知识点11：组合变形
一、组合变形
１．杆件同时发生两种或两种以上的基本变形时，称为组合变形。 ２．计算组合变形问题，是以杆件发生“小变形”为前提，在此条件下，不同基本变形所引起的应力和变形，各自独立，互不影响，可以应用叠加原理。即先根据各内力分量分别计算杆件在每一种基本变形下的应力和变形，再把计算结果叠加，得到杆件在原载荷作用下的应力和变形。
二、 斜弯曲
１．当梁所受到的横向力不在梁的主惯性平面内时，梁将发生斜弯曲。斜弯曲是梁在其两个主惯性平面内弯曲的组合变形。
2．对于圆形、正方形等截面梁，其截面对两个主惯性轴的惯性矩相等，不会发生斜弯曲。
3．当梁的载荷不通过截面的弯曲中心时，除斜弯曲外，梁还发生扭转变形。 4．图11-1所示矩形截面悬臂梁受横向力Ｆ作用，把力Ｆ沿y 轴和z 轴分解，梁将在xy 和xz 两个主惯性平面内弯曲。
图11-1
xy 平面内的弯曲应力：
y I M z
z
=
'σ xz 平面内的弯曲应力：
z I M y
y =
''σ
组合变形（斜弯曲）的应力： z I M y I M y
y z z
+=''+'=σσσ 5．斜弯曲的中性轴方程
0=+z I M y I M y
y z z
中性轴通过截面形心，但和载荷作用平面不垂直。距中性轴最远的点处正应力最大。
6．斜弯曲时梁的弯曲平面和载荷作用平面不在同一平面，但弯曲平面和中性轴相垂直。
三、拉伸（压缩）与弯曲的组合
1．杆件受拉伸（压缩）与弯曲组合时，弯曲变形的中性轴位置将偏移。 2. 杆在拉伸（压缩）与弯曲的组合变形时，分别计算拉伸（压缩）正应力和弯曲正应力，叠加后进行强度计算。
3．拉伸（压缩）时，横截面的正应力： A
N
N =σ
弯曲时，横截面的最大拉压正应力：
W
M M ±
=σ 拉伸（压缩）与弯曲的组合，横截面的最大拉压正应力： W
M
A N ±=σ
4．杆件受偏心拉伸（压缩）时，其截面上存在称为截面核心的区域，当偏心轴向力作用在截面核心内时，截面上只产生拉应力（或压应力）。截面核心在工程上有很大的意义。
四、圆杆的弯曲与扭转组合变形
1．当圆杆发生两面弯曲与扭转的组合变形时，不能求出两个平面弯曲的最大正应力后，进行叠加得到圆杆的最大正应力，而应先求出两平面弯曲的合成弯矩，再求其最大弯曲正应力。
2. 图11-2为受弯曲与扭转组合变形构件危险点的应力状态，图中 弯曲正应力：
W
M
=
σ 扭转切应力： P
W Mz
=τ
图11-2
3．对于弯曲与扭转组合变形构件危险点的应力状态，可得第三强度理论的强度条件和第四强度理论的强度条件：
[]στσσ≤+=2234xd
[]στσσ≤+=2243xd
4．注意到圆杆的ＷＰ＝２Ｗ，可得到圆杆弯曲和扭转组合变形以内力表示的强度条件：
[]σσ≤+=
2231
n xd M M W
[]σσ≤+=224
75.01n xd M M W
五、难题解析
【例1】有一木质拉杆如图11-3所示，截面原为边长a 的正方形，拉力P F 与杆轴重和，后因使用上的需要，在杆长的某一段范围内开一
2
a
宽的切口，如图11-3所示，试求m m -截面上的最大拉应力和最大压应力，以及这最大拉应力是截面削弱前的拉应力值的几倍？
图11-3
解：截面削弱后最大拉应力为
2222max
8262
)2(614a F a F a F a a F a a a
F A F W M p p p p p N =+=?+?
