九（上）数学知识点答案
第一章一元二次方程
一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。
（2）一元二次方程的一般式及各系数含义
一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
2、分解因式法
（1）分解因式的概念
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据a·b=0，那么a=0或b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。
（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤
一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。
3、配方法
（1）直接开平方法的定义
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。
（2）配方法的步骤和方法
一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解。
4、公式法
（1）求根公式
b2-4ac≥0时，x=
a ac
b b
2
4 2-
±
-
(2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义
一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)；二、计算b2-4ac 的值，当b2-4ac≥0时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。
命题与证明
二、知识要点梳理
知识点一：定义
要点诠释：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义．
知识点二：命题
要点诠释：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．（句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．）
知识点三：命题的结构
要点诠释：命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
知识点四：公理
要点诠释：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。例如：“两点之间线段最短”，“一条直线截两条平行所得的同位角相等”
知识点五：：定理
要点诠释：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。
知识点六：真命题与假命题
要点诠释：如果题设成立，那么结论一定成立，像这样的命题叫做真命题。相反，如果题设成立时，不能保证结论总是正确的，就认为结论不成立，像这样的命题叫做假命题，凡是假命题都是错误的命题。
知识点七：证明
要点诠释：由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。（证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程）
知识点八：假命题的判定
要点诠释：只需举出反例，它符合命题的题设，但不满足结论，即可判定该命题是假命题。
知识点九：反证法
要点诠释：从假设所需证的命题的结论不成立出发，结合条件推出与已知条件或正确命题相矛盾的结论，说明假设错误，原命题成立的证明方法
三、规律方法指导
1.数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
2.证明的意义：在几何中，除了公理以外，不管所论及的命题的结论是多么明显，都必须通过推理来证明．
3.反证法的适用范围
（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；（2）命题的结论以否定形式出现时；
（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；
（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；（6）关于存在性命题；
（7）某些定理的逆定理。
四、经典例题透析
类型一：
例、判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？
（1）对顶角相等；(2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等；
（４），两条直线平行吗? (5)鸟是动物；(6)若，求的值；(7)若，则．
思路点拨:通过本题熟悉命题的定义
解析：句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中(1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的．
总结升华：数学课的主要研究对象是数学知识，所以今后的相关学习是研究数学命题。
举一反三：
【变式1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?
(1)若a＜b，则；
(2)三角形的三条高交于一点；
(3)在ΔABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B吗?
(4)两点之间线段最短；
(5)解方程；
(6)1＋2≠3．
【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．
类型二：
例、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
(1)三条边对应相等的两个三角形全等；
(2)在同一个三角形中，等角对等边；
(3)对顶角相等；
(4)同角的余角相等；
(5)三角形的内角和等于180°；
(6)角平分线上的点到角的两边距离相等．
思路点拨:找出命题的条件和结论是本题的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去．
解析：（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．
（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“在一个三角形中”，在改写时不能遗漏．（3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．
（5）条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180°”．这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°”；
(6) “如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。”
∠AOC平分线是OE，∠DOB平分线是OF，判断OE和OF是在同一条直线上
C的平分线OF互为反向延长线，即OE、OF在同一条直线上，但∠1≠∠3，∴∠AOD≠∠BOD，A、O、B不在同一条直线上，∴不是对顶角，填×。
类型三：
例、证明：“如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直．”
思路点拨:总结步骤：
1．审题：分清命题的“题设”和“结论”．
2．译题：结合图形中的字母及符号，写出已知，求证．
3．想题：用“执因索果”(综合法)；用“执果索因”(分析法)寻找论证推理的逻辑思路．一般是把二者结合起来思考，效果较好，这也叫综合分析法．
4．证题：从已知出发，每一步过程要有根据(定义，公理或定理)最后得到结论，全面推理过程要因果分明．
解析：已知：a∥b，a⊥c，
求证：b⊥c
证法(一)：∵a⊥c，(已知)
∴∠1=90°．(垂直的定义)
∵a∥b，(已知)
∴∠1=∠2，(两直线平行，同位角相等)
∴∠2=90°，(等量代换)
∴b⊥c．(垂直定义)
证法(二)：∵a∥b，(已知)
∴∠1=∠2．(两直线平行，同位角相等)
∵a⊥c，(已知)
∴∠1=90°，(垂直定义)
∴∠2=90°，(等量代换)
∴b⊥c．(垂直定义)
【变式1】求证：同角的余角相等．
已知：∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角．
求证：∠2=∠3．
【答案】证明：因为∠2与∠1互为余角，∠3与∠1互为余角，(已知) 所以∠2+∠1=90°，∠3+∠1=90°．(余角定义)
所以∠2+∠1=∠3+∠1．(等量代换)
则∠2=∠3．(等量减等量差相等)
类型四：例、已知：如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，
1 3与1
1
相交于点P.
