数学平行四边形知识点-+典型题含答案
一、解答题
1．如图，矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，以O为原点建立平面直角坐标系，点B，点D
分别在x轴，y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P，且满足S△POB＝1
3
S矩形
OBCD，问：
（1）当点P在矩形的对角线OC上，求点P的坐标；
（2）当点P到O，B两点的距离之和PO+PB取最小值时，求点P的坐标．
2．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED 的延长线交线段OA于点H，连结CH、CG．
（1）求证：CG平分∠DCB；
（2）在正方形ABCO绕点C逆时针旋转的过程中，求线段HG、OH、BG之间的数量关系；（3）连结BD、DA、AE、EB，在旋转的过程中，四边形AEBD是否能在点G满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE的解析式；若不能，请说明理由．
3．正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点P是正方形ABCD对角线BD上的一个动点（点P不与点B，O，D重合），连接CP并延长，分别过点D，B向射线作垂线，垂足分别为点M，N．
（1）补全图形，并求证：DM ＝CN ；
（2）连接OM ，ON ，判断OMN 的形状并证明． 4．已知正方形ABCD ．
（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=?． ①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形． ②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．
（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当1
3
AE CF =时．请直接写出HC 的长________．
5．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A →的路径运动，运动时间为t （秒）．以BE 为边在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG ．
（1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ?的内部，连结,AH CH ，求证：
AH CH =；
（2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条；
（3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值．
6．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.
（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =； （2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ AM .
7．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E
处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．
（1）求证：四边形BFEP 为菱形；
（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随着移动． ①当点Q 与点C 重合时， （如图2），求菱形BFEP 的边长；
②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围． 8．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上． （1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形． （2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（），且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．
9．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由； （2）求证：CP AE =；
（3）当P为AB的中点时，四边形APCE是什么特殊四边形？请说明理由．
10．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AC的一点，连接EB，过点A做AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）猜想：如图（1）线段OE与线段OF的数量关系为；
（2）拓展：如图（2），若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM、DB的延长线相交于点F，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．
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一、解答题
1．（1）P（10
3
，2）；（2）（
5
2
，2）或（﹣
5
2
，2）
【分析】
（1）根据已知条件得到C（5，3），设直线OC的解析式为y＝kx，求得直线OC的解析式
为y＝3
5
x，设P（m，
3
5
m），根据S△POB＝
1
3
S矩形OBCD，列方程即可得到结论；
（2）设点P的纵坐标为h，得到点P在直线y＝2或y＝﹣2的直线上，作B关于直线y＝2的对称点E，则点E的坐标为（5，4），连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，设直线OE的解析式为y＝nx，于是得到结论．
【详解】
（1）如图：
∵矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，∴C（5，3），
设直线OC的解析式为y＝kx，
∴3＝5k，
∴k＝3
5
，
∴直线OC的解析式为y＝3
5 x，
∵点P在矩形的对角线OC上，
∴设P（m，3
5 m），
∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴1
2
?5×
3
5
m＝
1
3
?3×5，
∴m＝10
3
，
∴P（10
3
，2）；
（2）∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴设点P的纵坐标为h，
∴1
2
h×5＝
1
3
3
??5，
∴h＝2，
∴点P在直线y＝2或y＝﹣2上，
作B关于直线y＝2的对称点E，
则点E的坐标为（5，4），
连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，
设直线OE的解析式为y＝nx，∴4＝5n，
∴n＝4
5
，
∴直线OE的解析式为y＝4
5 x，
当y＝2时，x＝5
2
，
∴P（5
2
，2），
同理，点P在直线y＝﹣2上，
P（5
2
，﹣2），
∴点P的坐标为（5
2
，2）或（﹣
5
2
，2）．
【点睛】
本题考查了轴对称——最短路线问题，矩形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的找到点P在位置是解题的关键．
2．（1）见解析；（2）HG＝OH+BG；（3）能成矩形，y
33 42
x
=-．
【分析】
（1）根据旋转和正方形的性质可得出CD＝CB，∠CDG＝∠CBG＝90，根据全等直角三角形的判定定理（HL）即可证出Rt△CDG≌Rt△CBG，即∠DCG＝∠BCG，由此即可得出CG平分∠DCB；
（2）由（1）的Rt△CDG≌Rt△CBG可得出BG＝DG，根据全等直角三角形的判定定理（HL）即可证出Rt△CHO≌Rt△CHD，即OH＝HD，再根据线段间的关系即可得出
HG＝HD+DG＝OH+BG；
（3）根据（2）的结论即可找出当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形，再根据正方形的性质以及点B的坐标可得出点G的坐标，设H点的坐标为（x，0），由此可得出
HO＝x，根据勾股定理即可求出x的值，即可得出点H的坐标，结合点H、G的坐标利用待定系数法即可求出直线DE的解析式．
【详解】
（1）∵正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF，∴CD＝CB，∠CDG＝∠CBG＝90°．在
Rt△CDG和Rt△CBG中，
∵
CG CG
CD CB
=
?
?
=
?
，∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL），∴∠DCG＝∠BCG，即CG平分∠DCB．
（2）由（1）证得：Rt△CDG≌Rt△CBG，∴BG＝DG．在Rt△CHO和Rt△CHD中，
∵
CH CH
CO CD
=
?
?
=
?
，∴Rt△CHO≌Rt△CHD（HL），∴OH＝HD，∴HG＝HD+DG＝OH+BG．
（3）假设四边形AEBD可为矩形．
当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形，如图所示．
∵G点为AB中点，∴BG＝GA1
2
=AB，由（2）证得：
BG＝DG，则
BG＝GA＝DG
1
2
=AB
1
2
=DE＝GE，又AB＝DE，∴四边形AEBD为矩
形，∴AG＝EG＝BG＝DG．
∵AG1
2
=AB＝3，∴G点的坐标为（6，3）．
设H点的坐标为（x，0），则HO＝x，∴HD＝x，DG＝3．
在Rt△HGA中，HG＝x+3，GA＝3，HA＝6﹣x，由勾股定理得：（x+3）2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝2，∴H点的坐标为（2，0）．
设直线DE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），将点H（2，0）、G（6，3）代入y＝kx+b中，
得：
20
63
k b
k b
+=
?
