2017年4月闵行区中考数学二模试卷及答案

上海市闵行区2017年中考二模数学试卷含答案（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在下列各式中，二次单项式是 （A ）21x +；（B ）213xy ；（C ）2xy ；（D ）21()2-．2．下列运算结果正确的是 （A ）222()a b a b +=+； （B ）2323a a a +=； （C ）325a a a ⋅=；（D ）112(0)2a a a-=≠． 3．在平面直角坐标系中，反比例函数(0)ky k x=≠图像在每个象限内y 随着x 的增大而减小，那么它的图像的两个分支分别在 （A ）第一、三象限； （B ）第二、四象限； （C ）第一、二象限；（D ）第三、四象限． 4．有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的 （A ）平均数；（B ）中位数；（C ）众数；（D ）方差． 5．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是 （A ）当AB = BC 时，四边形ABCD 是菱形； （B ）当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是菱形； （C ）当∠ABC = 90o 时，四边形ABCD 是矩形；（D ）当AC = BD 时，四边形ABCD 是正方形．6．点A 在圆O 上，已知圆O 的半径是4，如果点A 到直线a 的距离是8，那么圆O 与直线a 的位置关系可能是（A ）相交； （B ）相离； （C ）相切或相交； （D ）相切或相离．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：21+2-= ▲ ．8．在实数范围内分解因式：243x -= ▲ ．91的解是 ▲ ．10．已知关于x 的方程230x x m --=没有实数根，那么m 的取值范围是 ▲ ．11．已知直线(0)y kx b k =+≠与直线13y x =-平行，且截距为5，那么这条直线的解析式为 ▲ ．12．一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小杰过马路时，恰巧是绿灯的概率是 ▲ ．13．已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、6，第五组的频率是0.1，那么第六组的频数是 ▲ ．14．如图，已知在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE = 2ED ．设B A a =u u r r ，BC b =uu u r r，那么CE =uu u r ▲ （用a r 、b r的式子表示）． 15．如果二次函数2111y a x b x c =++（10a ≠，1a 、1b 、1c 是常数）与2222y a x b x c =++（20a ≠，2a 、2b 、2c 是常数）满足1a 与2a 互为相反数，1b 与2b 相等，1c 与2c 互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数232y x x =-+-的“亚旋转函数”为 ▲ ．16．如果正n 边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为 ▲ ．（用锐角α的三角比表示） 17．如图，一辆小汽车在公路l 上由东向西行驶，已知测速探头M 到公路l 的距离MN 为9米，测得此车从点A 行驶到点B 所用的时间为0.6秒，并测得点A 的俯角为30o ，点B 的俯角为60o ．那么此车从A 到B 的平均速度为 ▲ 米/秒．3 1.732≈2 1.414） 18．在直角梯形ABCD 中，AB // CD ，∠DAB = 90o ，AB = 12，DC = 7，5cos 13ABC ∠=，点E 在线段AD 上，将△ABE 沿BE 翻折，点A 恰巧落在对角线BD 上点P 处，那么PD = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）120183(1)2cos 45+821-+--+o．20．（本题满分10分）解方程组：221;20.y x x xy y -=⎧⎨--=⎩ 21．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知一次函数24y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内作直角三角形ABC ，且∠BAC = 90o ，1tan 2ABC ∠=． （1）求点C 的坐标；（2）在第一象限内有一点M （1，m ），且点M 与点C 位于直线AB 的同侧，使得ABC ABM S S ∆∆=2， 求点M 的坐标．A BD （第14题图）E ABOCxy ABD C（第18题图）M N（第17题图） l22．（本题满分10分）为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校7.5千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米／小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多14小时，求自行车的平均速度？ 23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点F ，FG ∥AC ，联结DG ．（1）求证：BF BC AB BD ⋅=⋅； （2）求证：四边形ADGF 是菱形． 24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于 点A 和点B （1，0），与y 轴相交于点C （0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标； （2）求证：∠DAB=∠ACB ；（3）点Q 在抛物线上，且△ADQ 是以AD 为底的等腰三角形，求Q 点的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分） 如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB = 90o ，AC =6，BC = 8，点F 在线段AB 上，以点B 为圆心，BF 为半径的圆交BC 于点E ，射线AE 交圆B 于点D （点D 、E 不重合）．（1）如果设BF = x ，EF = y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出它的定义域； （2）如果2ED EF =，求ED 的长；（3）联结CD 、BD ，请判断四边形ABDC 是否为直角梯形？说明理由．ABEGCF D（第23题图）A B O Cxy （第24题图） DCC ED闵行区2017学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ；2．C ；3．A ；4．B ；5．D ；6．D ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．5； 8．23)(23)x x （； 9．1x =； 10．94m <-； 11．153y x =-+；12．512； 13．8； 14．13a b -r r ； 15．2132y x x =+-； 16．5cot 2α（或52tan α）；17．