选修4－2 矩阵与变换A
[最新考纲]
1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．
2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．
3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质． 4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．
5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.
知 识 梳 理
1．矩阵的乘法规则
(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵????????
b 11b 21的乘法规则： [a 11 a 12]?????
???
b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵????????a 11a 21 a 12a 22与列向量??????
??
x 0y 0的乘法规则： ????????a 11a 21 a 12a 22????????x 0y 0＝?????
???
a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则
①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ????????a 11a 21 a 12a 22?????
???b 11b 21 b 12b 22＝ ?????
???a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵
(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .
(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝??
??
??
a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为
A －
1＝
?????
???d
ad －bc
－b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组???
ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n
的系数矩阵A ＝??????a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解??????x y ＝??
????a b c d －1???
?
??
m n ， 其中A
－
1＝?????
???d
ad －bc
－b ad －bc
－c ad －bc
a ad －bc . 3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念
设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．
(2)特征多项式与特征方程 设λ是二阶矩阵A ＝??
??
??a
b c d 的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝??????x y ，则A ?????
?x y ＝λ????
??x y ， 即??????
x y 满足二元一次方程组???
ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ， 故???
(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0???
????λ－a －b －c λ－d ??????x y ＝??????
00(*)
则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式 ??????λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝??????λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝??
??
??
a b c d 的特征多项式；方程????
??λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝??
??
??
a
b c d 的特征方程． (3)特征值与特征向量的计算
如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝??
????λ－a －b －c λ－d ＝λ2
－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．
解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解
??? x ＝x 1，y ＝y 1，???
x ＝x 2，y ＝y 2，
记ξ1＝??????x 1y 1，ξ2＝??????x 2y 2.
则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝??
??
??a
b c
d 的特征值，ξ1＝??????x 1y 1，ξ2
＝????
??
x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量． 诊 断 自 测
1. ??
????1 00 －1 ??????
57＝________.
解析 ??
????1 00 －1??????57＝?????
??? 1×5＋0×7 0×5＋(－1)×7
＝??????
5－7.
答案 ????
??
5－7
2．若A ＝?????
???12 1212
12，B ＝??????
?? 12 －1
2－12 12，则AB ＝________.
解析
AB ＝????????12 1212
12???????? 12 －12－12 12 ＝
?????
??
?12×12＋12×? ????
－12 12×? ????－12＋12×1
212×12＋12×? ????－12 12×? ???
?－12＋12×12
＝??
????
0 00 0.
答案 ??
??
??0
00
0 3．设A ＝??
????－1 0 0 1，B ＝??????
0 －11 0，则AB 的逆矩阵为________． 解析 ∵A
－1
＝??
????－1 0 0 1，B －1
＝????
??
0 1－1 0 ∴(AB )
－1
＝B －1A －1＝?????? 0 1－1 0 ????
??－1 0 0 1＝??????
0 11 0. 答案 ??
??
??
0 11
0 4．函数y ＝x 2在矩阵M ＝?????
??
?1
00
14变换作用下的结果为________． 解析 ????????1 00 14 ??????x y ＝???????? x 14y ＝??????
x ′y ′?x ＝x ′，y ＝4y ′， 代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2，即y ＝14x 2. 答案 y ＝1
4x 2
5．若A ＝??
??
??
1
56 2，则A 的特征值为________． 解析 A 的特征多项式f (λ)＝??????
??
λ－1 －5 －6 λ－2 ＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 答案 7和－4
考点一 矩阵与变换
【例1】 (2014·苏州市自主学习调查)已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝??
??
??2
a b 1所对应的变换将直线x －y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．
解 设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则??????2 a b
1 ??????x y ＝????
??x ′y ′， 所以???
x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .
因为点(x ′，y ′)，在直线x ＋2y ＝1上，所以 (2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即???
2＋2b ＝1，
a ＋2＝－1，
所以?
????
a ＝－3，
b ＝－1
2.
规律方法 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．
【训练1】 已知变换S 把平面上的点A (3,0)，B (2,1)分别变换为点A ′(0,3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T . 解 设T ＝??
??
??a c b
d ，则T ：??????30→??????x ′y ′＝??
????a c b d ??????30＝??????3a 3b ＝??????03，解得?
??
a ＝0，
b ＝1；
T ：??????21→??????x ′y ′＝??
????a c b d ??????21＝??????2a ＋c 2b ＋d ＝????
?? 1－1， 解得???
c ＝1，
d ＝－3，
综上可知T ＝??
????
0 11 －3. 考点二 二阶逆矩阵与二元一次方程组
【例2】 已知矩阵M ＝??????
2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，
试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．
解 依题意得由M ＝??????
2 －31 －1，得|M |＝1， 故M －1
＝??
??
??－1
3－1
2. 从而由??????2 －31 －1??????x y ＝????????135得??????x y ＝????????－1－1 32????????135＝??