?
+=
?
，解得：
3
4
3
2
k
b
?
=
??
?
?=-
??
，∴直线DE的解析式为：y33
42
x
=-．
故四边形AEBD能为矩形，此时直线DE的解析式为：y
33 42
x
=-．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式以及勾股定理．解题的关键是：（1）证出Rt△CDG≌Rt△CBG；（2）找出
BG＝DG、OH＝HD；（3）求出点H、G的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边和角是关键．
3．（1）见解析；（2）MON为等腰直角三角形，见解析
【分析】
（1）如图1，由正方形的性质得CB ＝CD ，∠BCD ＝90°，再证明∠BCN ＝∠CDM ，然后根据“AAS”证明△CDM ≌△CBN ，从而得到DM ＝CN ；
（2）如图2，利用正方形的性质得OD ＝OC ，∠ODC ＝∠OCB ＝45°，∠DOC ＝90°，再利用∠BCN ＝∠CDM 得到∠OCN ＝∠ODM ，则根据“SAS”可判断△OCN ≌△ODM ，从而得到ON ＝OM ，∠CON ＝∠DOM ，所以∠MON ＝∠DOC ＝90°，于是可判断△MON 为等腰直角三角形． 【详解】
（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴CB ＝CD ，∠BCD ＝90°， ∵DM ⊥CP ，BN ⊥CP ， ∴∠DMC ＝90°，∠BNC ＝90°，
∵∠CDM+∠DCM ＝90°，∠BCN+∠DCM ＝90°， ∴∠BCN ＝∠CDM ， 在△CDM 和△CBN 中
DMC CNB CD CB
CDM BCN ∠=∠??
=??∠=∠?
， ∴△CDM ≌△CBN ， ∴DM ＝CN ；
（2）解：△OMN 为等腰直角三角形． 理由如下：
如图2，∵四边形ABCD 为正方形，
∴OD ＝OC ，∠ODC ＝∠OCB ＝45°，∠DOC ＝90°， ∵∠BCN ＝∠CDM ，
∴∠BCN ﹣45°＝∠CDM ﹣45°，即∠OCN ＝∠ODM ， 在△OCN 和△ODM 中
CN DM OCN ODM OC OD =??
∠=∠??=?
， ∴△OCN ≌△ODM ，
∴ON ＝OM ，∠CON ＝∠DOM ， ∴∠MON ＝∠DOC ＝90°， ∴MON 为等腰直角三角形．
【点睛】
本题考查正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．也考查全等三角形的判定与性质． 4．（1）①证明见详解；②45PAQ ∠=?，见解析；（2）5． 【分析】
（1）①只要证明//PB AC 即可解决问题；②如图2中，连接QC ，作DT DQ ⊥交QC 的延长线于T ，利用全等三角形的性质解决问题即可；
（2）如图3中，延长EH 交BC 于点G ，设AE=x ，由题意易得AB=BC=CF=EG=3x ，然后可得CG=2x ，HG=3x-3，CH=3x-1，利用勾股定理求解即可． 【详解】
（1）①证明：
四边形ABCD 是正方形，∴//B DP C ，45DAC ∠=?，∴135PAC ∠=? 45APB ∠=?，∴+180APB PAC ∠∠=?，∴//PB AC
∴四边形APBC 是平行四边形；
②
四边形PADQ 是平行四边形，∴DQ//,//,AP AD PQ AD PQ BC ==，
AD//B C ，∴,//PQ BC PQ BC =，∴四边形PQCB 是平行四边形，
∴QC//BP ，∴45APQ DQC ∠=∠=?，90ADC QDT ∠=∠=?，
∴DQ=DT ，45,T DQT ADQ CDT ∠=∠=?∠=∠，
AD=DC ，∴ADQ CDT ≌，∴45AQD T ∠=∠=?， AP//DQ ，∴45PAQ DQA ∠=∠=?；
（3）CH=5，理由如下：
如图3所示：延长EH 交BC 于点G ；
四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，90D ∠=?， 又
EH=3，FH=1，EH ⊥AD ，∴EH//CD ，∴90HGC ∠=?