=+=+σ
截面削弱后的最大压应力为
222max
426a
F a F a F A F W M p p p N =-=-=-
σ
截面削弱前的拉应力为
21a
F A F p N
==
σ 截面削弱前后拉应力之比为：
882
21max
==+
a F a F p p
σσ
【例2】如图11-4所示折杆，AB 段为圆截面，BC AB ⊥，若AB 杆直径
mm d 100=，材料的许用应力MPa 80][=σ。试按第三强度理论确定许用载荷][F 。
图11-4
解：将外力向AB 杆轴线简化，得到一个力F '和力偶e M ，即
F M F F e '=='1200；
力F '使轴产生弯曲变形，力偶e M 使轴发生扭转变形。危险截面上的扭矩和弯矩分别为
F M F M n '='=2.12.1；
由
][212002
23σσ≤=+=
z
z n xd W F
W M M
kN N W F z 63.42
120080
10032
21200]
[3=??=≤
π
σ
故许用载荷][F 为kN 63.4。
第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解 [习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=， kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同，故只计算最大拉应力： 式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3 102cm W z =，3 1.16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363 63363max =?=???+?????=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为 m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。试校核梁的强度和刚度。
解：（1）强度校核 )/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =?== （正y 方向↓） )/(15.0230sin 0m kN q q z =?== （负z 方向←） )(464.34732.181 8122m kN l q M y zmaz ?=??== 出现在跨中截面 )(24181 8122m kN l q M z ymaz ?=??== 出现在跨中截面 )(51200016012061 61322mm bh W z =??== )(3840001201606 1 61322mm hb W y =??== 最大拉应力出现在左下角点上： y y z z W M W M max max max + = σ MPa mm mm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33 636max =??+??=σ 因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ< 所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。 （2）刚度校核 =
第十四章 组合变形 习 题 14?1 截面为20a 工字钢的简支梁，受力如图所示，外力F 通过截面的形心，且与y 轴成φ角。已知：F =10kN ，l =4m ，φ=15°，[σ]=160MPa ，试校核该梁的强度。 解：kN.m 104104 1 41=??== Fl M kN.m;58821510kN.m;65991510.sin φsin M M .cos φcos M M y z =?===?==οο 查附表得：3 3 cm 531cm 237.W ;W y z == 122.9MPa Pa 10912210 5311058821023710569966 3 63=?=??+??=+=--....W M W M σy y z z max []σσmax <，强度满足要求。 14?2 矩形截面木檩条，受力如图所示。已知：l =4m ，q =2kN/m ，E =9GPa ，[σ]=12MPa ， 4326'=οα，b =110mm ，h =200mm ，200 1][=l f 。试验算檩条的强度和刚度。 z
解：kN.m 4428 1 8122=??== ql M kN.m;789143264kN.m;578343264.sin φsin M M .cos φcos M M y z ='?==='?==οοm ...W ;m ...W y z 424210033411022061 10333722011061--?=??=?=??= MPa 329Pa 1032910 033410789110333710578364 343......W M W M σy y z z max =?=??+??=+=-- []σσmax <，强度满足要求。 m ...sin EI φsin ql f m ...cos EI φcos ql f y y z z 33 943433 943410931411022012 1 1093844326410253845100349220110121 1093844326410253845--?=?????'????==?=?????' ????= =οο mm ..f f f y z 4517104517322=?=+= - 200 1 2291< =l f ，所以挠度满足要求。 14?3 一矩形截面悬臂梁，如图所示，在自由端有一集中力F 作用，作用点通过截面的形心，与y 轴成φ角。已知：F =2kN ，l =2m ，φ=15°，[σ]=10MPa ，E =9GPa ，h/b =1.5，容许挠度为l /125，试选择梁的截面尺寸，并作刚度校核。 解： =M kN.m;0351154kN.m;8643154.sin φsin M M .cos φcos M M y z =?===?==οο []62 3 2310106 110035*********?=≤?+?=+=σhb .bh .W M W M σy y z z max 将h/b=1.5代入上式得：mm b 113≥;则mm h 170≥。 取b=110mm;h=170mm z
