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线性代数基础学习书单

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线性代数是很传统的课程,国内还比较喜欢叫做高等代数,这就更加传统了。一般地,在我们的高等代数里,除了线性空间外,还有大量的矩阵论,一点点多项式理论。大致来说,线性代数可以从两个角度去看它,一是它的几何理论,即线性空间以及线性空间里的线性变换;二是代数方法,那就是矩阵论了。“所谓线性代数学,就是或者直接研究线性空间的几何问题,或者将线性空间的一些几何问题化为化为矩阵问题。所以线性空间理论和矩阵论实际上是相伴而生的。”(许以超,线性代数与矩阵论(第二版)·序言,p.ii)

至于多项式,在这里主要是一个将平面上的几何问题化为代数多项式问题来解决的方案,这是平面解析几何的问题。那么,多项式要不要学,光是看看那么多线性代数教科书里都要包含一章来讲多项式,就知道答案是肯定的。几何问题其实都可以是线性问题,这样,间接地,多项式也就跟线性代数挂上了钩。

不过,是否可以把多项式分出去就是一个值得考虑的问题了。我觉得多项式还是不要放在线性代数课程中为好,一则费时,二则也讲不透。事实上,很多老师会把本来放在前头的多项式挪到后面来讲,甚至干脆就不讲。有一门课叫做“整数与多项式”,不过现在很少在大学课堂里出现了。整数理论是属于数论的,但加减乘除跟多项式是一样的,比较一下算术基本定理和代数基本定理就知道了。另外,多项式其实也不是一个简单的问题,更不只限于跟整数挂钩。在多项式环中,我们有带余除法,若表示为分式,就扩展到有理域了,更进一步,我们去求根的话,那就有实根甚至复根,再则,还有多元多项式的问题。这显然不是在一本线性代数教科书的一章之内就可以交代清楚的。

当代线性代数课是比较注重空间理论的。这是符合线性代数本质的,因为在线性空间里,毕竟都是几何对象。首先得弄清楚这门课的对象,这一点是毫无疑义的。所以,刚开始学习线性代数时,应该把注意力集中在这方面。等到对此有了一个比较透彻的理解时,就该开始苦练矩阵计算的功夫了。矩阵是一种代数方法,虽然它看起来比线性空间理论要古老些,但现代数学的发展却是越来越重代数了,要想把线性代数的水平从本科程度上提高一下的话,代数基本功是重要的——以后可能不一定要用到矩阵论,但作为大一基础课,矩阵论是一个最好的也是最初的代数训练。另外,矩阵论已经相当成熟,有着一整套标准计算技巧和方法,很有实用价值。

还有两个问题要引起注意。一是要看到线性代数与其他课程的关系。比如,很多学校不是从一年级上学期就开这门课的,而是从下学期开,美国有些极端的做法甚至在大三才开课。这种情况其实就暗示了学习线性代数是需要一点其他知识的,尤其是微积分或者说数学分析的知识;另外,当微积分学到多元的时候,在高维空间里说话,也就需要一点线性代数的支持了。线性代数不跟其他东西联系起来,那是没有用的。

第二个问题是,线性代数仍在快速发展中,新的结果很多,要在基础课中追时髦是不太现实的。而且,实际上在本科阶段把它学好了,就已经可以在这个领域里开始做研究了(这一点比其他课都要划算)。所以,我认为在学这门课时,还是把眼睛紧盯着基础为上。

补充一点:线性代数是一门很基础的课程,但是,它不容易学。我觉得比较好的办法是,在学过一本基础教材后,那些“语言”不再是问题的时候,再去读一本高级一点的教材,然后再回头看过来。美国是有第二课程的,可以在这里面找找,或者读一本研究生水平的书。对于初学者,还是从容易入手的开始——

1. 李尚志,线性代数(数学专业用),高等教育出版社,2006

这本书是我觉得比较适合作为初学者入门的教材的。它不算是一本有分量的书,但绝对是一本很好的引论。这是对它的评论:“1.不是从定义出发,而是从问题出发来展开课程内容,

引导学生在分析和解决这些问题的过程中将线性代数的知识重新“发明”一遍,貌似抽象难懂的概念和定理也就成为显而易见。2.“空间为体,矩阵为用”,自始至终强调几何与代数的相互渗透。3.不板着面孔讲数学,努力采用生动活泼、学生喜闻乐见的语言。”

很多学生毕业后抱怨道:线性代数学过,还考了高分,但出来后回头看看,居然还是不懂。不懂的原因一是不知道它是干什么的,二是没注意过各种对象各种角度间的关系。李尚志的这本书,在这方面多少能帮到我们一点。

