《高等数学》试卷1（下）
一.选择题（3分?10） 1.点
1M ()
1,3,2到点
()4,7,22
M
的距离
=
2
1M
M （ ）.
A.3
B.4
C.5
D.6
2.向量j
i b k j i a
+=++-=2,2，则有（ ）.
A.
a
∥
b
B.
a
⊥
b
C.
3
,π=
b a
D.
4
,π=
b a
3.函数
1
122
2
2
2
-++
--=y x y x y 的定义域是
（ ）. A.
(){}2
1,2
2
≤+≤y
x
y x
B.
(){}2
1,2
2
<+ x y x C. (){}2 1,2 2 ≤+ x y x D (){}2 1,2 2 <+≤y x y x 4.两个向量a 与b 垂直的充要条件是（ ）. A. =?b a B. =?b a C. 0 =-b a D.0 =+b a 5.函数 xy y x z 33 3-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2 - C.1 D.1- 6.设 y x z sin =，则 ?? ? ????4,1πy z ＝（ ）. A. 2 2 B.2 2- C. 2 D.2 - 7.若 p 级数 ∑ ∞ =1 1n p n 收敛，则（ ）. A. p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p 8.幂级数 ∑ ∞ =1 n n n x 的收敛域为（ ）. A. []1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D .(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =? ? ? ??02在收敛域内的和函数是（ ）. A.x -11 B. x -22 C. x -12 D. x -21 10.微分方程 ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A. x ce y = B. x e y = C. x cxe y = D. cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点 () 3,0,0A 且垂直于直线 AB ，其中点 ()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2. 函 数 () xy z sin =的全微分是 ______________________________. 3. 设 1 33 23+--=xy xy y x z ，则 = ???y x z 2 _____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微 分方程 44=+'+''y y y 的通解为 _________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设 v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2. 已 知 隐 函 数 () y x z z ,=由 方 程 052422 22=-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σ d y x D ??+2 2 sin ， 其 中 2 2 22 4:π π ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（ R 为 半径）. 5.求微分方程 x e y y 23=-'在 00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各 取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 2..曲线 ()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的 连线斜率的2倍，且曲线过点?? ? ? ?31, 1，求此曲线方程 . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1. 0622=+--z y x . 2. ()()xdy ydx xy +cos . 3. 1962 2 --y y x . 4. ()n n n n x ∑ ∞=+-0 1 2 1. 5. ()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1. ()()[] y x y x y e x z xy +++=??cos sin ， ()()[]y x y x x e y z xy +++=??cos sin . 2. 1 2,12+=??+-= ??z y y z z x x z . 3. ? ? =?π π π ρρρ?20 2sin d d 2 6π -. 4. 3 3 16R . 5. x x e e y 23-=. 四.应用题 1.长、宽、高均为 m 3 2时，用料最省. 2..3 12 x y = 《高数》试卷2（下） 一.选择题（3分?10） 1.点()1,3,41 M ，()2,1,72M 的距离=2 1M M （ ）. A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 2.设两平面方程分别为 122=++-z y x 和 05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A. 6 π B. 4 π C. 3 π D. 2 π 3.函数 ( )2 2arcsin y x z +=的定义域为（ ）. A. (){}1 0,2 2 ≤+≤y x y x B. (){}1 0,2 2 <+ x y x C. ()? ?????≤+≤20,22πy x y x D.()? ?? ? ? ?< +< 20,2 2πy x y x 4.点 ()1,2,1--P 到平面0 522=--+z y x 的距离为 （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数 2 2232y x xy z --=的极大值为（ ）. A.0 B.1 C.1- D. 2 1 6.设 2 2 3y xy x z ++=，则 () =??2,1x z （ ）. A.6 B.7 C.8 D.9 7.若几何级数 ∑∞ =0 n n ar 是收敛的，则（ ）. A. 1≤r B. 1≥r C.1 8.幂级数 ()n n x n ∑∞ =+0 1的收敛域为（ ）. A. []1,1- B.[)1,1- C.(]1,1- D. ()1,1- 9.级数 ∑ ∞ =1 4 sin n n na 是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10.微分方程 0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A. cx e y = B. x ce y = C. x e y = D. x cxe y = 二.填空题（4分?5） 1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线?? ? ??