第十一章组合变形(习题解答)
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
10-3 试求图示[16a 简支梁由于自重作用所产生的最大正应力及同一截面上AB 两点的正应力。 (-) (-) (-) q q y 4.2m C φ o =20 (+) (+ ) ( +) q q z A B 解：(1)查表可矩[16a 的理论重量为17.24kg/m ，故该梁重均布载荷的集度为172.4N/m 。截面关于z 轴对称，而不关于y 轴称，查表可得： 364 6 4 0108cm 10810, 73.3cm 0.73310m ,63mm =0.063m , 1.8cm =0.018m z y W I b z --==?==?== ⑴外力分析： cos 172.4cos 20162.003/sin 172.4sin 2058.964/y z q q N m q q N m ??======o o ⑵内力分析：跨中为危险面。 32,max 32,max 11 162.003 4.2357.21788 11 58.964 4.2130.01688 z y y z M q l N m M q l N m ==??=?==??=? ⑶应力分析：A 、B 点应力分析如图所示。A 点具有最大正应力。 ,max ,max max 66 ,max ,max max 066 357.217130.016 (0.0630.018)11.29MPa 108100.73310 357.217130.016 0.018 6.50MPa 108100.73310y z A A z y y z B z y M M z W I M M z W I σσσ σ- --+ --==- -?=--?-=-??==+ + ?= +?=??max 11.29MPa A σσ==-
习 题 [8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=， kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因 钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力： y z y y z z W l F W l F l F W M W M 211max 2++? =+= σ 式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3102cm W z =，31.16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363 63363max =?=???+?????=--σ [8-2] 矩形截面木檩条的跨度m l 4=，荷载及截面尺寸如图所示，木材为杉木，弯曲许用正应力MPa 12][=σ，GPa E 9=，许可挠度200/][l w =。试校核檩条的强度和刚度。
图 习题?-2 8 解：（1）受力分析 )/(431.13426cos 6.1cos '0m kN q q y ===α )/(716.03426sin 6.1sin '0m kN q q z ===α (2)内力分析 )(432.14716.081 8122max ,m kN l q M z y ?=??=== )(864.24432.18 1 8122max ,m kN l q M y z ?=??=== （3）应力分析 最大的拉应力出现在跨中截面的右上角点，最大压应力出现在左下角点。 z z y y W M W M max ,max ,max + = + σ 式中，32 232266*********mm hb W y ≈?== 32 24693336 1601106mm bh W z ≈?== MPa mm mm N mm mm N 54.1046933310864.232266710432.13 636max =??+??=+ σ （4）强度分析 因为MPa 54.10max =+σ，MPa 12][=σ，即][max σσ<+，所以杉木的强度足够。 （5）变形分析 最大挠度出现在跨中，查表得： z y cy EI l q w 38454 = ，y z cz EI l q w 38454 =
第 9 章 组 合 变 形 9-1 试分析下列构件在指定截面A 的内力分量（判断基本变形） 解：（a ）拉伸与弯曲； （b ）压缩、扭转与两个方向的弯曲； （c ）压缩、扭转与两个方向的弯曲。 9-2 木制矩形截面悬臂梁受力如图，已知 F 1 = 0.8 kN ，F 2 = 1.65 kN ，木材的许用应力 [ σ ] =10 MPa ，若矩形 h ／b = 2 ，试确定其截面尺寸。 解：显然固定端是危险截面。 kNm 6.128.01=?==l F M y kNm 65.1165.12 2 =?==l F M z =+=+=2 2max 66bh M hb M W M W M z y z z y y σ ][)2 3 3(1 3 σ≤+ = z y M M b 代入数据得到 363mm 7275001010 65 .15.16.13=??+?≥ b ， mm 180h ,mm 90≥≥b 。 9-3 工字钢简支梁受力如图，已知 F = 7 kN ，[ σ ] =160 MPa ，试选择工字钢型号。（提示：先假定 W z ／W y 的比值进行试选，然后校核。） 解：显然中间截面是危险截面。 kNm 74 1 max == l F M kNm 394.220sin max == M M y ， kNm 578.620cos max == M M z （b ）车刀 （a ）机械 构件