????－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝????
?? 2－3，故?
??
x ＝2，
y ＝－3，∴A (2，－3)为所求． 规律方法 求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB )－1＝B －1A －1性质的应用． 【训练2】 已知矩阵A ＝?????
???2
1 32， (1)求矩阵A 的逆矩阵；
(2)利用逆矩阵知识解方程组?
??
2x ＋3y －1＝0，
x ＋2y －3＝0.
解 (1)法一 设逆矩阵为A －1
＝?????
???a c b d ， 则由????????21
32????????a c
b d ＝?????
???
10
01，得?
??
2a ＋3c ＝1，
2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1，
解得???
a ＝2，
b ＝－3，
c ＝－1，
d ＝2，
A －1＝????????2
－1
－32. 法二 由公式知若A ＝????????a c b d ＝?????
???21
32，
(2)已知方程组???
2x ＋3y －1＝0，
x ＋2y －3＝0，
可转化为???
2x ＋3y ＝1，
x ＋2y ＝3，
即AX ＝B ，其中A ＝????????21 32，X ＝????????x y ，B ＝?????
???
13，且由(1)， 得A －1＝?????
?
??2
－1 －32. 因此，由AX ＝B ，同时左乘A －1，有 A －1AX ＝A －1B ＝????????2
－1 －32????????13＝????????－75. 即原方程组的解为???
x ＝－7，
y ＝5.
考点三 求矩阵的特征值与特征向量
【例3】 已知a ∈R ，矩阵A ＝?????
???
1a
21对应的线性变换把点P (1,1)变成点P ′(3,3)
，
求矩阵A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量． 解 由题意????????1a
21 ????????11＝????????3a ＋1＝?????
???33， 得a ＋1＝3，即a ＝2，矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝??????
??
λ－1－2 －2λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)， 令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3. ①对于特征值λ1＝－1，
解相应的线性方程组??? x ＋y ＝0，2x ＋2y ＝0得一个非零解???
x ＝1，
y ＝－1.
因此，α＝????????
1－1是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量； ②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组???
2x －2y ＝0，
－2x ＋2y ＝0
得一个非零解?
??
x ＝1，
y ＝1.
因此，β＝????????
11是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量． 规律方法 已知A ＝?????
???
a c
b d ，求特征值和特征向量，其步骤为： (1)令f (λ)＝????
??
(λ－a )
－c －b
(λ－d )＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ； (2)列方程组?????
(λ－a )x －by ＝0，
－cx ＋(λ－d )y ＝0；
(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量．
【训练3】 (2014·扬州质检)已知矩阵M ＝????????3
－1
－13，求M 的特征值及属于各
特征值的一个特征向量．
解 由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝????????λ－3
1
1λ－3＝ (λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值． 设矩阵M 的特征向量为??????
x y ，
当λ1＝2时，由M ??????x y ＝2??????x y ， 可得???
－x ＋y ＝0，
x －y ＝0.
可令x ＝1，得y ＝1，
∴α1＝??????
11是M 的属于λ1＝2的特征向量．
当λ2＝4时，由M ??????x y ＝4??????
x y ，
可得???
x ＋y ＝0，
x ＋y ＝0，
取x ＝1，得y ＝－1，
∴α2＝????
??
1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．
用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程
【典例】 二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；
(2)设直线l 在变换T 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．
[审题视点] (1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解． (2)知道直线l 在变换T 作用下的直线m ，求原直线，可用坐标转移法． 解 (1)设M ＝??????a b c d ，则??????a b c d ?????? 1－1＝??????
?
?
－1－1， ??????a b c d ??????－2 1＝????
?? 0－2， 所以????? a －b ＝－1，c －d ＝－1，且???
??
－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，
解得?????
a ＝1，
b ＝2，
c ＝3，
d ＝4，
所以M ＝??
??
??
1 23 4. (2)因为??????x ′y ′＝??????1 23 4??????x y ＝????????x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x ′－y ′＝4， 所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，
即x ＋y ＋2＝0，∴直线l 的方程是x ＋y ＋2＝0.
[反思感悟] (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．
(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法 .
(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误． 【自主体验】
(2014·南京金陵中学月考)求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作
用下得到的曲线方程，其中M ＝?????
???
10 02，N ＝
?????
??? 1－1
01. 解 MN ＝????????10
02???????? 1－1
01＝?????
??? 1－2
02. 设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )， 则????????x y ＝???????? 1－2
02????????x ′y ′＝?
????? x ′
－2x ′＋2y ′， 于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y
2，
代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0，得xy ＝1.
所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.
一、填空题
1．已知变换T ：??????x y →??????x ′y ′＝??
????
3x ＋4y 5x ＋6y ，则该变换矩阵为________． 解析 ?????
x ′＝3x ＋4y ，y ′＝5x ＋6y ，可写成??
