三角函数辅助角公式化简
一、解答题
1．已知函数()22sin cos 3f x x x π??
=-+ ???， x R ∈
（1）求()f x 的对称中心；
（2）讨论()f x 在区间,34π
π??
-????上的单调性.
2．已知函数(
)4sin cos 3f x x x π??
=++ ???
（1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期；
（2）求()f x 在区间,46ππ??
-????上的最大值和最小值及取得最值时x 的值.
3．已知函数(
)4tan sin cos 23f x x x x ππ????
=-- ? ?????
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在区间,44ππ??
-????上的单调递增区间及最大值与最小值．
4．设函数(
)2sin cos f x x x x =+.
（1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间. 5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??????=-+-+ ? ? ??????? （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122??-????上的值域. 6．已知函数(
)21cos cos 2f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[]0,π上的单调区间. 7．已知函数()4cos sin 16f x x x π??=+- ???，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ??-????上的最大值和最小值. 8．设函数(
)()sin ?cos 2tan x x x f x x π??+- ???=. （1）求()f x 的最小正周期；
（2）讨论()f x 在区间0,2π?? ???上的单调性.
9．已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+，
（I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标；
(Ⅱ)讨论()f x 在[]0,π上的单调性。
10．已知函数.
(1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在上有两个不同的实根，求实数 的取值范围.
11．设()2sin cos cos 4f x x x x π??
=-+ ???.
(1)求()f x 的单调递增区间；
(2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ??
= ???， 1a =， 3bc =，求b c +的值.
12．已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值. 13．设函数. （1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合； （2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值. 14．已知()()13sin cos cos 2f x x x x ωωω=+-，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为4π. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）锐角三角形ABC 中， ()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围. 15．已知a r =（sinx ，cosx ），b r =（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数 f （x ）=a r ?b r 且f （3π－x ）=f （x ）． （Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间； （Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cosx 在x ∈[0， 4π]上恒成立，求实数a 的取值范围． 16．已知向量a v =（2cos 2x ω，32x ω），b v =（cos 2x ω，2cos 2x ω），（ω＞0），设函数f （x ）=a v ?b v ，且f （x ）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的表达式； （2）求f （x ）的单调递增区间．
17．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πω?ω?=+>><的部分图象如图所示.
（1） 求函数()f x 的解析式；
（2） 如何由函数2sin y x =的通过适当图象的变换得到函数()f x 的图象， 写出变换过程;
（3） 若142f α??
= ???，求sin 6πα??
- ???的值.
18．已知函数
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）若且，求的值。
19．已知()22cos sin 3sin cos sin 6f x x x x x x π??
=?++?- ???，
（1）求函数()y f x =的单调递增区间；
（2）设△ABC 的内角A 满足()2f A =，而3AB AC ?=u u u v u u u v ，求边BC 的最小值．
20．已知函数()cos 3cos cos 2f x x x x π??
??=-- ???????
（1）求()f x 的最小正周期和最大值；
（2）讨论()f x 在3,44ππ??
????上的单调性． 21．已知()223cos sin231f x x x =+-+ ()x R ∈，求： （1）()f x 的单调增区间； （2）当,44x ππ??∈-????时，求()f x 的值域. 22．已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为. （1）求的值； （2）函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间. 23．已知函数()44cos sin2sin f x x x x =--. （1）求函数()f x 的递减区间； （2）当0,2x π??∈????时，求函数()f x 的最小值以及取最小值时x 的值. 24．已知函数()223sin cos 2sin 1f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的对称中心和单调递减区间；
（2）若将函数()f x 图象上每一点的横坐标都缩短到原来的12
（纵坐标不变），然后把所得图象向左平移6
π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的表达式.
参考答案
1．（1）对称中心为,0212k ππ??+ ???
， k Z ∈；（2）增区间为,64ππ??-????，减区间为,36ππ??--????
. 【解析】试题分析：利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0，从而角的终边在x 轴上；（2）首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间．
试题解析：1）由已知
(
)21cos 21cos2113cos2sin 222426x x f x x x x ππ??++ ?-????=-=-=- ???
令26x k π
π-=，得,212k x k Z ππ=+∈，对称中心为,0212k ππ??+ ???
， k Z ∈. （2）令222262k x k π
π
π
ππ-≤-≤+， k Z ∈ 得63k x k π
πππ-≤≤+， k Z ∈,增区间为,,63k k k Z ππππ??-+∈???
? 令3222262k x k π
π
πππ+≤-≤+
， k Z ∈ 得536k x k π
πππ+≤≤+， k Z ∈,增区间为5,,36k k k Z ππππ??++∈???
? ,34ππ??-????上的增区间为,64ππ??-????，减区间为,36ππ??--????
.
2．（1）()f x 2sin 23x π??=+ ??
