中考数学函数及其图象
复习教案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2 O y x -1-2-3-3-2-1231132（＋，－）（＋，＋）?（－，－）（－，＋）?????) b - , a - () b , a - () b - , a (第三篇 函数及其图象 专题九 平面直角坐标系
一、考点扫描
一、平面直角坐标系
1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；
2. 各象限点的坐标的符号；
3. 坐标轴上的点的坐标特征。
4. 点P （a ，b ）关于 对称点的坐标
5、两点之间的距离
6、线段AB 的中点C ，若),(),,(),,(002211y x C y x B y x A 则2,2210210y y y x x x +=+= 二、函数的概念 1、概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2.自变量的取值范围： （1）使解析式有意义 （2）实际问题具有实际意义 3.函数的表示方法； （1）解析法 （2）列表法 （3）图象法 二、考点训练 1、若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b －a ，a －b ）在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2、点P （－1，－3）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） （A ）（－1，3） （B ）（1，3） （C ）（3，－1） （D ）（1，－3） 3、（2005年重庆市）点A （m-4，1-2m ）在第三象限，则m 的取值范围是（ ） A ．m>12 B ．m<4 C ．12
5、菱形边长为6，一个内角为120°，它的对角线与两
坐标轴重合，则菱形四个顶点的坐标分别是
6、（2006年南京市）在平面直角坐标系中，
ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C 的坐标是（ ）
A ．（3，7）
B ．（5，3）
C ．（7，3）
D ．（8，2）
??
????????原点轴轴y x 21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝， ， ，， 21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝， ，，，22122121222111)()()()()3(y y x x P P y x P y x P -+-＝，，，，
(第6题) (第7题)
7、（2006年长春市）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，?若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）
A．（a，-b） B．（b，a） C．（-b，a） D．（-a，b）
8、（2006年贵阳市）小明根据邻居家的故事写了一道小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y?表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，?那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（）
三、例题剖析
1、（06年益阳）在平面直角坐标系中，点A、B、C 的
坐标分别为A（-?2，1），B（-3，-1），C（1，-1）．若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是________．
2、（2006年绍兴市）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…P2006的位置，则P2006的横坐标X2006=_______．
3、（2006年茂名市）如图，在平面直角坐标系XOY
中，直角梯形OABC，BC∥AO，A（-2，0），B
（-1，1），将直角梯形OABC绕点O顺时针旋转
90°后，点A、B、C分别落在A′、B′、C′处．请你
解答下列问题：
（1）在如图直角坐标系XOY中画出旋转后的
梯形O′A′B′C′．
（2）求点A旋转到A′所经过的弧形路线长．
4、（2006年烟台市）先将一矩形ABCD置于直角坐
标系中，使点A?与坐标系中原点重合，边AB、
AD分别落在x轴、y轴上（如图1），?再将此矩
形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如
图2），若AB=4，BC=3，则图1和图2中点B的
坐标为______，点C?的坐标为_______．
四、综合应用
1、2006年常州市）在平面直角坐标系中描出下列各
点A（2，1），B（0，1），C（-4，3），D（6，
3），并将各点用线段依次连接构成一个四边形
ABCD．
（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？
（2）在四边形ABCD内找一点P，使得△APB、△
BPC、△CPD、△APD?都是等腰三角形，请写出P
点的坐标．
3
4
专题十 一次函数及反比例函数其应用
一、考点扫描
1、一次函数
(1)、一次函数及其图象
如果y=kx+b （k ，b 是常数，k ≠0），那么，y 叫做x 的一次函数。
特别地，如果y=kx （k 是常数，k ≠0），那么，y 叫做x 的正比例函数
一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线
(2)、一次函数的性质
当k>0时y 随x 的增大而增大，当k<0时，y 随x 的增大而减小。
1、反比例函数
(1) 反比例函数及其图象
如果)0,(≠=k k x k y 是常数,那么，y 是x 的反比例函数。
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象
（2）反比例函数的性质 当K>0时，图象的两个分支分别在一、二、三象限内，在每个象限内， y 随x 的增大而减小； 当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。 3.待定系数法 先设出式子中的未知数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法可用待定系数法求一次函数、二次函数和反比例函数的解析式 二、考点训练 1、若函数y=（m 2-1）x 235m m +-为反比例函数，则m=________． 2、若一次函数y=2x 222m m --+m-2的图象经过第一、第二、三象限，则m= ． 3、（2006年常德市）已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，