????3 45 6??????x y ＝??????x ′y ′. 答案 ??
??
??3
45 6 2．计算??
????3
75
8????
??
2－1等于________． 解析 ??????3 75 8?????? 2－1＝????????
3×2－75×2－8＝????
??
－1 2. 答案 ????
??
－1 2
3．矩阵??
??
??
5
00 1的逆矩阵为________． 解析 ??????5 00 1＝5，∴????
??5 00 1的逆矩阵为????????15 0 0 1. 答案 ?????
???15 0 0 1 4．若矩阵A ＝??
????
3 a b 13把直线l ：2x ＋y －7＝0变换成另一直线l ′：9x ＋y －91＝0，则a ＝________，b ＝________. 解析 取l 上两点(0,7)和(3.5,0)，
则??
????3 a b 13??????07＝??????7a 91，??????3 a b 13??????3.5 0＝????
??
10.53.5b . 由已知(7a,91)，(10.5,3.5b )在l ′上，代入得a ＝0，b ＝－1. 答案 0 －1
5．矩阵M ＝??????
6 －36 －3的特征值为________． 解析 f (λ)＝??????
??
λ－6 3－6 λ＋3＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0. ∴λ＝0或λ＝3. 答案 0或3 6．已知矩阵M ＝??
????1
23
4，α＝??????
12，β＝????
?? 0－3，则M (2α＋4β)＝________.
解析 2α＋4β＝??????24＋?????? 0－12＝?????? 2－8，M (2α＋4β)＝??????1 23 4?????? 2－8＝??????
?
?
－14－26.
答案 ??
??
??
－14－26 7．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝?????
?
??
10
21的作用下变换为曲线C 2，则C 2的方
程为________．
解析 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，
则????????10 21????????x ′ y ′＝????????x y ，即????? x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′??????
x ′＝x －2y ，y ′＝y . 因为P ′是曲线C 1上的点， 所以C 2的方程为(x －2y )2＋y 2＝1. 答案 (x －2y )2＋y 2＝1
8．已知矩阵A ＝??
????2 －1－4 3，B ＝??????4 －1－3 1，则满足AX ＝B 的二阶矩阵X 为________．
解析 由题意，得A －1＝ AX ＝B ，
∴X ＝A －1B ＝. 答案 ?????
???
92 －1 5 －1 9．已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是????????11，则矩阵A 为________．
解析 设A ＝????????a c b d ，由????????a c b d ????????10＝????????23，得?????
a ＝2，c ＝3. 由????????a c
b d ????????11＝3????????11＝????????33，得????? a ＋b ＝3，
c ＋
d ＝3.所以?????
b ＝1，d ＝0.
所以A ＝?????
???
23 10.
答案 ?????
???23 10 二、解答题
10．(2012·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝错误!，求矩阵A 的特征值． 解 因为AA －1＝E ，所以A ＝(A －1)－1.
因为A －1＝错误!，所以A ＝(A －1)－1＝错误!， 于是矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝?????
?
??
λ－2－2 －3λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 11．已知矩阵A ＝??
??
?? 1
a －1
b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝??????21.
(1)求矩阵A ；(2)若向量β＝??????
74，计算A 5β的值．
解 (1)A ＝??
??
??
1 2－1 4. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝??
????λ－1 －2 1 λ－4＝λ2
－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝??????21，当λ2＝3时，得α2＝??????
11.
由β＝m α1＋n α2，得???
2m ＋n ＝7，
m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.
∴A 5
β＝A 5
(3α1＋α2)＝3(A 5
α1)＋A
5
α2＝3(λ51α1)＋λ52α2
＝3×25??????21＋35??????11＝????
??435339.
12．(2012·福建卷)设曲线2x 2
＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝??
??
??
a
0b
1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．
解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的
像是P ′(x ′，y ′)．
由??????x ′y ′＝??????a 0b 1??????x y ＝?????? ax bx ＋y ，得???
x ′＝ax ，
y ′＝bx ＋y .
又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，
整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，
依题意得??? a 2＋b 2
＝2，2b ＝2，解得??? a ＝1，b ＝1或?
??
a ＝－1，
b ＝1.
因为a ＞0，所以???
a ＝1，
b ＝1.
(2)由(1)知，A ＝??
??
??1
01
1，A 2＝??
????1 01 1??????1 01 1＝????
??1 02 1. 所以|A 2
|＝1，(A 2
)－1
＝??
??
??1
0－2
1.