17.3； 18．212．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：原式=21122+……………………………………（2分+2分+2分+2分）2=．……………………………………………………………………（2分） 20．解：由②得：20x y -=，+0x y =…………………………………………（2分）原方程组可化为120y x x y -=⎧⎨-=⎩，1y x x y -=⎧⎨+=⎩………………………………（2分）解得原方程组的解为21x y =-⎧⎨=-⎩，1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………………………（5分）∴原方程组的解是21x y =-⎧⎨=-⎩，1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………（1分）21．解：（1）令0y =，则240x -+=，解得：2x =，∴点A 坐标是（2，0）．令0x =，则4y =，∴点B 坐标是（0，4）．………………………（1分）∴22222425AB OA OB ++1分）∵90BAC ∠=，1tan 2ABC ∠=，∴5AC =过C 点作CD ⊥x 轴于点D ，易得OBA DAC ∆∆∽．…………………（1分） ∴2AD =，1CD =，∴点C 坐标是（4，1）．………………………（1分） （2）11255522ABC S AB AC ∆=⋅=⨯．………………………………（1分） ∵2ABM ABC S S ∆∆=，∴52ABM S ∆=．……………………………………（1分）∵(1M ，)m ，∴点M 在直线1x =上；令直线1x =与线段AB 交于点E ，2ME m =-；……………………（1分） 分别过点A 、B 作直线1x =的垂线，垂足分别是点F 、G ，∴AF +BG = OA = 2；……………………………………………………（1分）∴111()222ABM BME AME S S S ME BG ME AF ME BG AF ∆∆=+=⋅+⋅=+1152222ME OA ME =⋅=⨯⨯=…………………（1分） ∴52ME =，522m -=，92m =，∴(1M ，92）．……………………（1分）22．解：设自行车的平均速度是x 千米／时．………………………………………（1分）根据题意，列方程得7.57.51154x x -=+；……………………………………（3分）化简得：2154500x x +-=；………………………………………………（2分） 解得：115x =，230x =-；…………………………………………………（2分）经检验，115x =是原方程的根，且符合题意，230x =-不符合题意舍去．（1分）答：自行车的平均速度是15千米／时．………………………………………（1分）23．证明：（1）∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC =2∠BAF =2∠EAC ．∵∠BAC =2∠C ，∴∠BAF =∠C =∠EAC ．…………………………（1分） 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ．……………………………（1分） ∵∠ABF =∠C ，∠ABD =∠DBC ，∴ABF CBD ∆∆∽．…………………………………………………（1分） ∴AB BF BC BD=．………………………………………………………（1分） ∴BF BC AB BD ⋅=⋅．………………………………………………（1分） （2）∵FG ∥AC ，∴∠C =∠FGB ，∴∠FGB =∠F AB ．………………（1分）∵∠BAF =∠BGF ，∠ABD =∠GBD ，BF =BF ，∴ABF GBF ∆∆≌．∴AF =FG ，BA =BG ．…………………………（1分） ∵BA =BG ，∠ABD =∠GBD ，BD =BD ，∴ABD GBD ∆∆≌．∴∠BAD =∠BGD ．……………………………（1分） ∵∠BAD =2∠C ，∴∠BGD =2∠C ，∴∠GDC =∠C ，∴∠GDC =∠EAC ，∴AF ∥DG ．……………………………………（1分） 又∵FG ∥AC ，∴四边形ADGF 是平行四边形．……………………（1分） ∴AF =FG ．……………………………………………………………（1分） ∴四边形ADGF 是菱形．……………………………………………（1分）24．解：（1）把B （1，0）和C （0，3）代入22y ax x c =-+中，得9603a c c ++=⎧⎨=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩．……………………………………（2分） ∴抛物线的解析式是：223y x x =--+．……………………………（1分） ∴顶点坐标D （－1，4）．……………………………………………（1分） （2）令0y =，则2230x x --+=，13x =-，21x =，∴A （－3，0）∴3OA OC ==，∴∠CAO =∠OCA ．…………………………………（1分）在Rt BOC ∆中，1tan 3OB OCB OC ∠==．………………………………（1分）∵32AC =2DC =25AD =， ∴2220AC DC +=，220AD =；∴222AC DC AD +=，ACD ∆是直角三角形且90ACD ∠=，∴1tan 3DC DAC AC ∠==，又∵∠DAC 和∠OCB 都是锐角，∴∠DAC =∠OCB ．…………………（1分） ∴DAC CAO BCO OCA ∠+∠=∠+∠，即DAB ACB ∠=∠．……………………………………………………（1分） （3）令(Q x ，)y 且满足223y x x =--+，(3A -,0)，(1D -，4）∵ADQ ∆是以AD 为底的等腰三角形，∴22QD QA =，即2222(3)(1)(4)x y x y ++=++-， 化简得：220x y -+=．………………………………………………（1分） 由222023x y y x x -+=⎧⎨=--+⎩，……………………………………………………（1分） 解得113411141x y ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，223411141x y ⎧--=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩． ∴点Q 的坐标是3411141-+-⎝⎭，3411141---+⎝⎭．…（2分）25．解：（1）在Rt △ABC 中，6AC =，8BC =，90ACB ∠=∴10AB =．……………………………………………………………（1分） 过E 作EH ⊥AB ，垂足是H ，易得：35EH x =，45BH x =，15FH x =．…………………………（1分）在Rt △EHF 中，222223155EF EH FH x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴10(08)y x =<<．………………………………………（1分+1分） （2）取ED 的中点P ，联结BP 交ED 于点G∵2ED EF =，P 是ED 的中点，∴EP EF PD ==． ∴∠FBE =∠EBP =∠PBD ．∵EP EF =，BP 过圆心，∴BG ⊥ED ，ED =2EG =2DG ．…………（1分） 又∵∠CEA =∠DEB ，D EB CF ∴∠CAE =∠EBP =∠ABC ．