设AE=x ，
1
,3
AE CF BC CF ==，∴AB=BC=CF=EG=3x ， ∴CG=2x ，HG=3x-3，CH=3x-1
在Rt HGC △中，()()2
2
2222
43331CG HG CH x x x +=+-=-即，解得121,2x x ==
当x=1时，AB=3(不符合题意，舍去)； 当x=2时，AB=6，∴CH=5． 故答案为5． 【点睛】
本题主要考查正方形的综合问题、三角形全等及勾股定理，关键是利用已知条件及四边形的性质得到它们之间的联系，然后利用勾股定理求解线段的长即可． 5．（1）见解析；（2）1条；（3）7211t =或185
t = 【分析】
(1)证△AEH ≌△CGH （SAS ），即可得出AH=CH ； (2)连接BD 交AC 于O ，作直线OE 即可；
(3)分两种情况：①连接AH 交BC 于M ，证出BM=CM=
1
2
BC=6，由题意得BE=BG=EH=GH=t ，则AE=9-t ，GM=6-t ，由三角形面积关系得出方程，解方程即可； ②连接AH 交CD 于M ，交BC 的延长线于K ，证出DM=CM=
1
2
CD ，证△KCM ≌△ADM 得CK=DA=12，则BK=BC+CK=24，且BE=BG=EH=GH=t ，则AE=9-t ，GK=24-t ，由三角形面积关系得出方程，解方程即可． 【详解】
解：(1)四边形BEHG 是正方形，
BE BG ∴=，90BEH BGH ∠=∠=?，90AEH CGH ∠=∠=?，
又
AB BC =， AE CG ∴=， 又EH HG =，
()AEH CGH SAS ∴???，
AH CH ∴=．
(2)解：连接BD 交AC 于O ，如图1所示：
作直线OE ，则直线OE 矩形ABCD 面积平分， 即经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有1条， 故答案为：1； (3) 解：分两种情况：
①如图2所示：连接AH 交BC 于M ，
∵四边形ABCD 是矩形， ∴△ABC 的面积=△ADC 的面积，
∵直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分， ∴△ABM 的面积=△ACM 的面积， ∴BM=CM=
1
2
CD=6， 由题意得：BE=BG=EH=GH=t ，则AE=9-t ，GM=6-t ，
∵△ABM 的面积=△AEH 的面积+正方形BEHG 的面积+△GHM 的面积， ∴
12×6×9=12t (9-t )+t 2+1
2
t (6-t )， 解得：18
5
t =
； ②如图3所示：连接AH 交CD 于M ，交BC 的延长线于K ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠MCK=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC=12，CD=AB=9，△ABC的面积=△ADC的面积，∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，
∴△ADM的面积=△ACM的面积，
∴DM=CM=1
2
CD=
9
2
，
在△KCM和△ADM中，
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
D MCK
DM CM
AMD KMC
，
∴△KCM≌△ADM(ASA)，
∴CK=DA=12，
∴BK=BC+CK=24，
由题意得：BE=BG=EH=GH=t，则AE=9-t，GK=24-t，
∵△ABK的面积=△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHK的面积，
∴1
2×24×9=
1
2
t(9-t)+t2+
1
2
t(24-t)，
解得：
72
11
t=，
综上所述，
72
11
t=或
18
5
t=，
故答案为：
72
11
t=或
18
5
t=．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
6．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N．可先证明△AOD≌△COD，再证明△MOB≌NOB，从而可得NB=MB；
（2）连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ∥AM．理由如下：由正方形的性质以及平行线等分线段可证QO=MO，从而可知四边形AQCM为平行四边形，从而可得
CQ∥AM．
【详解】
解：（1）如图（1），
连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N，则CN 为所作．
理由：在△AOD与△COD中，
∵
AD CD
ADO CDO OD OD
?
?
∠∠
?
?
?
＝
＝
＝
，
∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠OAD=∠OCD，
∴∠BAM=∠BCN．
在△ABM与△CBN中，
∵
BAM BCN AB CB
ABM CBN ∠∠
?
?
?
?∠∠
?
＝
＝
＝
，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴CN=AM．
（2）如图2连接AC、BD交与O点，连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ为所求的线段.
在正方形ABCD中，OA=OB=OC=OD，AD∥BC，
∴QO=MO
∴四边形AQCM为平行四边形，
∴QC∥AM
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，解决此题的关键是利用正方形的性质求解．
7．（1）证明过程见解析；（2）①边长为53cm ，②22
5cm S 9cm 3
≤≤． 【分析】
（1）由折叠的性质得出PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF ，由平行线的性质得出∠BPF ＝∠EFP ，证出∠EPF ＝∠EFP ，得出EP ＝EF ，因此BP ＝BF ＝EF ＝EP ，即可得出结论； （2）①由矩形的性质得出BC ＝AD ＝5cm ，CD ＝AB ＝3cm ，∠A ＝∠D ＝90°，由对称的性质得出CE ＝BC ＝5cm ，在Rt △CDE 中，由勾股定理求出DE ＝4cm ，得出AE ＝AD -DE ＝1cm ；在Rt △APE 中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP ＝
5
3
cm 即可； ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时AE ＝1cm ；当点P 与点A 重合时，点E 离点A 最远，此时四边形ABQE 为正方形，AE ＝AB ＝3cm ，即可得出答案． 【详解】
解：（1）证明：∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ， ∴点B 与点E 关于PQ 对称， ∴PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF ， 又∵EF ∥AB ， ∴∠BPF ＝∠EFP ， ∴∠EPF ＝∠EFP ， ∴EP ＝EF ， ∴BP ＝BF ＝EF ＝EP ， ∴四边形BFEP 为菱形； （2）①∵四边形ABCD 是矩形，
∴BC ＝AD ＝5cm ，CD ＝AB ＝3cm ，∠A ＝∠D ＝90°， ∵点B 与点E 关于PQ 对称， ∴CE ＝BC ＝5cm ，
在Rt △CDE 中，DE 4cm ， ∴AE ＝AD ﹣DE ＝5cm -4cm ＝1cm ； 在Rt △APE 中，AE ＝1，AP ＝3-PB ＝3﹣PE ，
∴222
EP =1(3-EP)+，解得：EP ＝
5
3
cm ， ∴菱形BFEP 的边长为
5
3
cm ； ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时AE ＝1cm ，BP=
5
3
cm ， 2BFEP 5
S =BP AE=cm 3
?四边形，
当点P 与点A 重合时，点E 离点A 最远，此时四边形ABQE 为正方形，AE ＝AB ＝3cm ，
2ABQE BFEP S =S =9cm 正方形四边形，
∴菱形的面积范围：22
5cm S 9cm 3
≤≤．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，求出PE 是本题的关键． 8．（1）见详解；（2）72x =- 【分析】
（1）连接MN ，由勾股定理求出AC=5，证出四边形ABNM 是矩形，得MN=AB=3，证△AME ≌△CNF （SAS ），得出EM=FN ，∠AEM=∠CFN ，证EM ∥FN ，得四边形EMFN 是平行四边形，求出MN=EF ，即可得出结论；
（2）连接MN ，作MH ⊥BC 于H ，则MH=AB=3，BH=AM=x ，得HN=BC-BH-CN=4-2x ，由矩形的性质得出MN=EF=AC-AE-CF=4，在Rt △MHN 中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】
（1）证明：连接MN ，如图1所示：
∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，AD=BC ，∠B=90°， ∴∠EAM=∠FCN ，2222345AB BC +=+=，
∵M ，N 分别是AD ，BC 的中点， ∴AM=DM=BN=CN ，AM ∥BN ， ∴四边形ABNM 是平行四边形， 又∵∠B=90°，
∴四边形ABNM 是矩形， ∴MN=AB=3， 在△AME 和△CNF 中，
AM CN EAM FCN AE CF =??