][max σσ≤+ = z z y y W M W M 选 6=y z W W 试算 33cm 8.2110160 6394 .26578.6] [66=???+= +≥ σy z y M M W 查表取 16 号工字钢 W y = 21.2 cm 3 ，W z = 141 cm 3 校核强度 ][M Pa 15910)2 .21394 .2141578.6(3max σσ≤=?+=+ = z z y y W M W M 强度刚好够，所以选定 16 号工字钢。 9-4 证明斜弯曲时横截面仍然绕中性轴转动（提示：证明截面形心位移垂直于中性轴）。 证明：假设在任意相距很近 dx 的截面之间作用两个M y ，M z ，其中下标 y ，z 为截面 形心主惯性轴，中性轴方程由 0=- = y I M z I M z z y y σ 确定为 ?tan ==y z z y I M I M z y 两截面之间由M z 和M y 产生的相对位移分别为 2)(dx EI M dx d Y z z z =?=θ，2)(dx EI M dx d Z y y y -=?=θ， tan =-=z y y z I M I M Z Y 显然 tan α tan ? = -1 ，α = ?±90° 即截面形心位移与中性轴互相垂直。 [反证法] 假设斜弯曲时横截面绕非中性轴转动，则中性轴上的纵向纤维将有伸长或缩短，这与斜弯曲时横截面存在有中性轴的结论是相矛盾的。故斜弯曲时横截面绕中性轴转动。 9-5 证明对正多边形截面梁，横向力无论作用方向如何偏斜，只要力的作用线通过截面形心，都只产生平面弯曲。 证明：只要证明任意正多边形的形心坐标轴为形心主惯轴即可。现以正三角形为例，图中y 、z 轴为一对正交形心主轴，y 和y 1轴为对称轴，显然，I y = I y 1，I yz = 0；由式（A-13）有 β2cos 221y z y z y y I I I I I I -++== 即 z y y z y z I I I I I I =?=-?=--00)2cos 1(2β 设Y 、Z 为一对任意正交形心轴，由式（A-15）有 02cos 2sin 2 =+-=ααyz y z YZ I I I I 即任意形心轴都是主惯性轴，其惯性矩都相等，只可能发生平面弯曲，不会发生斜弯曲。 z
第十二章 组合变形的强度计算 思 考 题 1 何谓组合变形？如何计算组合变形杆件横截面上任一点的应力？ 2 何谓平面弯曲？何谓斜弯曲？二者有何区别？ 3 何谓单向偏心拉伸（压缩）？何谓双向偏心拉伸（压缩）？ 4 将斜弯曲、拉（压）弯组合及偏心拉伸（压缩）分解为基本变形时，如何确定各基本变形下正应力的正负？ 5 对斜弯曲和拉（压）弯组合变形杆进行强度计算时，为何只考虑正应力而不考虑剪应力？ 6 什么叫截面核心？为什么工程中将偏心压力控制在受压杆件的截面核心范围内？ 习 题 1 矩形截面悬臂梁受力如图所示，Ｆ通过截面形心且与ｙ轴成角，已知Ｆ＝1.2ｋN ，ｌ＝２ｍ，5.1, 12==?b h ?，材料的容许正应力［σ］＝10MPa ，试确定ｂ和ｈ的尺寸。 2 承受均布荷载作用的矩形截面简支梁如图所示，ｑ与ｙ轴成?角且通过形心，已知ｌ＝4ｍ，ｂ＝10ｃｍ，ｈ＝15ｃｍ，材料的容许应力［σ］＝10MPa ，试求梁能承受的最大分布荷载m ax q 。 题 1 图 题 2 图 3 如图所示斜梁横截面为正方形，a ＝10ｃｍ，Ｆ＝３ｋＮ作用在梁纵向对称平面内且为铅垂方向，试求斜梁最大拉压应力大小及其位置。
4 矩形截面杆受力如图所示，Ｆ 1和Ｆ2的作用线均与杆的轴线重合，Ｆ3作用在杆的对称平面内，已知Ｆ1＝5ｋN ，Ｆ2＝10ｋN ，Ｆ3.＝1.2ｋN ， ＝2ｍ，ｂ＝12cm ，ｈ=18cm ，试求杆中的最大压应力。 题 3 图 题 4 图 5 图为起重用悬臂式吊车，梁ＡＣ由№18工字钢制成，材料的许用正应力[σ] =100MPa 。当吊起物重（包括小车重）Ｑ＝25ｋＮ，并作用与梁的中点Ｄ时，试校核梁ＡＣ的强度。 6 柱截面为正方形，边长为ａ，顶端受轴向压力Ｆ作用，在右侧中部挖一个槽（如图），槽深4 a 。求开槽前后柱内的最大压应力值。 题 5 图 题 6 图 7 砖墙及其基础截面如图，设在1ｍ长的墙上有偏心力Ｆ＝40kN 的作用，试求截面1-1和2-2上的应力分布图。 8 矩形截面偏心受拉木杆，偏心力Ｆ＝160kN ，ｅ＝5cm ，［σ］＝10MPa ，矩形截面宽度ｂ＝16cm ，试确定木杆的截面高度ｈ
第十章 组合变形 10-2 图a 所示板件，b =20mm ， =5mm ，载荷F = 12 kN ，许用应力[] = 100 MPa ， 试求板边切口的允许深度x 。 题10-2图 解：在切口处切取左半段为研究对象（图b ），该处横截面上的轴力与弯矩分别为 F F =N )(a b F M -= (a) 显然， 2 22x b x b a -=-= (b) 将式(b)代入式(a)，得 2 Fx M = 切口段处于弯拉组合受力状态，该处横截面上的最大拉应力为 2 2N max 432(2a)6 22a Fx a F Fx a F W M A F δδδδσ+ =+=+= 根据强度要求，在极限情况下， ][4322 σδδ=+a Fx a F 将式(b)与相关数据代入上式，得 01039.61277.042=?+--x x 由此得切口的允许深度为 m m 20.5=x
10-3 图示矩形截面钢杆，用应变片测得上、下表面的纵向正应变分别为a ε=×10 -3 与b ε=×10-3 ，材料的弹性模量E =210GPa 。试绘横截面上的正应力分布图，并求拉力F 及其偏心距e 的数值。 题10-3图 解：1.求a σ和b σ 截面的上、下边缘处均处于单向受力状态，故有 MPa 84Pa 104.010210 MPa 210Pa 100.1102103 9 39=???===???==--b b a a E εσE εσ 偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性变化，据此即可绘出横截面上的正应力分布图，如图10-3所示。 图10-3 2．求F 和e 将F 平移至杆轴线，得 Fe M F F ==，N 于是有 a z a E εW Fe A F σ=+= E εW Fe A F σz b =-= 代入相关数据后，上述方程分别成为 26250240=+Fe F 10500240=-Fe F
