立体几何小题难题训练
一．选择题
1．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线有（）
A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条
2．如图，平面PAB⊥平面α，AB?α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，I?α，且l⊥AB，则PQ与I所成角的正切值的最小值为（）
A．B．C．D．3
3．如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（）
①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；
②平面SBC内存在直线与SA平行
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；
④存在点E使得SE⊥BA．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，∠BCA=90°，BC=CA=2，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值为（）
A． B．C．D．
5．已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有（）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）
A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条
8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下命题：
①当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC；
②若A，P，M三点共线，则=；
③若=，则C1Q∥面APC；
④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条，则m+n=7．
其中正确命题的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D 为四面体OABC外一点．给出下列命题．
①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形
②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥
③存在点D，使CD与AB垂直并且相等
④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上
其中真命题的序号是（）
A．①②B．②③C．③D．③④
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，BC=1，∠BAD=60°，E为线段CD（端点C、D除外）上一动点，将△ADE沿直线AE翻折，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线AD与BC垂直，则a的取值范围是（）
A．（，+∞）B．（，+∞）C．（+1，+∞）D．（+1，+∞）
11．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E在线段AD上且AE=3，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角D﹣EC﹣B的余弦值为（）
A．B．C．D．
12．如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，在平面α内有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则△PAB的面积的最大值是（）
A．12 B．24 C．32 D．48
13．在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，则该四面体外接球的表面积是（）
A．B．C．6πD．
14．过空间中一定点，作一直线，使其与某正方体六个面所成的角都相等，这样
的直线有几条（）
A．1 B．2 C．4 D．无数条
15．如图，边长为3正方形ABCD，动点M，N在AD，BC上，且MN∥CD，沿MN将正方形折成直二面角，设AM=x，则点M到平面ABC的距离的最大值为（）
A．B．C．D．
16．正三棱锥P﹣ABC内接于半球O，底面ABC在大圆面上，则它相邻的两个侧面所成二面角的余弦值为（）
A．B．C．D．
17．在长方形ABCD中，AD=2，AB=4，点E是边CD上的一动点，将△ADE沿直线AE翻折到△AD1E，使得二面角D1﹣AE﹣B为直二面角，则cos∠D1AB的最大值为（）
A．B．C．D．
18．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为8，点H在棱AA1上，且HA1=2，在侧面BCC1B1内作边长为2的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P运动时，|HP|2的最小值是（）
A．87 B．88 C．89 D．90
19．在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四
个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②
20．三棱锥P﹣ABC中，顶点P在平面ABC上的射影为O，且满足，A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心，PA=6，则此三棱锥体积最大值是（）
A．12 B．36 C．48 D．24
21．已知四面体ABCD中，AB=2，CD=1，AB与CD间的距离与夹角分别为3与
30°，则四面体ABCD的体积为（）
A．B．1 C．2 D．
二．填空题（共9小题）
22．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是．
23．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．
24．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是．（写出所有真命题的编号）
25．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，且==2，将此正方形沿DE，DF折起，使点A，C重合于点P，若O为线段EF任一点，DO 与平面PEF所成的角为θ，则tanθ的最大值是．
26．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAD同时垂直侧面PAB与侧面PDC．若PA=AB=AD=PB，则=，直线PC与底面ABCD所成角的正切值为．
27．如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C到平面α的距离分别为1，，则顶点D到平面α的距离是．
28．如图，平面ABC⊥平面α，D为线段AB的中点，，∠CDB=45°，点P为面α内的动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为．
