＞0，||2
π?<） 在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()I A t ω?=+的解析式；
（２）如果t 在任意一段1
150
秒的时间内，电流sin()I A t ω?=+都能取得最大值和最小值，
那么ω的最小正整数值是多少？
变式2：如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似
满足函数y =A sin （ωx ＋?）＋b . （Ⅰ）求这段时间的最大温差；
（Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．
变式3：如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，离开平
衡位置O 的距离s 厘米和时间t 秒的函数关系为6sin(2)6
s t π
π=+.
（1）单摆摆动5秒时，离开平衡位置多少厘米？
（2）单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为多少厘米？ （3）单摆来回摆动10次所需的时间为多少秒？ EG5、三角恒等变换
(1sin cos )(sin cos )
θθ
θθ++- 变式1：函数y ＝
x
x cos sin 21
++的最大值是（ ）．
A.22－1
B.
2＋1 C.1－2
2
D.－1－
2
2
变式
2：已知
cos 2π2
sin 4αα=-
?
?- ?
?
?cos sin αα+的值．
变式3：已知函数2π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??
∈????
，．求()f x 的最大值和最小值．
实战训练
1．方程sin x ax =（a 为常数，0a ≠）的所有根的和为 ． 2．函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期为
3．若函数)sin()(?ω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则?ω和的取值是( )
(A)3,1
π?ω== (B)3,1π?ω-== (C)6,21π?ω== (D)6
,21π
?ω-==
4. 函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是_____
5．函数)(2cos 2
1
cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于
6．（07年浙江卷理2）若函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R （其中0ω>，2
?π
<
）的最小正周期是π，且(0)f = ）
A ．126ω?π==，
B ．123ω?π==，
C ．26ω?π==，
D ．23
ω?π
==，
7．（2007年辽宁卷7）．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y
f x =--的图象，则向量a =（ ）
A ．(12)-，
B ．(12)，
C ．(12)-，
D ．(12)-，
8．（2007年江西卷文2）．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为（ ）
Ａ．π4 Ｂ．π2
Ｃ．π Ｄ．2π
9．（2007年江西卷文8）．若π
02
x <<，则下列命题正确的是（ ）
Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3
sin π
x x >
10．（2007年湖北卷理2）．将π
2cos 36x
y ??=+ ??
?
的图象按向量π
24
??
=-- ??
?
，
a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）
Ａ．π
2cos 234x
y ??=+- ??
?
Ｂ．π
2cos 234x
y ??=-+ ??
?
Ｃ．π
2cos 2312x
y ??=-- ??
?
Ｄ．π
2cos 2312
x
y ??
=++ ??
?
11．（2007年海南宁夏卷理3）．函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2??-????
，的简图是（ ）
12．（2007年广东卷理3）．若函数2
1()sin ()2
f x x x R =-∈，则f(x)是
（A ）最小正周期为
2
π
的奇函数； （B ）最小正周期为π的奇函数； （C ）最小正周期为2π的偶函数； （D ）最小正周期为π的偶函数；
13．（2007年福建卷理5）．已知函数()sin (0)f x x ωωπ?
?=+> ?3?
?的最小正周期为π，则该函
数的图象（ ）
A ．关于点0π??
?3??
，对称
B ．关于直线x π=4对称
C ．关于点0π??
?4??
，对称 D ．关于直线x π=3对称
14．（2007年福建卷文5）．函数πsin 23y x ?
?=+ ??
?的图象（ ）
Ａ．关于点π03??
???
，对称
Ｂ．关于直线π4x =对称 Ｃ．关于点π04??
???
，对称 Ｄ．关于直线π3x =对称
x
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
15．（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为
2
π
的是（ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4
x
y = D ．cos 4y x =
16．（2007年江苏卷5）．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（ ）
A ．5[,]6ππ--
B ．5[,]66ππ--
C ．[,0]3π-
D ．[,0]6
π
-
17．（2007年天津卷文9）设函数()sin ()3f x x x π?
?=+∈ ??
?R ，则()f x （ ）
A ．在区间2736ππ??