第十四章 14-4试分别求出图示不等截面杆的绝对值最大的正应力，并作比较。 解题思路： （1）图（a ）下部属偏心压缩，按式（14-2）计算其绝对值最大的正应力，要正确计算式中 的弯曲截面系数； （2）图（b ）是轴向压缩，按式（7-1）计算其最大正应力值； （3）图（a ）中部属偏心压缩，按式（14-2）计算其绝对值最大的正应力，要正确计算式中 的弯曲截面系数。 答案：2a 34)(a F =σ，2 b )(a F =σ，2 c 8)(a F =σ 14-6某厂房一矩形截面的柱子受轴向压力1F 和偏心荷载2F 作用。已知kN 1001=F ， kN 452=F ，偏心距mm 200=e ，截面尺寸mm 300,mm 180==h b 。 （1）求柱内的最大拉、压应力；（2）如要求截面内不出现拉应力，且截面尺寸b 保持不变，此时h 应为多少？柱内的最大压应力为多大？ 解题思路： （1）立柱发生偏心压缩变形（压弯组合变形）； （2）计算立柱I-I 截面上的内力（轴力和弯矩）； （3）按式（14-2）计算立柱截面上的最大拉应力和最大压应力，要正确计算式中的弯曲截 面系数；
（4）将b 视为未知数，令立柱截面上的最大拉应力等于零，求解b 并计算此时的最大压应 力。 答案：（1）MPa 648.0m ax t =σ，MPa 018.6m ax c =σ （2）cm 2.37=h ，MPa 33.4m ax c =σ 14-9旋转式起重机由工字钢梁AB 及拉杆BC 组成，A 、B 、C 三处均可简化为铰链约束。起 重荷载kN 22P =F ，m 2=l 。已知MPa 100][=σ，试选择AB 梁的工字钢型号。 解题思路： （1）起重荷载移动到AB 跨中时是最不利情况； （2）研究AB 梁，求BC 杆的受力和A 支座的约束力。AB 梁发生压弯组合变形； （3）分析内力（轴力和弯矩），确定危险截面； （4）先按弯曲正应力强度条件（12-27）设计截面，选择AB 梁的工字钢型号； （5）再按式（14-2）计算危险截面的最大应力值，作强度校核。 答案：选16.No 工字钢 14-11图示圆截面悬臂梁中，集中力P1F 和P2F 分别作用在铅垂对称面和水平对称面内，并且 垂直于梁的轴线。已知N 800P1=F ，kN 6.1P2=F ，m 1=l ，许用应力MPa 160][=σ，试确定截面直径d 。 解题思路： （1）圆截面悬臂梁发生在两个互相垂直平面上的平面弯曲的组合变形； （2）分析弯矩y M 和z M ，确定危险截面及计算危险截面上的y M 和z M 值； （3）由式（14-15）计算危险截面的总弯矩值； （4）按弯曲正应力强度条件（12-27）设计截面，确定悬臂梁截面直径d 。 答案：mm 5.59≥d 14-13功率kW 8.8=P 的电动机轴以转速min /r 800=n 转动，胶带传动轮的直径
8-2 人字架及承受的荷载如图所示。试求m-m 截面上的最大正应力和A 点的正应力。 m 解：（1）外力分析，判变形。由对称性可知，A 、C 两处的约束反力为P/2 ，主动力、约束反力均在在纵向对称面内，简支折将发生压弯组合变形。引起弯曲的分力沿y 轴，中性轴z 过形心与对称轴y 轴垂直。 截面关于y 轴对称，形心及惯性矩 1122123 122 32 8444 A A 20010050200100(100100) 125A +A 200100+200100 200100200100(12550)12100200100200(300125100)12 3.0810 3.0810C z z z y y y I I I -+??+??+= ==???=+=+??-?++??--=?=?mm mm m (2)内力分析，判危险面：沿距B 端300毫米的m-m 横截面将人字架切开，取由左边部分为研究对象，受力如图所示。梁上各横截面上轴力为常数： ,m-m 250(1.80.3sin )(1.80.3202.5(k 22250cos =100(k ) 22y N P M P F ??= ?-=?-=?=?=N m) N (3)应力分析，判危险点，如右所示图 ①m-m 截面上边缘既有比下边缘较大的弯曲压应力，还有轴力应力的压应力，故该面上边缘是出现最大压应力。
m m max 33410010202.510(0.30.125)(Pa) 2.5115.06MPa 117.56MPa 2(0.20.1) 3.0810 N z F M y A I σ ---= +?-??=-?-=--=-???上② A 点是压缩区的点，故 m m 334 10010202.510(0.30.1250.1)(Pa) 2.549.31MPa 51.83MPa 2(0.20.1) 3.0810N a a z F M y A I σ--= +?-??=-?--=--=-???注意：最大拉应力出现在下边缘 m m max 3 3 4 10010202.510 0.125(Pa) 2.582.18MPa 79.68MPa 2(0.20.1) 3.0810N z F M y A I σ ---=+?-??= +?=-+=???下 8-3 图示起重机的最大起吊重量为W=35kN ，横梁AC 由两根NO.18槽钢组成。 材料为Q235，许用应力[σ]=120MPa 。试校核横梁的强度。 (a ) Ay (b) 解：〈1〉外力分析：外力在纵向对称面内与轴斜交，故梁AC 发生压弯组合变形。对C 取矩BA 杆所受拉力为： 70(3.5) ()0sin 30 3.535(3.5)070203.5 C AB AB x m F F x F x ?-=→?-?-=→= -∑=kN 2〉内力分析： 轴力、弯矩均是x 的函数
习题 [8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l8.0 =，kN F5.2 1 =，kN F0.1 2 =，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力： y z y y z z W l F W l F l F W M W M 2 1 1 max 2+ + ? = + = σ 式中， z W， y W由14号工字钢，查型钢表得到3 102cm W z =，3 1. 16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1. 79 10 1. 79 10 1. 16 8.0 10 0.1 10 102 2 8.0 10 5.2 3 6 3 6 3 3 6 3 max = ? = ? ? ? + ? ? ? ? ? = - - σ [8-2]矩形截面木檩条的跨度m l4 =，荷载及截面尺寸如图所示，木材为杉木，弯曲许用正应力MPa 12 ] [= σ，GPa E9 =，许可挠度200 / ] [l w=。试校核檩条的强度和刚度。