29．如图，在二面角A﹣CD﹣B中，BC⊥CD，BC=CD=2，点A在直线AD上运动，满足AD⊥CD，AB=3．现将平面ADC沿着CD进行翻折，在翻折的过程中，线段AD长的取值范围是．
30．如图，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C′，E点在线段AC′上，若二面角A﹣BD﹣E与二面角E﹣BD﹣C′的大小分别为15°和30°，则
=．
立体几何难题
参考答案与试题解析
一．选择题（共21小题）
1．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线有（）
A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条
【解答】解：若直线和AB，BC所成角相等，得直线在对角面BDD1B1，内或者和对角面平行，同时和CC1所成角相等，此时在对角面内只有体对角线BD1满足条件．此时过A的直线和BD1，平行即可，
同理体对角线A1C，AC1，DB1，也满足条件．，
则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线只要和四条体对角线平行即可，
共有4条．
故选：C．
2．如图，平面PAB⊥平面α，AB?α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，I?α，且l⊥AB，则PQ与I所成角的正切值的最小值为（）
A．B．C．D．3
【解答】解：如图，不妨以CD在AB前侧为例．
以O为原点，分别以OB、OP所在直线为y、z轴建立空间直角坐标系，
设AB=2，∠OAD=θ（0＜θ＜π），则P（0，0，），
D（2sinθ，﹣1+2cosθ，0），
∴Q（，，0），
∴，
设α与AB垂直的向量，则PQ与l所成角为α．
则|cosα|=||=||==．
令t=cosθ（﹣1＜t＜1），则s=，s′＝，
令s′=0，得t=8﹣，
∴当t=8﹣时，s有最大值为16﹣6．
则cosα有最大值为，此时sinα最小值最小为．
∴正切值的最小值为=．
故选：B．
3．如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（）
①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；
②平面SBC内存在直线与SA平行
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；
④存在点E使得SE⊥BA．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①若直线SA⊥平面SBC，
则直线SA与平面SBC均垂直，则SA⊥BC，
又由AD∥BC，则SA⊥AD，这与∠SAD为锐角矛盾，故①错误；
②∵平面SBC∩直线SA=S，
故平面SBC内的直线与SA相交或异面，故②错误；
③取AB的中点F，则CF∥AE，由线面平行的判定定理，可得CF∥SAE平行，故
③正确；
④若SE⊥BA，由EC∥AB，可得SE⊥EC，这与∠SEC为钝角矛盾，故④错误；
故选：A．
4．设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，∠BCA=90°，BC=CA=2，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值为（）
A． B．C．D．
【解答】解：∵∠BCA=90°，BC=CA=2，
∴AB=2，且为截面圆的直径；
又三棱柱外接球的体积为，
∴π?R3=，
解得外接球的半径为R=2；
△ABC1中，AB⊥BC1，AB=2，AC1=2R=4，
∴BC1==2；
又=+，=+=﹣﹣，
∴?=?（﹣）﹣?﹣﹣?
=0﹣0﹣﹣0
=﹣8，
||=||==；
∴异面直线B1C与AC1所成的角θ的余弦值为：
||=||=．
cosθ＝
故选：B．
5．已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有（）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【解答】解：把异面直线a，b平移到相交，使交点为P，
此时∠APB=50°，
过P点作直线c平分∠APB，这时c与a，b所成角为25°，
过P点作直线d垂直a和b，这时d与a，b所成角为90°，
直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过30°，
因为两边，所以有2条．
故选：B．
6．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
【解答】解：如图，AE⊥BD，CF⊥BD，依题意，AB=1，BC=，AE=CF=，BE=EF=FD=，
A，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则∵BD⊥AE，∴BD⊥平面AEC，从而BD⊥EC，这与已知矛盾，排除A；
B，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD⊥平面ABC，平面ABC ⊥平面BCD
取BC中点M，连接ME，则ME⊥BD，∴∠AEM就是二面角A﹣BD﹣C的平面角，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故B正确；
C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，从而平面ACD⊥平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除C
D，由上所述，可排除D
故选：B．
7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）
A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条
【解答】解：在EF上任意取一点M，
直线A1D1与M确定一个平面，
这个平面与CD有且仅有1个交点N，
当M取不同的位置就确定不同的平面，
从而与CD有不同的交点N，
而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图：
故选：D．
8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下命题：
①当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC；
②若A，P，M三点共线，则=；
③若=，则C1Q∥面APC；
④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条，则m+n=7．
其中正确命题的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①MN中点R，AC的中点S，设BD1与RS的交点是Q，若P与Q 重合时，此时MN在平面PAC内，故1错误
②若A，P，M三点共线，②若A，P，M三点共线，由D1M∥AB，
∴==，则=，正确；
③若=，由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC=O，连接OM，OQ，则四边形OQC1M是平行四边形，
∴C1Q∥OM，
而M点在平面APC内，
∴C1Q∥平面APC，因此正确；
