二次函数综合题
1. 已知抛物线C：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B(A在B的左侧)两点，与y轴交于点D(0，3)，且顶点为E(1，4).
(Ⅰ)求抛物线C的解析式；
(Ⅱ)将抛物线C经过某种平移后得到抛物线C′，顶点变为E′(1，k)(k＜4)，设平移后D 的对应点为D′，且OD′＝2.
①求抛物线C′的解析式；
②点Q在抛物线C′的对称轴上，若AD′＝AQ，求点Q的坐标.
解：(Ⅰ)设抛物线C的解析式为y＝a(x－1)2＋4，
代入D(0，3)，得a＋4＝3，解得a＝－1，
∴抛物线C的解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3；
(Ⅱ)①∵E(1，4)，E′(1，k)(k＜4)，
∴抛物线向下平移了(4－k)个单位长度，
∴D′(0，3－4＋k)，即D′(0, k－1)，
∵OD′＝2，
k－1＝2，解得k＝3或k=－1，
∴||
∴抛物线C′的解析式为y＝－(x－1)2＋3或y＝－(x－1)2－1，
即y＝－x2＋2x＋2或y＝－x2＋2x－2；
②∵OD′＝2，
∴D′(0，2)或D′(0，－2)．
令y＝0，则有－x2＋2x＋3＝0，
解得x＝－1或x＝3，
∴点A的坐标为(－1，0)．
设点Q坐标为(1，m)．
∵AD′2＝(0+1)2＋(±2－0)2＝5，
AQ2＝(－1－1)2＋(0－m)2＝m2＋4，
∴m2＋4＝5，解得m＝±1.
∴Q点坐标为(1，1)或(1，－1)．
2. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点．
(Ⅰ)若A (－2，0)，B (3，0)，求二次函数的解析式； (Ⅱ)若b ＝－(3m －1)，c ＝2m 2
－2m (其中m ＞－1)．
①二次函数与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)(x 1＜x 2)两点，且－1≤12x 1－1
3x 2≤1，试求m 的取
值范围；
②当1≤x ≤3时，二次函数的最小值是－1，求m 的值． 解：(Ⅰ)把A (－2，0)，B (3，0)代入y ＝ x 2
＋bx ＋c ，
得⎩⎪⎨⎪⎧4－2b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－1
c ＝－6， ∴二次函数的解析式为y ＝x 2
－x －6；
(Ⅱ)①令y ＝0，则x 2
－(3m －1)x ＋2m 2
－2m ＝0，
b 2－4a
c ＝(3m －1)2－4×(2m 2－2m )＝(m +1)2，
∴x 1＝3m －1－（m ＋1）22
＝m －1，
x 2＝
3m －1＋（m ＋1）2
2
＝2m ，
∵－1≤12x 1－1
3x 2≤1，
∴－1≤
m －12－2m
3
≤1，
整理得－9≤m ≤3， ∵m ＞－1， ∴－1＜m ≤3；
②若对称轴x ＝3m －1
2≤1，当x ＝1时，二次函数有最小值－1，此时－1＜m ≤1，
代入(1，－1)得：1－(3m －1)＋2m 2
－2m ＝－1， 化简得2m 2
－5m ＋3＝0， 解得m ＝1或m ＝3
2
(舍去)；
若对称轴x ＝3m －12≥3，当x ＝3时，二次函数有最小值－1，此时m ≥7
3，
代入(3，－1)得：9－3(3m －1)＋2m 2
－2m ＝－1， 化简得2m 2
－11m ＋13＝0，
解得m ＝11＋174或m ＝11－17
4
(舍去)；
若对称轴1＜3m －12＜3，当x ＝3m －12时，二次函数有最小值－1，此时1＜m ＜7
3，
代入(3m －1
2
，－1)，
得（3m －1）24－（3m －1）22＋2m 2－2m ＝－1，
化简得m 2
＋2m －3＝0， 解得m ＝1或m ＝－3，(均舍去) 综上所述，m 的值为11＋17
4
或1.
3. 已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，该抛物线与x 轴的两个交点分别为点
A 和
B ，与y 轴的交点为
C (0，－3)，其中A (－1，0)．
(Ⅰ)求点B 的坐标；
(Ⅱ)若抛物线上存在一点P ，使得△POC 的面积是△BOC 的面积的2倍，求点P 的坐标； (Ⅲ)点M 是线段BC 上一点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点D ，求线段MD 长度的最大值． 解：(Ⅰ)∵抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，A (－1，0)， ∴点B 的坐标为(3，0)；
(Ⅱ)将点A （-1，0）、B （3，0）、C （0，-3）代入抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 中，
得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝1b ＝－2c ＝－3
， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2
－2x －3， ∴S △BOC ＝12×3×3＝92.
∴S △POC ＝2S △BOC ＝9.
设点P 的横坐标为xP ，则1
2×3×|x p |＝9，解得x P ＝±6.
∴点P 的坐标为(6，21)或(－6，45)； (Ⅲ)∵点B (3，0)，C (0，－3)， ∴直线BC 的解析式为y ＝x －3.
设点M (a ，a －3)，则点D (a ，a 2
－2a －3)．
∴MD ＝a －3－(a 2－2a －3)＝－a 2
＋3a ＝－(a －32)2＋94，
∴当a ＝32时，线段MD 长的最大值为9
4
.