……………………………………………（1分）又∵BE 是公共边，∴BEH BEG ∆∆≌．∴35EH EG GD x ===．在Rt △CEA 中，∵AC = 6，8BC =，tan tan AC CECAE ABC BC AC∠=∠==， ∴66339tan 822CE AC CAE ⨯⨯=⋅∠===．……………………………（1分）∴9169782222BE =-=-=．……………………………………………（1分）∴6672125525ED EG x ===⨯=．……………………………………（1分）（3）四边形ABDC 不可能为直角梯形．…………………………………（1分）①当CD ∥AB 时，如果四边形ABDC 是直角梯形， 只可能∠ABD =∠CDB = 90o ． 在Rt △CBD 中，∵8BC =，∴32cos 5CD BC BCD =⋅∠=，24sin 5BD BC BCD BE =⋅∠==∴321651025CD AB ==，32853245CE BE -==； ∴CD CE AB BE≠． ∴CD 不平行于AB ，与CD ∥AB 矛盾．∴四边形ABDC 不可能为直角梯形．…………………………（2分） ②当AC ∥BD 时，如果四边形ABDC 只可能∠ACD =∠CDB = 90o ．∵AC ∥BD ，∠ACB = 90o ， ∴∠ACB =∠CBD = 90o ． ∴∠ABD =∠ACB +∠BCD > 90o ． 与∠ACD =∠CDB = 90o 矛盾．∴四边形ABDC 不可能为直角梯形．…………………………（2分）EBC F。

2016学年第二学期闵行区初三模拟考英语试卷2017.4Part 2 Phonetics, Vocabulary and Grammar（第二部分语音、词汇和语法）26. Which of the following underlined parts is different in pronunciation from others ?A. Smoking is harmful to our health.B. There is a warning a sign on the wall .C. Tom is a big fan of cartoon filmsD. My mother bought some fish in the market .27. Kitty is _______honest girl . She never tells lies and we like her very much .A. aB. anC. theD. /28. Some Chinese tourists lost _________lives in Malasin’s boat accident.A. themB. themselvesC. theirD. theirs29. Many young people enjoy drinking coffee while _________prefer to drink tea.A. othersB.otherC. anotherD. the others30. Look , there are so many ________on the farm in the countryside .A. duckB. sheepC. horseD. pig31. All students must wear summer uniforms ________September , early October , late April , May and June .A. inB. byC. atD. of32. Sam’s father travels to Tokyo , the capital of Japan , ________business once a month .A. fromB. aboutC. toD. on33. ---_________is fifteen minus five ?----Fifteen minus five is ten .A. How longB. How soonC. How muchD. How often34. _________interesting it is to welcome the first snow in the Year of the Rooster!A. WhatB. HowC.What aD. What an35. The young dancer from France looks ________in the long skirt .A. happilyB. gentlyC. beautifullyD. lovely36. The two men used to argue with each other to prove who is ________.A. strongB. strongerC. strongestD. the strongest37. The plan ________be discussed any more . We have made our decision .A. musn’tB. can’tC. needn’tD. oughtn’t38. Beijing has made history in winning the bids to host both the summer ________winter Olympic games.A. butB. orC. soD. and39. ___________the training in the wilderness is not easy , I still want to have a try .A. IfB. AlthoughC. WhenD. Until40. The hit show Chinese Poetry Competition on CCTV _________a nationwide popular program since last winter holidays.A. is becomingB. has becomeC. becameD. becomes41. The ceremony of the 89th Oscar(奥斯卡) Awards _______in Los Angeles on February 27, 2017.A. is heldB. was heldC. has heldD. hold42. He’d rather ________the underground to the city center because it’s fast and conventient.A. to takeB. takingC. takesD. take43. Stop _________. It is easier to cut your friends off than help.A. to complainB. complainC. complainingD. complained44. ----I’m so nervous , I’m afraid I can’t remember everything .-----____________.A. Take it easy .B. Don’t say soC. That’s a good ideaD. What a pity !45. -----Thank you so much for helping us with our luggage .-------__________A. The same to youB. I’d love toC. Thank youD. You are welcomeⅢ.Complete the following passage with the words or phrases in the box. Each can only be used once（将下列单词或词组填入空格。