y 2），P 3（x 3，y 3）是反比例函数y=?的图象上的三
点，且x 1 （k<0）的图像分别交于A 、B 两点，若A 点的坐标为（a ，b ），则B 点的坐标为（ ） A ．（a ，b ） B ．（b ，a ） C ．（-b ，-a ） D ．（-a ，-b ） 5 （第5题） （第6题） 6、（06年长春市）如图，双曲线y= 8x 的一个分支为（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 7、如图，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B 两点，则kx+b>0的解集是（ ） A ．x>0 B ．x>2 C ．x>-3 D ．-3 8、（2006年贵阳市）函数y 1=x+1与y 2=ax+b 的图象如图所示，?这两个函数的交点在y 轴上，那么y 1、y 2的值都大于零的x 的取值范围是_______． 9、（2005年杭州市）已知一次函数y=kx-k ，若y 随x 的增大而减小，则该函数的图像经过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限 10、（2006年绍兴市）如图，一次函数y=x+5的图象经过点P （a ，b ）和点Q （c ，d ），?则a （c-d ）-b （c-d ）的值为________． 11、（2006年重庆市）如图，已知函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P ， 则根据图象可得，关于y ax b y kx =+??=?的二元一次方程组的解是________． 12、（2006年安徽省）一次函数的图象过点（-1，0），且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数的解析式：___________． 三、例题剖析 1、（2006年南京市）某块试验田里的农作物每天的需水量y （千克）与生长时间x （天）之间的关系如折线图所示．?这些农作物在第10?天、?第30?天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克． （1）分别求出x ≤40和x ≥40时y 与x 之间的关系式； （2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时，需要进行人工灌溉，?那么应从第几天开始进行人工灌溉？ 2、（2006年吉林省）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，? 利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作： 请根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球量筒中水面升高_______cm ； （2）求放入小球后量筒中水面的高度y （cm ）与小球个数x （个）?之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 3、（06年烟台市）如图，一次函数y=kx+b的图象与 反比例函数y= m x 图象交于A（-2，1），B（1，n） 两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 4、（2006年重庆市）如图，矩形AOCB的两边OC、OA 分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为B（-20 3 ， 5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_________． 5、（2006年伊春市）某工厂用一种自动控制加工机 制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加 工过程；加工过程中，当油箱中油量为10升时，? 机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继 续加工，如此往复．已知机器需运行185分钟才能 将这批工件加工完．下图是油箱中油量y（升）与 机器运行时间x（分）之间的函数图象．根据图象 回答下列问题： （1）求在第一个加工过程中，油箱中油量y（升）与 机器运行时间x（分）之间的函数关系式（不必写 出自变量x的取值范围）； （2）机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止？ （3）加工完这批工件，机器耗油多少升？ 6 中考数学分类试题 函数及其图象 考点1：常量与变量、函数的意义、 相关知识： 1．常量与变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在某一变化过程中保持数值不变的量叫做常量． 2．函数：在某一变化过程中的两个变量x 和y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值和它对应，那么y 就叫做x 的函数，其中x 做自变量，y 是因变量． 考点2：函数自变量取值范围 相关知识：函数自变量的取值范围必须也只要同时考虑以下几点： 1.整式函数自变量的取值范围是全体实数． 2.分式函数自变量的取值范围是使分母不为0的实数． 3.二次根式函数自变量的取值范围是使被开方数是非负数的实数。 4.若涉及实际问题的函数，除满足上述要求外还要使实际问题有意义． 1. （2011湖北十堰，2，3分）函数4y x 中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B.x≥4 C.x≤4 D.x＞4 【答案】B 2. （2011四川广安，13，3分）函数5Y =-中自变量x 的取值范围是____ 【答案】x ≤2 3．（2011四川眉山，3，3分）函数y= 2 x 1 -中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≠一2 B ．x ≠2 C. x <2 D ．x >2 【答案】B 4. （2011广西来宾，3，3分）使函数1 x y x = +有意义的取值范围是（ ） A.1x ≠- B. 1x ≠ C. x ≠1且x ≠0 D.1x ≠- 且x ≠0 【答案】 A 5. （2011内蒙古呼和浩特市，11,3分）函数y =中，自变量x 的取值范围___________. 