这本书是作者在中科大讲这门课时形成的。中科大还有两本曾经作为课本的线性代数教材:2. 李炯生、查建国、王新茂,线性代数(第2版),中国科技大学出版社,2010

这本书的第一版是1989年出的,讲义是1984年就用于83级的课堂了。这本书还有一个外号,叫做“亚洲第一难书”。其实,难的只是习题,科大的书大多在叙述上还是挺清晰易懂的。

3. 许以超,线性代数与矩阵论(第二版),高等教育出版社,2008

相对于国内传统的注重矩阵论的教材来说,这一本算是比较注重线性空间的了,但是如它的书名指出的,它仍然是偏重矩阵论的(作者自己也这么认为)。将这本书与李炯生的那本比较一下,可以看到它们有多么相似,毕竟二者就是在同一个大学里隔了个文化大革命而已,那十年本来就可以忽略不计。可以考虑将2、3两本书当做一本书来看。

许以超的这本书源于60年代初的讲义,1966年以《代数学引论》为名出版。80年代,作者在南开、清华、浙大等学校讲这门课时,就已经简化为所谓高等代数(或者叫线性代数)了。

4. 许以超,代数学引论,上海科学技术出版社,1966

1960年作者在北大讲课(当时还是研究生),1961到中科大,承担了几何与代数几乎全部课程(李炯生就是他当时的助教),这本书就是由当时的讲义形成的。这本书有大量的几何(甚至平面解析几何)在内。中科大有一门课就叫“线性代数与解析几何”,不知道跟这本书有没有关系。这是很有意思的一本书,它将解析几何、仿射几何、射影几何、辛几何和线性代数交叉起来作为一个整体来写,并以矩阵论为工具,将很多几何问题化成了代数问题。文革后,这还是很多人考研的一本重头参考书。非常值得当参考书悠闲地读读。

类似的,跟几何有关的(但有点为几何而扯线性代数的味道),这一本也可以看看——

5. 克林根贝尔格,线性代数与几何,沈纯理等译,高等教育出版社,1998

不过,总体来说,线性代数一天到晚在说空间空间,但真的把经典的几何对象结合进来的工作似乎一直不很精彩。这方面的稍微了解一点就是了,后面四章可以看看。

不管线性代数已经多么现代化了,我仍然认为矩阵论是非常重要的,不可偏废的。它是应用的利器。

6. 甘特玛赫尔,矩阵论

这方面最权威的书。上下两卷,有不少内容是一般的教材不会提到的。还有,这几乎是每一个写线性代数教科书的人一定要列出来的参考书。因此,这个可以算是必读书了。

矩阵是个不学不行,学起来又不太容易在高处领会的东西。中国人的办法是做题,做到熟能生巧,估计从前老毛子也是这么办的。当然这是有道理的。不过,我觉得从数学思想上来理解也是个办法,而且很可能事半功倍。许以超在他那本书的序言里说:“在线性空间里取定一组基后,线性映射可以用矩阵来表示,二次型可以用对称方阵来表示。反之,矩阵的几何意义为:它表示了线性空间上的线性映射。”

7. 詹兴致,矩阵论,高等教育出版社,2008

对矩阵有兴趣的,可以看看这本。不是说它有多好,而是说,从这里可以大概知道一点矩阵论现在都有些什么可干的,还有人们大概是如何在干这些勾当的,毕竟这是研究生的教材。走到矩阵分析这一步,跟工科关系比较大,要读下去的话,可看的书不少,我也不懂,就不

多说了。

8. Lindsay Childs, A Concrete Introduction to Higher Algebra, Corrected Second Printing, Springer-Verlag, 1984

此Higher Algebra跟我们所说的高等代数完全不是一回事。“高等”这种浓缩的词语是比较吓人的,这本书还是把它展开来理解为“较高的代数”比较好些,意思是比中学代数稍微高那么一点点的代数,或者用现在的话语称它为Classical。不过,可别小看它,书名里有Concreted 这样的字眼,它的内容还是很丰富的——三百多页的书,居然有三个部分21章。前面提到,可以把多项式理论从线性代数课程中抽出来并跟整数一起来学,这里就有了,第一部分是整数,第二部分是多项式,正好补上了我建议抽掉的那些东西(还多了一点)。第三部分是域。不过,在这本书里你一路读下来会发现它很好理解,因为这本书有很浓厚的方程论的遗迹——想想看,若没有伽罗瓦在那里啃哧啃哧地解方程,近世代数或抽象代数还会有今天那么高傲吗?对了,这里有一章Matrices and Vectors,十几页,非常代数。本书前言中说,这本书是为有一年微积分背景的学生写的,但实际上只要对导数和积分有一点点概念就足够了,而且开头那些内容,也不需要微积分的先修知识。所以,可以从刚开始学线性代数的时候就读一下这本书。线性代数难学,其原因不是它本身有多难,而是学生刚从中学上来,数学思维和习惯的转变才是真正的难点。如果一下子转不过弯了,这本书是个很好的帮手。其实抽象不可怕,可怕的是没有素材,这本书就是干这个的。这是美国UTM里的一本书,对中国学生来说,读起来绝对不吃力。

要看中文的话,那么这本比较合适——

9. 冯克勤、余红兵,整数与多项式,高等教育出版社,施普林格出版社,1999

上面两本书可以叫做“整数与多项式”,那么“复数与多项式”呢?