本解析由华东师范大学出版社《挑战压轴题》作者马学斌老师独家提供。

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轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是上述抛物线上一点，如果△ABM 和△ABC 相似，求点M 的坐标；（3）联结AC，求顶点D、E、F、G 在△ABC 各边上的矩形DEFG 面积最大时，写出该矩形在AB 边上的顶点的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 24”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，当点D是BC 的中点时，矩形DEFG 的面积最大，最大值是△ABC 面积的一半．思路点拨1．第（2）题△ABM 和△ABC 相似，只存在这两个三角形全等的情形，此时M、C 关于抛物线的对称轴对称．2．第（3）题的矩形DEFG 存在两种情况．用二次函数表示矩形的面积，求二次函数的最大值，然后看看最大值时矩形顶点的位置具有什么特殊性．图文解析（1）由1y x 2 ，得B(4, 0)，C(0,－2)．2将点B(4, 0)代入y 1 x2 bx 2 ，得 8＋4b－2＝0．解得 3b ．2 2所以抛物线的解析式为 1 2 3 2 1 ( 1)( 4)y x x x x ．所以A(－1, 0)．2 2 2（2）如图 2，由A(－1, 0)、B(4, 0)、C(0,－2)，可得 tan∠CAO＝tan∠BCO＝2．又因为∠CAO 与∠ACO 互余，所以∠BCO 与∠ACO 互余．所以△ABC 是直角三角形．过点A、B 分别作x 轴的垂线，不可能存在点M．所以只存在∠AMB＝90°的情况，此时点M 在x 轴的下方（如图 3 所示）．图 2 图 32如图 3，如果△ABM 和△ABC 相似，那么△ABM ≌△BAC ．所以点 M 与点 C 关于抛物线的对称轴对称，点 M 的坐标为(3,－2)．（3）矩形 DEFG 有两种情况：1①如图 4，在 AB 边上的顶点有两个，坐标分别为(2, 0)和( ,0) ．23②如图 5，在 AB 边上的顶点有一个，坐标为( ,0)．2考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：在 Rt △ABC 中，AB ＝5，高 CO ＝2．情形一，如图 4，F 、G 两点在 AB 上．设 DE ＝m ，DG ＝n ．根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得 2 ．所以 5(2 )n m nm ． 2 52 所以 S ＝mn ＝ 5 2 n n ＝ 5 ( 1)2 5 (2 )n ． 2 2所以当 n ＝1 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面积 最大，最大值是△ABC 面积的一半．情形二，如图 5，点 G 在 AB 上．同样的，设 DE ＝m ，DG ＝n ．由 BD DG ，得 2 5．所以 2 5 n ． m n m BE EA 22 55 所以 S ＝m n ＝ (2 5 ) m m 2 ＝ 1 ( 5)2 5 m ．2 2所以当 m 5 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面 积最大，最大值也是△ABC 面积的一半．此时点 G 为 AB 的中点．图 4 图 53例2017年上海市宝山区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，∠ACB 为直角，AB＝10，∠A＝30°，半径为 1 的动圆Q 的圆心从点C 出发，沿着CB 方向以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点B 出发，沿着BA 方向也以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t≤5），以P 为圆心、PB 为半径的⊙P 与AB、BC 的另一个交点分别为E、D，联结ED、EQ．（1）判断并证明ED 与BC 的位置关系，并求当点Q 与点D 重合时t 的值；（2）当⊙P 和AC 相交时，设CQ 为x，⊙P 被AC 解得的弦长为y，求y 关于x 的函数解析式，并求当⊙Q 过点B 时⊙P 被AC 截得的弦长；（3）若⊙P 与⊙Q 相交，写出t 的取值范围．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 25”，拖动Q 由C 向B 运动，可以体验到，⊙P 与⊙Q 的位置关系依次为外离、外切和相交．思路点拨1．第（1）题Q、D 重合时，根据CQ＋BD＝BC 列关于t 的方程．2．第（2）题⊙Q 过点B 时，CQ＝5－1＝4．3．第（3）题求⊙P 与⊙Q 相交，先求临界位置外切时t 的值．图文解析（1）如图 2，根据直径所对的圆周角是直角，可以知道ED⊥BC．在 Rt△ABC 中，AB＝10，∠A＝30°，所以BC＝5．在 Rt△BDE 中，BE＝2BP＝2t，∠BED＝30°，所以BD＝t，DE＝ 3 t．如图 3，当点Q 与点D 重合时，BD＋CQ＝BC＝5．所以 2t＝5．解得t＝2.5．图 2 图 3（2）如图 4，设⊙P 和AC 相交于M、N 两点．作PH⊥MN 于H，那么MH＝NH．在 Rt△PAH 中，PA＝10－t，∠A＝30°，所以PH＝12(10t)t．＝5 12在 Rt△PMH 中，PM＝PB＝t，由勾股定理，得MH2＝PM2－PH2＝ 2 (5 1 )2t t ．2 于是得到y＝MN＝2MH＝3t2 20t 100 ．4如图 5，当⊙Q 过点B 时，CQ＝x＝4，此时MN＝y＝316 20 4 100 ＝2 7 ．图 4 图 5＜t≤5．（3）当⊙P与⊙Q相交时，t的取值范围是17974考点伸展第（3）题的解题过程分三步：第一步，罗列三要素．对于圆P，r P＝t；对于圆Q，r Q＝1；圆心距PQ 需要求一下．如图 6，作PF⊥BC 于F．在Rt△PFQ 中，由勾股定理，得PQ＝( 3 )2 (5 3 )2t t ．2 2第二步，列方程．如图 7，当⊙P 与⊙Q 外切时，r P＋r Q＝PQ．所以t 1( 3 t)2 (5 3t)2 ．整理，得 2t2－17t＋24＝0．解得17 97t ．2 2 4第三步，写结论．图 6 图 75例2017年上海市崇明区中考模拟第 24题 如图 1，已知抛物线 y ＝ax 2－2x ＋c 经过△ABC 的三个顶点，其中点 A (0, 1)，点 B (9, 10)，AC //x 轴． （1）求这条抛物线的解析式；（2）求 tan ∠ABC 的值；（3）若点 D 为抛物线的顶点，点 E 是直线 AC 上一点，当△CDE 与△ABC 相似时，求 点 E 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 24”，拖动点 E 在点 C 左侧运动，可以体验到，△CDE 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．求 tan ∠ABC 的值，首先要将∠ABC 放在某个直角三角形中．