求证：1
3
与l
2
相交．
（使用反证法）
思路点拨:仔细阅读反证法的定义，掌握这种方法的规
律。
解析：证明：假设，1
3与l
2
不相交，
即l
3∥l
2
，
又∵l
1∥l
2
（已知），
∴过直线1
2外一点P有两条直线1
1
,1
3
与直线1
2
平行，
这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，
∴假设不成立，即求证的命题成立，
∴1
3与1
2
相交．
【变式1】用反证法证明不是有理数
【答案】证明：假设是有理数，则可表示为（，为自然数，且互质）
两边平方，得
2n2=m2①
由①知m2必是2的倍数，进而m必是2的倍数．
令m=2p代入①式，得 n2=2p2②
由②知，必是2的倍数，m和n都是2的倍数，则m、n不互质，与假定m、n互质相矛盾，不是有理数．
【变式2】我们年级有367名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日．
【答案】设“假设任何两个学生都不在同一天过生日”
所以这367人就会有不同的367天过生日
这就出现了与一年只有365天（闰年366天）的矛盾．
因此反设不成立。
所以“至少有两个学生在同一天过生日”
第三章图形的相似
直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形是相似的．
1、线段的比
一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段ＰＱ，Ｐ′Ｑ′的长度分别为ｍ，ｎ，那么把长度的比ｎｍ叫作这两条线段Ｐ′Ｑ′与ＰＱ的比，记作Ｐ′Ｑ′/ＰＱ＝ｎ/ｍ，或Ｐ′Ｑ′∶ＰＱ＝ｎ∶ｍ，其中Ｐ′Ｑ′，ＰＱ分别叫作比的前项、后项，如果ｎ/ｍ的比值为ｋ，那么也可写成Ｐ′Ｑ′/ＰＱ＝ｋ，或Ｐ′Ｑ′＝ｋ·ＰＱ．
一般地，在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，
那么这四条线段叫作成比例线段
2、比例的基本性质
比例的基本性质：如果ａ/ｂ＝ｃ/ｄ，那么ａｄ＝ｂｃ．
3、相似三角形的性质和判定
角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三
角形．如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ相似，且Ａ′，Ｂ′，Ｃ′分别与Ａ，Ｂ，Ｃ对应，那么记作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，读作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的对应边的比ｋ叫作相似比
判定定理１如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那
么这两个三角形相似．
判定定理１ 可以简单说成：三边对应成比例的两个三角形相似． 判定定理２ 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等， 那么这两个三角形相似.
判定定理２ 可以简单说成：两角对应相等的两个三角形相似.