?， T π=；（2）4x π=-时， ()min 1f x =-， 12x π
=时， ()max 2f x =.
【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得()2sin 23f x x π??=+ ??
?，由周期公式可得答案；（2）由x 的范围可得22633
x π
π
π-≤+≤的范围，可得f （x ）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x 值． 试题解析：
（1）()24sin cos cos sin sin 2sin cos 33f x x x x x x x ππ??=-=-+ ??
?所以22
T ππ==. （2）因为46x π
π
-≤≤，所以22633
x π
π
π-≤+≤ 所以1sin 2123x π??-≤+≤ ??
?，所以()12f x -≤≤， 当236x π
π
+=-，即4x π
=-时， ()min 1f x =-， 当232x π
π
+=，即12x π
=时， ()min 2f x =.
3．(1) π (2) ()f x 最大值为-2，最小值为1．
【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得()2sin 23f x x π??=- ??
?，根据22
T ππ==求周期；（2）先求出函数()f x 的单调递增区间，再求其与区间
,44ππ??-????的交集即可；根据23x π-的取值范围确定函数在,44ππ??-????
上的最大值与最小值。
试题解析：
（1）()4tan cos cos 3f x x x x π??=-- ???4sin cos 3x x π??=-- ??
?)
sin21cos2x x =-sin22sin 23x x x π??==- ??
?． 所以()f x 的最小正周期22
T ππ==． （2）令23z x π=-，函数2sin y z =的单调递增区间是2,222k k ππππ??-++????， k Z ∈． 由222232k x k π
π
π
ππ-+≤-≤+，得51212
k x k π
πππ-+≤≤+， k Z ∈． 设,44A ππ??=-????
， 5{|,}1212B x k x k k Z ππππ=-+≤≤+∈，易知,124A B ππ???=-????
． 所以，当,44x ππ??∈-????时， ()f x 在区间,124ππ??-????
上单调递增。 ∵44x π
π
-≤≤， ∴52636x π
π
π-≤-≤
，
∴1sin 2123x π??-≤-≤ ??
?， ∴12sin 223x π??-≤-≤ ??
? ∴()f x 最大值为2，最小值为-1．
点睛：解题的关键是将函数化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式后，把ωx ＋φ看成一个整体去处理，特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性规律“同增异减”， 如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
4．（1）T π=，最大值为1（2）()5,Z 1212k k k ππππ??-++∈????
【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期T 及最大值；（2）根据正弦函数性质列不等式()222Z 232k x k k πππππ-
+≤+≤+∈，解得函数()f x 的单调递增区间.
试题解析：解： ())
1cos21sin2222
x f x x +=+-
1sin2sin 223x x x π??==+ ??
? （1）T π= 当2232x k π
π
π+=+
即()Z 12x k k π
π=+∈时
()f x 取最大值为1
（2）令()222Z 232k x k k π
π
π
ππ-+≤+≤+∈
∴()f x 的单调增区间为()5,Z 1212k k k ππππ??-++∈????
5．(1)答案见解析；(2) ??????
.
【解析】试题分析：
(1)整理函数的解析式可得()26f x sin x π??=- ??
?，则函数的最小正周期为T π=；对称轴方程为()3x k k Z π
π=+∈；
(2)结合函数的定义域和(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为??????
.
试题解析：
（1）()22344f x cos x sin x sin x πππ??????=-+-+ ? ? ????
???Q 由()()2,6223
k x k k Z x k Z π
π
πππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z π
π=+∈
（2）5,,2,122636x x πππππ????∈-∴-∈-??????
??Q
因为()26f x sin x π??=- ???在区间,123ππ??-????上单调递增，在区间,32ππ??????
上单调递减，
所以 当3x π
=时， ()f x 取最大值 1
又 11222
f f ππ????-=<= ? ?????Q ，当12x π=-时， ()f x 取最小值
所以 函数 ()f x 在区间,122ππ??-????上的值域为,12??-????
6．(1) ,1,212k k Z ππ??+-∈ ??? (2) 50,,36πππ?????????????
【解析】试题分析：(1) ()21cos cos sin 2126f x x x x x π??=--
=-- ???，令26x k π
π-=解得x 即可(Ⅱ) 求()f x 在[]0,π上的单调区间，则令
222262k x k ππ
π
ππ-≤-≤+解得x,对k 赋值得结果.
试题解析：
(Ⅰ) ()1cos21sin 212226x f x x x π+??=--=-- ??
? 令26x k π
π-=，得212k x ππ=
+， 故所求对称中心为,1,212k k Z ππ??+-∈ ???
(Ⅱ)令222262k x k π
π
π
ππ-≤-≤+，解得,63k x k k Z π
π
ππ-≤≤+∈
又由于[]0,x π∈，所以50,,36x πππ????∈?????????
故所求单调区间为50,,36πππ?????????????