作 AB 边上的高 CH 以 后，有两种解法：一种解法是∠BAC ＝45°为特殊值；另一种解法是一般性的，已知三角形 的三边，作高不设高，设 AH ＝m ．2．探究△CDE 与△ABC 相似，首选的方法是寻找一组等角，然后按照对应边成比例分 两种情况列方程．图文解析 c1,（1）将 A (0, 1)、B (9, 10)两点分别代入 y ＝ax 2－2x ＋c ，得81a 18 c 10.1 3 解得 a ＝ ，c ＝1．所以这条抛物线的解析式为 12 2 1y x x ． 3（2）由于 AC //x 轴，抛物线的对称轴为 x ＝3，所以 C (6, 1)．如图 2，作 BM ⊥AC ，垂足为 M ．作 CH ⊥AB 于 H ．由 A (0, 1)、B (9, 10)，可知 AM ＝BM ＝9，所以∠BAC ＝45°，AB ＝9 2 ．在 Rt △ACH 中，AC ＝6，所以 AH ＝CH ＝3 2 ．在 Rt △BCH 中，BH ＝AB －AH ＝6 2 ，所以 tan ∠ABC ＝ C H B H＝ 3 2 6 2 ＝ 1 2 ． 6（3）由 1 2 2 1 1 ( 3)2 2y x x x ，得顶点D 的坐标为(3,－2)．3 3由C(6, 1)、D(3,－2)，可知∠ACD＝45°，CD＝3 2 ．当点E 在点C 左侧时，∠DCE＝∠BAC．分两种情况讨论△CDE 与△ABC 相似：①当C E A B时，CE 9 2 ．解得CE＝9．此时E(－3, 1)（如图 3 所示）．C D A C32 6②CE AC 时，CE 6 ．解得CE＝2．此时E(4, 1)（如图 4 所示）．C D A B329 2图 2 图 3 图 4考点伸展第（2）题还有一般的解法：如图 2，△ABC 的三边长是确定的，那么作AB 边上的高CH，设AH＝m，就可以求得AH，进而求得CH、BH 的长．由A(0, 1)、B(9, 10)、C(6, 1)，可得AB＝9 2 ，BC＝3 10 ，AC＝6．由CH2＝CA2－AH2，CH2＝CB2－BH2，得CA2－AH2＝CB2－BH2．解方程62 m2 (3 10)2 (9 2 m)2 ，得m 3 2 ．于是得到BH＝6 2 ，CH＝3 2 ．7例 2017年上海市崇明区中考模拟第 25题如图，梯形 ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，tan D ＝2，点 E 是射线 CD 上一动点（不与点 C 重合），将△BCE 沿着 BE 进行翻折，点 C 的对应点记为点 F ．（1）如图 1，当点 F 落在梯形 ABCD 的中位线 MN 上时，求 CE 的长；S （2）如图 2，当点 E 在线段 CD 上时，设 CE ＝x ， △BFCS△E F C＝y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如图 3，联结 AC ，线段 BF 与射线 CA 交于点 G ，当△CBG 是等腰三角形时，求 CE 的长．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 25”，拖动点 E 运动，可以体验到，等腰三角形 BCG 存在三种情况，每种情况的点 G 的位置都具有特殊性．思路点拨1．第（1）题点 F 到 AB 的距离等于 BF 的一半，得到∠FBA ＝30°．2．第（2）题△BFC 与△EFC 的面积比等于 BH 与 EH 的比，通过 Rt △BCH ∽Rt △CEH 得到 BH 与 EH 的比．3．第（3）题先求 CG 的长，再求 CE 的长．延长 BF 交 CD 的延长线于 K ，得到△KEF ∽△KBC ．图文解析（1）如图 4，在 Rt △FNB 中，BN ＝ 所以∠B F N ＝30°． 1 2 B C ＝ 1 2B F ，所以∠FBA ＝30°．所以∠FBC ＝60°． 所以∠FBE ＝∠CBE ＝30°．＝ 8 3 3所以 C E ＝B C t a n 30°＝83 3． 图 4（2）如图 5，设 BE 垂直平分 FC 于点 H ，那么∠CBH ＝∠ECH ． 所以△CBH ∽△ECH ．S 所以CBH△S△ECHBH ＝ ( )2EH＝ 64 x 2 S ．所以 y ＝ BFC △S△EFC＝ 2S △CBHC2S △ECH ＝ 64 x2． 定义域是 0＜x ≤10．8图 5图 6（3）①如图 6，当 CG ＝CB ＝8 时，AG ＝2．CK CG 延长 BF 交 CD 的延长线于 K ．由 4 ，得 CK ＝4AB ＝24．AB AG1 3在 Rt △KBC 中，BC ＝8，CK ＝24，所以 tan ∠K ＝．所以 sin ∠K ＝ 10 10． 在 Rt △KEF 中，FE ＝CE ＝x ，EK ＝CK －CE ＝24－x ．由 sin ∠K ＝F E E K ＝ 10 10，得10 x 24 x 10．解得 x ＝CE ＝ 8 10 83．②如图 7，当 GC ＝GB 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，此时四边形 ABCK 为矩形． 在 Rt △EKF 中，sin ∠EKF ＝B C B K ＝ 8 10 ＝ 4 5，FE ＝CE ＝x ，KE ＝CK －CE ＝6－x ．所以 4 x6 x 5．解得 x ＝CE ＝ 8 3．③如图 8，当 BG ＝BC ＝8 时，由于 BC ＝BF ，所以 F 、G 重合．此时 BE ⊥AC ．由 tan ∠CEB ＝tan ∠ACB ＝ 3 4 ，得B C C E 3 ．所以 CE ＝ 432 3．图 7 图 8考点伸展第（3）题的①、②两种情况，解 Rt △KEF ，可以用勾股定理列方程．9例 2017年上海市奉贤区中考模拟第 24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点 A (3, 0)和点 B (2, 3)，过点1 3A 的直线与 y 轴的负半轴相交于点 C ，且 tan ∠CAO ＝（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；． （2）联结 AB 、BC ，求∠ABC 的正切值；（3）若点 D 在 x 轴下方的对称轴上，当 S △ABC ＝S △ADC 时，求点 D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 24”，可以体验到，△ABC 是等腰直角三角形，B 、D 两点到直线 AC 的距离相等．思路点拨1．直觉告诉我们，△ABC 是直角三角形．2．第（3）题的意思可以表达为：B 、D 在直线 AC 的两侧，到直线 AC 的距离相等．于 是我们容易想到，平行线间的距离处处相等．图文解析（1）将 A (3, 0)、B (2, 3)两点分别代入 y ＝－x 2＋bx ＋c ，得93b c 0,4 2b c 3.解得 b ＝2，c ＝3．所以 y ＝－x 2＋2x ＋3．对称轴是直线 x ＝1．O C OA （2）由 t a n ∠C A O ＝＝ 1 3，OA ＝3，得 OC ＝1．所以 C (0,－1)． 由两点间的距离公式，得 AB 2＝12＋32＝10，AC 2＝32＋12＝10，BC 2＝22＋42＝20． 所以∠BAC ＝90°，且 AB ＝AC ．所以△ABC 是等腰直角三角形，tan ∠ABC ＝1．（3）因为△ABC 与△ADC 有公共底边 AC ，当 S △ABC ＝S △ADC 时，B 、D 到直线 AC 的距离相等．如图 2，因为点 B (2, 3)关于点 A (3, 0)的对称点为 E (4,－3)，那么过点 E 作 AC 的平行线 与抛物线的对称轴的交点即为所求的点 D ．