????
，上是增函数 B ．在区间2π??-π-????，上是减函数
C ．在区间84ππ??????，上是增函数
D ．在区间536ππ??
????
，上是减函数
18．（07年山东卷文4）．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π?
?=- ?3?
?的图象（ ）
A ．向右平移π6个单位
B ．向右平移π
3个单位
C ．向左平移π3个单位
D ．向左平移π
6
个单位
19．（07年全国卷二理2）．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ??- ?44??
，
B ．3ππ?? ?44??
，
C ．3π??π ?2??
，
D ．32π??π ?2??，
20．（2007年全国卷一理12）函数22()cos 2cos 2
x
f x x =-的一个单调增区间是（ ）
A ．233ππ?? ???，
B ．62ππ?? ???，
C ．03π?? ???，
D ．66ππ??- ???
，
21．（2007年安徽卷理6）函数π
()3sin(2)3
f x x =-的图象为
①图象C 关于直线π1211
=x 对称;
②函灶)(x f 在区间)12
π
5,12π(-内是增函数;
③由x y 2sin 3=的图象向右平移3
π
个单位长度可以得到图象C .
其中正确的个数有（ ）个
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
22．（2007年北京卷文3）．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是（ ）
Ａ．π2 Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π
23．（2007年四川）下面有五个命题： ①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π.
②终边在y 轴上的角的集合是{|,}2
k a a k Z π
=∈ ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y =x 的图象有三个公共点.
④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π
π+=
⑤函数sin()0.2
y x π
π=-在[，]上是减函数
其中真命题的序号是 （写出所有真命题的编号） 24．（07年重庆卷理）设f (x) = x x 2sin 3cos 62- （1）求f(x)的最大值及最小正周期；
（2）若锐角α满足323)(-=αf ，求tan α5
4
的值。
24．（2007年重庆卷文）（18）已知函数
)
2
sin(42cos 2π
π+
?
?? ?
?
-x x 。
（Ⅰ）求f (x )的定义域； （Ⅱ）若角a 在第一象限且）。（求a f a ,5
3
cos =
25．(2007年辽宁卷19）．（本小题满分12分）
已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω???
?=++--∈ ? ?????
R ，（其中0ω>）
（I ）求函数()f x 的值域；
（II ）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为π
2
，求函数()y f x =的
单调增区间．
26．已知函数x x x f cos sin )(-=，R x ∈．
（1）求函数)(x f 在]2,0[π内的单调递增区间；
（2）若函数)(x f 在0x x =处取到最大值，求)3()2()(000x f x f x f ++的值；
（3）若x e x g =)(（R x ∈），求证：方程)()(x g x f =在[)+∞,0内没有实数解． （参考数据：69.02ln =，14.3≈π）
实战训练B
1.（全国一8）为得到函数πcos 23y x ?
?=+ ??
?的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）
A ．向左平移5π12个长度单位
B ．向右平移5π
12个长度单位
C ．向左平移5π6个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
2.（全国二8）若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，
则MN 的最大值为（ ）
A ．1 B
C
D ．2
4.
（四川卷５）若02,sin απαα≤≤，则α的取值范围是：( )
A ,32ππ?? ???
B ,3ππ?? ???
C 4,33ππ?? ???
D 3,32ππ?? ???
5.（天津卷6）把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3
π
个单位长度，再
把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是
A sin(2)3y x π=-，x R ∈
B sin()26x y π
=+，x R ∈
C sin(2)3y x π=+，x R ∈
D sin(2)3
2y x π
=+，x R ∈
6.（天津卷9）设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7
c π
=，则
A c b a <<
B a c b <<
C a c b <<
D b a c <<
7.（安徽卷5）将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12
π
-中
心对称，则向量α的坐标可能为（ ）
A ．(,0)12π-
B ．(,0)6π-
C ．(,0)12π
D ．(,0)6
π
8.（湖北卷5）将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3
π
平移得到图象F ',若F '的一条对
称轴是直线4x π
=,则θ的一个可能取值是
A. π125
B. π125-
C. π12
11 D. 1112π-
9.（湖南卷6）函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ??