10. 柯斯特利金,代数学引论(第一卷):基础代数(第2版),高等教育出版社,2006,俄罗斯数学教材选译

这里最后的第5和第6章讲多项式,最末的附录是“关于多项式的公开问题”。前面则是矩阵与行列式,还有一点代数结构的最基本介绍(因为要用到)。我很喜欢这套书的编排,第一卷里把矩阵与行列式处理掉,第二卷就可以专心处理线性代数了。所以,在我看来,他的三卷都是必读的。

11. 柯斯特利金,代数学引论(第二卷):线性代数(第3版),高等教育出版社,2008,俄罗斯数学教材选译

不要以为俄国人落后,落后的只是在抄袭了他们20世纪前半叶的教材后就再也没有进步的中国。俄国人一直是站在数学最前沿的,看看这本书就知道。这是根据俄文2001(第一卷)和2004(第二卷)版翻译的,代表了当今世界线性代数教科书的最新处理成就。非常有必要认真地读读。

有一点点抽象代数基础的时候,可以看看这本小书——

12. 龚昇,线性代数五讲

我没见过这本书,据说是出版了的。我看到的只是当时龚昇教授的讲义,观点挺高。顺便说说,龚昇还有个微积分五讲,都是属于那种直击核心的东西。要拿这种五讲来当教科书是不行的,但需要理解的时候,看看是很有帮助的。

要深入的话,可以读下面这本——

13. Steven Roman, Advanced Linear Algebra Third Edition, Springer, 2008

GTM135。这是研究生课程了。

14. W.H.Greub, Linear Algebra, Third Edition, Springer-Verlag, 1967

GTM23。讲多线性代数为主的,比上面那本离我们近点(年代远点)。

想读美国佬的书的话,那么,下面这本算是一个比较好的入门教材了。

15. Gilbert Strang, Linear Algebra and its Applications

这是MIT的教材,历史悠久,在美国堪称经典。它最大的好处是简直就像是手把手地在教人学。顺便说说,除了在概念的引入上,美国的线性代数教学与我们差不多,一开始也是强调矩阵的运算的,但在应用方面,他们比我们讲得好,至少人家喜欢在书名上加上applications 一词。这是美国线性代数教材最大的优点,毕竟线性代数对大多数人来说是应用的。想沿着Strang 的路线深入的话,可以继续读他的下一本。

16. Gilbert Strang, Introduction to Applied Mathematics,3rd edition

这本书把线性代数跟其他数学分支结合在了一起,极富启发性,而且,作者的行文非常棒,有点像在读小说的感觉。对于英文不太好的人来说,它用词简单的特色也很对我们的胃口,非常合适自学。

17. K. Hoffmann and R. Kunze, Linear Algebra, 2nd ed., Prentice Hall, Inc. (1971)

据作者说,这本书为了照顾基础不那么好的学生而写得比较浅,但实际上相对于本科低年级水平来说,它的立足点还是比较高的。它的内容比较完整,几乎所有线性代数需要教的东西都有了。自第一版至今半个世纪来,一直被奉为经典,其影响力甚至在中国的课本里都能看到。这本书可以从一开始学线性代数的时候就作为每天都要读一点的参考书,看看人家是怎么讲的,我们遗漏了什么,甚至可以思考一下:这个内容可以不讲吗?为什么?

18. Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 4th Edition, Wellesley-Cambridge, 2009

既然把Strang 放在那么重要的位置上,就顺便提一下这本书。这大概是他的新版本了,但我没读过。据说这是在MIT 公开课用的教材,不知道究竟如何。有兴趣的不妨翻一下。

要是还觉得有困难的话,那么就看这本吧——

19. 陶哲轩,线性代数讲义

严格来说,这不是书,只是个讲义。课程分10周,并含考试和习题,可以在他得主页找到。Tao写东西有一个最大的特色,就是清楚明白,他总能把乱糟糟的东西给弄得条理分明,而且特别亲切。这可能跟他对自己是如何走过来的记忆犹新有关系吧。要是连Tao写的都读不懂的话,那恐怕没人能够救你了。