∠=∠??=?
， ∴△AME ≌△CNF （SAS ）， ∴EM=FN ，∠AEM=∠CFN ， ∴∠MEF=∠NFE ， ∴EM ∥FN ，
∴四边形EMFN 是平行四边形， 又∵AE=CF=1， ∴EF=AC-AE-CF=3， ∴MN=EF ，
∴四边形EMFN 为矩形．
（2）解：连接MN ，作MH ⊥BC 于H ，如图2所示：
则四边形ABHM 是矩形， ∴MH=AB=3，BH=AM=x ， ∴HN=BC-BH-CN=4-2x ，
∵四边形EMFN 为矩形，AE=CF=0.5， ∴MN=EF=AC-AE-CF=4，
在Rt △MHN 中，由勾股定理得：32+（4-2x ）2=42， 解得：x=7
2±， ∵0＜x ＜2， ∴x=722
-
． 【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 9．（1）四边形PBCE 为平行四边形，证明过程见解析；（2）见解析；（3）四边形APCE 为矩形，证明过程见解析. 【分析】
（1）证明四边形ABCD 为平行四边形，从而得BP//CE ，根据内错角相等证明AD//PE,从而可证PE//BC ，得四边形PBCE 为平行四边形；（2）证明△CBP≌△ACE 即可证明CP=AE ；（3）证明四边形APCE 为平行四边形，然后根据三线合一证明∠APC=90°，可证四边形APCE 为矩形. 【详解】
解：（1）四边形PBCE 为平行四边形. 证明：∵AD BC =，AD BC ∥， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴PB//EC, ∵DAE AEP ∠=∠, ∴AD//PE, ∴PE//BC,
∴四边形PBCE 为平行四边形. （2）∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠B=∠D，AB//CD, ∴BAC ACE =∠∠ 又∵D ∠=BAC ∠， ∴∠B=BAC ∠， ∴BC=AC ，B ACE ∠=∠ ∵四边形PBCE 为平行四边形， ∴PB=CE， 在△CBP 和△ACE 中
BP CE B ACE BC AC =??
∠=∠??=?
∴△CBP≌△ACE. ∴CP AE =.
（3）四边形APCE 为矩形， 证明：∵P 为AB 的中点 ∴BP=AP ,
∵四边形PBCE 为平行四边形， ∴BP=CE , ∴AP=CE, 又∵AB//CD
∴四边形APCE 为平行四边形， ∵CB=CA ，AP=BP ， ∴CP ⊥AB ， ∴∠APC=90°， ∴ABCD 为矩形. 【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形“三线合一”.熟记平行四边形的判定和矩形的判定定理，能根据题意分析得出线段与线段、角与角之间的关系，选择合适的定理是解决本题的关键. 10．（1）OE OF =;（2）成立.理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA ，又因为AM ⊥BE ，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE ，从而求证出Rt △BOE ≌Rt △AOF ，得到OE=OF. （2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA ，再根据已知条件求证出Rt △BOE ≌Rt △AOF ，得到OE=OF. 【详解】
解：（1）正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AM ⊥BE ， ∴∠AOB=∠BOE=∠AMB=90°， ∵∠AFO=∠BFM （对顶角相等）， ∴∠OAF=∠OBE （等角的余角相等），
又OA=OB （正方形的对角线互相垂直平分且相等）， ∴△BOE ≌△AOF （ASA ）， ∴OE=OF.
故答案为：OE=OF ； （2）成立.理由如下：
证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴90BOE AOF ∠=∠=?，OB OA = 又∵AM BE ⊥，
∴90F MBF ∠+∠=?，90E OBE ∠+∠=?， 又∵MBF OBE ∠=∠ ∴F E ∠=∠∴BOE AOF ???， ∴OE OF = 【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，并运用了类比的思想，两个问题都是证明BOE AOF ???解决问题.