. 点睛：三角函数的大题关键是对f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成()sin y A wx ?=+ 类型，把wx+ ? 看成整体进行分析.
7．（1）T π=；（2）单调递增区间为,,36k k k Z ππππ??-+∈????
；（3）()min 1f x =-， ()2miax f x =.
【解析】试题分析：（1）由和差角公式及二倍角公式化简得：
() 2sin 26f x x π??+ ??
?，进而得最小正周期； （2）由2k 22,62x k k Z π
π
ππ≤+≤+∈可得增区间；
（3）由64x π
π
-≤≤得22663
x π
π
π∴-≤+≤，根据正弦函数的图象可得最值. 试题解析：
(1)
()
214cos sin 14cos cos 1cos 2cos 162f x x x x x x x x x π???=+-=+-=+-? ??????
Q
cos2x x =+ 2sin 26x π??=+ ??
?.
()f x ∴的最小正周期T π=.
（2）由2k 22,62x k k Z π
π
ππ≤+≤+∈ 解得k ,36x k k Z π
π
ππ-≤≤+∈
∴函数()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ??-+∈???
? (3) 64x π
π
-≤≤Q
∴当26
6x π
π+=-时， x 6π=-， ()min 1f x =- 当262x π
π+=时， x 6π
=， ()2miax f x =.
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
8．（1）T π=（2）()f x 在区间0,12π?? ???上单调递增，在区间,122ππ?? ???
上单调递减.
【解析】试题分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得()f x 的最小正周期；（2）根据正弦函数性质求0,)2π上单调区间，即得()f x 在区间0,2π?? ???
上的单调性.
试题解析：（1）()()
2sin ?cos sin cos f x x x x x x x == （2）令222232k x k π
π
π
ππ-+<+<+，解得51212
k x k ππππ-+<<+（k Z ∈） ∵0,2x π??∈ ???，∴ ()f x 在区间0,12π?? ???上单调递增，在区间,122ππ?? ???
上单调递减. 9．(Ⅰ) 最大值为2，对称中心为： (),0212k k Z ππ??+∈ ???
；(Ⅱ) 递增区间： 0,3π??????和5,6ππ??????；递减区间： 5,36ππ?????
?. 【解析】试题分析：（1）由正弦的倍角公式和降幂公式，f(x)可化简为
()2sin 26f x x π??=- ??
?，可知最大值为2，对称中心由26x k ππ-=，解得x 可求。（2）先求得f(x)最大增区间与减区间，再与[]0,π做交，即可求得单调性。
试题解析：(Ⅰ) ()2sin 26f x x π??=- ??
?，所以最大值为2，由26x k ππ-=，解得x=2,12k ππ+,r 所以对称中心为： (),0212k k Z ππ??+∈ ???
； (Ⅱ)先求f(x)的单调增区间，由222,262k x k k Z π
π
π
ππ-+≤-≤+∈，解得
,,63k k k Z ππππ??-++∈????，在[]0,π上的增区间有0,3π??????和5,6ππ??????
。
同理可求得f(x)的单调减区间5,,36k k k Z ππππ??++∈????
，，在[]0,π上的减速区间有5,36ππ??????
. 递增区间： 0,3π??????和5,6ππ??????；递减区间： 5,36ππ??????
. 10．（1） ；（2） 的取值范围为
【解析】试题分析：
(1)由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系整理函数的解析式为：f (x )＝2sin ，结合三角函数的周期公式可知T ＝π.
(2)原问题等价于，结合函数的图象可得
或，求解不等式可得a 的取值范围为
. 试题解析：
(1)f (x )＝2cosxcos (x － )－ sin 2x ＋sinxcosx
＝ cos 2x ＋sinxcosx － sin 2x ＋sinxcosx
＝ cos 2x ＋sin 2x
＝2sin ，
∴T ＝π. (2) 画出函数在x ∈的图像，由图可知或
故a 的取值范围为.
11．（1）(),44k k k Z ππππ??-++∈????
（2）31b c += 【解析】试题分析：（1）由三角恒等变换化简得()1sin22
f x x =-，由222,22k x k k Z π
πππ-+≤≤+∈可解得增区间(2) 由02A f ??= ???
得sin A ， cos A ，2231bc b c =+-，即)32bc = ()2
b c + 1-即得b c + 试题解析：
（1）由题意知()1cos 2sin2222x x f x π??++ ???=- sin21sin21sin2222
x x x -=-=-， 由222,22k x k k Z π
π
ππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z π
π
ππ-+≤≤+∈
所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ??-++∈????
（2）由02A f ??= ???得1sin 2A =，又A 为锐角，所以3cos A =.
由余弦定理得： 2223cos 2b c a A bc
+-==，即2231bc b c =+-， 即()32bc + = ()2
b c + 1-，而3bc =，所以31b c +=+ 12．(1) 函数的单调增区间为 ；(2) .
