第十四章 偏导数与全微分 §1. 偏导数与全微分的概念
1．求下列函数的偏导数：
(1) 2
2
2
ln()u x x y =+； (2) ()cos()u x y xy =+；
(3) arctan x u y
=； (4) sin()xy u xye =.
2．设22
22
221sin , 0,(,)0, 0.y x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?
，考察函数在(0,0)点的偏导数.
3
．证明函数u =(0,0)点连续但偏导数不存在.
4．求下列函数的全微分：
(1) u = (2) yz
x
u xe e
y -=++.
5．求下列函数在给定点的全微分：
(1) u =在点(1,1,1)；
(2) (u x y =+-0，1）.
6．证明函数22222
22, 0,(,) 0, 0.x y
x y f x y x y x y ?+≠?=+??+=?
在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。
7
．证明：函数22
220(,)0,
0x y f x y x y +≠=+=?在点(0, 0)处偏导数存在，但不可微.
8．设,x y 很小，利用全微分推出下列式(1)(1)m
n
x y ++的近似公式：
9．求下列函数指定阶的偏导数：
(1) 3
3
sin sin u x y y x =+,求633u x y ???； (2) ln()u ax by =+,求m n m n u
x y
+???.
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
1．求下列函数指定的偏导数：
（1）．设(,,),x y z Φ=Φ ,,,x u v y u v z uv =+=-=求,
u v
?Φ?Φ
??.
（2） 设),,22(xyz z y x f z --=求x
z ??
2. 求下列函数指定的偏导数（假定所有二阶偏导数都连续）
(1) 2
2
(,)u f xy x y =，22u x
?? ； (2) (,)x y u f y z =,2u
x y ???；
(3) 2
2
2
()u f x y z =++,22u y ??； (4) (,,)x u f x y xy y =+,2u
y x
???.
（5）(,)x
u f x y =，
22,u u x x
????.
2．设22()y z f x y =
-，其中f
是可微函数，验证2
11z z z
x x y y y ??+=??.
3．验证下列各式：
(1) 2
2
()u x y ?=+,则0u u y
x x y ??-=??； (2) ()()y y u x x x
?ψ=+,则222
222220u u u x xy y x x y y ???++=????.
§3. 由方程（组）所确定的函数的求导法
1．求下列方程所确定的函数(,)z f x y =的一阶偏导数： (1) 20xy
x e
z e --+=； (2) 22222450x y z x y z ++-+--=.
2．求由下列方程所确定的函数的全微分dz ：
(1) (,)z f xz z y =-； (2) 2
2
2
(,)0f x y z x y z ++++=.
3．设2
2
2
u x y z =++，其中(,)z f x y =为由方程3
3
3
3x y z xyz ++=所确定的隐函数，求u x ??，22
u
x ??.
4求下列方程组所确定的函数的导数和偏导数：
(1）22222
,,x y z a x y ax ?++=?+=?
求,dy dz dx dx ； (2) 22
3,22,u v x y u v x y ?-=+?-=-?
求,,,u u v v
x y x y ????????.
§4. 空间曲线的切线与法平面
1.求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程：
(1) 2
2
2
2
2
2
239,3x y z z x y ++==+,在点(1,-1,2)；
(2) 2
cos ,3sin ,1cos3x t t y t z t =-=+=+,在点2
t π=
.
2.证明曲线cos ,sin ,t t t x ae t y ae t z ae ===与锥面222
x y z +=的母线相交成同一角度.
§5. 曲面的切平面与法线
1.求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程：
(1) 20x z
y e --=，在点（1,1,2）； (2) 22
24z x y =+在点(2,1,12)；
(3) cos ,sin ,x u v y u v z av ===在点000(,)P u v .
2.求曲面2
2
2
2321x y z ++=的切平面，使它平行于平面460x y z ++=.
3.证明：曲面(,)0F x az y bz --=的切平面与某一定直线平行，其中,a b 为常数.
§6. 方向导数和梯度
1.设2
3
(,,)f x y z x y z =++，求f 在点0(1,1,1)P 沿到点(2,2,1)l =-的方向导数.
2.求函数u xyz =在点(5,1,2)A 处沿到点(9,4,14)B 的方向AB u u u r
上的方向导数.
3.求
()
0,0x y u l
??：(1) 22
ln()u x y =+，00(,)(1,1)x y =，l 与x 轴正向的夹角为60?；
(2) xy
u xe =,00(,)(1,1)x y =, l 与向量(1,1)同向.
4.设函数(,)f x y 在00(,)x y 可微，单位向
量1l =
，2(l =，
00(,)1f x y l ?=?，
002(,)0f x y l ?=?，确定l
使得00(,)f x y l ?=?
§7. 泰勒公式
1.写出函数2
2
(,)2635f x y x xy y x y =----+在(1,-2)点的泰勒公式.
2.求下列函数在(0,0)点邻域的四阶泰勒公式：
(1) 2
2
(,)sin()f x y x y =+； (2) (,)ln(1)x
f x y e y =+.