相似三角形周长的比等于相似比， 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 判定定理３ 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条 边对应成比例， 并且夹角相等， 那么这两个三角形相似。
判定定理３ 可以简单说成：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
4、相似多边形
把对应角相等， 并且对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形． 相似多边形的对应边的比ｋ 叫作相似比． 相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似比的平方． 取定一点Ｏ， 把图形上任意一点Ｐ 对应到射线ＯＰ （或它的反向延长线）上 一点Ｐ ′ ， 使得线段ＯＰ ′与ＯＰ 的比等于常数ｋ（ｋ ＞ ０）， 点Ｏ 对应到它自身， 这种变换叫作位似变换 ， 点Ｏ 叫作位似中心， 常数ｋ 叫作位似比， 一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形．从位似变换和位似的图形的定义立即得出：
两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
5、相似多边形的性质
性质１ 相似多边形的对应边成比例 性质２ 相似多边形的对应角相等．
性质３ 相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似 比的平方．
6、相似多边形的判定
对应角相等， 对应边成比例的两个多边形相似．
第四章、解直角三角形
直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=
2
1AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C
B
几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2
1
AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+
5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比
例中项
∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2
AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：AB ?CD=AC ?BC 锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90°
c a
sin =∠=
斜边的对边A A
c b
cos =∠=
斜边的邻边A A
b a
tan =∠∠=
的邻边的对边A A A
a
b
cot =∠∠=
的对边的邻边A A A
锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数
锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0. 锐角三角函数之间的关系
（1）平方关系
1cos sin 22=+A A
（2）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1 （3）弦切关系
tanA=
A A
cos sin cotA=A
A sin cos （4）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) 特殊角的三角函数值
说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。解直角三角形的理论依据：以上.
对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角、坡度.
补充：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。 有关公式
（1）1sin 2S ab C ?=
=1sin 2bc A =1
sin 2
ac B （2）Rt △面积公式：11
22
S ab ch ==V
（3）结论：直角三角形斜边上的高ab
h c
=
α h
i
i=h/l=tg α
（4）测底部不可到达物体的高度．， 解直角三角形的知识的应用，可以解决： (1)测量物体高度． (2)有关航行问题．
(3)计算坝体或边路的坡度等问题
第五章、统计与概率
一、统计的基础知识
1、统计调查的两种基本形式： 普查：对调查对象的全体进行调查； 抽样调查：对调查对象的部分进行调查； 总体：所要考察对象的全体； 个体：总体中每一个考察的对象； 样本：从总体中所抽取的一部分个体；
样本容量：样本中个体的数目（不带单位）； 平均数：对于n 个数12,,,n x x x L ，我们把121
()n x x x n
+++L 叫做这n 个数的平均数； 中位数：几个数据按大小顺序排列时，处于最中间的一个数据（或是最中间两个数据的平均数）叫做中位数； 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据； 方差：2222121
()()()n S x x x x x x n
??=
-+-++-??L ，其中n 为样本容量，x 为样本平均数；
标准差：S ，即方差的算术平方根；
极差：一组数据中最大数据与最小数据的差称为这组数据的极差；
频数：将数据分组后落在各小组内的数据个数叫做该小组的频数；
频率：每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率；
★ 频数和频率的基本关系式：频率 = ——————
各小组频数的总和等于样本容量，各小组频率的总和等于1； 扇形统计图：圆表示总体，扇形表示部分，统计图反映部分占总体的百分比，每个扇形的圆心角度数=360°× 该部分占总体的
频数
样本容量 各 基 础 统
计
量
频 数 的 分
布 与 应 用
2、 3、
百分比；
会填写频数分布表，会补全频数分布直方图、频数折线图；
二、概率的基础知识
必然事件：一定条件下必然会发生的事件；
不可能事件：一定条件下必然不会发生的事件；
2、不确定事件（随机事件）：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件；
3、概率：某件事情A发生的可能性称为这件事情的概率，
记为P(A)
；
P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(不确定事件)＜1；
★概率计算方法：
P(A) = ————————————————例如
注：对于两种情况时，需注意第二种情况可能发生的结果总数
例：①袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P =
1
10
②袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后放回
．．，
1、确定事件
事件A发生的可能结果总数
所有事件可能发生的结果总数运用列举法（常用树状图）计算简单事件发生的概率
…………
4再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P =
25
最新初中数学九年级知识点汇总
第一章实数 一、重要概念1.数的分类及概念数系表： 说明：“分类”的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准 2.非负数：正实数与零的统称。(表为：x≥0) 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 3.倒数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.0
代数定义： 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 1.运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方) 2.运算定律(五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律) 3.运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左” 到“右”(如5÷×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例(略) 附：典型例题 1.已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b =b-a. 2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。 第二章代数式 ★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 分类：
九（上）数学知识点覃勉 第一章一元二次方程 一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。 （2）一元二次方程的一般式及各系数含义 一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 2、分解因式法 3、配方法 4、公式法 （1）求根公式： b2-4ac≥0时，x= a ac b b 2 4 2- ± - (2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义 一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)；二、计算b2-4ac 的值，当b2-4ac≥0时，方程有实数根（＞0有两个实数根，=0两个相等实数根）.当b2-4ac ＜0时，方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。 第三章图形的相似 1、线段的比 一般地，在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比， 那么这四条线段叫作成比例线段 2、比例的基本性质 如果ａ/ｂ＝ｃ/ｄ，那么ａｄ＝ｂｃ． 3、相似三角形的性质和判定 角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三 角形．如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ相似，且Ａ′，Ｂ′，Ｃ′分别与Ａ，Ｂ，Ｃ对应，那么记作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，读作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的对应边的比ｋ叫作相似比 判定定理１三边对应成比例的两个三角形相似． 判定定理２两角对应相等的两个三角形相似. 判定定理３两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方
年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数 一、知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整 数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ????? ????负分数负整数负有理数零正分数 正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0) 0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负 数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1 ；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数.