????
上的最大值是( )
A.1 C.
3
2
10.（重庆卷10)函数f(x)
02x π≤≤) 的值域是
A[-
2
] ]
] 11.（福建卷9)函数f (x )=cos x (x )(x ∈R )的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象，则m 的值可以为
A.2π
B.π
C.－π
D.－ 2
π 12.（浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(2
32cos(ππ
，
∈+=x x y 的图象和直线2
1
=y 的交点个数是
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4
13.（海南卷1）已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ ）
A. 1
B. 2
C. 1/2
D. 1/3
14.（上海卷6）函数f (x )＝3sin x +sin(π
2
+x )的最大值是
15.（江苏卷1）()cos 6f x x πω?
?=- ??
?的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ．
16.（广东卷12）已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ．
17.（辽宁卷16）已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ??????=+>= ? ? ???????，，且()f x 在区间63ππ??
???
，有
最小值，无最大值，则ω＝__________． 18．（北京卷15）．（本小题共13分）
已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω?
?=++ ??
?（0ω>）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03??
????
，上的取值范围．
19．（四川卷17）．（本小题满分12分）
求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。 20．（天津卷17）（本小题满分12分）
已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2
π
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．
21．（安徽卷17）．已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-+-+
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域
22．（山东卷17）已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ω??ω?ωπx x 为偶函数，且
函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2
π
（Ⅰ）f （8
π
）的值；
（Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长
到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.
23．（湖北卷16）.已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12
f t
g x x f x x f x x π
π=
=?+?∈ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ω?++（0A >，0ω>，[0,2)?π∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.
24．（陕西卷17）．（本小题满分12分）
已知函数2()2sin cos 444
x x x
f x =-．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令π()3g x f x ?
?=+ ??
?，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．
25．（广东卷16）．已知函数()sin()(00π)f x A x A ??=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图
像经过点π132M ??
???
，．
（1）求()f x 的解析式；
（2）已知π02αβ??
∈ ???
，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．
三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z) 3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. 《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇 函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草 图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = 专题九三角函数图像与性质．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 ．三角函数的单调区间： 的递增区间是，递减区间是 ； 的递增区间是，递减区间是， 的递增区间是， ．函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 ．由＝的图象变换出＝(ω＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进 行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换 (伸缩变换) 先将＝的图象向左(＞)或向右(＜＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞)，便得＝(ω＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将＝的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞)，再沿轴向左(＞)或向右(＜＝平移 个单位，便得＝(ω＋)的图象。 ．由＝(ω＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式（ω）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，）作为突破口， 要从图象的升降情况找准 ．．第一个零点的位置。 ．对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 ．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； ．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 ．五点法作（ω）的简图： 五点取法是设ω，由取、、π、、π来求相应的值及对应的值，再描点作图。 四．典例解析 x ?