-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________. 2.函数 xy e z =的全微分为___________________________. 3.曲面 2 242y x z -=在点 () 4,1,2处的切平面方程为 _____________________________________. 4. 2 11x +的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程 3=-ydx xdy 在 11 ==x y 条件下的特解为 ______________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设k j b k j i a 32,2+=-+=，求.b a ? 2.设 2 2uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求 .,y z x z ???? 3.已知隐函数 () y x z z ,=由 2 33 =+xyz x 确定，求 .,y z x z ???? 4.如图，求球面 2 2 224a z y x =++与圆柱面 ax y x 22 2=+（0 >a ）所围的几何体的体积 . 5.求微分方程 023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题（10分?2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和 4 =x 所围图 形的面积. 2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规 律 ().t x x =（提示： g dt x d -=2 2 .当0=t 时，有0 x x =， 0v dt dx =） 试卷2参考答案 一.选择题 CBABA CCDBA . 二.填空题 1. 2 11 21 2+= -= -z y x . 2. ()xdy ydx e xy +. 3.488=--z y x . 4. ()∑∞ =-0 21n n n x . 5. 3 x y =. 三.计算题 1.k j i 238+-. 2. ()()( ) y y x y y y y x y z y y y y x x z 3 33 3223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=??-=?? . 3. 2 2 , z xy xz y z z xy yz x z +-= ??+-= ??. 4. ??? ??-322 332 3 π a . 5. x x e C e C y --+=221. 四.应用题 1. 3 16. 2. 0 02 2 1x t v gt x ++- =. 《高等数学》试卷3（下） 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ） 4 5 A 、10 B 、20 C 、24 D 、22 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k 3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4、函数z=xsiny 在点（1， 4 π ）处的两个偏导数分别为（ ） A 、 , 22 , 2 2 B 、 ,222 2- C 、 2 2- 2 2- D 、2 2- ,2 2 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则 y z x z ????,分别为（ ） A 、 z y z R x - -, B 、 z y z R x - -- , C 、 z y z R x ,-- D 、z y z R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为 2 2y x +=μ的薄板的 质量为（ ）（面积A =2 R π） A 、R 2A B 、2R 2A C 、3R 2A D 、 A R 2 2 1 7、级数 ∑∞ =-1 ) 1(n n n n x 的收敛半径为（ ） A 、2 B 、 2 1 C 、1 D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ） A 、 ∑∞ =-0 ) 1(n n )! 2(2n x n B 、 ∑∞ =-1) 1(n n )! 2(2n x n C 、 ∑∞ =-0 ) 1(n n )! 2(2n x n D 、 ∑∞ =-0 ) 1(n n )! 12(1 2--n x n 9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1 、 直 线 L 1 ： x=y=z 与 直 线 L 2 ： 的夹角为 z y x =-+= -1 32 1___________。 直 线 L 3： 之间的夹角为 与平面06232 1 22 1=-+= -+= -z y x z y x ____________。 2、（0.98）2.03 的近似值为________,sin100 的近似值为___________。 3 、二 重积分 ?? ≤+D y x D d 的值为 1:,2 2 σ___________。 4、幂级数 的收敛半径为 ∑∞ =0 !n n x n __________， ∑ ∞ =0 ! n n n x 的收敛半径为 __________。 5、微分方程y`=xy 的一般解为___________，微分方程xy`+y=y 2的解为___________。 三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 1、用行列式解方程组 -3x+2y-8z=17 2x-5y+3z=3 x+7y-5z=2 2、求曲线x=t,y=t 2,z=t 3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程. 3 、 计 算 ??===D x y x y D ， xyd 围成 及由直线其中2,1σ. 4 、问级数 ∑ ∞ =-1 1s i n )1(n n ，？n 收 则是条件收敛还是绝对若收敛收敛吗 5、将函数f (x)=e 3x 展成麦克劳林级数 6、用特征根法求y``+3y`+2y=0的一般解 四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分） 1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。 2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，（已知比例系数为k）已知t=0时，铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M（t）随时间t变化的规律。 