至于习题,关键是要把所读的书上的题好好做掉。另外,最好再做做这两本——

20. 普罗斯库列科夫,线性代数习题集

21. 法捷耶夫的,高等代数习题集

这两本书是练手艺的,据说莫斯科大学的要求是把上面的题全部做完。数学基础课,要说做题的作用,恐怕没有别的课程比得上在线性代数里更要紧了。

另外给两本有意思的书——

22. Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997

有个中文版,叫《线性代数应该这样学》。这本书抛开了晦涩难懂的行列式,完全在抽象向量空间和线性映射上做文章,使得线性代数变得直观了很多。不过,这是作为第二课程使用的教材,需要先学点线性代数垫底的。作者是GTM的主编,来头不小。

顺便说下,行列式确实不算线性代数的主体,只是一个工具。这句话隐含着这么一层意思:线性代数的工具不止一种。那么,从各个角度去看看线性代数,也许能找到最合适的工具——不一定是最高级的,但适合自己就是了。

23. Sergei Treil, Linear Algebra Done Wrong, 2009

一个讲义。我没看过,只是因为喜欢上面那本,而这个刚好与它的书名对应,就收下来准备看看。感觉上这类书总是有点意思的。

大致来说,入门教科书可以从1,2,3,15,17中选一本,另外,柯斯特利金那两卷一定要读。矩阵是重要的,一定得啃啃甘特玛赫尔(6)。至于多项式,专门读读8或者9——财迷点说,8可能赚得多点。习题集在这一课程里是需要下点功夫的,20,21两本最少做一本,而且要完

全抛开教科书来做。要把自己修高一层的话,可以看13,其实,我觉得线性代数不读高一点还真的不是很容易理解本科水平上的那些东西。

线性代数的学习方法和心得体会

线性代数的学习方法和心得体会 一、学习方法 今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的,基本上不抄书,可能有错误的地方,希望能够被指出。但我希望做到直觉,也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。 首先说说空间(space),这个概念是现代数学的命根子之一,从拓扑空间开始,一步步往上加定义,可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的,如果在里面定义了范数,就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性,就成了巴那赫空间;赋范线性空间中定义角度,就有了内积空间,内积空间再满足完备性,就得到希尔伯特空间。 总之,空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义,大致都是“存在一个集合,在这个集合上定义某某概念,然后满足某些性质”,就可以被称为空间。这未免有点奇怪,为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢?大家将会看到,其实这是很有道理的。 我们一般人最熟悉的空间,毫无疑问就是我们生活在其中的(按照牛顿的绝对时空观)的三维空间,从数学上说,这是一个三维的欧几里德空间,我们先不管那么多,先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道,这个三维的空间:1. 由很多(实际上是无穷多个)位置点组成; 2. 这些点之间存在相对的关系; 3. 可以在空间中定义长度、角度; 4. 这个空间可以容纳运动,这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动(变换),而不是微积分意义上的“连续”性的运动, 认识到了这些,我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上,不管是什么空间,都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动(变换)。你会发现,在某种空间中往往会存在一种相对应的变换,比如拓扑空间中有拓扑变换,线性空间中有线性变换,仿射空间中有仿射变换,其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。

学习线性代数心得体会

学习线性代数心得体会 线性代数的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。由于线性关系是变量之间比较简单的一种关系,而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域,并且一些非线性问题在一定条件下 , 可以转化或近似转化为线性问题,线性代数主要研究了三种对象:矩阵、方程组和向量.这三种对象的理论是密切相关的,大部分问题在这三种理论中都有等价说法.因此,熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去,是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质.如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点,那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题,因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性.由此可见,只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系,遇到问题就能左右逢源,举一反三,化难为易. 一、注重对基本概念的理解与把握,正确熟练运用基本方法及基本运算。 代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵,秩(矩阵、向量组、二次型),等价(矩阵、向量组),线性组合与线性表出,线性相关与线性无关,极大线性无关组,基础解系与通解,解的结构与解空间,特征值与特征向量,相似与相似对角化,二次型的标准形与规范形,正定,合同变换与合同矩阵。我们不仅要准确把握住概念的内涵,也要注意相关概念之间的区别与联系。线性代数中运算法则多,应整理清楚不要混淆,基本运算与基本方法要过关,重要的有:行列式(数字型、字母型)的计算,求逆矩阵,求矩阵的秩,求方阵的幂,求向量组的秩与极大线性无关组,线性相关的判定或求参数,求基础解系,求非齐次线性方程组的通解,求特征值与特征向量(定义法,特征多项式基础解系法),判断与求相似对角矩阵,用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。 二、注重知识点的衔接与转换,知识要成网,努力提高综合分析能力。 线性代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变,学习时应当常问自己做得对不对?再问做得好不好?只有不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了。 线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系,代数题的综合性与灵活性就较大,学习时要注重串联、衔接与转换。 三、注重逻辑性与叙述表述 线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求,通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度,考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时,应当搞清公式、定理成立的条件,不能张冠李戴,同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