【解析】试题分析：（1）由化一公式得，
，得结果；
（2）
，∴，再由余弦定理得.
化简可得： .
（1）由，.
得：.
∴函数的单调增区间为，.
（2）∵，即.
∴.
可得，.
∵，
∴.
由，且的面积为，即.
∴.
由余弦定理可得：.
∴.
13．(1), (2)a最小值为1.
【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和两角和差公式将原式子化一；（2）由得
到，；由余弦定理得最小为1；
（1）
=
的最大值为2．
要使取最大值 ,
故的集合为 .
（2） ,
化简得 ,
，只有
在中，由余弦定理， ,
由当时等号成立，最小为1.
点睛：（1）要求三角函数的最值，就要化成，一次一角一函数的形式；（2）巧妙利用三角函数值求得角A，再利余弦定理得边的关系，得到最值；
14．（1）
42
4,4,
33
k k k Z
ππ
ππ
??
-+∈
??
??
（2）()
262
2
f A
+
<<
【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三
角函数： ()sin 26f x x πω??=+ ??
?，再根据正弦函数周期性质求ω，并根据单调性性质求单调增区间（2）先根据正弦定理将边化为角，由诱导公式及两角和正弦公式化简得1cos 2B =，即得3
B π=，根据锐角三角形得A 取值范围，根据正弦函数性质求()f A 的取值范围.
试题解析：（1）()1cos2sin 226f x x x x πωωω??=+=+ ??
?，最小正周期为4π，
∴()1sin 2
6f x x π??=+ ???，令1222262k x k πππππ-≤+≤+，即4244,33
k x k k Z ππππ-≤≤+∈， ∴()f x 的单调递增区间为424,4,33k k k Z ππππ??-+∈????
. （2）∵()2cos cos a c B b C -=，∴()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，
整理得： 2sin cos sin A B A =， 1cos 2B =
， 3B π=，∵锐角三角形ABC ，∴02A π
<<且2032
A ππ<-<，
∴62A π
π
<<，∴1542612
A π
ππ<+<，∴()24f A <<. 15．（Ⅰ）f （x ）=sin （x +
3π），52,2,66k k k Z ππππ??-+∈????；（Ⅱ） 4a π≥.
三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 已知 2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=13 12,sin(α+β)=－53 ,求sin2α的值_________. ● 案例探究 ［例1］ 不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会. 解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° = 21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21 cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20° －sin60°sin20°) =1－ 21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－2 3sin 220° =1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°= 2 1 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y = 41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=4 1.
g3.1049 三角函数的化简、求值与证明 一、知识回顾 1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。 二、基本训练 1、已知θ是第三象限角，且445 9 sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ） A 、223 B 、223- C 、23 D 、23 - 2、函数23 232 y sin x cos x =--+的最小正周期 （ ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π 3、tan 70cos10(3tan 201)- 等于 （ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－2 4、已知46 sin 3cos (4)4m m m αα--=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 5、设1 0,sin cos 2 απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。 三、例题分析 例1、化简： 4221 2cos 2cos 2.2tan()sin () 44 x x x x ππ -+ -+ 例2、设3177cos(),45124 x x π ππ +=<< ，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。 例3、求证：sin(2)sin 2cos().sin sin αββ αβαα +-+=
高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义
图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式
3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是
三角函数辅助角公式化简 一、解答题 1．已知函数()22sin cos 3f x x x π??=-+ ???， x R ∈ （1）求()f x 的对称中心； （2）讨论()f x 在区间,34π π?? -????上的单调性. 2．已知函数()4sin cos 33f x x x π? ? =++ ???. （1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间,46ππ?? -????上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 3．已知函数()4tan sin cos 323f x x x x π π???? =--- ? ?????． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,44π π?? -????上的单调递增区间及最大值与最小值． 4．设函数()23 3cos sin cos 2f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间. 5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ?? ?? ?? =-+-+ ? ? ??????? （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122?? -????上的值域. 6．已知函数()21 3sin cos cos 2f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[]0,π上的单调区间. 7．已知函数()4cos sin 16f x x x π??=+- ???，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ??-????上的最大值和最小值. 8．设函数()()sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π??+- ???=. （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ???上的单调性. 9．已知函数()223sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[]0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2sin cos cos 4f x x x x π??=-+ ???. (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ??= ???， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数.