参考答案 一、选择题 1、D 2、C 3、C 4、A 5、B 6、D 7、C 8、A 9、B 10,A 二、填空题 1、 21 8 arcsin , 18 2 cos ar2、0.96，0.17365 3、л 4、0，+∞ 5、 y cx ce y x1 1 ,2 2 - = = 三、计算题 1、 -3 2 -8 解：△= 2 -5 3 = （-3）× -5 3 -2× 2 3 +（-8）2 -5 =-138 1 7 -5 7 -5 1 -5 17 2 -8 △x= 3 -5 3 =17× -5 3 -2× 3 3 +（-8）× 3 -5 =-138 2 7 -5 7 -5 2 -5 2 7 同理： -3 17 -8 △y= 2 3 3 =276 , △z= 414 1 2 -5 所以，方程组的解为 3 ,2 ,1- = ? ? = - = ? ? = = ? ? = z z y y x x 2、解：因为x=t,y=t2,z=t3, 所以x t =1,y t =2t,z t =3t2， 所以x t | t=1 =1, y t | t=1 =2, z t | t=1 =3 故切线方程为： 3 1 2 1 1 1- = - = -z y x 法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0 即x+2y+3z=6 3、解：因为D 由直线y=1,x=2,y=x 围成， 所以 D ： 1≤y ≤2 y ≤x ≤2 故 ： ? ? ??? =- = = 2 1 2 1 3 2 8 11 )2 2(][dy y y dy xydx xyd y D σ 4、解：这是交错级数，因为 。 ，。 n ，n ，n n ，x ，x ，x n 。 ，，n Vn ，Vn ，n Vn n n n n 原级数条件收敛 所以发散从而 发散又级数所以时趋于当又故收敛型级数所以该级数为莱布尼兹且所以∑∑ ∑∞ =∞ =∞ →∞ ===?+?=11 1 1sin 1 111sin lim ~sin 01sin 01sin lim ,101sin 5 、 解 ： 因 为 ) ,(! 1! 31! 2113 2 +∞-∞∈? ??++ ???++ + +=x x n x x x e n w 用2x 代x ，得： ) ,(! 2 ! 32 ! 22 21)2(! 1)2(! 31)2(! 21)2(13 3 2 2 3 2 2+∞-∞∈? ??++ ???++ + +=? ??++???+++ +=x x n x x x x n x x x e n n n x 6、解：特征方程为r 2+4r+4=0 所以，（r+2）2=0 得重根r 1=r 2=-2，其对应的两个线性无关解为y 1=e -2x ,y 2=xe -2x 所以，方程的一般解为y=(c 1+c 2x)e -2x 四、应用题 1、解：设长方体的三棱长分别为x ，y ，z 则2（xy+yz+zx ）=a 2 构造辅助函数 F （x,y,z ）=xyz+) 222(2 a zx yz xy -++λ 求其对x,y,z 的偏导，并使之为0，得： yz+2λ(y+z)=0 xz+2λ(x+z)=0 xy+2λ(x+y)=0 与2(xy+yz+zx)-a 2=0联立，由于x,y ,z 均不等于零 可得x=y=z 代入2(xy+yz+zx)-a 2=0得x=y=z= 66a 所以，表面积为a 2而体积最大的长方体的体积为 36 63 a xyz V == 2、解：据题意 。 ：，e M ，M C ，M M M ce ，M C t M dt M dM M dt dM M M M dt dM t t t t 而按指数规律衰减 铀的含量随时间的增加 铀的衰变规律为 由此可知所以所以又因为所以两端积分得式 对于初始条件为常数其中λλλλλλλ-=-=====+-=-=-==?-=00 00 ln ln 0 《高数》试卷4（下） 一． 选择题：03103'=?' １．下列平面中过点（１,１,1）的平面是 ． （Ａ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝０ （Ｂ）ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ （Ｃ）ｘ＝１ （Ｄ） ｘ＝３ ２．在空间直角坐标系中，方程222=+y x 表示 ． （Ａ）圆 （Ｂ）圆域 （Ｃ）球面 （Ｄ）圆柱面 ３．二元函数22)1()1(y x z -+-=的驻点是 ． （Ａ）（０,０） （Ｂ）（０,１） （Ｃ）（１,０） （Ｄ）（１,１） ４．二重积分的积分区域Ｄ是4122≤+≤y x ，则 =??D dxdy ． （Ａ）π （Ｂ）π4 （Ｃ）π3 （Ｄ）π15 ５．交换积分次序后 =??x dy y x f dx 0 1 0),( ． （Ａ） x d y x f dy y ??11 ),( （Ｂ）??1 10 ),(dx y x f dy （Ｃ） ??y dx y x f dy 0 1 ),( （Ｄ）??10 ),(dx y x f dy x ６．ｎ阶行列式中所有元素都是１，其值是 ． （Ａ）ｎ （Ｂ）０ （Ｃ）ｎ！ （Ｄ）１ ７．对于ｎ元线性方程组，当r A r A r ==)~ ()(时,它有无穷多组解,则 ． （Ａ）ｒ＝ｎ （Ｂ）ｒ＜ｎ （Ｃ）ｒ＞ｎ （Ｄ）无法确定 ８．下列级数收敛的是 ． （Ａ）∑∞ =-+-1 1 1 ) 1(n n n n （Ｂ）∑ ∞ =12 3n n n （Ｃ）∑ ∞ =--1 1 )1(n n n （Ｄ） ∑ ∞ =1 1n n ９．正项级数 ∑∞=1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 满足关系式n n v u ≤， 则 ． （Ａ）若∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑ ∞ =1n n v 收敛 （Ｂ）若 ∑ ∞ =1n n v 收敛，则 ∑∞ =1n n u 收敛 （Ｃ）若∑∞ =1 n n v 发散，则 ∑∞ =1 n n u 发散 （Ｄ）若 ∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ =1 n n v 发散 １０．已知： +++=-2111x x x ，则 2 11x +的幂级数展开 式为 ． （Ａ） +++421x x （Ｂ） +-+-421x x （Ｃ） ----421x x （Ｄ） -+-421x x 二． 填空题：0254'=? ' １． 数)2ln(12222y x y x z --+-+=的定义域 为 ． ２．若xy y x f =),(，则=)1,(x y f ． ３ ． 已 知 ) ,(00y x 是 ) ,(y x f 的 驻 点 ， 若 a y x f y x f y x f xy yy xx =''=''=''),(,12),(,3),(00000,0则 当 时，),(00y x 一定是极小点． ４．矩阵Ａ为三阶方阵，则行列式=A 3 ５．级数∑∞ =1 n n u 收敛的必要条件是 ． 三． 计算题(一)：0356'=?' １． 已知：y x z =，求：x z ??， y z ??． ２． 计算二重积分 σ d x D ?? -24，其中 } 20,40|),{(2≤≤-≤ ≤=x x y y x D ． ３．已知：ＸＢ＝Ａ，其中Ａ＝??? ? ??-10 2 121，Ｂ＝??? ? ? ? ?-10 0210321 ，求未知矩阵Ｘ． ４．求幂级数∑ ∞ =--1 1 )1(n n n n x 的收敛区间． ５．