人教新版初中数学知识点总结（全面最新） 目录 一、七年级数学（上）知识点 1、有理数 2、整式的加减 3、一元一次方程 4、图形的认识初步 二、七年级数学（下）知识点 5、相交线与平行线 6、实数 7、平面直角坐标系 8、二元一次方程组 9、不等式与不等式组 10、数据的收集、整理与描述 三、八年级数学（上）知识点 11、三角形 12、全等三角形 13、轴对称 14、整式的乘除与分解因式 15、分式
四、八年级数学（下）知识点 16、二次根式 17、勾股定理 18、平行四边形 19、一次函数 20、数据的分析 五、九年级数学（上）知识点 21、一元二次方程 22、二次函数 23、旋转 24、圆 25、概率 六、九年级数学（下）知识点 26、反比例函数 27、相似 28、锐角三角函数 29、投影与视图 七年级数学（上）知识点
第一章有理数 一．知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0 p q,p( p q ≠ 为整数且形式的数，都是有理数. (2)有理数的分类: ① ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 负分数 负整数 负有理数 零 正分数 正整数 正有理数 有理数 ② ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 负分数 正分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 注意：0即不是正数，也不是负数； -a不一定是负数，+a也不一定是正数； π不是有理数； 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a和- a互为相反数；
0的相反数还是0； (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) ?? ???<-=>=) 0()0(0) 0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a ) 0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ； 正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组； 5.有理数比大小： 两个负数比大小，绝对值大的反而小； 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1； 若ab=1? a 、b 互为倒数； 若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对
第一章直角三角形 一、直角三角形的性质与判定 1、直角三角形:有一个内角就是直角的三角形。 三角形内角与等于180°。 三角形中线:连接三角形的一个顶点与它的对边中点的线段。 2、直角三角形的性质 A、直角三角形的两个锐角互余。 B、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 C、在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 D、在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°。 3、直角三角形的判定 A、有两个角互余的三角形就是直角三角形。 B、如果三角形一边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形就是直角三角形。 二、勾股定理 1、勾股定理:直角三角形两直角边a,b的平方与,等于斜边的c的平方,即a2＋b2=c2。 2、在直角三角形中,已知任意两条边长,可以根据勾股定理求出第三边的长。 3、如果三角形的三边长a,b,c有下面关系:a2＋b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形。 三、直角三角形全等的判定 1、斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。 2、直角三角形全等的条件(A表示对应角相等、S表示对应边相等) 四、角平分线的性质 1、角平分线上的点到角的两边的距离相等。 2、角的内部到角的两边距离相等的点在叫的平分线上。