正弦、余弦、正切函数图象和性质 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 -5 3 7 ~2~ ” - 丁1 T V x 2*伽 -4 -7 -3 ' 、一 -2 -3 - -1 o '2 5 3 J. ‘ 4 2 2 2 y=ta nx J J J 1 Jr jr y y ； 1 1 / / / I ? r / / / y\ y=cotx 1 1 1 \ i 1 ! i I 1 3f-2 1 f J 1 J f f o 2 f I \ I i 1 I L o I I X2 1 三角函数的性质 1定义域与值域 2、奇偶性 (1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y= tanx ；偶函数：y= cosx. ⑺八黒 ' -型三角函数的奇偶性 （i）g（x 丄^ 丁（x€ R） (x)为偶函数- U 山呂in（曲+ 训+ P =」tan （处: + &） +匕尸二（处卄洞+& 的周期为91 . （2）认知 （i ） ?卜巳-，?| 型函数的周期 y = pisin (伽+ 剑| j = A cos(d&r+ 4?)| 的周期为 7T y = |j4tan(dft + 训,y=血 ot 〔伽 + 训 的周期为 ? = |了（曲+卩）+円往无0）的周期 》=|￡血（血工+朝胡』=|1（：0￡（处+?+上| y = |^tan(&r + ^) +円 j =凶诃(你+昉+刈 的周期为’； 7T 的周期为'? 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数 的周期不变?注意这一点与（i ）的区别? （ii ） 若函数为-’二 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ） 探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明 ? （3）特殊情形研究 y 二门」 彳J 的解析式施加绝对值后，该函 JT (i) y = tanx — cotx 的最小正周期为 ； y = sin z|+|co5z| 7T 的最小正周期为二； 7T （iii ） y = sin 4X + cos 4x 的最小正周期为 二. 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 . 4、单调性 （1） 基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： ① 选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期； ② 写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③ 获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 . 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域 （2） 』— 丁 型三角函数的单调区间 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数 高三数学三角函数专题训练 1.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12 个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 3.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变），得到的图 象所表示的函数是( ) A .sin(2)3 y x π =-，x R ∈ B.sin( ) 2 6 x y π =+ ，x R ∈ C.s in (2)3 y x π =+，x R ∈ D.sin(2) 3 2y x π=+ ，x R ∈ 4.设5sin 7 a π=，2cos 7 b π=，2tan 7 c π=，则( ) A.c b a << B.a c b << C.a c b << D.b a c << 5.将函数sin(2)3 y x π =+ 的图象按向量α 平移后所得的图象关于点(,0) 12 π - 中 心对称，则向量α的坐标可能为（ ） A ．(,0)12π - B ．(,0)6 π - C ．( ,0)12 π D ．( ,0)6 π 6.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+ 在区间 ,42ππ?? ???? 上的最大值是( ) A.1 B.13 2 + C. 3 2 D.1+ 3 7.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =( ) A.2 1 B. 2 C.2 1- D.2- 一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 . 故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( ) 高一数学 三角函数的图像和性质练习题 1．若cosx=0，则角x 等于( ) A ．k π（k ∈Z ） B ． 2π+k π（k ∈Z ） C ．2π+2k π（k ∈Z ） D ．－2π+2k π（k ∈Z ） 2．使cosx=m m -+11有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．m ≤0 C ．－1＜m ＜1 D ．m ＜－1或m ＞1 3．函数y=3cos （ 52x －6π）的最小正周期是( ) A ．5 π2 B ．2π5 C ．2π D ．5π 4．函数y=2sin 2x+2cosx －3的最大值是( ) A ．－1 B ．21 C ．－21 D ．－5 5．下列函数中，同时满足①在（0， 2π）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y=tanx B ．y=cosx C ．y=tan 2x D ．y=|sinx| 6．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象做以下平移得到（ ） A.向右平移π6 B. 向左平移 π12 C. 向右平移 π12 D. 向左平移π6 7．函数y=sin(π4 -2x)的单调增区间是（ ） A. [kπ-3π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) B. [kπ+π8 , kπ+5π8 ] (k∈Z) C. [kπ-π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) D. [kπ+3π8 , kπ+7π8 ] (k∈Z) 8．函数 y=15 sin2x 图象的一条对称轴是（ ） A.x= - π2 B. x= - π4 C. x = π8 D. x= - 5π4 9．函数 y=15 sin(3x-π3 ) 的定义域是__________，值域是________，最小正周期是________，振幅是________，频率是________，初相是_________． 10．函数y=sin2x 的图象向左平移 π6 ，所得的曲线对应的函数解析式是____ _____． 11．关于函数f(x)=4sin(2x+π3 )，(x∈R)，有下列命题： （1）y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π6 ); （2）y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； （3）y=f(x)的图象关于点(-π6 ,0)对称; （4）y=f(x)的图象关于直线x=-π6 对称;其中正确的命题序号是___________． 12． 已知函数y=3sin （21x －4 π）. （1）用“五点法”作函数的图象； （2）说出此图象是由y=sinx 的图象经过怎样的变化得到的； （3）求此函数的最小正周期； （4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 13. 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ）＋2的图象的一部分，求它的振幅、最小正周期和初 相。 