求x e x f -=)(的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）． 四．计算题(二)： 02201'=?' １． 求平面ｘ－２ｙ＋ｚ＝２和２ｘ＋ｙ－ｚ＝４的交线的标准 方程． ２． 设方程组?? ? ??=++=++=++111z y x z y x z y x λλλ，试问：λ分别为何值时，方程 组无解、有唯一解、有无穷多组解． 参考答案 一．１．Ｃ；２．Ｄ；３．Ｄ；４．Ｄ；５．Ａ；６．Ｂ；７．Ｂ；８．Ｃ；９．Ｂ；１０．Ｄ． 二．１．{} 21|),(22<+≤y x y x ２． x y ３．66<<-a ４．２７ ５．0lim =∞ →n n u 四． 1．解：y x y z yx x z y y ln 1 =??=??- 2．解： 34)4(442032 02 2 040 2 2 2 =????? ?-=-=-= -????? -x x dx x dy x dx d x x D σ 3．解：??? ? ? ?-=???? ? ? ?--=--154 2201 ,10 0210721 1 1 AB B . ４．解：,1=R 当|x|〈1时，级数收敛，当x=1时，得∑ ∞ =--1 1 )1(n n n 收敛， 当1-=x 时，得 ∑ ∑ ∞ =∞ =--= -1 1 1 21)1(n n n n n 发散，所以收敛区间为 ]1,1(-. ５．解：.因为∑ ∞ == ! n n x n x e ),(+∞-∞∈x ,所以 n n n n n x x n n x e ∑ ∑ ∞ =∞ =--= -= ! )1(! )( ),(+∞-∞∈x . 四．1．解：.求直线的方向向量:k j i k j i s 531 1 2121 ++=--=, 求点:令z=0,得y=0,x=2,即交点为(2,0.0),所以交线的标准方程为:. 5 3 1 2z y x = = - 2．解： ? ? →????? ? ?-----→????? ? ?→????? ? ?=λλλ λλλ λλ λ λ λ λ1110011 1 11 11 1 111 11111 111 1 111~2 A (1) 当2-=λ时,3)~ (,2)(==A A r ,无解; (2) 当2,1-≠≠λλ时, 3)~ ()(==A A r ,有唯一 解:λ += ==21z y x ; (3) 当1=λ时, 1)~ ()(==A A r ,有无穷多组解: ?? ? ??==--=21 2 11c z c y c c x (21,c c 为任意常数) 《高数》试卷5（下） 一、 选择题（3分/题） 1、已知j i +，k b -=，则= ?b a （ ） A 0 B j i - C j i + D j i +- 2、空间直角坐标系中 12 2=+y x 表示（ ） A 圆 B 圆面 C 圆柱面 D 球面 3、二元函数 x xy sin z = 在（0，0）点处的极限是（ ） A 1 B 0 C ∞ D 不存在 4、交换积分次序后 dy )y ,x (f dx x ? ?1 1 =（ ） A dx )y ,x (f dy ? ?10 1 B dx )y ,x (f dy x ? ?1 1 C dx )y ,x (f dy y ? ?11 D dx )y ,x (f dy y ? ?0 1 5、二重积分的积分区域D 是 1≤+y x ，则??=D dxdy （ ） A 2 B 1 C 0 D 4 6、n 阶行列式中所有元素都是1，其值为（ ） A 0 B 1 C n D n! 7、若有矩阵 23?A ，32?B ，3 3?C ，下 ） A AC B CB C ABC D AC AB - 8、n 元线性方程组，当r )A ~ (r )A (r ==时有无穷多组解， 则（ ） A r=n B r C r>n D 无法确定 9、在一秩为r 的矩阵中，任r 阶子式（ ） A 必等于零 B 必不等于零 C 可以等于零，也可以不等于零 D 不会都不等于零 10、正项级数 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 满足关系式n n v u ≤，则（ ） A 若 ∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ =1 n n v 收敛 B 若 ∑∞ =1 n n v 收敛，则 ∑∞ =1 n n u 收敛 C 若 ∑∞ =1 n n v 发散，则 ∑∞ =1 n n u 发散 D 若 ∑∞ =1 n n u 收 敛，则 ∑∞ =1 n n v 发散 二、 填空题（4分/题） 1、 空间点p （-1，2，-3）到 xoy 平面的距离为 2、 函数 2 8642 2 ++-+=y x y x )y ,x (f 在点 处取得极小值，极小值为 3、 A 为三阶方阵， 3=A ，则= -A 4、 三阶行列式 00z y z x y x ---= 5、 级数 ∑∞ =1 n n u 收敛的必要条件是 三、 计算题（6分/题） 1、 已知二元函数 x y z 2=，求偏导数 x z ??， y z ?? 2、 求两平面：22=+-z y x 与42=-+z y x 交线的 标准式方程。 3、 计算二重积分 dxdy y x D ?? 2 2，其中 D 由直线 2 =x ， x y =和双曲线 1=xy 所围成的区域。 4、 求方阵??? ?????--=12 1 011 32 2 A 的逆矩阵。 5、 求幂级数 ∑ ∞ =-1 5 1n n n )x (的收敛半径和收敛区间。 四、 应用题（10分/题） 1、 判断级数 p n n n ) (111 1 -∞ =∑ -的收敛性，如果收敛，请指出绝 对收敛还是条件收敛。 2、 试 根 据 λ 的取值，讨论方程组 ??? ??=++=++=++1 11321 321321x x x x x x x x x λλλ是否有解，指出解的情况。 参考答案 一、选择题（3分/题） DCBDA ACBCB 二、填空题（4分/题） 1、3 2、（3，-1） -11 3、-3 4、0 5、 0=∞ →n n u lim 三、计算题（6分/题） 1、 y ln y x z x 22=??， 1 22-?=??x y x y z 2、 5 03 012-= -= -z y x 3、 4 9 4、 ??? ? ? ?-----=-46 13513411 A 5、收敛半径R=3，收敛区间为（-4，6） 四、应用题（10分/题） 1、 当 0 10≤ p 时绝对收敛 2、 当 1 ≠λ且 2 -≠λ时， 3 )()~ (==A r A r ， 0≠A ，方程组有唯一解； 当2 -=λ时，2 )(3) ~ (=≠=A r A r ，方程组无 解； 当1=λ时，3 1)()~ (<==A r A r ，方程组有无穷 多组解。 高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 一、 选择题（每题4分，打“ * ”者为必做，再另选做4题，并标出选做记号“ * ”，多做不给分，共40分） 1* 某间接测量量的测量公式为4 3 23y x N -=，直接测量量x 和y 的标准误差为x ?和y ?,则间接测 量量N 的标准误差为？B N ?=； 4322 (2)3339N x x y x x x ??-==?=??， 3334(3)2248y N y y y y x ??==-?