【答案】3x >- 6. （2011贵州毕节，8，3分）函数1 2 -+= x x y 中自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≥-2 B ．x ≥-2且x ≠1 C．x ≠1 D．x ≥-2或x ≠1 【答案】B 7. （2011内蒙古包头，4，3分）函数3 2 +-=x x y 中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥2且x≠－3 B ．x≥2 C ．x ＞2 D ．x≥2且x≠0 【答案】B 8. （201１四川广元，9，3分）在函数 y = x 的取值范围在数轴上表示为（ ） 函数及其图象 易错点1：求函数自变量取值范围时注意：①二次根式中被开方数为非负数；②分式中分母不等于零；零指数幂中底数不等于零. 易错题：使函数y＝ 1 (1)(2) x x -+ 有意义的自变量x的取值范围是 _____________. 错解：x＞﹣2 正解：x＞﹣2且x≠1 赏析：本题错误的原因是对分式中分母不为零的条件没有考虑全面，分式中分母不为零的条件应是x≠﹣2且x≠1.本题中的函数应满足被开方数为非负数且分母不为零这两个条件，同时要与不等式的解集综合求解. 易错点2：在函数解析式中混淆各个待定系数表示的意义，如一次函数y＝kx+b（k≠0）中的k、b；二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的a、b、c. 易错题：在一次函数y＝（2－k）x＋1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是_________. 错解：k＞0 正解：k＞2 赏析：错误的原因是以为﹣k是一次项的系数，由﹣k＜0得到错解.本题中一次项系数应是2－k，由2－k＜0得到正解. 易错点3：用待定系数法求函数解析式时由条件建立错误从而使求解不正确. 易错题：将直线y＝﹣3x－4向左平移2个单位长度后，其解析式为___________________. 错解：y＝﹣3x－6 正解：y＝﹣3x－10 赏析：本题可设平移后函数解析式为y＝kx+b，由平移中平行的关系可得k＝﹣3,错误的原因是由向左平移2个单位长度得到错误条件直线过点（﹣2,0），代入解析式从而求得错解.正确的解法是：先由平行得k＝﹣3，再由直线y＝﹣3x－4过点（0，﹣4），将此点 向左平移2个单位长度得到点（﹣2，﹣4），再把点（﹣2，﹣4）及k＝﹣3代入所设解析式从而求得正解. 易错点4：利用图象求不等式（组）的解集与方程（组）的解时，混淆函数图象的增减性与解（解集）的关系. 易错题：已知一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝m x （m≠0）的图象相交于A、B 两点，其横坐标分别是﹣1和3，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是……………………（） A.x＜﹣1或0＜x＜3 B.﹣1＜x＜0或0＜x＜3 C.﹣1＜x＜0或x＞3 D.0＜x＜3 错解：D 正解：A 赏析：错解的原因是对函数图象及其增减性的分析理解不够透彻，没有完全弄清楚图象增减性与不等式解集的关系，从而漏掉x的一部分取值范围.正确的解法是：由题目条件，画出两个函数的大致图象，如图： 2 以交点A、B及原点O为界，把两个函数图象各分成四个部分，从左到右每部分图象所对应的自变量取值范围依次是：①A点左侧：x＜﹣1；②点A与原点O之间：﹣1＜x＜0； ③原点O与B点之间：0＜x＜3；④B点右侧：x＞3.每部分中位于上方的图象所对应的函数值较大，因此，由y1＞y2可得，自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3. 易错点5：二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的位置与a，b，c的关系. 易错题：已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列说法：①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③当x＝1时，y＝2a；④am2＋bm＋a＞0（m≠﹣1）.其中正确的个数是…………………………………………………………………………………… 考点跟踪训练11 函数及其图象 一、选择题 1．(2011·广州)当实数x 的取值使得x －2有意义时，函数y ＝4x ＋1中y 的取值范围是( B ) A ．y ≥－7 B ．y ≥9 C ．y ＞9 D ．y ≤9 答案 解析 x －2≥0，x ≥2.由y ＝4x ＋1得x ＝y －14，y －1 4≥2，y －1≥8，y ≥9. 2．(2011·盐城)小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 图中的折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函数关系．下列说法错误的是( D ) A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min 答案 解析 公交车的速度应该是(8000－1000)÷(30－16)＝7000÷14＝500m/min ，而不是350m/min. 3．(2011·天津)一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A 以每分0.1元的价格按上网所用时间计算；方式B 除收月基费20元外，再以每分0.05元的价格按上网所用时间计费．若上网所用时间为x 分．计费为y 元，如图是在同一直角坐标系中，分别描述两种计费方式的函数的图象，有下列结论： ①图象甲描述的是方式A ： ②图象乙描述的是方式B ； ③当上网所用时间为500分时，选择方式B 省钱． 其中，正确结论的个数是( A ) A. 3 B．2 C．1 D. 0 答案 解析方式A：y A＝0.1x；方式B：y B＝0.05x＋20；当x＝400时，y A＝y B.当x>400时，y B 函数及其图像 典题探究 例1： 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y （千米）与快车行驶时间t （小时）之间的函数图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 例2： 2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利到家．其中x 表示童童从家出发后所用时间，y 表示童童离家的距离．下图能反映y 与x 的函数关系式的大致图象是（ ） 例3： 函数3 y x = -自变量x 取值范围是（ ） A ．1x ≥且3x ≠ B ．1x ≥ C ．