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 三角函数专题辅导 课程安排 制作者：程国辉 专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时：4-5学时 学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式： sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 三角函数的图像和性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)，)1,2 (π ，(π，0)，) 1,23( -π，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π ，(2π，1)． 2．三角函数的图象和性质 (1)周期性 函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π |ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周 期为π |ω|. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式． 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； (2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 双基自测 1．函数)3cos(π +=x y ，x ∈R ( )． A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．既不是奇函数也不是偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数) 4 tan( x y -=π 的定义域为( )． A ． } ,4 |{Z k k x x ∈- ≠π π B ．},4 2|{Z k k x x ∈-≠π π C ．},4 |{Z k k x x ∈+ ≠π π D ．},4 2|{Z k k x x ∈+ ≠π π 3．)4sin(π -=x y 的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B ．)0,4 3(π- C ．)0,2 3( π D ．)0,2 (π 4．函数f (x )＝cos )6 2(π + x 的最小正周期为________． 考向一 三角函数的周期 【例1】?求下列函数的周期： (1)) 2 3 sin( x y π π - =；(2))6 3tan(π -=x y 考向二 三角函数的定义域与值域 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： 高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =α sin ； r x = αcos ； x y = α tan ； y x = α cot ； x r = α sec ；. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o 三角函数的性质与图像（学案） 一、 学习目标 1、“五点法”画函数sin()y A x ω?=+的图像. 2、图像变换规律. 3、由函数图像或性质求解析式. 重点：围绕三角函数图像变换、五点作图求函数解析式. 难点：图像变换中的左右平移变换中平移量的确定. 二、 学习过程 1、高考考点分析 2、知识梳理： （1）用“五点法”画sin()y A x ω?=+一个周期的简图时，要找出 五个关键点。 填写表格： （2）三角函数图像的变化规律： （3）函数sin()y A x ω?=+的物理意义： （4）由函数sin()y A x k ω?=++图像求函数解析式的步骤和方法： ①A 的确定： ②k 的确定： ③ω的确定： ④?的确定： 三、基础训练 1、函数sin(2)3 y x π =+的最小正周期为（ ） A. 4π B. 2π C. π D. 2 π 2、将函数2sin(2)6 y x π =+的图像向右平移14 个周期后，所得图像 对应的函数为（ ） A. 2sin(2)6 y x π=+ B. 2sin(2)3 y x π =+ C. 2sin(2)4 y x π=- D. 2sin(2)3 y x π =- 3、为了得到sin()3 y x π =+的图像，只需把函数sin y x =的图像上所 有的点（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向上平移3π个单位 D ．向下平移3 π 个单位 4、函数2cos2y x x +的最小正周期为（ ） A ． 2 π B .23π C. π D. 2π 四、范例导航 题型一：三角函数的图象 例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ） 变式练习．（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ） 题型二：函数sin()y A x ω?=+图像及变换 例2、已知函数2sin(2)3 y x π =+ （1）求它的振幅、周期、初相。 （2）用五点作图法作它在一个周期内的图像。 （3）试说明2sin(2)3 y x π =+的图像可由sin y x =的图像经过 怎样的变换得到？ 列表： 【本讲教育信息】 一.教学内容： 三角函数的图象与性质 二.教学目的： 了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝A sin（ωx＋φ），y＝A cos（ωx ＋φ）的周期为。 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，并能根据图象理解正弦函 数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－，）上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等）。 了解三角函数y＝A sin（ωx+φ）的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出y＝A sin（ωx+φ）的简图，能由正弦曲线y＝sin x通过平移、伸缩变换得到y＝A sin（ωx+φ）的图象。 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 三.教学重点：三角函数的性质与运用 教学难点：三角函数的性质与运用。 四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是， 的递增区间是， 3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象 与直线的交点都是该图象的对称中心。 4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5.由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 6.对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8.求三角函数周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 高考三角函数 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α x y + O — — + x y O — + + — + y O — + + — 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：α α cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质高中数学三角函数基础知识点及答案
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