第二章四边形 一、多边形 1、多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 A、组成多边形的各条线段叫做多边形的边。 B、每相邻两条边的公共端点叫做多边形的焦点。 C、连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 D、相邻两边组成的角叫作多边形的内角,简称多边形的角。 2、多边形的内角与 n边形的内角与等于(n－2)*180°。 3、多边形的外角与 A、多边形外角的定义:多边形的内角的一边与另一边的方向延长线所组成的角。 B、多边形外角与的定义:在多边形的每一个顶点处取一个外角,它们的与。 C、多边形外角与定理:任意多边形的外角与等于360°。 D、多边形外角与定理的证明:多边形的每个内角与跟它相邻的外角就是邻补角,所以n边形内角与加外角与等于n*180°,外角与等于n*180°－(n－2)*180°=360°。 4、正多边形 A、在平面内,边相等、角也相等的多边形叫作正多边形。 ○1正多边形必须满足:各边相等、各内角相等。缺一不可。 ○2各内角相等,所以每个内角为 ○3各外角相等,外角为,每个内角为180°－。 ○4正多边形都就是轴对称图形,正n边形有n条对称轴,当n为偶数时,正n边形既就是轴对称图形也就是中心对称图形。 二、平行四边形 1、平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。用表示。 2、平行四边形的对边平行且相等、对角相等。 3、平行四边形的判定:
九年级上学期期末考试数学试题 时间：120分钟满分：120分 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( ) A．－1 B. 2 C．1和 2 D．－1和 2 2．cos60°－sin30°＋tan45°的值为( ) A．2 B．－2 C．1 D．－1 3．在反比例函数y＝k x (k<0)的图象上有两点(－1，y1)，(－ 1 4 ，y2)，则y1 －y2的值是( ) A．负数 B．非正数 C．正数 D．不能确定 4．某校为了解八年级学生每周课外阅读情况，随机调查了50名八年级学生，得到他们在某一周里课外阅读所用时间的数据，并绘制成频数分布直方图，如图所示，根据统计图，可以估计在这一周该校八年级学生平均课外阅读的时间约为( ) A．2.8小时 B．2.3小时 C．1.7小时 D．0.8小时
,第4题图) ,第5题图)
,第6题图) ,第7题图) 5．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC之比)，坝高BC＝3 m，则坡面AB的长度是( ) A．9 m B．6 m C．6 3 m D．3 3 m 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，则下列不正确的是( ) A．∠B＝60° B．a＝5 C．b＝5 3 D．tan B＝ 3 3
7．如图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，O 为位似 中心，OD ＝12 OD ′，则A ′B ′∶AB 为( ) A ．2∶3 B ．3∶2 C ．1∶2 D ．2∶1 8．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则 m 的值是( ) A ．－2或3 B ．3 C ．－2 D ．－3或2 9、如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则下列结论不一定成立的是( ) A ．AD ＝BC ′ B ．∠EBD ＝∠EDB C ．△ABE ∽△CB D D ．sin ∠ ABE ＝AE ED 10、已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是1x =，则下列结论中正确的是（ ）． Ａ．0ac > Ｂ．0b < Ｃ．240b ac -< Ｄ．20a b +=
中考数学知识点 知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为 1. 2．当x=3时,函数y= 2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.
(1,2). 6．抛物线 2)1(2 1 2+-= x y 的顶点坐标是7．反比例函数x y 2=的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 260°+ cos 260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1. 知识点7：圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧.