线性代数 基础和常考知识点

线性代数基础知识点 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列(行)向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 , 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ??????? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注:全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列(行)向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+

√ 行列式的计算: ①行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若A B 与都是方阵(不必同阶),则 = =()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O * = =* *=-1(拉普拉斯展开式) ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④关于副对角线: (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 (即:所有 取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和) ⑤范德蒙德行列式:()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 由m n ?个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L M M M L 称为m n ?矩阵.记作:() ij m n A a ?=或m n A ? () 1121112 222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ??? L L M M M L ,ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① 1 A A A * -= ○注: 1 a b d b c d c a ad bc --????= ? ?--???? 1 L L 主换位副变号 ②1()()A E E A -????→M M 初等行变换

线性代数超强的总结(不看你会后悔的)

线性代数超强总结 ()0A r A n A Ax A A οο??

√ 行列式的计算: ① 若A B 与都是方阵(不必同阶),则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线: (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =-K N N √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -????→M M 初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? O O 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ?????????? N N

大一线性代数的知识点

2009年线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系: (1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则 (1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90o ,所得行列式为2D ,则 (1)2 2(1) n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则 4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积 (1) 2 (1) n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B = =、 (1)m n C A O A A B B O B C = =-g ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1 (1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶 主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、 A A =-; ②、反证法;

线性代数学习心得体会doc

线性代数学习心得体会 篇一:学习线性代数的心得体会 学习线性代数的心得体会 线代课本的前言上就说:“在现代社会,除了算术以外,线性代数是应用最广泛的数学学科了。”我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少,课本上涉及最多的只能算解线性方程组了,但这只是线性代数很初级的应用。我自己对线性代数的应用了解的也不多。但是,线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。 线性代数被不少同学称为“天书”,足见这门课给同学们造成的困难。在这门课的学习过程中,很多同学遇到了上课听不懂,一上课就想睡觉,公式定理理解不了,知道了知识但不会做题,记不住等问题。我认为,每门课程都是有章可循的,线性代也不例外,只要有正确的方法,再加上自己的努力,就可以学好它。 线代是一门比较费脑子的课,所以如果前一天晚上睡得太晚第二天早上的线代课就会变成“催眠课”。那么,就应该在第二天有线代课时晚上睡得早一点。如果你觉得上课跟不上老师的思路那么请预习。这个预习也有学问,预习时要“把更多的麻烦留给自己”,即遇到公式、定理、结论马上把证明部分盖住,自己试着证一下,可以不用写详细的过程,

想一下思路即可;还要多猜猜预习的部分会有什么公式、定理、结论;还要想一想预习的内容能应用到什么领域。当然,这对一些同学有困难,可以根据个人的实际情况适当调整,但要尽量多地自己思考。 一定要重视上课听讲,不能使线代的学习退化为自学。上课时干别的会受到老师讲课的影响,那为什么不利用好这一小时四十分钟呢?上课时,老师的一句话就可能使你豁然开朗,就可能改变你的学习方法甚至改变你的一生。上课时一定要“虚心”,即使老师讲的某个题自 己会做也要听一下老师的思路。 上完课后不少同学喜欢把上课的内容看一遍再做作业。实际上应该先试着做题,不会时看书后或做完后看书。这样,作业可以帮你回忆老师讲的内容,重要的是这些内容是自己回忆起来的,这样能记得更牢,而且可以通过作业发现自己哪些部分还没掌握好。作业尽量在上课的当天或第二天做,这样能减少遗忘给做作业造成的困难。做作业时遇到不会的题可以 问别人或参考同学的解答,但一定要真正理解别人的思路,绝对不能不弄清楚别人怎么做就照抄。适当多做些题对学习是有帮助的。。 线性代数的许多公式定理难理解,但一定要理解这些东西才能记得牢,理解不需要知道它的证明过程的每一步,只

线性代数知识点归纳

线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行(列)展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算: ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②(降阶法)行列式按行(列)展开定理: 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵(不必同阶),则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线: (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1

⑥ 范德蒙德行列式:()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式:1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式,其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同,再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和, 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ,恒有:1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 3. 证明 0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆

线性代数心得体会

线性代数 关键词:高等数学自学理解 线性代数是数学的一个分支,它的研究对象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的线性方程组。 线性代数是继微积分之后又一门高等数学,与微积分想比,线性代数的基础行列式和矩阵是在高中有所学习的,入门还是相对比较简单的。线性代数从内容上看前后联系紧密,环环相扣,因此解题方法灵活多变,学习时应当常问自己做得对不对?再问做得好不好?只有不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了。所以多做题也是积累经验来方便自己在解题时能更快更准确得运用适当的性质来简化题目。 认真上好每一堂课对于学习好线性代数是格外重要的.教材上的知识和技巧主要由老师在课堂上以授课的形式传授给你。你在上课时应集中精力听讲,积极思考老师提出的问题,迅速而恰当地做笔记。看书的准确程序是:课前预习内容,课上跟着老师的思路走,尽量不看书来回答上课提出的问题,课后进行复习巩固。而有的人恰恰相反,他们在课上埋头看自己的书,丝毫不理会老师在讲什么,这样做只会降低效率 线性代数的许多公式定理难理解,但一定要理解这些东西才能记得牢,理解不需要知道它的证明过程的每一步,只要能朦朦胧胧地想到它的所以然就行了。学习线代及其它任何学科时都要静下心来,如果学习前很亢奋就拿出一两分钟时间平静下来再开始学习。遇到不会做的题时不要去想“这道题我怎么又不会做”等与这道题无关的东西,一心想题,这样解出来的可能性会大很多。做完题后要想想答案上的方法和自己的方法是怎么想出来的,尤其对于自己不会做的题或某个题答案给出的解法非常好且较难想到,然后将这种思路记住,即做完题目后要总结自己做题的思路,活用在之后的做题中。 很多人都说,审计是文科的,学像微积分和线代这样的理科课程没有什么意义,虽然表面看起来是这样的,但实际上却不然。理科注重的逻辑,在学习的理科的过程中,我们的思路会变得清晰,会计是很复杂的一个专业,很多时候不同的条件会需要进行不同的处理,而理科会让这些复杂的东西在我们脑海中变得仅仅有条,所以学习线代也是有必要的。

学线性代数的感受

学线性代数的感受 经过大半个学期的学习,线性代数这门课的内容也即将学完。下面将我的学习感受与大家分享一下。 《线性代数》一共有七章,分别是行列式、矩阵、线性方程组、n维向量空间、矩阵相似对角形、二次型以及线性变换。在学期开始的时候,我就将这门课的内容大致看了一下,给我的直观感受是比较复杂,但应该不难。我提醒自己,只要做好课前预习,课上认真听讲,课后认真复习与完成作业,应该是可以学好的。 学习行列式的时候,课上听老师讲,感觉真的很简单,不就是行列式的几个性质吗?行列互换,把某一行(列)的k倍加到另一行(列),以及行列式的展开等等。但是当我做课后习题的时候,我却感觉难度非常的大。尤其是是行列式的计算,虽然知道行列式的性质,但是根本不知从何下手。结果一个题目就花了我很长的时间却做不出来。于是我从网上找了很多关于行列式的计算题目,结果发现,是因为我不知道行列式是有题型的。虽然知道行列式的性质,但由于不知计算方法而无从下手。行列式的计算方法主要有定义法、降阶法、三角化法、递推法、加边法、数学归纳法以及公式法。针对每种方法,又有与之对应的各种题型。通过对这些方法与题型的研究,我对行列式的计算基本上已经没有问题了。 学习矩阵的时候,让我感到头疼的就是矩阵的证明题。这些

题目需要应用矩阵的很多性质,比如伴随矩阵的性质,逆矩阵的性质以及伴随矩阵与逆矩阵的关系。他们之间转换来转化去,非常麻烦。我看了很多相关题目,对他们之间的转化有了比较深的认识。至于矩阵的初等变换与行列式差不多,我掌握的还是比较好的。 学习线性方程组的时候,还是比较轻松的,掌握线性方程组有解的判别定理和解的结构,解题没有太大问题。 学习n维向量空间的时候,主要是在正交矩阵的相关证明与计算上遇到了比较大的问题,我想应该是我对正交矩阵的性质掌握的不是太好,因此我还要看一下参考书加深理解。 学习矩阵相似对角形的时候,主要是矩阵的特征值与特征向量以及矩阵的对角化,通过做题发现并不是太难,关键是要掌握计算方法。 目前《线性代数》还在学习当中,我一定要坚持下去,不可以放松! 下面我想对李老师的教学提出一些建议:一,在教学中不要只关注于书本上的例题,也要举一些书本上没有的题目讲解。二,不要只讲性质,要多告诉我们如何用性质去解题,包括题型与解题方法。三,上完一章,一定要认真讲解一下课后习题,不要紧接着讲下一章,否则问题越积越多,学生会厌学的。四,要布置课堂作业,并且要在课堂上指出学生做题的问题。五,注意板书要工整。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结 第一章行列式 (一)要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数,奇偶排列(可以不介绍对换及有关定理) ,n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ,元素a j 的余子式和代数余子式,行列式按行(列)展开定理 5、 克莱姆法则 (二)基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行(列)展开的计算方法,即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算,并掌握几个基本方法: 归化为上三角或下三角行列式, 各行(列)元素之和等于同一个常数的行列式, 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 (一)要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =(a j )mn 是一个矩阵表。当 m =n 时,称A 为n 阶矩阵,此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式,称为矩阵 A 的行列式,记为 A . 注:矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵:对角阵;数量阵;单位阵;三角形矩阵;对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '

3、矩阵的运算;矩阵的加减法;数与矩阵的乘法;矩阵的转置;矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律,两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘,有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注:矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕:对于n阶矩阵A及自然数k, A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k,A为方阵,矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵:可逆矩阵(若矩阵A可逆,则其逆矩阵是唯一的);矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件;逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换:初等变换与初等矩阵;初等变换和初等矩阵的关系;矩阵在等价 意义下的标准形;矩阵A可逆的又一充分必要条件:A可以表示成一些初等矩阵的乘积; 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩:矩阵的k阶子式;矩阵秩的概念;用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念;矩阵的元素;矩阵的相等;矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法;数与矩阵的乘法;矩阵的加减法;矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念;矩阵可逆的充分条件;伴随矩阵和逆矩阵的关系;当A 可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下,其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法,例如A m n, B nl,将矩

线性代数知识点归纳,超详细

线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行(列)展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算: ①(定义法) ②(降阶法)行列式按行(列)展开定理: 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵(不必同阶),则 ⑤关于副对角线: ⑥范德蒙德行列式: 证明用从第n行开始,自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍,按第一列展开,重复上述操作即可。 ⑦型公式: ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式,其中 ,,等结构相同,再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;

3. 证明的方法: ①、; ②、反证法; ③、构造齐次方程组,证明其有非零解; ④、利用秩,证明; ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系: 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作:或 ①同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型,且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减). b. 数与矩阵相乘:数与矩阵的乘积记作或,规定为. c. 矩阵与矩阵相乘:设, ,则, 其中 注:矩阵乘法不满足:交换律、消去律, 即公式不成立.

线性代数总结归纳

行列式 1.为何要学习《线性代数》?学习《线性代数》的重要性和意义。 答:《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程,它是初等代数理论的继续和发展,它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答:初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答:高等代数,线性规划,运筹学,经济学等。 4.如何学习《线性代数》? 答:掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法,多多体会例子的方法和技巧,多做练习,在练习中要紧扣问题涉及的概念,不要随意扩大概念的范围,练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结,理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后,将各章的内容做一个总结,想想各章内容之间的联系,易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列?【知识点】:n阶全排列。 答:由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列?【知识点】:n阶全排列。 答:按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7.什么是n阶全排列的逆序?【知识点】:n阶全排列的逆序。 答:在一个n阶排列中,若某个较大的数排在某个较小的数前面,则称这两个数构成一个逆序。例如:排列45312中,数4与3,数4与1,数4与2,数5与3,数5与1,数5与2,数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 8.什么是n阶排列的逆序数?【知识点】:n阶排列的逆序数。 答:在一个n阶排列中,所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如:上问中的排列45312的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列?【知识点】:排列的奇偶性。 答:逆序数为奇数的排列叫奇排列;逆序数为偶数的排列叫偶排列。例如:排列45312为偶排列。 10.对换一个排列中的任意两个数,该排列的奇偶性有什么变化?【知识点】:排列的对换对排列的奇偶性的影响。 答:对换一个排列中的任意两个数,奇排列就变成偶排列,偶排列就变成奇排列。例如:偶排列45312对换4与3,则变成排列35412,它的逆序数为7,排列35412是奇排列。 11.任一个n阶排列与标准排列可以互变吗?【知识点】:n阶排列与标准排列的关系。 答:可经过一系列对换互变。且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。例如:排列32541的逆序数是6,因而是偶排列,它经过2次对换:3与1对换后变为12543,再对换5

线性代数知识点总结

大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ (奇偶)排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =) ②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。 推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列),等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行(列)可加性 ⑤将行列式某一行(列)的k 倍加到另一行(列)上,值不变 行列式依行(列)展开:余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则: 非齐次线性方程组 :当系数行列式0≠D 时,有唯一解:)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 :当系数行列式01≠=D 时,则只有零解 逆否:若方程组存在非零解,则D等于零 特殊行列式: ①转置行列式:33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零,。。化为三角形行列式