=-??- ()()[]21 23 2 289y x N y x ?+?=? 2* 。 用螺旋测微计测量长度时，测量值=末读数—初读数（零读数），初读数是为了消除 ( A ) （A ）系统误差 （B ）偶然误差 （C ）过失误差 （D ）其他误差 3* 在计算铜块的密度ρ和不确定度ρ?时，计算器上分别显示为“8.35256”和“ 0.06532” 则结果表示为：（ C ） (A) ρ=（8.35256 ± 0.0653） （gcm – 3 ）， (B) ρ=（8.352 ± 0.065） （gcm – 3 ）， (C) ρ=（8.35 ± 0.07） （gcm – 3 ）， (D) ρ=（8.35256 ± 0.06532） （gcm – 3 ） (E) ρ=（2 0.083510? ± 0.07） （gcm – 3 ）， (F) ρ=（8.35 ± 0.06） （gcm – 3 ）， 4* 以下哪一点不符合随机误差统计规律分布特点 （ C ） （A ） 单峰性 （B ） 对称性 （C ） 无界性有界性 （D ） 抵偿性 5* 某螺旋测微计的示值误差为mm 004.0±，选出下列测量结果中正确的答案：（ B ） A ． 用它进行多次测量，其偶然误差为mm 004.0； B ． 用它作单次测量，可用mm 004.0±估算其误差； B =?==? C. 用它测量时的相对误差为mm 004.0±。 100%E X δ = ?相对误差：无单位；=x X δ-绝对误差：有单位。 高等数学下册试题库 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ， 第一章 质点运动学 1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v,t 至(t ＋Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r ｜),平均速度为v ,平均速率为v ． (1) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜Δr ｜= Δs = Δr (B) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d s ≠ d r (C) ｜Δr ｜≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r ≠ d s (D) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r = d s (2) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜v ｜= v ,｜v ｜= v (B) ｜v ｜≠v ,｜v ｜≠ v (C) ｜v ｜= v ,｜v ｜≠ v (D) ｜v ｜≠v ,｜v ｜= v 分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr ｜＝PP ′,而Δr ＝｜r ｜-｜r ｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有｜d r ｜＝d s ,但却不等于d r ．故选(B)． (2) 由于｜Δr ｜≠Δs ,故t s t ΔΔΔΔ≠r ,即｜v ｜≠v ． 但由于｜d r ｜＝d s ,故t s t d d d d =r ,即｜v ｜＝v ．由此可见,应选(C)． 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ； (2)t d d r ； (3)t s d d ； (4)2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x ． 下述判断正确的是( ) (A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确 大学物理实验A(II)考试复习题 1．有一个角游标尺，主尺的分度值是°，主尺上29个分度与游标上30个分度等弧长，则这个角游标尺的最小分度值是多少？ 30和29格差1格，所以相当于把这1格分成30份。这1格为°=30′，分成30份，每份1′。 2．电表量程为：0～75mA 的电流表，0～15V 的电压表，它们皆为级，面板刻度均为150小格，每格代表多少？测量时记录有效数字位数应到小数点后第几位(分别以mA 、V 为记录单位)？为什么？ 电流表一格小数点后一位 因为误差, 电压表一格小数点后两位,因为误差，估读一位 ***3．用示波器来测量一正弦信号的电压和频率，当“Y轴衰减旋钮”放在“2V/div”档，“时基扫描旋钮”放在“div”档时，测得波形在垂直方向“峰－峰”值之间的间隔为格，横向一个周期的间隔为格，试求该正弦信号的有效电压和频率的值。 f=1/T=1÷×= U 有效=÷根号2= ***4.一只电流表的量程为10mA ，准确度等级为级；另一只电流表量程为15mA ，准确度等级为级。现要测量9mA 左右的电流，请分析选用哪只电流表较好。 量程为10mA ，准确度等级为级的电流表最大误差,量程为15mA ，准确度等级为级,最大误差,所以选用量程为15mA ，准确度等级为级 5. 测定不规则固体密度 时，，其中为0℃时水的密度，为被测物在空气中的称量质量，为被测物完全浸没于水中的称量质量，若被测物完全浸没于水中时表面附 有气泡，试分析实验结果 将偏大还是偏小？写出分析过程。 若被测物浸没在水中时附有气泡，则物体排开水的体积变大，物体所受到的浮力变大，则在水中称重结果将偏小，即m 比标准值稍小，可知0ρρm M M -=将偏小 6．放大法是一种基本的实验测量方法。试写出常用的四种放大法，并任意选择其中的两种方法，结合你所做过的大学物理实验，各举一例加以说明。 累计放大法 劈尖干涉测金属丝直径的实验中，为了测出相邻干涉条纹的间距 l ，不是仅对某一条纹测量，而是测量若干个条纹的总间距 Lnl ，这样可减少实验的误差。 机械放大法 螺旋测微器，迈克尔孙干涉仪读数系统 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； 大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷 学院： 专业： 行政班： 姓名： 学号： 座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末 的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（ ）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（ ）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在 二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。 三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。 1某质点的运动学方程x=6+3t-5t 3，则该质点作 （ D ） （A ）匀加速直线运动，加速度为正值 （B ）匀加速直线运动，加速度为负值 （C ）变加速直线运动，加速度为正值 （D ）变加速直线运动，加速度为负值 2一作直线运动的物体，其速度x v 与时间t 的关系曲线如图示。