④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有A1C，D1B，AC1，DB1，4条．
连接B1C，A1C1∥AC，由正方体的性质可得△AB1C是等边三角形，则点P取点D1，则直线AD1，CD1、D1B1满足条件，∴过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有且只有3条，则m+n=7条，因此正确．
其中正确命题为②③④，其个数为3．
故选：C．
9．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D 为四面体OABC外一点．给出下列命题．
①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形
②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥
③存在点D，使CD与AB垂直并且相等
④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上
其中真命题的序号是（）
A．①②B．②③C．③D．③④
【解答】解：∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，∴AC=BC=，AB=
当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2
此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确
使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；
取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；
先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可
∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确
故选：D．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，BC=1，∠BAD=60°，E为线段CD（端点C、D除外）上一动点，将△ADE沿直线AE翻折，在翻折过程中，若存在某个位置使得直线AD与BC垂直，则a的取值范围是（）
A．（，+∞）B．（，+∞）C．（+1，+∞）D．（+1，+∞）
【解答】解：设翻折前的D记为D′，∵AD⊥BC，BC∥AD′，则在翻折过程中，存在某个位置使得直线AD与BC垂直，只需保证∠DAD′=900，∵∠D′AE=∠DAE，由极限位置知，只需保证∠D′AE≥45°即可．
，则∠D′EA=15°
，
，∠AD′E=120°
在△D′AE中，AD′=1，∠D′AE=45°
由正弦定理知，，则D′E=．
因为E为线段CD（端点C，D除外）上的一动点，
则a＞，
故选：D．
11．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E在线段AD上且AE=3，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角D﹣
EC﹣B的余弦值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：在折叠前的矩形中连接BD交EC于O，
∵BC=4，CD=2，CD=2，DE=1，
∴，即△BCD∽△CDE，
∴∠DBC=∠ECD，
∴∠DBC=∠ECD，
∴∠ECD+∠ODC=90°，即BD⊥CE，
折起后，
∵BO⊥CE，DO⊥CE，
∴∠BOD是二面角D﹣EC﹣B的平面角，
在△BOD中，OD=，OB=BD﹣OD=2﹣=，
BD==2，
由余弦定理得cos∠BOD==，
故选：D．
12．如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，在平面α内有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则△PAB的面积的最大值是（）
A．12 B．24 C．32 D．48
【解答】解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，
∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，
∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，
∴PB=2PA
作PM⊥AB，垂足为M，令AM=t∈R，
在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，PM是公共边及PB=2PA
∴PA2﹣t2=4PA2﹣（6﹣t）2
解得PA2=12﹣4t
∴PM=
∴S=×AB×PM=×6×=3=3≤12
即三角形面积的最大值为12
故选：A．
13．在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是﹣，则该四面体外接球的表面积是（）
A．B．C．6πD．
【解答】解：取AC中点D，连接SD，BD，
因为，所以BD⊥AC，
因为SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．
所以∠SDB为二面角S﹣AC﹣B．
在△，
所以AC=2．
取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，
过D作DO⊥平面ABC，O为外接球球心，
所以ED=，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，所以，OD=，所以BO===OA=OS=OC
所以O点为四面体的外接球球心，
其半径为，表面积为6π．
故选：C．
14．过空间中一定点，作一直线，使其与某正方体六个面所成的角都相等，这样
的直线有几条（）
A．1 B．2 C．4 D．无数条
【解答】解：正方体六个面中，相对的面互相平行．
中，
如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′
研究体对角线BD′与下底面、前面，右面所成的角的关系．
由正方体的结构特征，可知D′Ｄ⊥面ABCD，∴BD是BD′在面ABCD上的射影．∴∠D′BD是BD′与面ABCD所成的角．
所成的角
是BD′与面A′B′BA
同理∠D′BA′
是BD′与面B′C′CB
所成的角．
∠D′BC′
，
由直角三角形全等的HL判定定理，可知△D′BD≌△D′BA′
≌△D′BC′
．
∠D′BC′
∴∠D′BD=∠D′BA′＝
所以对角线BD′与下底面、前面，右面所成的角相等，
从而对角线BD′与正方体六个面所成的角都相等．
同样证明得出其余三条体对角线也与正方体六个面所成的角都相等．
所以过空间一点且与体对角线平行的直线与正方体六个面成等角．共有4条．故选：C．
15．如图，边长为3正方形ABCD，动点M，N在AD，BC上，且MN∥CD，沿MN将正方形折成直二面角，设AM=x，则点M到平面ABC的距离的最大值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，过M作ME⊥AC，垂足为E，则ME⊥平面ABC，
在△AMC中，==
当且仅当，x=3﹣x，即时，ME的最大值为
故选：B．
16．正三棱锥P﹣ABC内接于半球O，底面ABC在大圆面上，则它相邻的两个侧