1．在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF，四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由． 2.如图，?ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC． 3、如图，延长平行四边形ABCD的边BC至F、DA至E，使CF＝AE，EF与BD交于O． 试说明EF与BD互相平分 4．如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，DF=BE，DF∥BE， 求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）四边形ABCD是平行四边形． 5．如图, 在ABCD中，∠ABC＝70 ,∠ABC的平分线交AD于点E,过点D作BE的平行线交BC于点F,求∠CDF的度数. A E D B F A B C D F E
6．已知如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且CE⊥BE。求证：BC=2CD 7.如图，平行四边形ABCD中，AB AC ⊥，1 AB=，．对角线AC BD ，相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，． （1）证明：当旋转角为90o时，四边形ABEF是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； 8、如图，四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形． 试说明△ABE≌△CDF C 9. 已知:如图, 在ABCD中，E、F分别是AB和CD上的点，AE=CF, M、N分别是DE和BF的中点，求证.四边形ENFM是平行四边形． 10. 已知:如图, 在ABCD中，E、F分别是CD和AB上的点，AE//CF, BE交CF于点H，DF交AE于点G．求证.EG=FH． A B C D O F E
一对一个性化辅导教案
平行四边形的性质与判定 平行四边形及其性质(一) 一、 教学目标： 1． 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 2． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、 重点、难点 1． 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 2． 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、 课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗 你能总结出平行四边形的定义吗 (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“ ”来表示． 如图，在四边形ABCD 中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD 是平行四边形．平行四边形ABCD 记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB ?50?360?360?180行 四边形的面积计算 六、随堂练习 1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC ，求各边的长 ③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长 2．如图，ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ．
3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是__ ___cm ． 七、课后练习 1．判断对错 （1）在ABCD 中，AC 交BD 于O ，则AO=OB=OC=OD ． （ ） （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ） （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ） （4）平行四边形是轴对称图形． （ ） 2．在 ABCD 中，AC ＝6、BD ＝4，则AB 的范围是_ ____ __． 3．在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ． 4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB ＝15cm ，AD ＝12cm ，AC ⊥BC ，求小路BC ，CD ，OC 的长，并算出绿地的面积． （一） 平行四边形的判定 一、教学目标： 1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题． 二、重点、难点 重点：平行四边形的判定方法及应用． 难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 四、课堂引入 1．欣赏图片、提出问题． 展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形你是怎样判断的 2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗
中考复习专项——平行四边形 1．下列说法不正确的是（） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 2．（2010 湖南湘潭）下列说法中,你认为正确的是（） A．四边形具有稳定性 B．等边三角形是中心对称图形 C．任意多边形的外角和是360o D．矩形的对角线一定互相垂直 3．（2010 天津）下列命题中正确的是（） A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4．（2010湖北襄樊）菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（） A．3：1 B．4：1 C．5： 1 D．6：1
5．（2010宁夏回族自治区）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（） A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 6．（2010 江津）四边形 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（） A． B． C． D． 7. （2010 四川成都）已知四边形 ，有以下四个条件：① ；② ；③ ；④ ．从这四个条件中任选两个，能使四边形 成为平行四边形的选法种数共有（） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
8.（2010湖南衡阳）如图6，在□ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG= ，则ΔCEF的周长为（） A．8 B．9 C．10 D．11 9．（2010江苏苏州）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB， ，BE=2，则t an∠DBE的值是（） A． B．2 C． D．
平行四边形证明题 1. 在□ ABCD中，∠ BAD的平分线 AE 交 DC于 E，若∠ DAE＝25o，求□ABCD各角度数 .D E C A B 2.如图，把一张长方形 ABCD的纸片沿 EF 折叠后，ED与 BC的交点为 G，点 D、C 分别落在 D′、 C′的位置上，若∠EFG=55°，求∠ AEG度数． 3.如图在□ABCD 中， E，F 为 BD 上的点， BE=DF ，那么四边形AECF 是什么图形？并证明. 4.如图，在□ABCD 中， E、 F 为对角线BD 上的两点，且∠DAE= ∠ BCF． （1）求证： AE=CF ．（ 2）求证： AE ∥CF 5.如图，□ABCD 中， AE 平分∠ BAD 交 BC 于点 E， CF 平分∠ BCD 交 AD 于点 F， 求证：四边形AECF 是平行四边形.
6.如图，点 D 、E、 F 分别是△ ABC 各边中点 . （1）求证：四边形 ADEF 是平行四边形 . （2）若 AB=AC=10 ， BC=12 ，求四边形 ADEF 的周长和面积 . 7.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，若把△ ADE绕着点E顺时针旋转180°得到△ CFE． 求证：四边形DBCF 是平行四边形。 8. 如图，一张矩形纸片ABCD ，其中 AD＝ 8cm，AB＝ 6cm，先沿对角线BD 对折，点 C 落在点 C′的位置， BC′交 AD 于 点G.(1)求证： AG＝ C′G． (2) 求△ BDG的面积 9.如图，矩形ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O.若 AO=3 ，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积。
特殊平行四边形综合练习题 考点综述： 特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是四边形的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。 典型例题： 例1：（2007义乌）在下列命题中，正确的是（ ） A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．有一个角是直角的四边形是矩形 C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 例2：（2007大连）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（ ）。 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 例3：（2008台州）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且OE a =，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．16a B ．12a C ．8a D ．4a 例4：（2008青岛）已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ． （1）求证：BCG DCE △≌△； （2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90o 得到DAE '△，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由． 实战演练： 1.（2007滨州）对角线互相垂直平分的四边形是（ ） A B C D E F E ' G
A ．平行四边形、菱形 B ．矩形、菱形 C ．矩形、正方形 D ．菱形、正方形 2.（2008常州）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A .等腰梯形 B .正方形 C .平行四边形 D .矩形 3.（2008扬州）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形 4.（2007连云港）如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边 AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形 B ．如果90BA C ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形 C ．如果A D 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形 D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 5.（2007德州）如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于（ ） A ． B ． C ． D ．8 6.（2008潍坊）如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（ ） A ．5cm B ．8cm C ．9cm D ．10cm 7.（2007泉州）在右图的方格纸中有一个菱形ABCD （A 、B 、C 、D 四点均为格点）， 若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为 8.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，已知120 2.5AOD AB ∠==o ，，则AC 的长为 ． D C B A Ａ Ｆ Ｃ Ｄ ＢＥ Ｂ Ｆ Ｃ Ｅ Ｄ Ａ A D A B C D A B C D
