集合元素的“三性”及其应用
集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错．下面就集合元素的这三个性质及应用加以说明．
一、注意正确理解其意义
1．确定性：即对任意给定的对象，相对于某个集合来说，要么属于这个集合，要么 不属于这个集合，二者必居其一，关键是理解“确定”的含义．
2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的），即同一个集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入任一个集合时，只能作为这个集合的一个元素．
3．无序性：由于集合中元素是确定且是互异的，元素完全相同的集合是相等的集合，因此，集合中的元素与顺序无关． 二、注意正确利用“三性”解题 例1 下列命题正确的有哪几个？
⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合｛1，5｝与集合｛5，1｝是不同的集合；⑶集合｛（1，5）｝与集合｛（5，1）｝是同一个集合；⑷由1，
2
3，
4
6，∣－
2
1∣，0.5 这些数组成的集合有5个元素．
分析：这类题目主要考查对集合概念的理解，解决这类问题的关键是以集合中元素的确定性、互异性、无序性为标准作出判断． 解：⑴“很小”是一个模糊概念，没有明确的标准，故我们很难确定某一个对象是否在其中，不符合集合元素的确定性，因此，“很小的实数”不能构成集合，故⑴错．
⑵｛1，5｝是由两个数1，5组成的集合，根据集合元素的无序性，它与｛5，1｝是同一个集合，故⑵错．
⑶｛（1，5）｝是由一个点（1，5）组成的单元素集合，由于（1，5）与（5，1）表示两个不同的点，所以｛（1，5）｝和｛（5，1）｝是不同的两个集合，故⑶错．
⑷2
3＝
4
6，∣－
2
1∣＝0.5，因此，由1，
2
3，
4
6，∣－
2
1∣，0.5 这些数组成的集合为｛1，
2
3，0.5｝，共有3个元素．因此，⑷
也错．
例2 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2
q ｝，其中a 0≠，Ａ＝Ｂ，求q 的值．
分析：本题最常见的错误是认为这两个集合的对应项相同，列出相应的关系式，然后求出q 的值，这显然违背了集合的无序性． 解：∵Ａ＝Ｂ，及集合元素的无序性 ，∴有以下两种情形：
① ⎩⎨
⎧=+=+2
2aq
b a aq b a
消去b ，解得q ＝1，此时a ＝a q ＝a 2
q ，与集合中元素的互异性矛盾，∴q ≠1．
②⎩⎨⎧=+=+aq
b a aq b a 22
消去b ，解得q ＝－
2
1，或q ＝1（舍去），故q 的值为－
2
1．
评注：本题中，利用集合元素的无序性和两集合相等时的元素特征，得出两个方程组，打开了解题的大门，求出q 值后，又利用了集合元素的互异性进行检验，保证了所求的结果的准确性．
例3 设Ａ＝｛ｘ∣2
x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 错解：由2
x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０得 （ｘ＋1）（ｘ＋ｂ＋1）＝０ （1）当ｂ＝０时，ｘ1 ＝x 2 －1，此时Ａ中的元素之和为－2． （2）当ｂ≠０时，ｘ1 ＋x 2 ＝－ｂ－2．
分析 上述解法错在（1）上，当ｂ＝０时，方程有二重根－1，集合Ａ＝｛－1｝，故元素之和为－1，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．
例4 已知集合 =A {2，3,2
a +4a +2}， B ＝{0,7, 2
a +4a -2,2-a }，且A B={3,7},求a 值． 分析： ∵ A B={3,7}
∴ 2
a +4a +2=7． 即 a =1，或a =－5．
至此不少学生认为大功告成，事实上，这只求出了集合A ，集合B 中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步检查．当a =－5时,2－a =7， 在B 中重复出现,这与元素的互异性相矛盾，故应舍去a =－5．当a =1时, B={0,7,3,1} 且A B={3,7}
∴ a =1
评注：集合元素的确定性，互异性，无序性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差之毫厘则失之千里． 集合与函数、导数部分易错题分析
1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？
3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ [问题]:{
}1|2
-=
x y x 、{
}1|2
-=
x y y 、{
}
1|),(2
-=
x y y x 的区别是什么？
4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？ 5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？ [问题]:如何解不等式：(
)
012
2
>--b x a
？
6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数及对称轴进行讨论了吗？ 7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？ [问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别.
什么是映射、什么是一一映射？
[问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作 个A 到B 上的映射，那么可以作 个A 到B 上的一一映射. 9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？ [问题]：已知函数()[],9,1,2log 3
∈+=x x x f 求函数()[]()2
2
x
f x f y +=的单调递增区间.（你处理函数问题是是否将定义域放在首位）
[问题]：已知函数()()的函数x g y x x x f =-+=
,1
32图象与()11
+=-x f
y 的图象关于直线()的值
对称，求11g x y =.
10、如何正确表示分数指数幂？指数、对数的运算性质是什么？ 11、你熟练地掌握了指数函数和对数函数的图象与性质吗? [问题]：已知函数()[)+∞∈=,3log
x x x f a
在上，恒有()1>x f ，则实数的a 取值范围是： 。
12．你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗？（定义法、导数法）
13．如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小；②解抽象函数不等式；③求参数的范围（恒成立问题）.这几种基本应用你掌握
了吗？
[问题]：写出函数)0()(>+
=m x
m x x f 的图象及单调区间.],[d c x ∈时,求函数的最值.这种求函数的最值的方法与利用均值不等式求函数
的最值的联系是什么？
[问题]：证明“函数)(x f 的图象关于直线a x =对称”与证明“函数)(x f 与函数)(x g 的图象关于直线a x =对称”有什么不同吗？ 例题讲解
1、忽略φ的存在：
例题1、已知A ={x|121
m x m +≤≤-}，B ={x|25
x -≤≤}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．
【错解】A ⊆B ⎩⎨
⎧≤-+≤-⇔5
1212m m ，解得：33≤≤m － 【分析】忽略A =φ的情况.