图 习题?-2 8 解：（1）受力分析 )/(431.13426cos 6.1cos '0m kN q q y ===α )/(716.03426sin 6.1sin '0m kN q q z ===α (2)内力分析 )(432.14716.081 8122max ,m kN l q M z y ?=??=== )(864.24432.18 1 8122max ,m kN l q M y z ?=??=== （3）应力分析 最大的拉应力出现在跨中截面的右上角点，最大压应力出现在左下角点。 z z y y W M W M max ,max ,max + = + σ 式中，32 232266*********mm hb W y ≈?== 32 24693336 1601106mm bh W z ≈?== MPa mm mm N mm mm N 54.1046933310864.232266710432.13 636max =??+??=+ σ （4）强度分析 因为MPa 54.10max =+σ，MPa 12][=σ，即][max σσ<+，所以杉木的强度足够。 （5）变形分析 最大挠度出现在跨中，查表得： z y cy EI l q w 38454 = ，y z cz EI l q w 38454 =
第十二章 组合变形 习 题 12.1 矩形截面杆受力如图所示。已知kN 8.01=F ，kN 65.12=F ，mm 90=b ， mm 180=h ，材料的许用应力[]MPa 10=σ，试校核此梁的强度。 题12.1图 解：危险点在固定端 max y z z y M M W W σ= + max 6.69[]10MPa MPa σσ=<= 12.2 受集度为q 的均布载荷作用的矩形截面简支梁，其载荷作用面与梁的纵向对称面间的夹角为0 30=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量GPa 10=E ；梁的尺寸为 m 4=l ， mm 160=h ，mm 120=b ；许用应力[]M Pa 12=σ；许可挠度[]150 l w = 。试校核梁的强度和刚度。 题12.2图 22zmax 11 cos3088y M q l q l ==?解： 22ymax 11 sin 3088 z M q l q l ==?
22 ymax zmax 2 211 cos30sin 308866 z y q l q l M M bh bh W W σ??= +=+ 26cos30sin 30 ()8ql bh h b =+ 3 2 616210422 ( )8120160100.1600.120 -???=+??? []6 11.971012.0,Pa MPa σ=?==强度安全 44 z 3 5512sin 30384384z y q l q l W EI Ehb ?== 4 4 3 5512cos30384384y y z q l q l W EI Ehb ?== max W == = []4 0.0202150 m w m =<=刚度安全。 12.3 简支于屋架上的檩条承受均布载荷kN/m 14=q ， 30=?，如图所示。檩条跨长 m 4=l ，采用工字钢制造，其许用应力[]M Pa 160=σ，试选择工字钢型号。 14 kN/m q = 题12.3图 解： cos ,sin y z q q q q ??== 22 max max ,8 8 y z z y q l q l M M = = max max max []y z z y M M W W σσ=+≤
第十一章组合变形 2.5 组合变形 一、教学目标 1、掌握组合变形的概念。 2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。 3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。 4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。 二、教学内容 1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。 2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。 3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。 4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。 5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。 6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。 7、简单介绍截面核心的概念和计算。 三、重点难点 重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。 难点： 1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形： 斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲；
弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转； 拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）； 偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。 2、组合变形的强度计算，可归纳为两类： ⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可； ⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。 四、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 五、学时:2学时 六、讲课提纲 (一)斜弯曲 斜弯曲梁的变形计算 仍以矩形截面的悬臂梁为例：