由 A (3, 0)、C (0,－1)可得直线 AC 的解析式为1y x 1．3设直线 DE 的解析式为y x b ，代入点 E (4,－3)，得 13 1b ．3 3 10所以直线DE 的解析式为11 3 y x ．当x＝1 时，y＝－4．3 3所以点D 的坐标为(1,－4)．考点伸展第（2）题也可以构造 Rt△ABM 和 Rt△CAN（如图 3），用“边角边”证明△ABM≌△CAN，从而得到等腰直角三角形ABC．图 2 图 3第（3）题也可以这样思考：如图 4，过点B 与直线AC 平行的直线为y 1 x 7 ，与y 轴交于点F(0, 7)33 3．F、C 两点间的距离为710(1) ．3 3把直线AC：y 1 x 向下平移1013 3个单位，得到直线113y x ．3 3感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师第（3）题的解法：如图 5，如果把BL、KD 分别看作△ABC 和△ADC 的底边，那么它们的高都是A、C 两点间的水平距离，当△ABC 与△ADC 的面积相等时，BL＝KD．1 )，K(1,2 )．所以3 ( 1) ( 2) 由直线AC 的解析式可以求得L (y ．2,D3 3 3 3解得y D＝－4．所以D(1,－4)．图 4 图 511例2017年上海市奉贤区中考模拟第25题如图 1，线段AB＝4，以AB 为直径作半圆O，点C 为弧AB 的中点，点P 为直径AB 上一点，联结PC，过点C 作CD//AB，且CD＝PC，过点D 作DE//PC，交射线PB 于点E，PD 与CE 相交于点Q．（1）若点P 与点A 重合，求BE 的长；PD＝y，当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及定义域；C E（2）设P C＝x，（3）当点Q 在半圆O 上时，求PC 的长．图 1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 25”，拖动点P 在AO 上运动，可以体验到，PD 与CE的比就是菱形的对角线的比，可以转化为PQ 与EQ 的比，进而转化为∠PEQ 的正切值．拖动点P 在OB 上运动，可以体验到，当点Q 落在圆上时，点Q 到AB 的距离等于圆的半径的一半．思路点拨1．四边形PCDE 是菱形，对角线互相垂直平分．2．第（2）题根据∠PEQ 和∠CEO 是同一个角，用正切值得到关系式．3．第（3）题画图的步骤是：点Q 在OC 的中垂线与圆的交点处，延长CQ 交AB 的延长线于点E，过点Q 作CE 的垂线得到点P、D．图文解析（1）如图 2，由CD//AB，DE//PC，得四边形PCDE 是平行四边形．又因为CD＝PC，所以四边形PCDE 是菱形．在等腰直角三角形AOC 中，AC＝ 2 OA＝2 2 ．当点P 与点A 重合，PE＝AC＝2 2 ．所以BE＝AB－PE＝4－2 2 ．图 2 图 3（2）如图 3，在 Rt△CPO 中，PC＝x，CO＝2，所以PO＝x 2 4 ．所以EO＝PE－PO＝PC－PO＝x x 2 4 ．12因为PD 与CE 互相垂直平分于Q，所以y＝P DC E＝PQE Q ＝tan∠PEQ＝tan∠CEO＝C OE O．所以y2x x 42x x2 442．定义域是2≤x≤22 ．（3）如图 4，作QH⊥AB 于H．因为菱形PCDE 的对边CD 与PE 间的距离保持不变，等于圆的半径CO＝2，当点Q在半圆O 上时，QH＝12OQ＝1．所以∠QOH＝30°．此时∠COQ＝60°，△COQ 是等边三角形．所以∠DCE＝30°．所以∠PCE＝30°．在 Rt△COP 中，∠OCP＝30°，CO＝2，所以PC＝C O＝ 2c o s3032＝4 33．图 4 图 5考点伸展在本题情境下，当点P 从A 运动到B 的过程中，求点Q 运动过的路径长．因为点Q 是CE 的中点，所以点Q 的运动轨迹与点E 的运动轨迹平行，点Q 的路径长等于点E 路径长的一半．如图 2，当点P 与点A 重合时，AE＝AC＝2 2 ．如图 5，当点P 与点B 重合时，BE＝BC＝2 2 ．所以点E 运动的路径长为 4，点Q 运动的路径长为 2．13例2017年上海市虹口区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线1y x bx c 经过点A(－2, 0)和原点，点B 在4抛物线上且 tan∠BAO＝12，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P 的坐标；（2）点C 为抛物线上一点，若四边形AOBC为等腰梯形且AO//BC，求点C 的坐标；（3）点D 在AB 上，若△ADP 与△ABO 相似，求点D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 24”，拖动点D 在AB 上运动，可以体验到，△ADP与△ABO 相似存在两种情况．点击屏幕左下角的按钮“第（2）题”，可以体验到，以A、O、B、C 为顶点的等腰梯形存在三种情况，其中AO//BC 时，点C 与点B 关于抛物线的对称轴对称．思路点拨1．已知二次函数的二次项系数和抛物线与x 轴的两个交点，可以直接写出交点式．2．等腰梯形AOBC 当AO//BC 时，C、B 两点关于抛物线的对称轴对称．3．分两种情况讨论△ADP 与△ABO 相似．由于∠A 是公共角，根据夹∠A 的两边对应成比例，分两种情况列方程，先求AD 的长，再求点D 的坐标．图文解析（1）因为抛物线1y x bx c 与x 轴交于点A(－2, 0)和原点，所以411 1y x(x2)x x．244 2抛物线的对称轴是直线x＝－1，点P 的坐标为(－1, 0)．1（2）作BH⊥x 轴于H．设点B 的坐标为(x, x(x 2)) ．4由 tan∠BAO＝B HA H＝121，得AH＝2BH．所以(x 2) 2x(x 2) ．4解得x＝2，或x＝－2（B、A 重合，舍去）．所以B(2, 2)．若四边形AOBC 为等腰梯形且AO//BC，那么B、C 关于抛物线的对称轴x＝－1 对称．所以点C 的坐标为(－4, 2)．图 2 图 314（3）作DE⊥x 轴于E．在 Rt△ADE 中，已知 tan∠A＝12，所以DE＝55A D，AE＝2 55 A D．由于△ADP 与△ABO 有公共角∠A，分两种情况讨论相似：①当AD AB 时，AD 2 5 ．所以AD＝5 ．A P A O1 2此时DE＝1，AE＝2．所以点D 的坐标为(0, 1)．②当A D A O时，A D 2．所以A D＝ 5 A P A B125 5．此时DE＝15，AE＝25．所以OE＝OA－AE＝858 1(,)．5 5．所以点D的坐标为图 4 图 5考点伸展如果第（2）题改为以A、O、B、C 为顶点的四边形是等腰梯形，那么就要分三种情况：△AOB 的三边的垂直平分线都可以是等腰梯形的对称轴．第二种情况：如果OC//AB，那么点C 与点O 关于直线AB 的垂直平分线对称．点C 在直线1y x 上，设C(2m, m)．2由CB＝OA＝2，得CB2＝4．所以(2m－2)2＋(m－2)2＝4．解得m＝254 2 ，或m＝2（此时四边形AOCB 是平行四边形）．所以C( , )．5 5第三种情况：如果AC//OB，那么点C 与点A 关于直线OB 的垂直平分线对称．点C 在直线y＝x＋2 上，设C(n, n＋2)．由CB＝AO＝2，得CB2＝4．所以(n－2)2＋n2＝4．解得n＝2，或n＝0（舍去）．所以C(2, 4)．图 6 图 715例2017年上海市虹口区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，AB＝AC＝5，cos B＝45，点P 为边BC 上一动点，过点P 作射线PE 交射线BA 于点D，∠BPD＝∠BAC．