第1章反比例函数 1.1 反比例函数 教学目标 【知识与技能】 理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式. 【过程与方法】 经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力. 【情感态度】 培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值. 【教学重点】 理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式. 【教学难点】 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想. 教学过程 一、情景导入，初步认知 1．复习小学已学过的反比例关系，例如： (1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数) (2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数) 2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？ 【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础. 二、思考探究，获取新知 探究1：反比例函数的概念
（1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式. （2）利用（1）的关系式完成下表： （3）随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？ （4）平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？ （5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？ 【归纳结论】一般地，如果两个变量x,y之间可以表示成y=k （k为常数且k≠0）的形式， x 那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量，常数k称为反比例函数的比例系数. 【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．探究2：反比例函数的自变量的取值围思考：在上面的问题中，对于反比例函数v=3000/t，其中自变量t可以取哪些值呢？分析：反比例函数的自变量的取值围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值围.由于t代表的是时间，且时间不能为负数，所有t的取值围为t>0. 【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动． 三、运用新知，深化理解 1.见教材P3例题. 2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？ (1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系； (2)压强p一定时，压力F与受力面积S的关系；
初三数学知识点考点归纳总结 一、相似三角形7个考点 考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小 考核要求：1理解相似形的概念;2掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小. 考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理 考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算. 注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用. 考点3：相似三角形的概念 考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义. 考点4：相似三角形的判定和性质及其应用 考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理和性质，并能较好地应用. 考点5：三角形的重心 考核要求：知道重心的定义并初步应用. 考点6：向量的有关概念 考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算 考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算 二、锐角三角比2个考点 考点8：锐角三角比锐角的正弦、余弦、正切、余切的概念，30度、45度、60度角的三角比值. 考点9：解直角三角形及其应用 考核要求：1理解解直角三角形的意义;2会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形. 三、二次函数4个考点
考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数 考核要求：1通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;2知道常值函数;3知道函数的表示方法，知道符号的意义. 考点11：用待定系数法求二次函数的解析式 考核要求：1掌握求函数解析式的方法;2在求函数解析式中熟练运用待定系数法. 注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原. 考点12：画二次函数的图像 考核要求：1知道函数图像的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像;2理解二次函数的图像，体会数形结合思想;3会画二次函数的大致图像. 考点13：二次函数的图像及其基本性质 考核要求：1借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;2会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质. 注意：1解题时要数形结合;2二次函数的平移要化成顶点式. 四、圆的相关概念6个考点 考点14：圆心角、弦、弦心距的概念 考核要求：清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念，并会用这些概念作出正确的判断. 考点15：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 考核要求：认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明. 考点16：垂径定理及其推论 垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一. 考点17：直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系 直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆 的位置关系中，常需要分类讨论求解. 考点18：正多边形的有关概念和基本性质
第一章分式考点一、分式 1、分式的概念 一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成 A B 的形式，如果B中含有字母，式子 A B 就叫做分式。 其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。 2、分式的性质 （1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 （3）最简分式：分子分母没有公因式的分式叫做最简分式 （4）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分 （5）通分：把几个异分母分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 3、分式的运算法则 法则：有乘方的先算乘方，有括号先算括号里面的，再算乘除，最后算加减。运算顺序从左往右。化简和计算的结果必须是整式或最简分式。 a c ac a c a d ad 分式乘除：;; b d bd b d b c bc n a a n 分式乘方：()(n为整数); n b b a b a b 同分母分式相加减：; c c c 4、分式方程异分母分式相加减： a b c d a d bd b c 概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 解分式方程的步骤： （1）分式方程转化成一元一次方程。（即：去分母两边同乘最简公分母，等式的性质，每一项都要乘）（2）解一元一次方程 （3）检验（代入最简公分母中，等于0分式无解是增根，不等于0分式有解） （4）写出结果 考点二、整数的乘法 m n m n 整式的乘法：a a a(m,n都是正整数) （同底数幂相乘，底数不变指数相加） m n mn （a a(m,n都是正整数 ） )（幂的乘法，底数不变指数相乘） n n n (ab)a b(n都是正整数) （积的乘方，每一个因式的乘方） 22 (a b)(a b)a b（平方差的逆运算） 222 2 (a b)a ab b， 222 2 (a b)a ab b（完全平方公式的逆运算） m n n都是正整数（同底数相除，底数不变指数相减） m 整式的除法：a a a(m,n,a0) 注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。 （2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。