2020高考矩阵与变换知识点基础与提高（含答案） 主要考查二阶矩阵的基本运算，选修内容考的题目大都不难，同学们注意基本概念。 1求逆矩阵，注意2*2矩阵的乘法。 2利用矩阵求坐标式的方程。 (10上海 4)行列式6πcos 3πsin 6πsin 3π cos 的值是____________． 考点：行列式的运算法则 解析：考查行列式运算法则6πcos 3 πsin 6π sin 3πcos 02πcos 6πsin 3πsin 6πcos 3πcos ==-= 答案：0. (10福建 21)选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵M ＝???? ??11b a ，??? ? ??=d c N 02，且???? ??-=0202MN ， (Ⅰ)求实数a ，b ，c ，d 的值；(Ⅱ)求直线x y 3=在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程． 考点：矩阵的基本运算和线形变换 解析：(1)?? ????-=??????++=????????????=020*******d b bc ad c d c b a MN ， 对应系数有???????-==-==????????=+-==+=1 212022022a d b c d b bc ad c ； (2)取x y 3=上一点()y x ,，设经过变换后对应点为()','y x ，则??????--=??????1111''y x ?? ????--=??????x y y x y x ，从而''x y =，所以经过变换后的图像方程为x y -=． 注意：本题相对基础，要求同学们对矩阵的基本运算方法，尤其是乘法 (09江苏 21)选修4－2：矩阵与变换 求矩阵?? ????=1223A 的逆矩阵. 考点：逆矩阵的求法，考查运算求解能力
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修4－2 矩阵与变换第2课时 逆变换与逆矩阵、矩 阵的特征值 1. 设M ＝???? ??0110，N ＝? ??????? 10012，求MN . 解：MN ＝??????0110????????100 12＝????? ???01210. 2. 已知矩阵M ＝?? ????a 273，若矩阵M 的逆矩阵M －1 ＝???? ??b －2－7a ，求a 、b 的值． 解：由题意，知MM －1 ＝E ，??????a 273??????b －2－7a ＝??????1001，即???? ?? ab －1407b －213a －14＝ ?? ?? ??10 01 ， 即???? ?ab －14＝1，7b －21＝0，3a －14＝1，解得a ＝5，b ＝3. 3. 求矩阵?? ?? ?? 12－12的特征多项式． 解：f(λ)＝??????λ－1－21 λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2 －3λ＋4.
4. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝[ 1 6 －2－6 ]的特征值． 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝?? ?? ?? λ－1－6 2 λ＋6＝(λ＋2)·(λ＋3)＝0， 令f(λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3. 5. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵N ＝???? ?? 3652的特征值及相应的特征向量． 解：矩阵N 的特征多项式为f(λ)＝?? ?? ?? λ－3－6－5λ－2 ＝(λ－8)·(λ＋3)＝0， 令f(λ)＝0，得N 的特征值为λ1＝－3，λ2＝8， 当λ1＝－3时?????－6x －6y ＝0，－5x －5y ＝0，一个解为? ????x ＝－1，y ＝1， 故特征值λ1＝－3的一个特征向量为?? ?? ?? －1 1； 当λ2＝8时?????5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，一个解为? ????x ＝6， y ＝5， 故特征值λ2＝8的一个特征向量为???? ?? 65. 1. 逆变换与逆矩阵 (1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． (2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1 . (3) 利用行列式解二元一次方程组． 2. 特征值与特征向量 (1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使A α＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量． (2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量． [备课札记]
2020年高考理科数学一轮总复习 基本不等式 [基础梳理] 1．重要不等式 a 2＋ b 2≥2ab (a ，b ∈R )(当且仅当a ＝b 时等号成立)． 2．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件是a >0，b >0. (2)等号成立的条件是：当且仅当a ＝b 时取等号． (3)其中a ＋b 2称为正数a ，b 的算术平均数， ab 称为正数a ，b 的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则： (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2 p (简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2 4(简记：和定积最大) 1．基本不等式的两种常用变形形式 (1)ab ≤? ????a ＋b 22 (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)． (2)a ＋b ≥2 ab (a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．
2．几个重要的结论 (1)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22 . (2)b a ＋a b ≥2(ab ＞0)． (3)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 2 2(a ＞0，b ＞0)． [四基自测] 1．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案：C 2．若x ＜0，则x ＋1 x ( ) A ．有最小值，且最小值为2 B ．有最大值，且最大值为2 C ．有最小值，且最小值为－2 D ．有最大值，且最大值为－2 答案：D 3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________． 答案：25 m 2 4．已知x >1，则x ＋4 x －1 的最小值为________． 答案：5 5．若1a ＋1 b ＝1(a >0，b >0)，则a ＋b 的最小值为________． 答案：4