以点P 为圆心，PC 长为半径作⊙P 交射线PD 于点E，联结CE，设BD＝x，CE＝y．（1）当⊙P 与AB 相切时，求⊙P 的半径；（2）当点D 在BA 的延长线上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果⊙O 与⊙P 相交于点C、E，且⊙O 经过点B，当O P＝54时，求AD 的长．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 25”，拖动点P 运动，可以体验到，△BPD 与△BAC 保持相似，PN 与BD 保持平行．观察度量值，可以体验到，OP＝1.25 存在两种情况．思路点拨1．作圆P 的弦CE 对应的弦心距PN，把图形中与∠B 相等的角都标记出来．2．第（3）题的圆O 经过B、C、E 三点，事实上OP 与BD 是平行的．图文解析（1）如图 2，作AM⊥BC 于M，那么BM＝CM．在 Rt△ABM 中，AB＝5，cos B＝B MA B＝45，所以BM＝4，sin B＝35．如图 3，设⊙P 与AB 切于点H，那么 sin B＝PHBP＝35．所以r8 r 35＝．解得r＝3．图 2 图 3 图 4 （2）如图 4，由于∠B＝∠B，∠BPD＝∠BAC，所以△BPD∽△BAC．因为AB＝AC，所以PB＝PD．如图 5，设圆P 与BC 的另一个交点为F，因此所以F E//B D．所以∠E F C＝∠B．P F P E．P B P D在△PBD 中，B P B A 5，所以5 5BP BD x ．B D B C888在△EFC 中，由PC＝PE＝PF，可知∠FEC＝90°，所以 sin∠EFC＝C EC F3．516所以CF5 CE 5 y ．所以 PC ＝ 13 3 2 CF ＝ 5 6y ．由 BC ＝BP ＋PC ＝8，得5 x 5 y ．整理，得 48 3 y x ．定义域是 5＜x ＜ 64886545．（3）因为⊙O 经过 B 、C 、E 三点，所以圆心 O 是 BC 和 CE 的垂直平分线的交点． 如图 6，设 CE 的中点为 N ，那么 OP ⊥CE 于 N ． 所以 OP //FE //BA ．所以 cos ∠OPM ＝cos B ＝ 4 5 ．当 OP ＝ 5 4时，MP ＝1．①如图 6，当 P 在 M 右侧时，BP ＝4＋1＝5．此时 BD ＝ 所以 A D ＝B D －B A ＝8－5＝3．8 5BP ＝8．②如图 7，当 P 在 M 左侧时，BP ＝4－1＝3．此时 BD ＝ 8 5 B P ＝ 24 5．2 4 所以 AD ＝BA －BD ＝ 5 ＝ 51 5．图 5 图 6 图 7考点伸展第（2）题不证明 FE //BA 的话，可以证明∠CPN ＝∠B ．如图 8，由于∠CPE ＝∠B ＋∠D ＝2∠B ，∠CPE ＝2∠CPN ，所以∠CPN ＝∠B ．在 Rt △CPE 中， 1 2 3 5 C E ＝PC ．所以 PC ＝5 6 C E ＝ 5 6 5 y ．所以 BP ＝8 y ．6 在△BPD 中， 1 2 B D ＝ 4 5 BP ．所以 1 x 4 5 y ．整理，得 48 3 (8 ) y x ．2 5 6 5 4定义域中 x ＝ 64 5的几何意义如图 9 所示．图 8 图 917例 2017年上海市黄浦区中考模拟第 24题如图 1，点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上，过点 A 作 x 轴和 y 轴的平行线分别交函 x数 y 1的图像于点 B 、C ，直线 BC 与坐标轴的交点为 D 、E ． x（1）当点 C 的横坐标为 1 时，求点 B 的坐标；（2）试问：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，△ABC 的面积是否发生变 x 化？若不变，请求出△ABC 的面积；若变化，请说明理由；（3）试说明：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，线段 BD 与 CE 的长始终 x相等．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 24”，拖动点 A 运动，可以体验到，△DBM 与△CEN 保持全等，MN 与 BC 保持平行．思路点拨1．设点 A 的横坐标为 m ，A 、C 两点的横坐标相等，A 、B 两点的纵坐标相等，用 m 表 示 A 、B 、C 三点的坐标和 AB 、AC 的长．2．证明 BD ＝CE ，因为四点共线，只要证明 B 、D 两点间的竖直距离等于 C 、E 两点间 的竖直距离就可以了．图文解析（1）当点 C 的横坐标为 1 时，C (1, 1)，A (1, 4)．由 1 x4 ，得x 1 ．所以点 B 的坐标为(1 ,4) 4 4 ． （2）△ABC 的面积为定值．计算如下：4 如图 2，设点 A 的坐标为(m , ) m 1 ，那么 C (m , ) mm 4 ，B ( , )． 4 m3m 所以 A B ＝ 4 ，AC ＝ 3 m ．所以 S △ABC ＝ 1 2 A B A C ＝ 1 3 3 ＝ m2 4 m9 8 ． （3）如图 3，延长 AB 交 y 轴于 M ，延长 AC 交 x 轴于 N ．在 Rt △DBM 中，tan ∠DBM ＝tan ∠ABC ＝ A C A B ＝ 3 3m ＝ m 44 m 2 ，BM ＝ m 4，所以DM＝BM tan∠DBM＝m44＝m21m．所以DM＝CN．18又因为 sin∠DBM＝sin∠CEN，所以DB＝CE．图 2 图 3考点伸展如图 4，第（2）题中，面积为定值的有：矩形AMON、△ABC、△BOM、△CON，所以△BOC 的面积也为定值．如图 5，联结MN，那么MN 与BC 保持平行，这是因为M B N C 1．M A N A 4还有一个有趣的结论，随着点A 的运动，直线MN 与双曲线y 1（x＞0）保持相切．x直线MN 的解析式为44，与y1y x 联立方程组，消去y，得m m x214 4x．x m m2整理，得(2x－m)2＝0．所以直线MN 与双曲线有一个交点，保持相切．感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师提供的第（3）题的简练解法：如图 4，因为B D B M 1，C E C N 1，所以B D＝C E．B C B A3C B C A 3图 4 图 519例2017年上海市黄浦区中考模拟第25题已知 Rt△ABC 斜边AB 上的D、E 两点满足∠DCE＝45°．（1）如图 1，当AC＝1，BC＝ 3 ，且点D 与点A 重合时，求线段BE 的长；（2）如图 2，当△ABC 是等腰直角三角形时，求证：AD2＋BE2＝DE2；（3）如图 3，当AC＝3，BC＝4 时，设AD＝x，BE＝y，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 25”，可以体验到，四边形CMEN 是正方形．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，可以体验到，直角三角形DEF 的边FD＝AD，FE＝BE．点击按钮“第（3）题”，可以体验到，△CDP∽△ECQ．思路点拨1．第（1）题过点E 向两条直角边作垂线段，围成一个正方形，然后根据对应线段成比例求正方形的边长，再得到BE 的长等于正方形边长的 2 倍．2．第（2）题的目标是把AD、BE 和DE 围成一个直角三角形．经典的解法有翻折和旋转两种．