第十一章组合变形 一、教学目标 1、掌握组合变形的概念。 2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。 3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。 4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。 二、教学内容 1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。 2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。 3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。 4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。 5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。 6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、
强度计算。 7、简单介绍截面核心的概念和计算。 三、重点难点 重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。 难点： 1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形： 斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲； 弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转； 拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）； 偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。 2、组合变形的强度计算，可归纳为两类： ⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可；
第十五章 组合变形 一、内容提要 1. 组合变形的概念及计算原理 组合变形 由两种以上的基本变形组合而成的变形 计算原理 叠加原理 2. 组合变形的计算步骤 (1) 简化或分解外力。 (2) 分析内力。 (3) 分析应力。 3. 强度条件 斜弯曲 强度条件为 σmax = z z W M max + y y W M max ≤[σ] 拉（压）与弯曲组合 强度条件为 σmax =A F N ±z W M max ≤ [σ] 单向偏心压缩（拉伸） 强度条件为 z z N M M A F ±± =max σ≤[σ] 双向偏心压缩（拉伸） 强度条件为 y y z z N W M W M A F ±±±=max σ≤][σ 二、典型例题解析 例15-1 某柱如图15-1所示，由屋架传来的压力F P1=100kN ，由吊车传来的压力F P2=30kN ，柱的单位体积重量γ=25kN/m （牛腿部分自重略去），柱高l =4m ，偏心距e y =0.2m ，已知截面宽度b=0.2m ，试求： （1）截面高度h ≥？时截面上不出现拉应力。 （2）计算在确定的截面高度时柱中的最大压应力。 图15-1 知识点 压弯组合变形的应力 解 （1）固定端截面为危险截面 将偏心压力向截面形心平移后，危险截面上的内力为 轴心压力 F N = F P1＋F P2＋W=－(130＋20h) kN 弯矩 M= F P2×e y =6kN ·m 截面上不出现拉应力时应满足 σt max =－A F N ＋z W M max ≤0
即 Pa h Pa h h 2332.061062.010)20130(??+?+-≤0 h ≥0.27m （2）取 h =0.28m 此时 σ c max =－A F N －z W M max = Pa Pa 2 3328.02.0610628.02.010)28.020130(???-???+-=－4.72MPa 三、思考题提示或解答 15-1 图示各杆的AB 、BC 、CD 各段截面上有哪些内力，各段产生什么组合变形？ 思15-1图 提示 a) AB 段产生弯、扭变形； BC 段产生弯、拉变形；CD 段产生弯、扭变形。 b) AB 段产生弯曲变形； BC 段产生弯、压变形；CD 段产生弯曲变形。 c) AB 段产生弯、压变形； BC 段产生弯、扭变形；CD 段产生弯曲变形。 15-2 图示各杆的组合变形是由哪些基本变形组合成的？并判定在各基本变形情况下A 、B 、C 、D 各点处正应力的正负号。 思15-2图 提示 a) 由轴向拉伸与两个平面内的弯曲变形组合成。 b) 由两个平面内的弯曲变形组合成。 c) 由轴向压缩与两个平面内的弯曲变形组合成。 15-3 图示三根短柱受压力F 作用，图b 、c 的柱各挖去一部分。试判断在a 、b 、c 三种情况下，短柱中的最大压应力的大小和位置。 思15-3图 解答 a) 柱产生轴向压缩变形。 σ c max =－2a F A F N -= 位于柱横截面上的任意点 b) 未挖去段柱产生轴向压缩变形，挖去段柱产生弯、压变形。 σ c max =－A F N －z W M max =－238a F 位于削弱截面右边缘上的任意点 c)柱产生轴向压缩变形。
