数系的扩充与复数的引入知
识点总结
-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
数系的扩充与复数的引入知识点总结
一.数系的扩充和复数的概念
1.复数的概念
(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数,a 和b 分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,
叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
即:如果:,,,a b c d R ∈,那么:=+=+b=d a c a bi c di ????
,特别地: .
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
即:=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是
2.复数的几何意义 (1)数()可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴.
实轴上的点都表示实数.除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即复数复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对
应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应,这就是复数
的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法.
(2)复数的几何意义
坐标表示:在复平面内以点表示复数(); 向量表示:以原点为起点,点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模,记作
.即. 3.复数的运算
(1)复数的加,减,乘,除按以下法则进行
设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则
12()()z z a c b d i ±=±+±
12()()z z ac bd ad bc i ?=-++
1222
2()()(0)z ac bd ad bc i z z c d -++=≠+ (2)几个重要的结论
2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ 22||||z z z z ?==
若z 为虚数,则22||z z ≠
(3)运算律
m n m n z z z +?=
()m n mn z z =
1212()(,)n n n z z z z m n R ?=?∈
(4)关于虚数单位i 的一些固定结论:
21i =-
3i i =-
41i =
2340n n n n i i i i ++++++=
注:(1)两个复数不能比较大小,但是两个复数的模可以比较大小
(2)在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用
二.同步检测
1.复数a+bi 与c+di 的积是实数的充要条件是 A.ad+bc=0 B.ac+bd=0
C.ac=bd D.ad=bc 2.复数5-2
i 的共轭复数是 A.i +2 B.i -2 C.-2-i D.2-i 3.当2<<13
m 时,复数m(3+i )-(2+i )在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.复数3
12?? ? ???=
5.已知复数z与()2
+2-8z i 都是纯虚数,求z
6.已知(1+2=4+3i z i ),求z及z z
7.已知1z =5+10i ,2z =3-4i ,12
111=+z z z ,求z
8.已知2i-3是关于x的方程22x+px+q=0的一个根,求实数p,q的值