【最新】单元《矩阵与变换》专题解析 一、15 1．已知函数cos 2()sin 2m x f x n x = 的图象过点( 12 π 和点2( ,2)3 π -. （1）求函数()f x 的最大值与最小值； （2）将函数()y f x =的图象向左平移(0)??π<<个单位后，得到函数()y g x =的图象；已知点(0,5)P ，若函数()y g x =的图象上存在点Q ，使得||3PQ =，求函数 ()y g x =图象的对称中心. 【答案】（1）()f x 的最大值为2，最小值为2-；（2）(,0)()24 k k Z ππ +∈. 【解析】 【分析】 （1）由行列式运算求出()f x ，由函数图象过两点，求出,m n ，得函数解析式，化函数式为一个角的一个三角函数式，可求得最值； （2）由图象变换写出()g x 表达式，它的最大值是2，因此要满足条件，只有(0,2)Q 在 ()g x 图象上，由此可求得?，结合余弦函数的性质可求得对称中心． 【详解】 （1）易知()sin 2cos 2f x m x n x =- ，则由条件，得sin cos 66 44sin cos 233m n m n ππππ?-=????-=-?? ， 解得 1.m n = =- 故()2cos22sin(2)6 f x x x x π =+=+ . 故函数()f x 的最大值为2，最小值为 2.- （2）由（1）可知： ()()2sin(22)6 g x f x x π ??=+=++ . 于是，当且仅当(0,2)Q 在()y g x =的图象上时满足条件. (0)2sin(2)26g π?∴=+=. 由0?π<<，得.6 π ?= 故()2sin(2)2cos 22 g x x x π =+ =. 由22 x k =+ π π，得().24 k x k Z ππ = +∈ 于是，函数()y g x =图象的对称中心为：(,0)()24 k k Z ππ +∈. 【点睛】 本题考查行列式计算，考查两角和的正弦公式，图象平移变换，考查三角函数的性质，如最值、对称性等等．本题主要是考查知识点较多，但不难，本题属于中档题．
矩阵知识点归纳 (一)二阶矩阵与变换 1．线性变换与二阶矩阵 在平面直角坐标系xOy 中，由? ?? ?? x ′＝ax ＋by ， y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换 称为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表?? ?? ?? a b c d 称为二阶矩阵，其中a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)． 2．矩阵的乘法 行矩阵[a 11a 12]与列矩阵??????b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]??????b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵???? ? ? a b c d 与列矩阵??????x y 的乘法规则为??????a b c d ??????x y ＝???? ?? ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律， 不满足交换律和消去律． 3．几种常见的线性变换 (1)恒等变换矩阵M ＝???? ?? 1 00 1； (2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝?? ?? ?? cos θ －sin θsin θ cos θ； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝??????1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝???? ?? －1 0 0 1；若关于坐标原点对称，则变 换对应矩阵M 3＝???? ?? －1 0 0 －1； (4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝???? ?? k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的k 1倍，纵 坐标变为原来的k 2倍，k 1，k 2均为非零常数； (5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝?????? 1 00 0； (6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝???? ?? 1 k 0 1， 若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝???? ?? 1 0k 1.(其中k 为非零常数)． 4．线性变换的基本性质 设向量α＝??????x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝??????λx λy ；设向量α＝??????x 1y 1，β＝???? ?? x 2y 2，规定 向量α与β的和α＋β＝???? ?? x 1＋x 2y 1＋y 2. (1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝λM α，②M (α＋β)＝M α＋M β. (2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．
2019届高三理科数学一轮复习计划
目录 一、背景分析 (1) 三、目标要求 (1) 四、具体计划 (2) （一）总体要求 (2) （二）要解决的问题 (2) （三）总体思路设计 (3) 五、测试制度 (3) （一）周测 (3) （二）单元测试 (3) （三）月测 (3) （四）备注 (3) 六、课程分类 (4) （一）知识梳理课 (4) （二）能力提高课 (4) （三）章节复习课 (4) （四）试卷讲评课 (5) 七、一轮复习进度计划具体安排如下 (5)
2019届高三理科数学一轮复习计划 一、背景分析 近几年来的高考数学试题逐步做到科学化、规化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。考试题不但坚持了考查全面、比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。更加注重考查学生进入高校学习所需的基本数学素养，这些变化应引起我们在教学中的关注和重视。 二、指导思想 在全面推行素质教育的背景下，努力提高课堂复习效率是高三数学复习的重要任务。通过复习，让学生更好地学会从事社会生产和进一步学习所必需的数学基础知识，从而培养学生思维能力，激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心。老师要在教学过程中不断了解新的教学信息，更新教育观念，探求新的教学模式，准确把握课程标准和考试说明的各项基本要求，立足基本知识、基本技能、基本思想和基本方法教学，针对学生实际，指导学法，着力培养学生的创新能力和运用数学的意识和能力。 三、目标要求 第一轮复习要结合高考考点，紧扣教材，以加强双基教学为主线，以提高学生能力为目标，加强学生对知识的理解、联系、应用，同时结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力。为此，确立一轮复习的总体目标：通过梳理考点，培养学生分析问题、解决问题的能力；使学生养成思考严谨、分析条理、解答正确、书写规的良好习惯，为二轮复习乃至高考奠定坚实的基础。具体要求如下： 1、第一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实双基的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。提高学生对实际问题的阅读理解、思考判断能力；以及数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。 2、在将基础问题学实学活的同时，重视数学思想方法的复习。一定要把复习容中反映出来的数学思想方法的教学体现在第一轮复习的全过程中，使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解，而不是单单立足于题的熟练。 3、要强化运算能力、表达能力和阅读能力的训练，课堂教学时要有意识安排时间让学生进行完整的规的解题训练，对解题过程和书写表达提出明确具体的要求，培养学生良好的解题习惯，提高解题的成功率和得分率。同时要加强处理信息与数据和寻求设计合理、简捷的运算途径方面的训练，提高阅读理解的水平和运算技能。落实网上阅卷对解题规、书写轻重、表达完整等新的要求。