设21t t →时间内合力作功 为A 1，32t t →时间内合力作功为A 2，43t t → （C ） （A ）01?A ，02?A ，03?A （B ）01?A ，02?A ， 03?A （C ）01=A ，02?A ，03?A （D ）01=A ，02?A ，03?A 3 关于静摩擦力作功，指出下述正确者（ C ） （A ）物体相互作用时，在任何情况下，每个静摩擦力都不作功。 （B ）受静摩擦力作用的物体必定静止。 （C ）彼此以静摩擦力作用的两个物体处于相对静止状态，所以两个静摩擦力作功之和等于 零。 4 质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，经过时间T 转动一圈，那么在2T 的时间内，其平 均速度的大小和平均速率分别为（B ） （A ） ， （B ） 0， （C ）0， 0 （D ）T R π2， 0 5、质点在恒力F ρ作用下由静止开始作直线运动。已知在时间1t ?内，速率由0增加到υ； 在2t ?内，由υ增加到υ2。设该力在1t ?内，冲量大小为1I ，所作的功为1A ；在2t ?内， 冲量大小为2I ，所作的功为2A ，则（ D ） A ．2121;I I A A <= B. 2121;I I A A >= C. 2121;I I A A => D. 2121;I I A A =< 6如图示两个质量分别为B A m m 和的物体A 和B 一起在水平面上沿x 轴正向作匀减速直 线运动，加速度大小为a ，A 与B 间的最大静摩擦系数为μ，则A 作用于B 的静摩擦力 F 的大小和方向分别为（D ） 轴正向相反与、轴正向相同 与、轴正向相同 与、轴正向相反 与、x a m D x a m x g m x g m B B B B ,,C ,B ,A μμT R π2T R π2T R π2t 单项选择题 1．两个直接测量值为0．5136mm 和 10．0mm，它们的商是（ C） B : 0.0514 最少为三个有效数字 A : 0.05136 C : 0.051 D : 0.1 2．在热敏电阻特性测量实验中，QJ23 型电桥“ B”和“ G”开关的使用规则是：（ A ） A ：测量时先按“ B”后按，“ G”，断开时先放“ G”后放“ B” B：测量时先按“ G”，后按“ B”，断开时先放“ B”放后“ G” C：测量时要同时按“ G”和“ B”断开时也要同时放，“ B”和“ G” D：电桥操作与开关“ G”和“ B”的按放次序无关。 3．在观察李萨如图形时，使图形稳定的调节方法有：（B ） A ：通过示波器同步调节，使图形稳定；B：调节信号发 生器的输出频率； C：改变信号发生器输出幅度； D：调节示波器时基微调旋扭，改变扫描速度，使图形稳定。 观察丽莎如图时没有用扫描电压，所以 ACD 不适用，只能通 过调节两个输入信号使之匹配 4． QJ36 型单双臂电桥设置粗调、细调按扭的主要作用是：（ A ） Ａ：保护电桥平衡指示仪（与检流计相当），便于把电桥调到 平衡状态； Ｂ：保护电源，以避免电源短路而烧坏； Ｃ：保护标准电阻箱； Ｄ：保护被测的低电阻，以避免过度发热烧坏。 5．选出下列说法中的正确者：（ A ） Ａ： QJ36 型双臂电桥的特点之一，是它可以大大降低连接导 线电阻的影响。 B：QJ36 型双臂电桥连接低电阻的导线用铜片来代替，从而 完全消除了导线引入的误差。 C：QJ36 型双臂电桥设置“粗”、“细”调按钮，是为了避免电源烧坏。 D：双桥电路中的换向开关是为了保护被测的低电阻，以避免 过度发热而烧坏。 6.某同学得计算得某一体积的最佳值为V 3.415678cm3(通过某一 关系式计算得到 )，不确定度为V0.064352cm3，则应将结果 表述为： ( D) A ： V=3.4156780.64352cm3B: V=3.4156780.6cm3 C: V=3.41568 0.64352cm3D: V=3.420.06cm3 7．几位同学关于误差作了如下讨论： 甲：误差就是出了差错，只不过是误差可以计算，而差错是 《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+ A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21. 高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题 大题一二三四五六七 小题 1 2 3 4 5 得分 一、填空题：（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分，把答案直接填在题中 横线上） 1 、已知向量、满足，，，则． 2 、设，则． 3 、曲面在点处的切平面方程为． 4 、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则 的傅里叶级数 在处收敛于，在处收敛于． 5 、设为连接与两点的直线段，则． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题 纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分） 1 、求曲线在点处的切线及法平面方程． 2 、求由曲面及所围成的立体体积． 3 、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4 、设，其中具有二阶连续偏导数，求． 5 、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部． 三、（本题满分 9 分）抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． （本题满分 10 分） 计算曲线积分， 其中为常数，为由点至原点的上半圆周． 四、（本题满分 10 分） 求幂级数的收敛域及和函数． 五、（本题满分 10 分） 计算曲面积分， 其中为曲面的上侧． 六、（本题满分 6 分） 设为连续函数，，，其中是由曲 面与所围成的闭区域，求． ------------------------------------- 备注：①考试时间为 2 小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。 高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题【 A 卷】 参考解答与评分标准 2009 年 6 月 马文蔚（ 112 学时） 1-9 章自测题 第 1 部分：选择题 习题 1 1-1 质点作曲线运动，在时刻t质点的位矢为r ，速度为 v ，t 至 t t 时间内的位移为r ，路程为s，位矢大小的变化量为r （或称r ），平均速度为v ，平均速率为v 。 （1）根据上述情况，则必有（） （A ）r s r （B ）（C）（D ）r s r ，当t0 时有 dr ds dr r r s ，当t0 时有 dr dr ds r s r ，当t0 时有 dr dr ds （2）根据上述情况，则必有（） （A ）（C）v v, v v（ B）v v, v v v v, v v（D ）v v, v v 1-2 一运动质点在某瞬间位于位矢r ( x, y) 的端点处，对其速度的大小有四种意见，即 （1）dr ；（ 2） dr ；（3） ds ；（4）( dx )2( dy )2 dt dt dt dt dt 下列判断正确的是： （A ）只有（ 1）（2）正确（B ）只有（ 2）正确 （C）只有（ 2）（3）正确（D ）只有（ 3）（ 4）正确 1-3 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度， a 表示加速度，s表示路程，a t表示切向加速度。对下列表达式，即 （1）dv dt a ；（2） dr dt v ；（3） ds dt v ；（4）dv dt a t。 下述判断正确的是（） （A ）只有（ 1）、（ 4）是对的（B ）只有（ 2）、（4）是对的 （C）只有（ 2）是对的（ D）只有（ 3）是对的 1-4 一个质点在做圆周运动时，则有（） （A ）切向加速度一定改变，法向加速度也改变 （B ）切向加速度可能不变，法向加速度一定改变 （C）切向加速度可能不变，法向加速度不变 （D ）切向加速度一定改变，法向加速度不变 1-5 如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边 习 题(参考答案) 2．指出下列测量值为几位有效数字，哪些数字是可疑数字，并计算相对不确定度。 (1) g ＝(9.794±0.003)m ·s 2 - 答：四位有效数字，最后一位“4”是可疑数字，%031.0%100794 .9003 .0≈?= gr U ； (2) e ＝(1.61210±0.00007)?10 19 - C 答：六位有效数字，最后一位“0”是可疑数字，%0043.0%10061210 .100007 .0≈?= er U ； (3) m ＝(9.10091±0.00004) ?10 31 -kg 答：六位有效数字，最后一位“1”是可疑数字，%00044.0%10010091 .900004 .0≈?= mr U ； (4) C ＝(2.9979245±0.0000003)8 10?m/s 答：八位有效数字，最后一位“5”是可疑数字 1．仪器误差为0.005mm 的螺旋测微计测量一根直径为D 的钢丝，直径的10次测量值如下表： 试计算直径的平均值、不确定度(用D 表示)和相对不确定度(用Dr 表示)，并用标准形式表示测量结果。 解： 平均值 mm D D i i 054.210110 1 ==∑= 标准偏差： mm D D i i D 0029.01 10)(10 1 2 ≈--= ∑=σ 算术平均误差： m m D D i i D 0024.010 10 1 ≈-= ∑=δ 不确定度A 类分量mm U D A 0029.0==σ， 不确定度B 类分量mm U B 005.0=?=仪 ∴ 不确定度mm U U U B A D 006.0005.00029.0222 2≈+=+= 相对不确定度%29.0%100054 .2006 .0%100≈?=?= D U U D Dr 钢丝的直径为：%29.0)006.0054.2(=±=Dr D mm D 或 不确定度A 类分量mm U D A 0024.0==δ ， 不确定度B 类分量mm U B 005.0=?=仪 ∴ 不确定度mm U U U B A D 006.0005.00024.0222 2≈+=+= 相对不确定度%29.0%100054 .2006 .0%100≈?=?= D U U D Dr 钢丝的直径为： %29.0)006.0054.2(=±=Dr D mm D ，%00001.0%1009979245 .20000003 .0≈?= Cr U 。 3．正确写出下列表达式 （1）km km L 310)1.01.3()1003073(?±=±= （2）kg kg M 4 10)01.064.5()13056430(?±=±= （3）kg kg M 4 10)03.032.6()0000030.00006320.0(-?±=±= （4）s m s m V /)008.0874.9(/)00834 .0873657.9(±=±= 4．试求下列间接测量值的不确定度和相对不确定度，并把答案写成标准形式。 《高等数学》试卷6（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π =b a 3. 设有直线1158 :121x y z L --+== -和26:23 x y L y z -=??+=?，则1L 与2L 的夹角为（ ） （A ） 6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2 π . 4.两个向量a 与b 垂直的充要条件是（ ）. A.0=?b a B.0 =?b a C.0 =-b a D.0 =+b a 5.函数xy y x z 33 3 -+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则 ?? ? ????4,1πy z ＝（ ）. A. 2 2 B.22- C.2 D.2- 7. 级数 1 (1)(1cos ) (0)n n n α α∞ =-->∑是（ ） （A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关. 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（ ）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =??? ??02在收敛域内的和函数是（ ）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. 设L 为取正向的圆周：22 1x y +=，则曲线积分 2(22)d (4)d L xy y x x x y -+-=? ____________. 5. .级数1 (2)n n x n ∞ =-∑的收敛区间为____________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4. ．计算1 d d y x y x x ? . 试卷6参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2 --y y x . 4. ()n n n n x ∑ ∞ =+-0 1 21. 5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1. ()()[]y x y x y e x z xy +++=??cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=??cos sin . 2016年下半年《高等数学（下）》期末考试试卷及答案 (河南工程学院） 1. ( 单选题) 若函数 f(x) 在点 x0 处可导且，则曲线 y=f(x) 在 点（ x 0, f(x0) ）处的法线的斜率等于（）(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 2. ( 单选题) 无穷小量是(本题 3.0分) A、比0稍大一点的一个数 B、一个很小很小的数 C、以0为极限的一个变量 D、数0 3. ( 单选题) 设函数，则其间断点的个数是（）。 (本题3.0分) A、0 B、 1 C、 2 D、 3 4. ( 单选题) 设则(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 5. ( 单选题) 极限 (本题3.0分) A、-2 B、0 C、 2 D、 1 6. ( 单选题) 设则(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 7. ( 单选题) 设函数f(x)=(x+1)Cosx,则f(0)=( ).(本题3.0分) A、-1 B、0 C、 1 D、无定义 8. ( 单选题) 若，则f(x）=（）。(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 9. ( 单选题) 微分方程是一阶线性齐次方程。 (本题3.0分) A、正确 B、错误 10. ( 单选题) 曲线在点处的切线方程为(本题3.0分) A、 B、 C、 D、 11. ( 单选题) 极限(本题3.0分) A、 1 B、-1 C、0 D、不存在 12. ( 单选题) 极限(本题3.0分) A、-2 B、0 C、 2 D、 1 13. ( 单选题) 设，则( )。 (本题3.0分) A、 B、６x C、 6 D、0 14. ( 单选题) 极限 (本题3.0分) 1某质点的运动学方程x=6+3t-5t 3 ，则该质点作 （ D ） （A ）匀加速直线运动，加速度为正值 （B ）匀加速直线运动，加速度为负值 （C ）变加速直线运动，加速度为正值 （D ）变加速直线运动，加速度为负值 2一作直线运动的物体，其速度x v 与时间t 的关系曲线如图示。设21t t →时间合力作功为 A 1，32t t →时间合力作功为A 2，43t t → 3 C ） （A ）01?A ，02?A ，03?A （B ）01?A ，02?A ， 03?A （C ）01=A ，02?A ，03?A （D ）01=A ，02?A ，03?A 3 关于静摩擦力作功，指出下述正确者（ C ） （A ）物体相互作用时，在任何情况下，每个静摩擦力都不作功。 （B ）受静摩擦力作用的物体必定静止。 （C ）彼此以静摩擦力作用的两个物体处于相对静止状态，所以两个静摩擦力作功之和等于 零。 4 质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，经过时间T 转动一圈，那么在2T 的时间，其平均 速度的大小和平均速率分别为（B ） （A ） ， （B ） 0， （C ）0， 0 （D ） T R π2， 0 5、质点在恒力F 作用下由静止开始作直线运动。已知在时间1t ?，速率由0增加到υ；在2t ?， 由υ增加到υ2。设该力在1t ?，冲量大小为1I ，所作的功为1A ；在2t ?，冲量大小为2I ， 所作的功为2A ，则（ D ） A ．2121;I I A A <= B. 2121;I I A A >= C. 2121;I I A A => D. 2121;I I A A =< 6如图示两个质量分别为B A m m 和的物体A 和B 一起在水平面上沿x 轴正向作匀减速直线 运动，加速度大小为a ，A 与B 间的最大静摩擦系数为μ，则A 作用于B 的静摩擦力F 的 大小和方向分别为（D ） 轴正向相反与、轴正向相同 与、轴正向相同 与、轴正向相反 与、x a m D x a m x g m x g m B B B B ,,C ,B ,A μμT R π2T R π2T R π2t .. 浙江农林大学 2016- 2017学年第一学期考试卷（B 卷） 课程名称：大学物理实验 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 30分钟。 题号 一 二 三 总分 得分 评阅人 一、单项选择题（1-7题必做，8-13题任选做2题。每题只有一个正确答案，将 选择的答案填入以下表格中，填在题目上的将不给分，每题3分，共计27分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 1-7题必做： 1、利用示波器通过一系列的传感手段，可得到被检者的心电图。医生通过心电图，可以了解到被检者心跳的情况，例如，测量相邻两波峰的时间间隔，便可计算出1min 内心脏跳动的次数(即心率)。同一台示波器正常工作时测得待检者甲、乙的心电图分别如图 甲、 乙所示，相邻两波峰在示波器上所占格数已经标出。若医生测量时记下被检者甲的心率为60 次/min ，则可知乙的心率和这台示波器X 时间增益（衰减）选择开关置于（ ） A 、48 次/min, 50ms/div B 、75 次/min, 0.2s/div C 、75 次/min, 0.1s/div D 、48 次/min, 20ms/div 2、在牛顿环实验中，我们看到的干涉条纹是由哪两条光线产生的？（ ） A 、 3和4 B 、 1和2 C 、 2和3 D 、 1和4 得分 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 1 2 3 4 5 5 5 甲 3、已知300x f Hz =，李萨如图形为 “ ”，则y f 为（ ） A 、 400Hz B 、 450Hz C 、 200Hz D 、 100Hz 4、在空气比热容比测定实验中，我们用到的两种传感器是：（ ） A 、压强传感器和体积传感器 B 、压强传感器和温度传感器 C 、温度传感器和体积传感器 D 、压强传感器和时间传感器 5、密立根油滴实验中，基本电荷e 的计算，应对实验测得的各油滴电荷q 求（ ） A 、算术平均值 B 、 最小公倍数 C 、最小整数 D 、最大公约数 6、用量程为20mA 的1.0级毫安表测量电流。毫安表的标尺共分100个小格，指针指示为60.5格。电流测量结果应表示为 （ ） A 、(60.5±0.2)mA B 、(20.0±0.1)mA C 、(12.1±0.2) mA D 、(12.10±0.01)mA 7、传感器的种类多种多样，其性能也各不相同，空调机在室内温度达到设定的稳定后，会自动停止工作，其中空调机内使用了下列哪种传感器( ) A ．温度传感器 B ．红外传感器 C ．生物传感器 D ．压力传感器 8-13题任选做2题： 8、在0~100℃范围内，Pt100输出电阻和温度之间关系近似呈如下线性关系： )1(0AT R R T +=，式中A 为温度系数，约为3.85×10-3℃-1。则当Pt100输出电阻 为115.4Ω时对应温度为（ ） A 、0 ℃ B 、40 ℃ Ｃ、50 ℃ Ｄ、100 ℃ 9、分光计实验中为能清晰观察到“十”字光斑的像，需调节（ ） A 、前后移动叉丝套筒 B 、目镜调节手柄 C 、望远镜水平度调节螺钉 D 、双面反射镜的位置 10、在多普勒效应实验装置中，光电门的作用是测量小车通过光电门的（ ） A 、时间 B 、速度 C 、频率 D 、同时测量上述三者 11、如图三，充氩的夫兰克-赫兹管A I ～K G U 2曲线中, 氩原子的第一激发电位0U 为( ) A 、 45U U - B 、 1U C 、 13U U - D 、36U U -高等数学下试题及参考答案
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