平行四边形典型例题 【例1】如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则图中全等三角形有（） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【分析】由平行四边形的对边平行、对角线互相平分，可得全等三角形有：△ABD和△CDE， △ADC和△CBA ，△AOD 和△BOC 、△AOB 和△COD ． 【答案】C 【例2】如图，□ABCD中，∠B、∠C的平分线交于点O ，BO 和CD 的延长线交于E ，求证：BO=OE ． 【分析】证线段相等，可证线段所在三角形全等．可证△COE ≌△COB ．已知OC 为公共边，∠OCE=∠OCB，又易证∠E=∠EBC．问题得证． 【证明】在□ABCD中，∵AB//CD， ∴， 又∵（角平分线定义）． ∴， 又∵， ∴△≌△ ∴． 说明：证线段相等通常有两种方法：（1）在同一三角形中证三角形等腰；（2）不在同一三角形则证两三角形全等．本题也可根据等腰三角形“三线合一”性质证明结论．
【例3】如图，在ABCD中，AE⊥BC于E ，AF⊥DC 于F ，∠ADC=60°，BE=2，CF=1，求△DEC 的面积． 【解】在中，，、． 在Rt △ABE 中，，． ∴，． ∴． 在△中，． ∴． 故． 【例4】已知：如图，D 是等腰△ABC 的底边BC 上一点，DE//AC ，DF//AB ．求证：DE+DF=AB． 【分析】由于，，从而可以利用平行四边形的定义和性质，等腰三角形的判定和性质来证． 【解】∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵，∴．
∵，∴． ∴． ∴． 说明：证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是：把三条线段中较长的线段分为两段，证明这两段分别等于另两条线段． 【例5】如图，已知：中，、相交于点，于， 于，求证：． 【分析】 【解】因为四边形是平行四边形， 所以，． 又因为、交于点， 所以． 又因为，， 所以．
第十八章平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第一课时平行四边形的边、角特征 知识点梳理 1、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作□ABCD。 2、平行四边形的对边相等，对角相等，邻角互补。 3、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条直线之间的距离。知识点训练 1．(3分)如图，两对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是________． 2．(3分)如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，那么图中共有平行四边形( ) A．6个B．7个C．8个D．9个 3．(3分)在□ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，则□ABCD的周长为cm. 4．(3分)用40 cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3∶2，则较长的边的长度为cm. 5．(4分)在□ABCD中，若∠A∶∠B＝1∶5，则∠D＝；若∠A＋∠C＝140°，则∠D＝． 6．(4分)(2014·)如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则□ABCD的周长是． 7．(4分)如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝53°，则∠BCE的度数为( ) A．53°B．37°C．47°D．123°
8．(8分)(2013·)如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE＝DF. 求证：AE＝CF. 9．(4分)如图，点E，F分别是□ABCD中AD，AB边上的任意一点，若△EBC的面积为10 cm2，则△DCF的面积为。 10．(4分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，记△ABO的面积为S1，△COD的面积为S2，则S1，S2的大小关系是( ) A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法比较 11．在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是( ) A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1 C．2∶2∶1∶1 D．2∶1∶2∶1 12．如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM，下列说确的是( ) A．①②都对B．①②都错C．①对②错D．①错② 13．如图，在□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF ＝60°，则□ABCD的周长为__．
九年级第一章测试题（特殊的平行四边形） 考试时间120分钟，满分100分 第I 卷（选择题，共30 分） 、选择题（每题3分，共30 分） 2 .若平行四边形的一边长为10cm,则它的两条对角线的长度可以是 3.如图，平行四边形ABCD 中，经过两对角线交点 0的直线分别交 于点E ,交AD 于点F.若BC=7 CD=5 OE=2则四边形ABEF 的周长等 于 （ ） 如图，矩形ABCD 勺对角线AC BD 相交于点0, CE// BD, DE// AC 若 AC=4则四边形CODE 勺周长（ ） 6 C . 8 姓名 班级 得分 1.以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形, 最多能作（ A. 4个 B . 3个 C. 2个 D. 1个 A. 5cm 和 7cm B. 18cm 和 28cm C. 6cm 和 8cm D. 8cm 和 12cm BC A. 14 B . 15 C. 16 D.无法确定 D . 10
A. S i =S B . S i >S C. S v S 2 D 不能确定 120°,若一条对角线的长是2,那 5.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到 一个钝角为120° 6.如图，菱形ABCD 中,对角线AC BD 交于点0,菱形ABCD 周长为32, 点P 是边CD 的中点，贝懺段OP 的长为（ 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ） A. 15° 或 30 B . 30° 或 45 C. 45° 或 60° D. 30° 或 60° A. 3 B. 5 C. 8 7.如图，在平行四边形ABCD 中, HG// AB 若四边形AEPH 和四边形 S 2的大小关系为（ ） BD 上一点 P,作 EF// BC ， CFPG 勺面积分另为S i 和S,则S 与 过对角线 n A C B
一、知识点讲解： 1．平行四边形的性质： 四边形ABCD 是平行四边形?????? ????. 54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等； （）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 2.平行四边形的判定： . 3. 矩形的性质： 因为四边形ABCD 是矩形??? ? ??.3; 2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ (4)是轴对称图形，它有两条对称轴． 4矩形的判定： (1)有一个角是直角的平行四边形； (2)有三个角是直角的四边形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)对角线相等且互相平分的四边形． ?四边形ABCD 是矩形. 两对角线相交成60°时得等边三角形。 5. 菱形的性质： 因为ABCD 是菱形??? ? ??.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等； （有通性；）具有平行四边形的所（ 6. 菱形的判定： ?? ? ?? +边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321?四边形ABCD 是菱形. 菱形中有一个角等于60°时，较短对角线等于边长； 菱形中，若较短对角线等于边长，则有等边三角形； 菱形中，两对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，每个直角三角形的斜边是菱形的边，两直角边分别是两对角线的一半。 菱形的面积等于两对角线长积的一半。 A B D O C A B D O C A D B C A D B C O C D B A O C D B A O
C D A B A B C D O 7.正方形的性质： 四边形ABCD 是正方形??? ? ??.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角； ）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ 8. 正方形的判定： ???? ? ? ? ?? ++++++对角线互相垂直矩形）（一组邻边等 矩形）（对角线相等）菱形（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（54321?四边形ABCD 是正方形. 9. 1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三 遍的一半。 2．由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 二、例题 例1：如图1，平行四边形ABCD 中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E 、F. 求证：∠BAE =∠DCF. 例2如图2，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE⊥AC 于E ，CF⊥BD 于F. 求证：BE = CF. 例3．已知：如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 交于点O ，F ，G 分别是OB ，OC 的中点．求证：四边形DFGE 是平行四边形． 例4如图7 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别相交于点E ，F. 求证：四边形AFCE 是菱形. （图1） O A B C D E F （图2） B
特殊四边形经典例题 ①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形； 于点M，N．给出下列结论： ①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S四边形BFNM=S平行四边形ABCD． 其中正确的结论有（） MNQP，分别内接于△BCD和△ABD，设矩形EFCH，MNQP的周长分别为m1，m2，则 m1，m2的大小关系为（） 6．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断： ①EF是△ABC的中位线； ②△DEF的周长等于△ABC周长的一半； ③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC； ④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形， 其中正确的是（）