选修4经典回顾 主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师 开篇语 选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容．围绕着三部分内容的试题，既有选择题和填空题，又有解答题．因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点，选择相关的问题进行求解训练，提高解决不等式问题能力 开心自测 题一：不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________． 题二：如图，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23a PD = ，30OAP ∠=?，则CP ＝_________． 考点梳理 选修4—1几何证明选讲部分： 1．垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． D
2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角． 4．圆内接四边形的判定定理： 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 5．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 7．相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 8．切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 选修4—4中的坐标系与参数方程部分： 1. 极坐标与直角坐标的关系 设点M的直角坐标为(x，)y，极坐标为(ρ，)θ， 则 cos, sin. x y ρθ ρθ = ? ? = ? 或 222, tan(0). x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ??
【高中数学】数学《矩阵与变换》高考知识点 一、15 1．已知矩阵2101M ?? =? ??? （1）求矩阵M 的特征值及特征向量； （2）若21α??=? ?-?? r ，求3M αv . 【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α?? =???? u u r （2）91????-?? 【解析】 【分析】 (1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出 方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r 可得333 12M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即 可. 【详解】 （1）矩阵M 的特征多项式为2 1 ()0 1 f λλλ--= -(2)(1)λλ=--， 令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2， 当1λ=，时由二元一次方程0 000x y x y --=?? +=? . 得0x y +=，令1x =，则1y =-， 所以特征值1λ=对应的特征向量为111α?-? =? ??? ； 当2λ=时，由二元一次方程00 00 x y x y -=?? +=?. 得0y =，令1x =， 所以特征值2λ=对应的特征向量为210α?? =???? u u r ； （2）1221ααα??==+??-??u u r u u r r Q ， 333 12M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210????=+????-????91??=??-?? . 【点睛】 本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.
第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 两个原理 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． (2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 知识点两个原理
1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m ＋n种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 易误提醒(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． (2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的． [自测练习] 1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有() A．30 B．20 C．10 D．6 解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．答案：D 2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A．243 B．252 C．261 D．279 解析：0,1,2…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，
∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．答案：B 考点一分类加法计数原理|
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质
设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩
2019 届高三理科数学一轮复习计划
目录 一、背景分析 (1) 三、目标要求 (1) 四、具体计划 (2) （一）总体要求 (2) （二）要解决的问题 (2) （三）总体思路设计 (3) 五、测试制度 (3) （一）周测 (3) （二）单元测试 (3) （三）月测 (3) （四）备注 (3) 六、课程分类 (4) （一）知识梳理课 (4) （二）能力提高课 (4) （三）章节复习课 (4) （四）试卷讲评课 (5) 七、一轮复习进度计划具体安排如下....................................................................... 5. .