九上 第一章反比例函数 （一）反比例函数 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而 得到反比例函数的解析式； （二）反比例函数的图象与性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在
双曲线的另一支上． 4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形 PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为 ． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概 而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时， 两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． （三）反比例函数的应用 1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2、反比例函数与一次函数的联系． 3、充分利用数形结合的思想解决问题． 第二章一元二次方程 （一）一元二次方程 1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20 ax bx c ++=（a、b、c为常数， a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。 2、把20 ax bx c ++=（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项（包括符号）。 （二）一元二次方程的解法 1、直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得； 如果方程能化成 (p≥0)的形式，那么进而得出方程的根。 2、配方法：配方式 基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程
初三知识整理
全套教科书包含了课程标准（实验稿）规定的“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容，在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合，使它们形成一个有机的整体 九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域。包含以下章节： 第21章二次根式第22章一元二次方程 第23章旋转第24章圆 第25 章概率初步 本册书内容分析如下： 第21章二次根式 学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式”一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。 在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论： （1）是一个非负数； （2）≥0）； （3）(a≥0)． 注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算；一条是由二次根式的乘除法则得到 (a≥0，b≥0)，(a≥0，b>0)， 并运用它们进行二次根式的化简。
“二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。 第22章一元二次方程 学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程——一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。 本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念， “22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。 （1）在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。 （2）在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。 （3）在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种
第一章直角三角形 一、直角三角形的性质和判定 1.直角三角形：有一个内角是直角的三角形。 三角形内角和等于180°。 三角形中线：连接三角形的一个顶点与它的对边中点的线段。 2.直角三角形的性质 A.直角三角形的两个锐角互余。 B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 C.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 D.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 3.直角三角形的判定 A.有两个角互余的三角形是直角三角形。 B.如果三角形一边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 二、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边的c的平方，即a2＋b2=c2。 2.在直角三角形中，已知任意两条边长，可以根据勾股定理求出第三边的长。 3.如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 三、直角三角形全等的判定 1.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 2.直角三角形全等的条件（A表示对应角相等、S表示对应边相等） 四、角平分线的性质
1.角平分线上的点到角的两边的距离相等。 2.角的内部到角的两边距离相等的点在叫的平分线上。 第二章 四边形 一、多边形 1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 A .组成多边形的各条线段叫做多边形的边。 B .每相邻两条边的公共端点叫做多边形的焦点。 C .连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 D .相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角。 2.多边形的内角和 n 边形的内角和等于（n －2）*180°。 3.多边形的外角和 A .多边形外角的定义：多边形的内角的一边与另一边的方向延长线所组成的角。 B .多边形外角和的定义：在多边形的每一个顶点处取一个外角，它们的和。 C .多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。 D .多边形外角和定理的证明：多边形的每个内角与跟它相邻的外角是邻补角，所以n 边形内角和加外角和等于n *180°，外角和等于n *180°－（n －2）*180°=360°。 4.正多边形 A .在平面内，边相等、角也相等的多边形叫作正多边形。 ○ 1正多边形必须满足：各边相等、各内角相等。缺一不可。 ○2各内角相等，所以每个内角为 (n?2)?180°n ○3各外角相等，外角为360°n ，每个内角为180°－ 360°n 。 ○ 4正多边形都是轴对称图形，正n 边形有n 条对称轴，当n 为偶数时，正n 边形既是轴对称图形也是中心对称图形。 二、平行四边形 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。用表示。
第1章反比例函数 1.1反比例函数 一二旧知链接 1.下面的函数是反比例函数的是(). A.y=3x+1 B.y=x2+2x C.y=x2 D.y=3x 2.形如y=k x(k是常数,)的函数称为,其中x是,y是.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 3.下列函数中,属于反比例函数的是. ①y=2x+1;②y=2x2;③y=15x;④y=-23x;⑤x y=3;⑥2y=x;⑦x y=-1. 二二新知速递 1.在函数y=3x中,自变量x的取值范围是(). A.x?0 B.x>0 C.x<0 D.一切实数 2.若函数y=k x k-2是反比例函数,则k=. 3.列出下列问题中的函数表达式,并指出它们是什么函数. (1)某农场的粮食总产量为1500t,则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食x(t)的函数表达式; (2)在加油站,加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元,总价从0元开始随着加油量的变化而变化,则总价y(元)与加油量x(L)的函数表达式; (3)小明完成100m赛跑时,时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数表达式. 1.在反比例函数y=2x中,自变量x的取值范围是(). A.x?0 B.x>0 C.x<0 D.一切实数