线性代数总结归纳

线性代数总结归纳-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

行列式 1.为何要学习《线性代数》 学习《线性代数》的重要性和意义。 答:《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程,它是初等代数理论的继续和发展,它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答:初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答:高等代数,线性规划,运筹学,经济学等。 4.如何学习《线性代数》 答:掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法,多多体会例子的方法和技巧,多做练习,在练习中要紧扣问题涉及的概念,不要随意扩大概念的范围,练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结,理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后,将各章的内容做一个总结,想想各章内容之间的联系,易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列【 知识点】:n阶全排列。 答:由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列【 知识点】:n阶全排列。 答:按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7.什么是n阶全排列的逆序【 知识点】:n阶全排列的逆序。 答:在一个n阶排列中,若某个较大的数排在某个较小的数前面,则称这两个数构成一个逆序。例如:排列45312中,数4与3,数4与1,数4与2,数5与3,数5与1,数5与2,数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 8.什么是n阶排列的逆序数【 知识点】:n阶排列的逆序数。 答:在一个n阶排列中,所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如:上问中的排列45312的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列【

线性代数学习有感

线性代数学习有感 从素未谋面到一知半解,或许将来会有相见恨晚。总之到现在为止,经过将近一个学期的学习,我对线性代数有了一些小小的感想。 线性代数是高等院校一门重要的基础数学课程,具有较强的了逻辑性,抽象性和广泛的实用性。这是我在上网查阅资料时看到的大家对于线性代数的定义。不同于高等数学的是,线性代数几乎从一开始就是一个全新的概念,至少给我的感觉是这样。虽说线性代数主要就是为了解齐次或非齐次的线性方程组,这个目的之于我并不算太陌生,可是它所运用到的东西却是我几乎从未见到过的。我们都知道,线性代数研究的范围通常都不是我们能想象到的二维空间,而是上升到n维空间,这一点相当不可爱。并且在线性代数的学习过程中,我们几乎每天都是跟一些新的概念,新的定理打交道,因此理解和记忆起来有相当大的困难,常常是花很久的时间还是理解不了。 我跟一些就读于其他高校的高中同学交流了一下各自学校线性代数的教学情况,很多同学都谈到了同一个问题。不少老师在教学的时候,经常会舍弃一些重要概念、性质和定理的引入,以及相关的几何意义的解释,以至于学生接受的通常是一个个被硬生生灌输的概念,法则或定理。平心而论,我觉得北邮线性代数的老师在这一点上做得还是不错的,至少给我授课的张鹏老师对这一点抓得比较好。张老师对细节的要求比较高,她会时不时询问学生对知识的理解情况,经常会多次讲解,这真的是一个好现象。不过说实话,由于课时的限制,老师不可能把所有东西都讲解得很透彻,尽管老师尽力讲解了,可每次上完课我仍会有些许疑惑。不过乐观地看,这也未必不是件好事。这就要求我们自己在课下去总结去思考,才能有深刻的理解,并且这样能更好地培养我们的逻辑思维能力。 俗话说得好:“学而不思则罔”。如果我们不去进行深入的思考,那么我们所学到的线性代数的知识就只是一些零散的孤立的概念和方法,无法理解这些概念和方法的意义以及它们之间的联系,到头来只会做一些简单的计算,我们的眼光会被限制,无法上升到一个高度去看待线性代数问题,无法将所学的知识点融会贯通。记得张老师说过,当给你一个信息的时候,尤其是一些不太明显的信息,你要能立刻理解它的内涵,也就是说能够马上联想到与它等价的一些信息。比如说,告诉你一个矩阵是非奇异矩阵,它包含的信息有:首先明确它是一个n阶方阵,它的秩是n,它便是满秩矩阵,它所对应的n阶行列式不等于零,那么n个n维向量便线性无关,还有这个方阵是可逆方阵,并且可以想到它的转置矩阵也是可逆的······还有一点,在线性代数的学习过程中,大片大片的定理确实令人头痛,不过我觉得,其实有些定理或推论是没有必要去背的,因为它们就是另外某个定理的特殊情况,而这些特殊情况,只要我们稍微思考一下,思维稍微开放一点,完全可以自己概括,没有必要多记几个来增加自己的记忆负担。比如说向 “当m>n时,m个n维向量一定线性无关”,量组的线性相关性的定理6的推论2: 看过定理6后你会觉得这完全就是废话嘛,如果你把这当作另一个定理来记忆的话,说句不脸红的话,我们自己都可以联想出很多这种“推论”,会让你记到疯掉。再有就是在记忆一些定理概念的时候,不一定非得按原文记忆,我们可以按照自己的理解来记忆,适合自己的方法才是最好的方法。在学习线性代数的过程中,联想和思考是非常重要的,不要畏惧线性代数的抽象性,理解后的喜悦是难以言表的。通过联想和思考,把学过的知识点串起来,深化理解,我们才能把线性代数学得更好。

线性代数必考知识点归纳

线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为2D ,则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解;

《线性代数》知识点 归纳整理

《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形: ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩: ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组(不含向量)........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关;齐次线性方程组的解;矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示;非齐次线性方程组的解;矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关(无关)与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -

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