2019 届高三理科数学一轮复习计划 一、背景分析近几年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。考试题不但坚持了考查全面、比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。更加注重考查学生进入高校学习所需的基本数学素养，这些变化应引起我们在教学中的关注和重视。 二、指导思想在全面推行素质教育的背景下，努力提高课堂复习效率是高三数学复习的重要任务。通过复习，让学生更好地学会从事社会生产和进一步学习所必需的数学基础知识，从而培养学生思维能力，激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心。老师要在教学过程中不断了解新的教学信息，更新教育观念，探求新的教学模式，准确把握课程标准和考试说明的各项基本要求，立足基本知识、基本技能、基本思想和基本方法教学，针对学生实际，指导学法，着力培养学生的创新能力和运用数学的意识和能力。 三、目标要求第一轮复习要结合高考考点，紧扣教材，以加强双基教学为主线，以提高学生能力为目标，加强学生对知识的理解、联系、应用，同时结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力。为此，确立一轮复习的总体目标：通过梳理考点，培养学生分析问题、解决问题的能力；使学生养成思考严谨、分析条理、解答正确、书写规范的良好习惯，为二轮复习乃至高考奠定坚实的基础。具体要求如下： 1、第一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实双基的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。提高学生对实际问题的阅读理解、思考判断能力；以及数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。 2、在将基础问题学实学活的同时，重视数学思想方法的复习。一定要把复习内容中反映出来的数学思想方法的教学体现在第一轮复习的全过程中，使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解，而不是单单立足于陈题的熟练。 3、要强化运算能力、表达能力和阅读能力的训练，课堂教学时要有意识安排时间让学生进行完整的规范的解题训练，对解题过程和书写表达提出明确具体的要求，培养学生良好的解题习惯，提高解题的成功率和得分率。同时要加强处理信息与数据和寻求设计合理、简捷的运算途径方面的训练，提高阅读理解的水平和运算技能。落实网上阅卷对解题规范、书写轻重、表达完整等新的要求。 四、具体计划
学案37合情推理与演绎推理 导学目标： 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 自主梳理
自我检测
1．(2010·山东)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x) 等于() A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 2．(2010·珠海质检)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)： ①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”； ②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”； ③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a －b>0?a>b”．其中类比结论正确的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 3．(2009·江苏)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________． 4．(2010·陕西)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________． 5．(2011·苏州月考)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________．
高三第一轮复习理科数学试卷（含答案） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的，请把正确答案 的代号填在题后的括号内（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）。答案已用红色吧、标出 1．设全集U=R,集合M={x|y=32x -}，N={y|y=3－2x }，则图中阴影部分表示的集合是 A ．{3|2 x < x 3≤} B . {3|2 x
c a b >> 6．等比数列{a n }中，a 3=6，前三项和3 304S xdx =?，则公比q 的值为 A.1 B.12 - C .1或12 - D.1-或12 - 7. 设()f x 是一个三次函数，'()f x 为其导函数，如图所示是函数 '()y xf x =的图像的一部分，则()f x 的极大值与极小值分别为 A ．(1)(1)f f -与 B ．(1)(1)f f -与 C ．(2)(2)f f -与 D ．(2)(2)f f -与 8. 已知,,A B C 是平面上不共线的三点，O 为平面ABC 内任一点，动点P 满足等式1[(1)(1)3 OP OA OB λλ=-+-u u u r u u u r u u u r (12)](OC λλ++∈R u u u r 且0)λ≠，则 P 的轨迹一 定通过ABC ?的 A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．AB 边的中点 9．设曲线*()n y x n N =∈与x 轴及直线x=1围成的封闭图形的面积为n a ，设1122012,n n n b a a b b +=+++L 则b = A ． 503 1007 B ． 2011 2012 C ． 2012 2013 D ． 2013 2014 10．已知函数()f x 满足：①定义域为R ；②x R ?∈，有(2)2()f x f x +=；③当[0,2]x ∈时， ()2|22|f x x =--．记()()||([8,8])?x f x x x =-∈-．根据以上信息，可以得到函数() ?x 的零点个数为 A ．15 B ．10 C ．9 D ．8 二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）。 11．已知函数()sin()(,0,0,||)2 f x A x x R A π ω?ω?=+∈>>< 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是 f(x)=2sin (πx+6 π ) 。 12．已知命题“存在,x R ∈使得|||2|2x a x -++≤成立”是假命题， 则实数a 的取值范围是________．(,4)(0,)-∞-+∞U 13．一同学在电脑中打出如下图若干个圆（○表示空心圆，●表示实心圆）
2.1.1 矩阵的概念 1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵; 2.矩阵的表示； 3.相等的矩阵; 2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法1.二阶矩阵与平面向量的乘法规则; 2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射; 3.待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法. 2.1 2.1 二阶矩阵与平面向量 二阶矩阵与平面向量
1,3形如??????8090,6085??????23324m ???????的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写黑体的拉丁字母A 、B 、C …表示，或者用(a ij )表示，其中i,j i,j 分别表示元素a ij ij 所在的行与列. 同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列. 组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。