2.当路程s一定时,速度v与时间t之间的函数关系是(). A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数 3.函数y=2k+1x是反比例函数,则k的取值范围是(). A.k?-12 B.k>-12 C.k<-12 D.k?0 4.若y与x成正比例,y与z成反比例,则下列说法正确的是(). A.z是x的正比例函数 B.z是x的反比例函数 C.z是x的一次函数 D.z不是x的函数 5.下列说法正确的是(). A.圆面积公式S=πr2中,S与r成正比例关系 B.三角形面积公式S=12a h中,当S是常量时,a与h成反比例关系 C.y=1x+1中,y与x成反比例关系 D.y=x-12中,y与x成正比例关系 6.在温度不变的情况下,一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例,当V=200时,p=50,则p =25时,V=. 7.在平面直角坐标系x O y中,点P到x轴的距离为3个单位长度,到原点O的距离为5个单位长度,则经过点P的反比例函数的表达式为. 8.已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=-6. (1)求y与x的函数表达式; (2)当x=4时,求y的值. 基础训练 1.下列问题中两个变量间的函数表达式是反比例函数的是(). A.小红1分钟可以制作2朵花,x分钟可以制作y朵花 B.体积10c m3的长方体,高为h c m时,底面积为S c m2 C.用一根长50c m的铁丝弯成一个矩形,一边长为x c m时,面积为y c m2 D.小李接到一次检修管道的任务,已知管道长100m,设每天能完成10m,x天后剩下的未检修的管道长为y m 2.若函数y=(m+2)x2m+1是反比例函数,则m的值为(). A.-2 B.1 C.2或1 D.-1 3.若y与-3x成反比例,x与z成正比例,则y是z的(). A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.不能确定
知识点1：一元二次方程的基本概念 1．一元二次方程3x 2 +5x-2=0的常数项是-2. 2．一元二次方程3x 2 +4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2 -5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2 -x-2=0. 知识点2：直角坐标系与点的位置 1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。 2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限. 知识点3：已知自变量的值求函数值 1．当x=2时,函数y=32-x 的值为1. 2．当x=3时,函数y=2 1-x 的值为1. 3．当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4：基本函数的概念及性质 1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 2 1-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2 -5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2 -10的对称轴是x=3. 6．抛物线2)1(2 12+-=x y 的顶点坐标是(1,2). 7．反比例函数x y 2 = 的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数 1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4. 3．数据1，2，3，4，5的中位数是3. 知识点6：特殊三角函数值 1．cos30°= 2 3. 2．sin 2 60°+ cos 2 60°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1. 5．cos60°+ sin30°= 1.
第一章证明(二) 1.等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2.等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。有一个角等于60o的的等腰三角形是等边三角形。如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：①勾股定理：a 2+b 2=c 2（注意区分斜边与直角边）；②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，，那么它所对的直角边等于斜边的一半；③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 3.垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。<直线与射线有垂线，但无垂直平分线>，线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。夹在两条平行线间的平行线段相等。 4.三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 第二章一元二次方程 1.只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。把ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。解一元二次方程的方法：①配方法<即将其变为(x+m)2=0的形式>②公式法（注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 2.根与系数的关系：当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程无实数根。如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1、x2，则有：x1+x2=-b/a；x1·x2=c/a。 第五章反比例函数 1.反比例函数的概念：一般地，y=k/x（k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。（x为自变量，y为因变量，其中x不能为零）。判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即xy=k>。（通常第二种方法更适用）；反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线。反比例函数性质：①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。 第六章频率与概率 在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数；每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率。 在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观。用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。 第一章直角三角形边的关系 1.正切：定义在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=∠A的对边/∠A的邻边。 ①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 2.正弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边； 3.余弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=∠A的邻边/斜边； 4.余切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA=∠A的邻边/∠A的对边； 5.一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则①sin A = cos(90°?∠A）等等。 6.记住特殊角的三角函数值表0°，30°，45°，60°，90°。 7.当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随 着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。同角的三角函数间的关系：tgα·ctgα=1，tg α=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα，sin2α+cos2α=1。 8.在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；(2)两锐角的