第三讲 一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧 1、网络
2、三角函数变换的方法总结 （1）变换函数名 对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。 【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。 练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。 2）变换角的形式 对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。 【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。练习已知，求的值
【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α ＋β）＝ 提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β） （3）以式代值 利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。 【例4】化简： （4）和积互化 积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。 【例5】解三角方程：sin2x＋sin22x＝sin23x
课题：二倍角的三角函数 本节考试要求为B 级 一、知识梳理 1、二倍角公式 =α2sin ；=α2cos ；=α2tan ． 2、公式变形 =α2sin ；=α2cos ；=-αcos 1 ； =+αcos 1 ；=-α2sin 1 ；=+α2sin 1 ． 3、技巧：（1）巧变角；（2）切化弦；（3）变逆用；（4）幂升降；（5）变结构；（6）1代换；（7）三兄妹． 二、三基能力强化 1、已知5 3 )4sin( = -x π ，则=x 2sin ． 2、已知θ是第三象限角，且9 5cos sin 4 4=+θθ，那么θ2sin ＝ ． 3、在ABC ?中，6cos 4sin 3=+B A ，1cos 3sin 4=+A B ，则C sin 的值为 ． 4、教材习题改编）已知1tan 2tan 1=+-θθ，则=++)4 tan(42tan π θθ ． 5、已知βα,均为锐角，且α αα αβsin cos sin cos tan +-=，则=+)tan(βα ． 三、典例互动 三角函数式的化简：化简的要求 例1：（1）化简)4 cos(6)4sin( 2x x -+-π π ； （2）α αααα2sin ) 1cos )(sin 1sin (cos +--+ 规律总结： 三角函数式的求值：求值的方法 例2：求值：0 01000 1cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+-- 又如：ο ο ο ο 78sin 66sin 42sin 6sin ＝
例3：已知),43(ππα∈，3 10 tan 1tan =+αα，求 ) 2 sin(28 2 cos 112 cos 2 sin 82 sin 52 2 π αα α α α --++的 值。 变题：本题条件不变，求 ) 3 sin(cos 22sin 2π ααα- -的值。 例4：已知ββαsin 3)2sin(=+，设x =αtan ，y =βtan ，记)(x f y = （1）求)(x f 的解析式；（2）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数)(x f 的值域 四、课堂反馈 1．已知cos2α＝1 4 ，则sin 2α＝________． 2．2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α 等于________． 3．已知α，β，γ∈(0，π 2)，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则α－β的值等于________． 4．定义运算a b ＝ab 2＋a 2b ，则sin15°cos15°的值是________． 5．(原创题)已知sin θ＝4 5 ，且cos θ－sin θ＋1<0，则sin2θ＝________． 6．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋ 1 2 2tan(π4－x )·sin 2(π 4＋x ) .
第12课时 三角函数和差公式及辅助角公式 1.函数y=sin （2x+6π）+cos （2x+3 π）的最小正周期和最大值分别为（ ） A π，1 B π，2 C 2π，1 D 2π，2 2、)4sin(2cos παα -=-22，则cos α+sin α的值为（ ） 3.函数y=sin （x+3π）sin （x+2 π）的最小正周期T 是（ ） 4、函数的最小正周期是________ . 5.函数的最大值为 _________________-。 6.已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ -上的值域 7.已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ω??ω?ωπx x 本小题满分12分）为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为 .2π （Ⅰ）美洲f （8 π）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移 6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 8.已知函数。 （Ⅰ）求 的最小正周期： （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。 2()sin(2)4f x x x π =--sin()cos()26y x x ππ=+-()4cos sin()16f x x x π=+-()f x ()f x ,64ππ??-????
9.已知函数 （1）求 的值； （2）设求的值． 10、已知函数 （1）求的最小正周期和最小值； 11.已知函数f （x ）=2cos （x+ 4π）cos （x-4 π）+3sin2x ，求它的值域和最小正周期 12．已知cos ? ???α－ π4＝14，则sin2α的值为 ( ) A.78 B ．－78 C.34 D ．－34 13．已知sin ????α－π3＝13，则cos ????π6＋α的值为 ( ) A.13 B ．－13 C.233 D ．－233 14．函数f (x )＝sin ? ???2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________． 15．y ＝sin(2x －π3 )－sin2x 的一个单调递增区间是( ) A ．[－π6，π3]B ．[π12，712π]C ．[512π，1312 π] D ．[π3，5π6 ] 16．设函数f (x )＝22cos(2x ＋π4)＋sin 2x (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期； (2)写出函数f (x )的单调递增区间． 18．已知函数 ()cos cos()3f x x x π=?-. (1)求2()3f π的值； (2) 求对称轴和对称中心； (3) 求使1()4f x <成立的x 的取值集合. 1()2sin(),.36f x x x R π=-∈5()4f π106,0,,(3),(32),22135f a f ππαββπ??∈+=+=???? cos()αβ+73()sin()cos(),44f x x x x R ππ=++-∈()f x