7．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n， 过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n=_________．8．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作内接正方形 A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是_________． 9．已知如图，在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，其中BG=10，BC：CG=2：3，则S△ECG=_________，S△AEG=_________． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长 度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． （1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？ （2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．
1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组邻角相等 2.如图，EF过□ABCD的对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若AB＝4，BC＝5，OE＝，那么四边形EFCD 的周长是( ) 3.两直角边不等的两个全等的直角三角形能 拼成平行四边形的个数( ) 4.过不在同一直线上的三点，可作平行四边形的个数是( ) 个个个个 5.如图，已知□ABCD的对角线交点是O，直线EF过O点，且平行于BC，直线GH过且平行于AB，则图中共有( )个平行四边形. 6.以下结论正确的是( ) A.对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形 B.一边长为5cm，两条对角线分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形 C.一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形 D.对角线相等的四边形是平行四边形 7．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）． A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 8．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）． A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点 9．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）． A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形; B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形; C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形 10．如上右图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“∨”，错误的打“×”．（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（） （2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（） （3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（） （4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（） （5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（） （6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（） 1．在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF，四边形DEBF是平行四边形吗请说明理由．
中心对称与平行四边形的判定 知识归纳 1.中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与 原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 分析：一个图形；围绕一点旋转1800；重合. 2.思考：中心对称与中心对称图形有什么区别和联系? 1)区别： 中心对称是指两个全等图形之间的位置关系，成中心对称的两个图形中，其中一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在这；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称，中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上. 2)联系： 如果将中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形也可以看成是关于中心对称的两个图形. 3.中心对称图性质 1)中心对称图形的对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 2)中心对称图形的两个部分是全等的． 注：常见的中心对称图形有：矩形，菱形，正方形，平行四边形，圆,边数为偶数的正多边形，某些规则图形等． 正偶边形是中心对称图形 正奇边形不是中心对称图形如：正三角形不是中心对称图形、等腰梯形不是中心对称图形 4.平行四边形的性质： ①平行四边形两组对边相等。 ②平行四边形两组对角相等。 ③平行四边形对角线互分平分。 5.平行四边形判定： 定理1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定理2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 定理3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 定理4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 6.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 7.逆定理1：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是 三角形的中位线。 逆定理2：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
特殊平行四边形专题练习 一、基础知识点复习: (一)矩形: 1、矩形的定义:__________________________的平行四边形叫矩形. 2、矩形的性质:①.矩形的四个角都就是______;矩形的对角线__________________________. ②、矩形既就是对称图形,又就是图形,它有条对称轴、 3、矩形的判定:①.有_____个就是直角的四边形就是矩形. ②.对角线____________________________的平行四边形就是矩形. ③.对角线________________________________的四边形就是矩形. 4、练习:①矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOD=120°,AB=4cm, 则矩形对角线AC长为______cm. ②.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,能判断它为矩形的题设就是( ) A.AO=CO,BO=DO B.AO=BO=CO=DO C.AB=BC,AO=CO D.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD ③.四边形ABCD中,AD//BC,则四边形ABCD就是 ___________,又对角线AC,BD交于点O, 若∠1=∠2,则四边形ABCD就是_______________. (二)菱形: 1、菱形的定义:有一组_________________________相等的平行四边形叫菱形. 2、菱形的性质:①.菱形的四条边______;菱形的对角线_____________,且每条对角线______________. ②、菱形既就是对称图形,又就是图形,它有条对称轴、 3、菱形的判定:①.__________________边都相等的四边形菱形. ②.对角线_____________________________的平行四边形就是菱形. ③.对角线_____________________________________________的四边形就是菱形. 4、菱形的面积与两对角线的关系就是________________________ 5、练习:①.如图,BD就是菱形ABCD的一条对角线,若∠ABD=65°,则∠A=_____. ②. 一个菱形的两条对角线分别就是6cm,8cm,则这个菱形的周长等于cm, 面积= cm2 ③.若菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角的度数比为 (三)正方形: 1、正方形的定义: 的平行四边形叫正方形。 2、正方形的性质:①.正方形的四个角就是_____角,四条边_____,对角线_______________________. ②.正方形就是______对称图形,又就是对称图形,它有______条对称轴. 3.正方形的判定:先判定这个四边形就是矩形,?再判定这个矩形还就是_____形; 或者先判定四边形就是菱形,再判定这个菱形也就是_____形. 4.练习:①正方形的面积为4,则它的边长为____,对角线长为_____. ②已知正方形的对角线长就是4,则它的边长就是 ,面积就是。
平行四边形的证明题类型汇总 平行四边形的证明题类型很多，是期末考试的重点，也是中考的热点，为了降低学生学习这方面的难度，特把这章的证明问题总结如下，一共写了28道题目，当然还有没有总结到的，还希望学生多多思考和总结，把没有写上的证明题目也要学会 1.平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形 2.分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB于F，连接DF， （1）试说明AC=EF； （2）求证四边形ADEF是平行四边形
3.如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E,F分别在CD,AB 的延长线上，且AE=AD,CF=CB. (1)求证：四边形AFCE是平行四边形； (2)若去掉已知条件中的“∠DAB=60°，”上述结论还成立吗？若成立请写出证明过程；若不成立，请说明 理由. 4如图以平行四边形ABCD的对角线AC为斜边作Rt△AMC，且∠BMD 为直角.求证：四边形ABCD是矩形.
5.如图，在等边△ABC中，点D是BC的中点，点F是AB边的中点，以AD为边作等边△ADE，连接CE,CF，求证四边形AFCE是矩形. F E C 6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与对角线AC 交于点O,与边AD,BC分别交于点E,F四边形AFCE 是不是菱形？为什么？ 7.如图，在平行四边形ABCD中， AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得到△GFC.若∠B=60°，当AB与BC满足 什么数量关系时，四边形ABFC是菱形？证 明你的结论.