3x ≠ D ． 1x >且3x ≠ 例4： 已知二次函数2 (1)y a x c =--的图像如图2所示，则一次函数y ax c =+的大致图像可能是（ ） A B C D 课后练习 A 组 【确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围】 1.函数1 2 y x =-的自变量x 的取值范围是 2.在函数1 2-=x x y 中，自变量x 的取值范围是______________________ 3.在函数52-=x y 中，自变量x 的取值范围是 4.在函数2 1-= x y 中，自变量x 的取值范围是___________________ 5. 函数y = 中，自变量x 的取值范围是 ． 6. 在函数x x y 2 -=中，自变量x 的取值范围是_______________________________ 7. 在函数y = 中，自变量x 的取值范围是 ． 【求函数值】 8.如果一次函数y=-x+b 经过（0，-4），则b= 9.函数1 3y x = +中，当x=-1时，y= 10. 函数21 y x =+x=-4时，y= 11.已知函数y=kx+b 的函数图像与y 轴交点的纵坐标为-5，且当x=1时，y=2,则x=3时， y= B 组 【用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系】 12.水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）向一个容器注水，最后把容器注满，在注 水过程中，水面高度h 随时间t 的变化规律如图所示（图中OABC 为一折线)，这个容器的形状是图中（ ） 13.如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回.点P 在运动过程 A . B C D 中考数学专题复习函数及其图像 考点3.1 位置与坐标 序号考查内容考查方式学习目标 考点 位置与坐 标坐标与象限 1、坐标值的几何意义 2、特殊点的坐标特征 3、两点之间距离的求法 4、能根据图形建立适当坐标系并写出关键点的坐标 5、能根据点的坐标值确定其余各点的坐标 6、用极坐标表示点的位置 考点3.2 函数的表示 序号考查内容考查方式学习目标 考点一函数的取值范围分式或根式何时有意义 考点二 函数及其图像实际问题与函数图像1、能根据具体情况识别函数图象 2、能从函数图象中读出关键信息 考点3.3 一次函数 序号考查内容考查方式学习目标 考点一一次函数 图像和性 质 一次函数图 像和性质综 合应用 1、能熟练判断出图像中的k b取值范围 2、能根据k,b的取值范围熟练画出函数图象的草图 3、能判断出函数图的共存 4、能用待定系数法熟练求出函数解析式过程完整 考点二 一次函数 的应用结合一次函 数图像解决 实际问题 1、能正确解释交点坐标在实际问题中的意义 2、能正确分割三角形和多边形的 面积进而求出其面积 3、能正确理解和应用简单的分段函数图象及其代表的意义 考点3.4 反比例函数 序号考查内容考查方式学习目标 考点一 反比例函数解析式 的确定确定比例系数 1、能从不同的表达式中分离出比例系数 2、能根据比例系数画出函数草图 待定系数法求解析式 利用比例系数的几何意义确定反 比例函数解析式 k值的几何意义反映到函数中要结合具体 的象限来确定值k 考点二反比例函数的应用 一次函数与反比例函数的综合应 用 考点3.5 二次函数 序号考查内容考查方式学习目标 考点一二次函数图像和性质确定二次函数图像的对称轴和 顶点、与x轴的交点的坐标 1、能准确化为一般形式，并指出其系数 2、能熟练进行配方写出其顶点坐标式 3、能熟练从三种解析式几个方面值的确定 考点二二次函数的应用画二次函数图像及应用能熟练画出草图并进行分析应用 考点三二次函数与实际问题 （二次函数的应用 题） 确定解析式、求极值（解答题）能根据已知条件熟练写出解析式，并进行五个方 面的相关计算 考点3.6 用函数观点看方程（组）和不等式 序号考查内容考查方式学习目标 考点一函数与方程二次函数与一元二次方程理解二次函数与一元二次方程的联系，并能正确地 将二次函数问题转化为一元二次方程，能用一元二 次方程的根解释图象中的交点坐标 考点二 函数与不等 式一次函数与一元一次不等式1、能根据图象正确判断不等式的解集 2、理解交点坐标的意义 3、能根据交点坐标正确写出方程或方程组反比例函数与不等式 一次函数、反比例函数与不等式同上 考点跟踪突破10函数及其图象一、选择题(每小题6分，共30分) 1．(2014·济宁)函数y＝ x x＋1 中自变量x的取值范围是( A ) A．x≥0 B．x≠－1 C．x＞3 D．x≥0且x≠－1 2．(2014·衡阳)小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家．如图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用的时间t(分)之间的函数关系．根据图象，下列信息错误的是( A ) A．小明看报用时8分钟 B．公共阅报栏距小明家200米 C．小明离家最远的距离为400米 D．小明从出发到回家共用时16分钟 3．(2014·白银)如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x(0.2≤x≤0.8)，EC＝y，则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是( C ) 4．(2013·玉林)均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满，在注水过程中，水面高度h 随时间t的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的( B ) 5．(2014·菏泽)如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系是( A ) 二、填空题(每小题6分，共30分) 6．(2014·凉山州)函数y ＝x ＋1＋2 x 中，自变量x 的取值范围是__x ≥－1且x ≠0__． 7．(2012·恩施)当x ＝__－2__时，函数y ＝3x 2－12 x －2 的值为零． 8．(2012·丽水)甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动，图中l 甲 、l 乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(千米)随时间t(分)变化的函数图象， 则每分钟乙比甲多行驶__3 5 __千米． 9．将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小 角为x 度，平行四边形中较大角为y 度，则y 与x 的关系式是__2y －x ＝180(或y ＝1 2 x ＋90)__． 