三角函数式化简 孙小龙 所谓三角函数化简，就是灵活运用公式，对复杂的三角函数式进行变形，从而得到较为简单的三角函数式以便于进行问题讨论，所以三角函数式的化简是研究复杂三角函数式的基础。下面我们一起深入探究如何进行三角函数式化简。 方法引导 三角函数式化简通常是最让人头疼的一类题型，因为化简没有明确的方向，很难继续进行。其实化简只要遵守“三看”原则，即能顺利化简。一是看角，二是看名，三是看式子的结构和特征。 （1） 看角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角； 如倍角关系、半角关系、互余关系、互补关系等； （2） 看函数名的特点，向同名函数转化，弦切互化； （3） 看式子的结构特点，从整体出发，正用、逆用、变形应用这些公式。另外，根据式 子的特点，还可以使用辅助角公式。 了解了化简原则之后，下面我们开始化简了。 例一 化简f(x)=2cosxsin(x+3 π )－3sin 2x+sinxcosx 分析：首先先看角，式子中的角度不统一，所以首要任务是统一角度，根据式子的结构特点和π 3的特殊性，可以运用两角和的正弦公式将式子展开 f (x )=2cos x sin(x +3 π)-3sin 2 x +sin x cos x ?????→用三角公式展开2cos x (sin x cos 3 π +cos x sin 3 π)-3sin 2 x +sin x cos x = 2sin x cos x +3cos 2 x -3sin 2 x 第一步化简完成后，再次观察式子的结构特点，每一个单项式都是二次的，所以再运用降幂公式把式子变为一次式 2sin x cos x + 3cos 2 x -3sin 2 x ???? →降幂公式 sin2x +3cos2x 继续运用辅助角公式进行彻底化简 sin2x + 3cos2x ????→辅助角公式 2sin(2x + 3 π ). 例二 化简： 42212cos 2cos 2.2tan()sin () 44 x x x x ππ-+ -+ 分析：我们还是先从角度入手，分子上角度统一，分母角度不统一，但仔细观察发现分母中两个角 呈互余关系，再看函数名的特点，我们可以运用诱导公式进行化简;分子上仔细观察结构，提出1 2， 可以得到完全平方式 42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44 x x x x ππ-+ -+诱导公式及完全平方式 → 12(4cos x?4cos x+1)242cot(π4+x)sin （π4 +x ）2=（2cos x?12）24sin(π4+x)cos(π4+x) 统一角度后，分析式子的结构特点，运用降幂公式进行化简 （2cos x?12） 2 4sin(π4+x)cos(π 4+x) 降幂公式 → 2cos 2x 22sin(π+2x)= 2cos 2x 22cos 2x = 12 cos 2x 我们可以通过两个例题发现化简题目中透露出来的隐藏信息，这就是三角函数式化简要求 最终形式：正弦型函数（通常情况） 化简方法： 1、切割化弦； 2、降幂公式； 3、用三角公式转化出现特殊角； 4、 异角化同角； 5、异名化同名； 6、高次化低次； 7、辅助角公式； 8、分解因式。 任何三角函数式化简只要掌握了化简的原则和要求，遇到化简题就能轻而易举的攻破了，但首先有个前提：熟练掌握常见三角函数变换公式，如同角三角函数变换公式、诱导公式、两角和与差的余弦正弦正切公式、倍角与半角公式、辅助角公式等。同时还要了解其他三角函数变换公式，如三角函数积化和差和和差化积公式、三倍角公式和万能置换公式等。 小试牛刀 1. 化简βαβαβα2cos 2cos 2 1 cos cos sin sin 2222-+。 2. 化简x x x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=
第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式 （第课时） 任意角的三角函数? ? ?? ? ? ? ?? ??? ????? ?? ??????? ±±--?±?+????? ????? ??的函数关系与以及的函数关系 与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式 商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义 弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k 重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。 难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。 2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。 ⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 ⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。 2．弧度制 ⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。 注意：1sin 表示1弧度角的正弦，2sin 表示2弧度角的正弦，它们与?1sin 、?2sin 不是
一回事。 ⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。 ⑶ 设一个角的弧度数为α，则 r l = α （l 为这角所对的弧长，r 为半径）。 ⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。 ⑸ 1π=?弧度，1弧度?=)180 ( 。 设扇形的弧长为l ，扇形面积为S ，圆心角大小为α弧度，半径为r ， 则 αr l = ，α22 1 21r lr S == 。 3．角的集合表示 ⑴ 终边相同的角 设β表示所有终边与角α终边相同的角（始边也相同），则 αβ+??=360k （也可记为 απβ+=k 2 Z k ∈） 。 ⑵ 区域角 介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 ?+??<
实用文档 7．已知函数()4cos sin 16f x x x π?? =+- ?? ? ，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -??? ?上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数. （1）求函数 的单调增区间；
实用文档 （2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值. 13．设函数. （1）求的最大值，并写出使 取最大值时的集合； （2）已知中,角 的边分别为 ，若 ，求的最小值. 14．已知()( ) 1 3sin cos cos 2 f x x x x ωωω= +-，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为4π. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）锐角三角形ABC 中， ()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围. 15．已知a r =（sinx ，cosx ），b r =（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数 f （x ）=a r ?b r 且f （3 π －x ）=f （x ）． （Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间； （Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cosx 在x ∈[0， 4 π ] 上恒成立，求实数a 的取值范围． 16．已知向量a v =（2cos 2x ω， 3sin 2x ω），b v =（cos 2x ω，2cos 2 x ω），（ω＞0），设函数f （x ）=a v ?b v ， 且f （x ）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的表达式； （2）求f （x ）的单调递增区间． 17．已知函数()()sin (0,0,)2 f x A x A π ω?ω?=+>><的部分图象如图所示. （1） 求函数()f x 的解析式； （2） 如何由函数2sin y x =的通过适当图象的变换得到函数()f x 的图象， 写出变换过程; （3） 若142f α??= ???，求sin 6πα?? - ??? 的值. 18．已知函数 （1）求函数在上的单调递增区间； （2）若 且 ，求 的值。