7-14 图示圆截面杆，受荷载 F1，F2 和 T 作用，试按第三强度理论校核杆的强度。已知： F1=0.7kN，F2=150kN，T=1.2kN·m，［σ］=170MPa，d=50mm， l=900mm。解：由内力分析，该杆发生拉弯扭组合变形，固定端为危险截面其内力为 FN = F2 ， M Z = F1l ， M x = T 该截面上顶点为危险点，上顶点应力状态如图，大小为τ σ s= FN M z F Fl + = 2 2 + 1 3 = 76.39MPa + 51.34MPa=127.73MPa pd A Wz p d 4 32 Mx T = = 48.89MPa WP p d 3 / 16 t= 由第三强度理论强度条件 s r 3 = s 2 + 4t 2 = 160.86MPa<[s ] ，杆安全 9-2 3 圆轴受力如图所示。直径d=100mm，容许应力［σ］=170MPa。 (1绘出A、B、C、D 四点处单元体上的应力； (2用第三强度理论对危险点进行强度校核。解：（1）A、B、C、D 四点处所在截面内力(不考虑剪力: FN = 110kN M x = F y1 × d = 90kN ′ 0.05m = 4.5kN × m 2 M z = ( Fy1 - Fy 2 × l = 10kN ′ 1m = 10kN × m M y = Fx × d = 110kN ′ 0.05m = 5.5kN × m 2 A 、B、 C、D 四点应力分别为: sA = FN M z 110kN 10kN × m + = + = 14.01MPa + 101.91MPa = 115.92MPa A Wz p × 0.12 p × 0.13 4 32 M x 4.5kN × m = = 22.93MPa = t B = t C = t D Wp p × 0.13 16 tA = 6
第11章组合变形杆件的强度和刚度 11-1选择题 1. 如图所示的矩形截面柱，受F P1和F P2力作用，将产生（C）的 组合变形。 A. 弯曲和扭转 B. 斜弯曲 C. 压缩和弯曲 D. 压缩和扭转 题1图 2、叠加原理的适用条件构件必须是（C）。 A.线弹性杆件 B.小变形杆件 C.线弹性、小变形杆件 D. 线弹性、小变形直杆
3、同时发生两种或两种以上的基本变形称为（）其强度计算方法的依据是（B ）。 A.复杂变形截面法 B.组合变形叠加原理 C.组合变形平衡条件D都.不对 4 在图示刚架中，( B) 段发生拉弯组合变形。 题4图
5 图示槽型截面梁，C点为截面形心，若该梁横力弯曲时外力的作用面为纵向 平面a-a，则该梁的变形状态为( C ) 。 A.平面弯曲 B.斜弯曲 C.平面弯曲+扭转 D.斜弯曲+扭转 6.截面核心的形状与（C）有关。 A、外力的大小 B、构件的受力情况 C、构件的截面形状 D、截面的形心 7．下列构件中，属于拉（压）弯组合变形的是（B）。 A．钻削中的钻头B．车削中的车刀 C．拧紧螺母时的螺杆D．工作中的带传动轴
8．如图所示，AB杆产生的变形是（B）。 A．拉伸与扭转的组合B．拉伸与弯曲的组合 C．扭转与弯曲的组合D．压缩与弯曲的组合 题8图 9．如图所示结构，其中AD杆发生的变形为（C）。 A．弯曲变形B．压缩变形 C．弯曲与压缩的组合变形D．弯曲与拉伸的组合变形
题9图 10.下列构件中，属于“扭弯”组合变形的是（D）。 A．钻削中的钻头B．车削中的车刀 C．拧紧螺母时的螺杆D．镗削中的刀杆 11-2 矩形截面悬臂梁受力如图所示，P1作用在梁的竖向对称平面内，P2作 用在梁的水平对称平面内，F1、F2的作用线均与梁的轴线垂直，已知F 1 =2kN、 F 2=lkN，l 1 =lm，l 2 =2m，b=12cm，h=18cm，材料的容许正应力[σ]=10MPa，试校
1.凡是受二力作用的杆件就是二力杆件。 2.力在某坐标轴上的投影为零，则该力一定为零。 3.作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的力，所以可以构成力偶。 4.当平面一般力系向某点简化的最后结果为一个力偶时，如果向另一点简化，则其结果是一样的。 5.若平面汇交力系的各力在任意两个互不平行的轴上投影之代数和均为零，则该力系一定平衡。 6.如物体相对于地面保持静止或匀速直线运动状态,则物体处于平衡。 7.若两个力在同一轴上的投影相等，则这两个力的大小必定相等。 8.力偶中二力对其作用面内任意一点的力矩之和等于此力偶的力偶矩。 9.材料相同的二拉杆,受力一样,若两杆的绝对变形相同,则其相对变形也一定相同。 10.对于产生轴向拉（压）变形的等直杆，轴力最大的截面就是危险截面，该截面的任一点都是危险点。 11.在低碳钢拉伸实验时，试样的强度极限就是试样被拉断时的应力。 12.在强度计算时，如果构件的工作和工作应力值大于许用应力很少，而且没有超过5%。则仍可以认为构件的强度是足够的。 13.若两个相互挤压构件的材料不同，应分别校核两构件的挤压强度。 14.构件产生挤压变形的受力特点和产生轴向压缩变形的受力特点相同。 15.传递一定功率的传动轴的转速越高，其横截面上所受的扭矩也就越大。 16.受剪构件的剪切面总是平面。 17.一空心圆轴在产生扭转变形时，其危险截面外缘处具有最大切应力，而危险截面内缘处的切应力为零。 18.空心圆轴壁厚越薄，材料的利用率越高。但空心圆轴壁太薄容易产生局部皱折，使承载能力显著降低。 19.调整跨长或增加支座是提高梁强度的主要措施。 20.对脆性材料制成的T字形截面梁进行强度校核,只要校核了危险点的压应力即可。
第八章组合变形 目录 第八章组合变形 (2) §8.1 组合变形和叠加原理 (2) 一、组合变形的概念 (2) 二、组合变形的计算方法 (2) §8.2 斜弯曲 (2) 一、斜弯曲的概念 (2) 二、斜弯曲的应力计算 (2) §8.4 扭转与弯曲的组合 (4) 一、基本概念 (4) 二、扭转与弯曲的组合的应力计算 (4) 三、强度条件 (5) §8.3 拉伸或压缩与弯曲的组合 (8) 一、基本概念 (8) 二、拉伸或压缩与弯曲的组合的应力计算 (8)
第八章 组合变形 §8.1 组合变形和叠加原理 一、组合变形的概念 由两种或两种基本变形的组合而成的变形。 例如：转扬机，牛腿，水坝，烟囱等。 二、组合变形的计算方法 由于应力及变形均是荷载的一次函数，所以采用叠加法计算组合变形的应力和变形。 §8.2 斜弯曲 一、斜弯曲的概念 若梁作用的载荷的荷载不在同一平面内或虽在同一平面但并不位于梁的一个形心主惯性矩内，这时梁发生非平面弯曲。这种非平面弯曲可分解为两个平面弯曲。两个互相垂直平面弯曲的组合，构成斜弯曲或双向弯曲。 二、斜弯曲的应力计算 1. 外力的分解 对于任意分布横向力作用下的梁，先将任意分布的横向力向梁的两相互垂直的形心主惯性矩平面分解，得到位于两形心主惯性矩平面内的两组力。位于形心主惯性平面内的每组外力都使梁发生平面弯曲。如上所示简支梁。 2. 内力计算 形心主惯性平面xOy 内所有平行于y 轴的外力将引起横截面上的弯矩z M ，按弯曲内力的计算方法可以列出弯矩方程z M 或画出z M 的弯矩图。同样，形心主惯性平面xOz 内所有平行于z 轴的外力将引起横截面上的弯矩y M ，也可列出