10．(2014·金华)小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y(米)与时间t(分)的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行__80__米． 三、解答题(共40分) 11．(10分)某班师生组织植树活动，上午8时从学校出发，到植树地点植树后原路返校，如图为师生离校路程s 与时间t 之间的图象．请回答下列问题： (1)求师生何时回到学校？ (2)如果运送树苗的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进时，早半小时到达植树地点，请在图中，画出该三轮车运送树苗时，离校路程s 与时间t 之间的图象，并结合图象直接写出三轮车追上师生时，离学校的路程； (3)如果师生骑自行车上午8时出发，到植树地点后，植树需2小时，要求14时前返回到学校，往返平均速度分别为每时10 km ，8 km .现有A ，B ，C ，D 四个植树点与学校的路程分别是13 km ，15 km ，17 km ，19 km ，试通过计算说明哪几个植树点符合要求． 中考数学辅导之—锐角三角函数和函数的图像 一、学习目标： （一）1.理解锐角三角函数定义,会用锐角三角形定义列出函数关系式解直角三角形. 2.了解锐角三角函数的四个同角间的函数恒等式,并会解一些相关的题目. 3.理解锐角三角函数的性质,会比较在某个范围内正弦和正弦,正弦和余弦, 正切和正切,正切和余切的大小,及利用函数值的大小判断角的大小. 4.熟记特殊角的三角函数组,并会准确的计算. 5.会用解直角三角形的有关知识,解某些实际问题. （二）1.了解平面直角坐标系的有关概念,会由点的位置确定点的坐标,会由点的 坐标确定点的位置. 2.理解函数的意义,能根据一个具体的函数解析式,确定自变量的取值范围, 并会由自变量的值求出函数值. 3.掌握正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的概念及性质,会画出 图象. 4.能根据不同条件,用待定系数法求函数解析式. 二、基础知识及需说明的问题： 1.利用直角三角形边角之间的关系来解直角三角形,最主要的是记住定义。譬如说,我们要求直角三角形中一个锐角的度数,需根据已知条件是这个角的哪些边来选择函数定义,若已知直角三边形的一个锐角和一边长求另一边长也是如此. 2.正弦、正切函数都是增函数。即当角度在00-- 900间变化时，正弦、正切值随着角度的增大而增大。如：化简)450()cos (sin 002<<-ααα,我们先将此式由性质化简|cos sin |)cos (sin 2αααα-=-,然后看是αsin 大还是αcos 大.不妨在00450<<α中取040=α,则040sin sin =α,0050sin 40cos cos ==α（化成同 名三角函数）∵0050sin 40sin <,∴0 040cos 40sin <，这说明 ααc o s s i n <,0cos sin <-αα.∴α αααααsin cos |cos sin |)cos (sin 2-=-=-（负数的绝对值是其相反数）。再如:已知21 cos )cos 21(2-=-αα， 确定角α的 取值范围。∵21cos |cos 21|)cos 21(2-=-=-ααα,∴060cos cos 2 1cos ≥≥αα即, 因为余弦函数是随着角度的增大余弦值反而越小，∴060≤α. 3.在直角坐标系中,某个点的横坐标是该点向x 轴做垂线,垂足在x 轴所表示的那个实数,纵坐标是该点向y 轴作垂线,垂足在y 轴上表示的实数.点在x 轴上,纵坐标为0,即(x ,0).点在y 轴上,横坐标为0,即(0,y ).若两点关于x 轴对称, 则横坐标相同,纵坐标互为相反数. 若两点关于y 轴对称, 则纵坐标相同,横坐标互为相反. 若两点关于原点对称,则横坐标、纵坐标都互为相反数. 4.要注意结合图象理解：正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的 中考数学函数及其图像专题训练 1．函数y=中自变量x的取值范围是（） A．x≥﹣3 B．x≠5 C．x≥﹣3或x≠5 D．x≥﹣3且x≠5 2．正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞23．若点（﹣5，y1），（﹣3，y2），（3，y3）都在反比例函数图象上，则（） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 4．已知函数图象如图，以下结论，其中正确有（）个： ①m＜0； ②在每个分支上y随x的增大而增大； ③若A（﹣1，a），点B（2，b）在图象上，则a＜b ④若P（x，y）在图象上，则点P1（﹣x，﹣y）也在图象上． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+b的大致图象是（） A．B．C．D． 6．已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（） A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．5 7．若正比例函数为y=3x，则此正比例函数过（m，6），则m的值为（） A．﹣2 B．2 C．D． 8．洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）．在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆洗一遍的时间x（分）之间函数关系的图象大致为（） A． B． C． D． 9．若抛物线的图象经过A（0，3），B（2，0），C（0，﹣2），D（5，3）中的三个点，则关于该抛物线的 叙述正确的是（） A．不经过点 A B．不经过点 B C．开口向下D．顶点为（ 2.5，﹣0.125） 10．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣1）关于原点的对称点在第象限． 11．在函数y=中，自变量x的取值范围是． 13．将二次函数y=（x﹣2）2+3的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为． 14．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= ． 15．如图，△AOB与反比例函数交于C、D，△AO B的面积为6，若AC：CB=1：3，则反比例函数的表达式为． 16．