４三角函数得化简、求值与证明日期:２０09年月日星期 ,能正确地运用三角公式进行三角函数式得化简与恒等式得证明、 用、 (１)常用方法:①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角;③三角公式得逆用等。(2)化简要求：①能求出值得应求出值； ②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 ２、三角函数得求值类型有三类:(1）给角求值:一般所给出得角都就就是非特殊角,要观察所给角与特殊角间得关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角得三角函数值问题;(２）给值求值:给出某些角得三角函数式得值,求另外一些角得三角函数值，解题得关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角得式子表示，求解时要注意角得范围得讨论；(３)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题,由所得得所求角得函数值结合所求角得范围及函数得单调性求得角。 3、三角等式得证明:(1)三角恒等式得证题思路就就是根据等式两端得特征,通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端得化“异”为“同”;(2）三角条件等式得证题思路就就是通过观察,发现已知条件与待证等式间得关系，采用代入法、消参法或 、三角函数得求值: ,化非特殊角为特殊角; ?2、正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角得三角函数值; ?3、一些常规技巧：“１”得代换、切割化弦、与积互化、异角化同角等、 1、三角函数式得化简: 三角函数式得化简常用方法就就是：异名函数化为同名三角函数,异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角得三角函数互化、 ?2、三角恒等式得证明: 三角恒等式包括有条件得恒等式与无条件得恒等式、①无条件得等式证明得基本方法就就是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端得“异”化为“同”;②有条件得:代入法、消去法、综合法、分析法等、 ( A) A、B、C、D、 2、函数得最小正周期( B) Ａ、B、C、D、 3、等于( Ｄ） A、1 B、2 C、－1 D、-２ ４、已知，则实数得取值范围就就是__[-1,]＿＿_。 _＿＿_。 ,(),则?( ) ???或 略解:由得或(舍)，∴,∴、 例2、已知,就就是第三象限角,求得值、 解：∵就就是第三象限角，∴（）, ∵,∴就就是第四象限角,∴, ?∴原式 221 cos(15)sin(15)sin(75)cos(75) 3αααα + =---=+-+=-、 例3、已知，求得值、
三角函数公式 诱导公式的本质 所谓三角函数诱导公式，就是将角απ ±?)2 (n 的三角函数转化为角α的三角函数。 常用的诱导公式Z k ∈ 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ααπs i n )2s i n (=+k ααπcos )2cos(=+k ααπt a n )2t a n (=+k ααπcot )2cot(=+k ααπs e c )2s e c (=+k ααπcsc )2csc(=+k 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ααπs i n )s i n (-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπt a n )t a n (=+ ααπcot )cot(=+ ααπs e c )s e c (-=+ ααπcsc )csc(-=+ 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ααs i n )s i n (-=- ααcos )cos(=- ααt a n )t a n (-=- ααcot )cot(-=- ααs e c )s e c (=- ααcsc )csc(-=- 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ααπs i n )s i n (=- ααπcos )cos(-=- ααπt a n )t a n (-=- ααπcot )cot(-=- ααπs e c )s e c (-=- ααπcsc )csc( =- 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ααπs i n )2 s i n (-=- ααπcos )2cos(=- ααπt a n )2 t a n (-=- ααπcot )2cot(-=- ααπs e c )2s e c (=- ααπcsc )2csc(-=-
角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan √3/3 1 √3 -√3 -1 -√3/3 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=2 1 ，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 2、列表法： 说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 1 22 23 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3
二倍角公式 sin2A=2sinA?cosA cos2A=cos^2A-sin^2A=1-2sin^2A=2cos^2A-1 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2A） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a) =4sina[(√3/2)^2-sin^2a] =4sina(sin^260°-sin^2a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/ 2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2] =4cosa(cos^2a-cos^230°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-3 0°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
三角函数辅助角公式化简
8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? + - ? ?? = . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2 π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()22 3sin cos 2cos 1 f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[]0,π上的单调性。 10．已知函数 . (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在上有两个不同的实根，求 实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π? ?=-+ ? ? ?. (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02 A f ?? = ??? ， 1a =， 3 bc =b c +的值.
