微积分试题 (A 卷)
一. 填空题 (每空2分,共20分)
1. 已知,
)(lim 1A x f x =+
→则对于0>?ε, 总存在δ>0, 使得当
时, 恒有│?(x )─A│< ε。
2. 已知22
35
lim
2=-++∞→n bn an n , 则a = , b
= 。
3. 若当0x x →时,
与 是等价无穷小量, 则
=-→β
β
α0
lim
x x 。 4. 若
f (x )在点x = a 处连续, 则=→)(lim x f a
x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 6. 设函数
y =?(x )在x 0点可导, 则
=-+→h
x f h x f h )
()3(lim
000
______________。
7. 曲线y = x 2+2x -5上点M 处的切线斜率为6, 则点M 的坐标
为 。
8. ='?
))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2
224Q
Q R -=, 52+=Q C , 则
当利润最大时产量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)
1.
若数列{x n }在a 的邻域( a -,a +) 内有无穷多个点, 则
( ) 。
(A) 数列{x n }必有极限, 但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在, 且一定等于a
(C)
数
列
{x n }
的
极
限
不
一
定
存
在
(D) 数列{x n }的极限一定不存在
2.
设1
1
)(-=x arctg
x f 则1=x 为函数)(x f 的( ) 。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点
3. =+
-∞
→13)11(lim x x x
( ) 。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e
4.
对需求函数5
p e Q -
=, 需求价格弹性5
p
E d -
=。当价格=p ( ) 时, 需求量减少的幅度小于价格提高的幅
度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10
5.
假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0
x g x f x g x f x
x x x ''==→→;在点0x 的某邻域内(0x 能够除外)存在, 又a 是常数, 则下列结论正确的是( ) 。 (A) 若a x g x f x
x =→)
()
(lim 0
或, 则a x g x f x
x =''→)
()
(lim
或
(B) 若a x g x f x x =''→)
()
(lim
或, 则a x g x f x
x =→)
()
(lim
或
(C) 若)
()(lim
x g x f x
x ''→不存在, 则)()
(lim 0x g x f x x →不存在
(D) 以上都不对
6.
曲线223)(a bx ax x x f +++=的拐点个数是( ) 。
(A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3
7.
曲线2
)2(1
4--=
x x y ( ) 。
(A) 只有水平渐近线; (B) 只有
垂直渐近线;
(C) 没有渐近线; (D) 既有
水平渐近线, 又有垂直渐近线
8.
假设)(x f 连续, 其导函数图形如右图所示, 则)(x f 具有( ) (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值
9.
若?(x )的导函数是2-x , 则?(x )有一个原函数为 ( ) 。
(A) x ln ; (B) x ln -; (C) 1--x ; (D) 3--x
三.计算题(共36分)
x
y o
1.
求极限x
x
x x --+→11lim
( 6分)
2. 求极限x
x x 1)
(ln lim +∞
→ ( 6分)
3. 设
00
1sin 2sin )(>=??
????+=x x x b x x a
x x x f , 求b a ,的值, 使)(x f 在(-∞, +∞)上连续。(6分)
4. 设1+=+xy e
y
x , 求y '及0='x y ( 6分)
5. 求不定积分dx
xe x ?
-2( 6分)
6. 求不定积分
.42dx x ?
-( 6分)
四.利用导数知识列表分析函数2
11
x y -=的几何性质, 求渐近线, 并
作图。(14分)
五.设)(x f 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且1)2
1(,0)1()0(===f f f , 试
证:
(1) 至少存在一点)1,2
1(∈ξ, 使ξξ=)(f ;
(2) 至少存在一点),0(ξη∈, 使1)(='ηf ; (3) 对任意实数 , 必存在),0(0ξ∈x , 使得1])([)(000=--'x x f x f λ。
(12分)
微积分试题(B 卷)
一. 填空题 (每空3分,共18分)
10.
()=+'?dx b x f b
a
.
11.
=?
∞+-0
2dx e x .
12. 关于级数有如下结论:
① 若级数()01≠∑∞
=n n n u u 收敛, 则∑
∞
=11n n u 发散. ② 若级数()01≠∑∞
=n n n u u 发散, 则∑
∞
=11n n
u 收敛.
③ 若级数∑∞
=1n n u 和∑∞
=1
n n v 都发散, 则∑∞
=+1
)(n n n v u 必发散.
④ 若级数∑∞
=1
n n u 收敛, ∑∞=1
n n v 发散, 则∑∞
=±1
)(n n n v u 必发散.
⑤ 级数∑∞=1
n n ku ( k 为任意常数) 与级数∑∞
=1
n n u 的敛散性相同.
写出正确..
结论的序号 .
13. 设二元函数()y x xe z y x +++=+1ln )1(, 则
=)0,1(dz .
14. 若
D 是由x 轴、 y 轴及2x + y –2 = 0围成的区域, 则
=??dy dx D
.
15. 微分方程0=+'y y x 满足初始条件3)1(=y 的特解
是 .
二. 单项选择题 (每小题3分,共24分)
10. 设函数?+-=
x
dt t t x f 0
)2)(1()(, 则)(x f 在区间[-3, 2]上的最大值为
( ) .
(A) 32- (B)
3
10
(C) 1 (D) 4 11. 设σσd y x I d y x I D
D
????+=+=
)cos(,cos 222221,σd y x I D
??
+=2
223)cos(, 其中}1),{(22≤+=y x y x D , 则有( ) . (A)321I I I >> (B)
123I I I >>
(C)
3
12I I I >> (D)
213I I I >>
12. 设 3,2,1,0=>n u n , 若
∑∞
=1
n n u 发散, ∑∞
=--1
1
)
1(n n
n u 收敛, 则下列结论正
确的是( ).
(A) ∑∞
=-1
12n n u 收敛, ∑∞
=1
2n n u 发散 (B) ∑∞
=1
2n n u 收敛, ∑∞
=-1
12n n u 发
散
(C) ∑∞
=-+1
212)(n n n u u 收敛 (D) ∑∞
=--1
212)(n n n u u 收敛
13. 函数),(y x f 在点),(y x P 的某一邻域内有连续的偏导数, 是),(y x f 在
该点可微的( )条件.
(A) 充分非必要 ( B) 必要非充分 ( C) 充分必要 ( D) 既
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =,则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(,则=)(x f 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( ) (A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( ) (A )x sin (B )2 x x + (C )3x (D )x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( ) (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a , 上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x x f ) ('在区间)0(a ,内是( ) (A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。 (A )C x +-2 2)1(2 (B )C x +--2 2)1(2
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分