因长期干旱,甲水库蓄水量降到了正常水位的最低值,为灌溉需要,由乙水库向甲水库匀速供水,20h后, 初三数学函数及其图象专题复习教案 魏县牙里中学母慧芹 第10－11周共计１０课时 教研组意见：审批时间： 一、总述 函数及其图象是初中数学的重要内容。函数与许多知识有深刻的内在联系，关联着丰富的几何知识，又是进一步学习的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，图表分析题形式多样，开放、探索题方兴未艾，函数在中考中占有重要的地位。 二、复习目标 1、理解平面直角坐标的有关概念，知道各象限及坐标轴上的点的坐标特征，能确定一点关于x轴、y轴或原点的对称点的坐标。 2、会从不同角度确定自变量的取值范围。 3、会用待定系数法求函数的解析式。 4、明确一次函数、二次函数和反比例函数的图象特征，知道图象形状、位置与解析式系数之间的关系。 5、会用一次函数和二次函数的知识解决一些实际问题。 三、知识要点 ( 不属于任何象限。 (二)一次函数 解析式：y = kx + b(k、b是常数，k ≠0)， 当b = 0时，是正比例函数。 (1)当k ＞0时，y 随x 的增大而增大； (2)当k ＜0时，y 随x 的增大而减小。 (三)二次函数 1、解析式： (1)一般式：y = ax2 + bx + c (a≠0 ); (2)顶点式：y = a ( x – m ) 2+ n ，顶点为(m , n); (3)交点式：y = a (x – x 1 ) ( x －x 2 )，与x 轴两交点是(x 1,0)，(x 2,0)。 2、抛物线位置由a 、b 、c 决定。 (1)a 决定抛物线的开口方向：a ＞0开口向上;a ＜0开口向下。 (2)c 决定抛物线与y 轴交点的位置： ① c ＞0图象与y 轴交点在x 轴上方； ② c ＝0图象过原点； ③ c ＜0图象与y 轴交点在x 轴下方。 (3)a 、b 决定抛物线对称轴的位置，对称轴a b x 2-=。 ① a 、b 同号对称轴在y 轴左侧； ② b = 0对称轴是y 轴； ③ a 、b 异号对称轴在y 轴右侧。(4)顶点)44,2(2a b a c a b --。 (5)△= b 2－4ac 决定抛物线与 x 轴交点情况： ① △＞0抛物线与 x 轴有两个不同交点； ② △＝0抛物线与 x 轴有唯一的公共点； ③ △＜0抛物线与 x 轴无公共点。(四)反比例函数 解析式：)0(≠=k x k y 。 (1)k ＞0时，图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小； (2)k ＜0时，图象的两个分支分别在二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大. 四、例题选讲 例1．为预防“非典”，小明家点艾条以净化空气，经测定艾条点燃后的长度y cm 与点燃时间 x 分钟之间的关系是一次函数，已知点燃6分钟后的长度为17.4 cm ，21分钟后的长度为8.4 cm 。 （1）求点燃10分钟后艾条的长度。 （2）点燃多少分钟后，艾条全部烧完。 解：（1）令 y=k ·x+b ， 当 x=6 时，y=17.4，当x=21时 y=8.4，则 215 3 +-=∴x y x y 之间的函数关系式为与 6k+b=17.4 21k+b=8.4 解得 21 53=-=b k 2021年江西省中考数学专题测试卷：函数及其图象综合 一、选择题 1．二次函数y ＝ax 2＋b (b ＞0)与反比例函数y ＝ a x 在同一坐标系中的图象可能是( ) 2．已知一个函数图象经过(1，－4)，(2，－2)两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是( ) A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．反比例函数 D ．二次函数 3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图89所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝c x 在同一平面直角坐标系内的图象大致为( ) 4．如图(1)，从矩形纸片AMEF 中剪去矩形BCDM 后，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DE ，EF 运动到点F 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图(2)所示，则图形ABCDEF 的面积是( ) A ．32 B ．34 C ．36 D ．48 5．已知整数x 满足－5≤x ≤5，y 1＝x ＋1，y 2＝－2x ＋4，对任意一个x ，m 都取y 1，y 2中的较小值，则m 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．24 D ．－9 6．如图30，正方形ABCD 的边长为3 cm ，动点P 从B 点出发以3 cm/s 的速度沿着边BC →CD →DA 运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发以1 cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达A 点停止运动，设P 点运动时间为x (s)，△BPQ 的面积为 y (cm 2)，则y 关于x 的函数图象是( ) A ． B ． C ． D ． 图89 A ． B ． C ． D ． E D M B A F C 图(1) 图(2) 图# Q 图30 A ． B ． C ． D ． s 中考数学函数及其图象 复习教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 O y x -1-2-3-3-2-1231132（＋，－）（＋，＋）?（－，－）（－，＋）?????) b - , a - () b , a - () b - , a (第三篇 函数及其图象 专题九 平面直角坐标系 一、考点扫描 一、平面直角坐标系 1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应； 2. 各象限点的坐标的符号； 3. 坐标轴上的点的坐标特征。 4. 点P （a ，b ）关于 对称点的坐标 5、两点之间的距离 6、线段AB 的中点C ，若),(),,(),,(002211y x C y x B y x A 则2,2210210y y y x x x +=+= 二、函数的概念 1、概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2.自变量的取值范围： （1）使解析式有意义 （2）实际问题具有实际意义 3.