12．已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值. 13．设函数. （1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值. 14．已知()()1 3sin cos cos 2 f x x x x ωωω =+-，其中0 ω>，若() f x的最小正周期为4π. （1）求函数() f x的单调递增区间； （2）锐角三角形ABC中，() 2cos cos a c B b C -=，求() f A的取值范围. 15．已知a r=（sinx，cosx），b r=（cosφ，sinφ）（|φ|＜）．函数 f（x）=a r ?b r 且f（ 3 π －x）=f（x）． （Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递增区间；
三角函数化简技巧 一、化简要求： 将一个三角函数式化简，最终结果一般都是出现两种形式：1、一元一次（即类似 B x A y ++=)sin(?ω）的标准形式；2、一元二次（即类似y=A(cosx+B)2 +C ）的标准形式。 二、三角化简的通性通法： 1、切割化弦； 2、降幂公式； 3、用三角公式转化出现特殊角； 4、 异角化同角； 5、异名化同名； 6、高次化低次； 7、辅助角公式； 8、分解因式。 三、例题讲解： （例1）f(x)=2cosxsinx+ x x x x cos sin 1sin 2cos 22 +--=_y=A(cosx+B)2+C B x A y ++=)sin(?ω (三角函数化简技巧)－3sin 2 x+sinxcosx 解：f (x )=2cos x sin(x +3 π)－3sin 2x +sin x cos x ?????→用三角公式展开 2cos x (sin x cos 3 π +cos x sin 3 π )－ 3sin 2x +sin x cos x ????→降幂公式 sin2x + 3cos2x ????→辅助角公式 2sin(2x + 3 π ). （例2）y =2cos 2 x －2a cos x －(2a +1) 解：y =2cos 2 x －2a cos x －(2a +1) ???→配方 2(cos x －2 a )2－22 42+-a a . （例3）若tan x =2，则 x x x x cos sin 1sin 2cos 22 +--=_______. （例4）sin 4α+cos 4α=_______. 解：sin 4α+cos 4α?? →（sin 2α+cos 2α）2－2sin 2αcos 2α??→1－2 1 sin 22α?? →1－11-cos222α ? =13cos 244 α+. （例5）函数y =5sin x +cos2x 的最大值是_______. （例6）函数y =sin （3 π －2x ）+sin2x 的最小正周期是 （例7）f （x ）=2cos 2x +3sin2x +a （a 为实常数）在区间［0，2 π ］上的最小值为－4，那么a 的值等于
简单的三角恒等变换——化简与证明 学习目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明． 学习重点：三角函数的有关公式的灵活应用和一些简单的变性技巧. 学习过程 一、知识清单 1.证明了cos()a b -= ?cos()a b += ?cos()2p a -= ，cos()2 p a += ?sin()a b += sin()a b -= ?tan()a b += ，tan()a b -= 2. cos (+)a b = ?cos 2a = = = sin()a b += ?sin 2a = tan()a b += ?tan 2a = 3.倍角的相对性 sin a = ，cos a = ，tan a = 4.要掌握这些公式的推导和联系，用时注意公式的“正用”，“逆用”和“变用”. 如：降幂扩角公式 2sin a = ；2 cos a = ； 1cos a += ；1cos a -= ； 1sin a += ；1sin a -= . 5. 划一公式：sin cos a x b x += （其中tan f = ，f 所在象限由 确定）. 二、范例解析 题型一 三角函数式的化简和证明 1.三角函数式的化简要求：
通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中： ①所含函数和角的名称或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少； ④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值． 2.三角变换的三项基本原则： （1）角的变换：划同角（角的拆分，配角和凑角，1的变换）； （2）函数名称的变换：划同名（正切划弦）； （3）幂指数的变换：划同次（升幂、降幂公式，同角公式）. 例1化简下列各式 ； ②1sin 2cos 21sin 2cos 2a a a a +-=++ ； ③2sin 2cos 1cos 2a a a -=+ ； ④222cos 12tan()sin ()44 a p p a a -=-+ ； 例2 证明下列各式（从左到右或从右到左或左右开攻中间会师，一般化繁为简） ①22tan 2sin 1tan 2a a a =+ ②2 2 1tan 2cos 1tan 2a a a -=+ ③sin 1cos tan 21cos sin a a a a a -==+ ④[]1sin cos sin()sin()2a b a b a b =++- ⑤sin sin 2sin cos 22 q f q f q f +-+=. 三、课下练习： 课本142P 2 ； 143P A 组 1, 2, 3, 4；B 组 1； 146P 8；147P 5.