13?????? 80906085??????23324m ???????21矩阵×22×矩阵23矩阵×0所有元素均为的矩阵叫做0矩阵. ,. 对于两个矩阵、的行数与列数分别相等，且对应位置上的元素也分别相和时，记等才相等作A B B A A B =
[][][]111112211111121111122121,规定： 行矩阵与列矩阵的乘法法则为 ＝b a a b b a a a b a b b ?????? ??×+×???? 01112212200110120111221220210220.x a a b b y x a x a y a a b b y b x b y ???????????? ×+×????????????×+×?????? 二阶矩阵与列向量的乘法规则为＝
第7单元 数列（基础篇） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差d =（ ） A ．2 B ． 32 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】∵a 1=12，S 5=90，∴54 512902 d ??+=，解得d =3，故选C ． 2．在正项等比数列{}n a 中，已知42a =，81 8 a =，则5a 的值为（ ） A ．14 B ．14 - C ．1- D ．1 【答案】D 【解析】由题意，正项等比数列{}n a 中，且42a =，818 a =，可得 4 84116a q a ==， 又因为0q >，所以12q = ，则541 212 a a q =?=?=，故选D ． 3．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910a a a ++=（ ） A ．72 B ．60 C ．48 D ．36 【答案】B 【解析】根据等差数列的性质可知：513994024020a a a a +=?=?=， 89109992360a a a a a a ==++=+，故本题选B ． 4．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”． 其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，则这匹马第7天所走的路程等于（ ） A ． 700 127 里 B ． 350 63 里 C ． 280 51 里 D ． 350 127 里 【答案】A 【解析】设马每天所走的路程是127,,.....a a a ，是公比为 1 2 的等比数列，
【高中数学】高中数学《矩阵与变换》期末考知识点 一、15 1．已知,R a b ∈，矩阵 a b c d A ?=? ? ??? ，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11??????，点()2,1P -在A 对应的变换作用下得到点()1,2P '-，求矩阵A . 【答案】2314A ?? =???? 【解析】 【分析】 根据矩阵的特征值和特征向量的定义建立等量关系，列方程组求解即可. 【详解】 由题意可知，1155115a b c d ????????==? ???????????????，且2112a b c d --?????? =???? ???????? ， 所以552122a b c d a b c d +=??+=??-+=-??-+=?，解得2 314 a b c d =??=??=??=?， 即矩阵2314A ??=????. 【点睛】 此题考查矩阵特征值和特征向量的辨析理解，根据题中所给条件建立等量关系解方程组得解. 2．a ，b 满足什么条件时，关于x ，y ，z 的方程组4424ax y z x by z x by z ++=?? ++=??++=? 有唯一解. 【答案】当0b ≠且1a ≠时 【解析】 【分析】 计算对应行列式为()11 1 110121 a D b b a b ==-≠，计算得到答案. 【详解】 4 424ax y z x by z x by z ++=?? ++=??++=? 有唯一解，则()1111212110121a D b ab b b ab b a b ==++---=-≠
所以当0b ≠且1a ≠时有唯一解 【点睛】 本题考查了方程组的唯一解问题，意在考查学生的计算能力. 3．解方程组32 321 x my m mx y m +=+?? +=-?. 【答案】详见解析. 【解析】 【分析】 求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】 由题意可得()()2 933D m m m =-=--+， ()()3(2)(21)231x D m m m m m =+--=--+，()()31y D m m =---. ①当0D ≠时，即当3m ≠±时，()213 13x y m D x D m D m y D m ?+==??+?-?==?+? ； ②当3m =时，方程组335335335x y x y x y +=??+=? +=? ，令()x t t R =∈，得533t y -=， 此时，该方程组的解有无数多个，为, ()533x t t R t y =?? ∈-?=?? ； ③当3m =-时，该方程组为331 337x y x y -=-??-+=-? 17?-=，所以该方程组无解. 【点睛】 本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题. 4．已知关于x 、y 的二元一次方程组()4360 260x y kx k y +=??++=? 的解满足0x y >>，求实数k 的取值范围. 【答案】5,42?? ??? 【解析】
2020年全国高考理科数学试题分类汇编 19：变换与矩阵、极限 一、选择题 1 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）展开式 为ad-bc 的行列式 是 （ ） A ． a b d c B ． a c b d C ． a d b c D ． b a d c 【答案】B 二、填空题 2 ．（2013年高考上海卷（理））若2 21 1x x x y y y =--,则______x y += 【答案】0x y +=. 三、解答题（每题10分，共30分） 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理） 试题（纯WORD 版））矩阵与变换
已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ??=?? ?? 对应的变换作用下 变为直线' :1l x by +=. (Ⅰ)求实数,a b 的值; (Ⅱ)若点0 (,)p x y 在直线上,且0 x x A y y ???? = ? ?? ?? ? ,求点p 的坐标. 【答案】解:(Ⅰ)设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩 阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y ''' 由 12201x x x y y y y '+???????? == ? ??? ?'???????? ,得 2x x y y y '=+?? '=? 又点(,)M x y '''在l '上,所以1x by ''+=,即(2)1x b y ++= 依题意121a b =??+=? ,解得1 1 a b =?? =-? (Ⅱ)由 0000x x A y y ????= ? ????? ,得 00000 2x x y y y =+?? =?解得0 y = 又点0 (,)P x y 在直线上,所以0 1 x = 故点P 的坐标为(1,0) 4 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 （数学）（已校对纯WORD 版含附加题））B. [选修 4-2:矩阵与变换]本小题满分10分.
高考5年命题点集训 1集合 1．已知全集U＝R，集合A＝{x| x2－4＞0}，则?U A＝() A．(－2,2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．[－2,2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C[集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，所以?U A＝[－2,2]．] 2．若集合A＝{x|－2
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