函数的表示方法； （1）解析法 （2）列表法 （3）图象法 二、考点训练 1、若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b －a ，a －b ）在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2、点P （－1，－3）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） （A ）（－1，3） （B ）（1，3） （C ）（3，－1） （D ）（1，－3） 3、（2005年重庆市）点A （m-4，1-2m ）在第三象限，则m 的取值范围是（ ） A ．m>12 B ．m<4 C ．12 中考练习函数及其图象 一、选择题： 1．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如右图所示。若返回时上坡、下坡的速度仍 保持不变，那么小明从学校骑 车回家用的时间是（） A、37.2分钟 B、48分钟 C、30分钟 D、33分钟 2．一次函数y＝x＋1的图象经过（） A、第一、二、三象限 B、第一、三、四象限 C、第一、二、四象限 D、第二、三、四象限 3．下列图象中，表示直线y＝x－1的是（） 4．已知反比例函数y＝m－5 x的图像在第二、四象限，则m的取值范围是（）。 A、m≥5 B、m>5 C、m≤5 D、m<5 5．在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时， 气体的密度ρ也随之改变。ρ与V在一定范围内满足ρ＝m V，它的图像如图所示， 则该气体的质量m为（） A、1.4kg B、5kg C、6.4kg D、7kg 6．若反比例函数y＝k x的图像经过点（－1，2），则这个函数的图像一定经过 点（） A、（2，－1） B、（－1 2，2）C、（－2，－1）D、（ 1 2，2） 7．如果点M在直线1 y x =-上，则M点的坐标可以是（）A．（－1，0）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，－1） 8．一次函数1 y x =--不经过的象限是（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 9．直线y＝－3 2x＋3与x轴、y轴所围成的三角形的面积为（） A．3 B．6 C．3 4D． 3 2 10．下列图象中，以方程220 y x --=的解为坐标的点组成的图象是（） A ． B ． C ． D ． 11．抛物线24y x =+与y 轴的交点坐标是（ ） A 、（4，0） B 、（－4，0） C 、（0，－4） D 、（0，4）． 12．将(21)(2)1y x x =-++化成()y a x m n 2=++的形式为（ ） A ．23252416y x ??=+- ??? B ．2 317248y x ??=-- ?? ? C ．2317248y x ??=+- ??? D ．2317248y x ??=++ ??? 13．一个运动员打尔夫球，若球的飞行高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的函数表达式为()21301090 y x =--+，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（ ） A ．10m B ．20m C ．30m D ．60m 14．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A ．y ＝2a (x －1) B ．y ＝2a (1－x ) C ．y ＝a (1－x 2) D ．y ＝a (1－x )2 二、填空题： 15．在函数y ＝1x －2 ＋x 中，自变量x 的取值范围是＿＿＿＿＿。 16．已知函数y ＝－2x ＋3，当x ＝－1时，y ＝＿＿＿。 17．某音像公司对外出租光盘的收费方法是：每张光盘出租后的前2天每天收费0.8元，以后每天收费0.5元，一张光盘在出租后第x 天（n>2且为整数）应收费y 元，则y 与x 的函数关系式是＿＿＿＿。 18．某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p （Pa ）与受力面 积S （m 2）之间的函数关系如图所示，这一函数表达式为p ＝ ． 19．如图，P 是反比例 函数图像在第二象限内的一点。且矩 形PEOF 的面积为3，则反比例函数 的关系式为＿＿＿＿。 20．大连市内与庄河两地之间的距离为160千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从大连市内开往庄河，则汽车距庄河的路程y （千米）与行驶的时间x （小时）之间的函数关系式为＿＿＿＿。 21．某公司销售人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系， 图像如图所示，则此销售人员的销售量为3千件时的月收入是＿＿＿元。 22．如图，已知函 x y O x y O x y O x y O 1 2 1 －2 －1 2 2 1 y x O F E P 第八章函数及其图象 ★重点★正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。 ☆内容提要☆ 一、平面直角坐标系 1.各象限内点的坐标的特点 2.坐标轴上点的坐标的特点 3.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点 4.坐标平面内点与有序实数对的对应关系 二、函数 1.表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。 2.确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有 意义。 3.画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。 三、几种特殊函数 (定义→图象→性质) 1.正比例函数 ⑴定义：y=kx(k≠0)或y/x=k。 ⑵图象：直线(过原点) ⑶性质：①k>0，…②k<0，… 2.一次函数 ⑴定义：y=kx+b(k≠0) ⑵图象：直线过点(0,b)—与y轴的交点和(-b/k,0)—与x轴的交点。 ⑶性质：①k>0,…②k<0,… ⑷图象的四种情况： 3.二次函数 ⑴定义： 特殊地，都是二次函数。 ⑵图象：抛物线(用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点)。用配方法变为，则顶点为(h,k);对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。 ⑶性质：a>0时，在对称轴左侧…，右侧…;a<0时，在对称轴左侧…，右侧…。 4.