1.平行四边形的性质： ①平行四边形两组对边相等。 ②平行四边形两组对角相等。 ③平行四边形对角线互分平分。 2.平行四边形判定： 定理1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定理2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 定理3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 定理4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 4.逆定理1：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是 三角形的中位线。 逆定理2：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
第四节：中心对称图形 课堂练习 1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（） A．正三角形B．平行四边形C．等腰直角三角形D．正六边形 2.下列图形中，不是中心对称图形的是（） 3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）． 4.下三图是由三个相同的小正方形拼成的图形，请你再添加一个同样大小的小正方形， 使所得的新图形分别为下列A，B，C题要求的图形，请画出示意图． （1）是中心对称图形，但不是轴对称图形； （2）是轴对称图形，但不是中心对称图形； （3）既是中心对称图形，又是轴对称图形． 第五节：平行四边形的判定 例题讲解 例1：判断下列说法的正误，如果错误请画出反例图 ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。( ) ②一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形. ( ) ③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．( ) ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．( ) ⑤两组邻角互补的四边形是平行四边形。( )
特殊平行四边形复习 矩形 1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为 2 ：菱形具有而矩形不具有的性质是（） A．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补 3：已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，?H， ? 求证：?四边形EFGH是矩形． 二．菱形 1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE． 2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形． ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别3、如图，在 交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形. A B C D E F O 1 2
4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交 于M ，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE 。求证：AM=BE 。 5． （10湖南益阳）如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ． (1)求线段BE 的长． 6、（2011四川自贡）如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F 。请你猜想DE 与DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想 7、（2011山东烟台） 如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE ≌△BCF ； （2）判断△BEF 的形状，并说明理由； （3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围. B M A D C E D B C O 60
特殊平行四边形之证明题 题型一：菱形的证明 1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞ AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻 折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线 2．已知：如图，在ABCD Y 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △． （1）求证：BE DG =； （2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论． 3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ． （1）求证：△ABE ≌△AD ′F ； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论． 4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ． （1）求证：AD ＝CE ； （2）填空：四边形ADCE 的形状是 ． 5.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置，AB BF =，求证： 四边形BNDM 为菱形． D A E N M O A B C D E F D ′ A D G C B F E
6.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ， 连结BE ， CE . （1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. 7.如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△． （1）证明A AD CC B '''△≌△； （2）若30ACB ∠=°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC D ''是菱形，并请 说明理由． 8．在菱形 ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，． 点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ． （1）求BDE △的周长； （2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交 AD 于点Q ．求证：BP DQ =． 9．如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ． （1）求证：△ABC ≌△DCB ； （2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论． C D E M A B F N A Q D E B P C O C B A D A ' C '（第19 D ' A D M
平行四边形典型例题 1．已知如图12-1-19，所示□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE上AD于E，OF⊥BC于F． 求证：四边形AECF是平行四边形 错证：在△AOE和△COF中 ∵OE⊥AD，OF⊥BC ∴∠AEO=∠CFO=90° ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴OA＝OC，AD∥BC ∴∠EAC＝∠ACF ） ∴△AOE≌△COF（AAS）∴OF=OE ∴四边形AECF是平行四边形 错误分析：上面证明由OF＝OE，OA=OC不能说明EF与AC互相平分，因为原题设中没有说明E、O、F三点共线，因此先证E、O、F三点共线． 正确证明：在△AOE和△COF中 ∵OE⊥AD OF⊥BC ∴∠AEO＝∠CFO＝90° ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴OA＝OC，AD∥BC ∴∠EAC=∠ACF ∴△AOE≌△COF（AAS）∴OF＝OE 又∵AD∥BC，OE⊥AD，OF⊥BC ∴E、O、F三点共线 ( ∴四边形AECF是平行四边形
2．如图12-1-22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45°角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形． 分析：运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F，E，D共线． 解：取AC、BC的中点E、D连结ED，则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C与点A重合，再焊接上去最简单． 证明：在Rt△ABC中∵AC＝BC ∴∠B=45° 又∵E、D分别为AC、BC的中点 ∴EC＝DC ∴∠CED＝∠CDE＝45° ∴∠AEF＝∠CED＝45°∴∠AEF+∠AED=∠CED+∠AED＝180° ∴F、E、D在一条直线上∵∠EAF＝∠C＝90°∴AF∥CD — 又∵AF＝CD＝DB ∴四边形AFDB是平行四边形，且∠B＝45° 3．如图12-1-23，在□ABCD的对角线上取两点E、F，且BF＝DE，请至少用两种不同的方法证明四边形AECF 是平行四边形，并指出哪种方法最简便． 分析：可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分． 证明方法（一） 在△ABF和△CDE中，AB＝CD，BF＝DE，∠ABF＝∠CDE． ∴△ABF≌△CDE ∴AF＝CE 同理可证AE＝CF，故四边形AECF是平行四边形 方法（二） 连AC交BD于O %
八年级数学《特殊平行四边形》综合练习题 一，选择题（39分） 1：在下列命题中，正确的是（ ） A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．有一个角是直角的四边形是矩形 C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（ ）。 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且OE a =，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．16a B ．12a C ．8a D ．4a 5.对角线互相垂直平分的四边形是（ ） A ．平行四边形、菱形 B ．矩形、菱形 C ．矩形、正方形 D ．菱形、正方形 6.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A .等腰梯形 B .正方形 C .平行四边形 D .矩形 7.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形 8.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形 B ．如果90BA C ∠=，那么四边形AEDF 是矩形 C ．如果A D 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形 D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 9.如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于（ ） A ． B ． C ． D ．8 10.如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ， D C B A Ａ Ｆ Ｃ Ｄ ＢＥ Ｂ Ｆ Ｃ Ｅ Ｄ Ａ A D