反比例函数 ⑴定义：或xy=k(k≠0)。 ⑵图象：双曲线(两支)—用描点法画出。 ⑶性质：①k>0时，图象位于…，y随x…;②k<0时，图象位于…，y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。 四、重要解题方法 1.用待定系数法求解析式(列方程[组]求解)。对求二次函数的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。如下图： 2.利用图象一次(正比例)函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。 中考数学函数及其图像总复习教案 第三章函数及其图像课时11. 平面直角坐标系与函数的概念【考点链接】1. 坐标平面内的点与______________一一对应．2. 根据点所在位置填表（图）点的位置横坐标符号纵坐标符号第一象限第二象限第三象限第四象限3. 轴上的点______坐标为0, 轴上的点______坐标为0. 4．各象限角平分线上的点的坐标特征⑴第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标。⑵第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标。5. P(x,y)关于轴对称的点坐标为__________，关于轴对称的点坐标为________，关于原点对称的点坐标为 ___________. 以上特征可归纳为：⑴关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标；⑵关于y轴对称的两点：横坐标，纵坐标相同； ⑶关于原点对称的两点：横、纵坐标均。6. 描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________．7. 函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________．8. 求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义。 ⑴自变量以整式形式出现，它的取值范围是；⑵自变量以分式形式出现，它的取值范围是；⑶自变量以根式形式出现，它的取值范围是；例如：有意义，则自变量x的取值范围是 . 有意义，则自变量的取值范围是。 【河北三年中考试题】1.（2008年，2分）如图4，正方形的 边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形的顶点上，且它们的各边与正方形各边平行或垂直．若小正方形的边长为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是（）2.（2009年，2分）如图6所示的计算程序中，y 与x之间的函数关系所对应的图象应为（）3.（2010年，2分）一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为5 km/h．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t（h），航行的路程为s （km），则s与t的函数图象大致是（）课时12. 一次函数【考点链接】1．正比例函数的一般形式是 __________．一次函数的一般形式是__________________. 2. 一次函数的图象是经过和两点的一条 . 3. 求一次函数的解析式的方法是，其基本步骤是：⑴；⑵；⑶；⑷ . 4.一次函数的图象与性质k、b的符号k＞0b＞0 k＞0 b＜0 k＜0 b＞0 k＜0b ＜0 图像的大致位置 经过象限第象限第象限第象限第象限性质y随x的增大而y随x的增大而y随x的增大而y随x的增大而5. 一次函数的性质k＞0 直线上升y随x的增大而；k＜0 直线下降y随x 的增大而 . 【河北三年中考试题】1.（2008年，8分）如图11，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．（1） 中考数学专题复习——函数及其图象 考点1：直角坐标系 例1、2008年5月12日，在四川省汶川县发生8.0级特大地震，能够准确表示汶川这个地点位置的是（ ） A 、北纬31° B 、东经103.5° C 、金华的西北方向上 D 、北纬31°，东经103.5° 考点2：函数的概念 例2 、函数y =x 的取值范围是______________。 例3、函数1x y x -=中，自变量x 的取值范围是______________。 考点3：一次函数 例4、如图，直线AB 对应的函数表达式是（ A ．3y x 32 =-+ B ．3 y x 32=+ C ．2 y x 33 =-+ D ．2 y x 33 = + 例5、如图，直线y ＝kx ＋b 经过A (―2，―1)和B (―3，0)两点，则不等式组1 2 x ＜kx ＋b ＜0的解集为___________。 考点4：反比例函数 例6、如果点（3，－4）在反比例函数k y x =的图象上，那么 下列各点在此函数图象上的是（ ） A 、（3，4） B 、（―2，―6） C 、（―2，6） D 、（―3，―4） 考点5：二次函数 例7、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （其中a ＞0，b ＞0，c ＜0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上； ②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧。 以上说法正确的个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 考点6：综合 例8、下列图中阴影部分的面积与算式2 131242-?? -++ ??? 的结果相同的是（ ） 例9、已知抛物线y ＝x 2－2x ＋c 的部分图象如图所示。 图1 图2 （1）求c 的取值范围； （2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线y x x c 12 2= -+的解析式； （3）若反比例函数y k x 2= 的图象经过（2）中抛物线上点（1，a ），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较y 1与y 2的大小。 例10、如图，对称轴为直线7 2 x = 的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4） （1）求抛物线解析式及顶点坐标；中考数学分类试题 函数及其图象
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