图文解析（1）当AC＝1，BC＝ 3 时，AB＝2，∠B＝30°．如图 4，作EM⊥BC 于M，作EN⊥AC 于N，那么四边形CMEN 是正方形．设正方形的边长为a．由EM BM，得a 3 a ．AC BC 1 3解得 3 3a ．2所以BE＝2EM＝3 3 ．图 4【解法二】如图 4，因为1C B E MS C B△C B E21S C A E N C A△C B E2S B E，△C B ES E A△C B E，所以C B B E．C A E A．解得BE＝3 3 ．所以3B E12B E20（2）如图5，以CE 为对称轴，构造△CFE≌△CBE，那么FE＝BE，∠CFE＝∠B＝45°．联结DF．由“边角边”证明△CFD≌△CAD，所以FD＝AD，∠CFD＝∠A＝45°．所以△DEF 是直角三角形，FD2＋FE2＝DE2．所以AD2＋BE2＝DE2．【解法二】如图 6，绕点C 将△CBE 逆时针旋转 90°得到△CAG，那么AG＝BE，CE ＝CG，∠CAG＝∠B＝45°．由“边角边”证明△CDG≌△CDE，所以DG＝DE．在 Rt△GDA 中，AD2＋AG2＝DG2．所以AD2＋BE2＝DE2．图 5 图 6（3）如图 7，作CH⊥AB 于H．在 Rt△ABC 中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．于是可得CH 12 ，BH 16 ，9AH ．5 5 5所以DH 9 x，16EH y ．5 5如图 8，以H 为旋转中心，将点D 逆时针旋转 90°得到点P，将点E 顺时针旋转 90°得到点Q．于是可得△CDP∽△ECQ．由PD QC，得PD QE PC QC ．PC QE所以2(9 x) 2(16 y ) 12 (9 x )12 (16 y )5 5 5 5 5 5．整理，得2860xy5x 21．157 定义域是0≤x≤15 7．当B、E 重合时x＝．图 7 图 821考点伸展第（3）题解法多样，再介绍三种解法：如图 9，过点C 作AB 的平行线KL．构造等腰直角三角形KDD′和LEE′．由△CDE∽△KCD，△CDE∽△LEC，得△KCD∽△LEC．所以KC DK，即KC CL=LE DK ．LE CL所以12 (9 )12 (16 ) 12 2 12 2x y55555 5．整理即可．如图 10，分别以CD、CE 为对称轴，作CH 的对应线段CK、CL，再围成正方形CKRL．在 Rt△DER 中，由DR2＋ER2＝DE2，得2 2129121 6(x)(y)(5x y)25555．整理即可．如图 11，类似第（2）题的第一种解法，在 Rt△A′B′T 中，A′B′＝CB－CA＝1，所以A′T＝35 ，B′T＝ 4 5．在 Rt△DET 中，DE＝5－x－y，TE＝y 4，T D＝ 3x ，由勾股定理，得5 52 4 23 2(5x y ) (y ) (x ) ．整理即可．5 5图 9 图 10 图 1122例2017年上海市嘉定区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(3, 1)，点B 的坐标为(6, 5)，点C 的坐标为(0, 5)，某二次函数的图像经过A、B、C 三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）假如点Q 在该二次函数图像的对称轴上，且△ACQ 是等腰三角形，请直接写出点Q 的坐标；（3）如果点P 在（1）中求出的二次函数的图像上，且 tan∠PCA＝12，求∠PCB 的正弦值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 24”，可以体验到，当AD⊥AC，且AC＝2AD 时，点D 的位置是确定的，射线CD 与抛物线的交点就是点P．思路点拨1．由B、C 两点的坐标可知抛物线的对称轴是直线x＝3，再由点A 的坐标可知点A 就是抛物线的顶点，因此设顶点式比较简便．2．分三种情况讨论等腰三角形ACQ：AQ＝AC，CQ＝CA，QA＝QC．3．第（3）题的解题策略是：根据 tan∠PCA＝12，过点A 作AC 的垂线，在垂线上截取AD＝12AC，那么点P 就是射线CD 与抛物线的交点，∠DCB 就是∠PCB．不用求点P的坐标，求点D 的坐标就好了．图文解析（1）由B(6, 5)、C(0, 5)，可知抛物线的对称轴是直线x＝3．由A(3, 1)，可知点A 是抛物线的顶点．设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2＋1，代入点B(6, 5)，得 9a＋1＝5．4 4 4 8解得a ．所以y (x 3)2 1x 2 x 5．9 9 9 33 3（2）点Q 的坐标为(3, 6)，(3,－4)，(3, 9)或(3, )8．（3）如图 2，绕着点A 将线段AC 的中点旋转 90°得到点D，那么射线CD 与抛物线的交点就是要求的点P．当点D 在CA 左侧时，射线CD 与抛物线没有交点．如图 3，当点D 在CA 右侧时，作DE⊥x 轴于E，那么∠DCE 就是∠PCB．过点A 作x 轴的平行线交y 轴于M，过点D 作DN⊥AM 于N．CM MA AC由△CMA∽△AND，得 2 ．AN ND DA所以A N 1C M ，1 32N D M A ．22 223在 Rt△CDE 中，CE＝MA＋AN＝3＋2＝5，ED＝CM－ND＝3 5 4，2 2所以 tan∠DCE＝E DC E＝12．所以 sin∠DCE＝55，即 sin∠PCB＝55．图 2 图 3考点伸展第（2）题分三种情况讨论等腰三角形ACQ：①如图 4，当AQ＝AC＝5 时，以A 为圆心、以AC 为半径的圆与对称轴有两个交点，所以点Q 的坐标为(3, 6) 或(3,－4)．②如图 5，当CQ＝CA 时，点C 在AQ 的垂直平分线上，此时点Q 的坐标为(3, 9)．③如图 6，当QA＝QC 时，点Q 在AC 的垂直平分线上，此时1 4A C A Q．2 5所以AQ＝58AC ＝2583 3．此时点Q 的坐标为(3, )8．图 4 图 5 图 6 24例2017年上海市嘉定区中考模拟第25题已知AB＝8，⊙O 经过点A、B，以AB 为一边画平行四边形ABCD，另一边CD 经过点O（如图 1）．以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段OC 于点E（点E 不与点O、点C 重合）．（1）求证：OD＝OE；（2）如果⊙O 的半径长为 5（如图 2），设OD＝x，BC＝y，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果⊙O 的半径长为 5，联结AC，当BE⊥AC 时，求OD 的长．图 1 图 2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 25”，拖动点D 运动，可以体验到，四边形ABED 保持等腰梯形的形状，△BCE 保持等腰三角形的形状，垂足H 的位置保持不变，MH 的位置保持不变．双击按钮“AC⊥BE”，可以体验到，点C 恰好落在圆上，MH 等于EC 与AB 和的一半．思路点拨1．根据等腰梯形是轴对称图形，很容易知道点O 是DE 的中点．2．第（2）题中，等腰三角形BCE 的高BH 为定值，先用x 表示EC，再用勾股定理就可以表示BC 了．3．第（3）题如何利用BE⊥AC，常规的方法是过点C 作BE 的平行线得到直角三角形．图文解析（1）如图 3，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD＝BC．又因为BE＝BC，所以AD＝BE．所以四边形ABED 是等腰梯形．因为圆心O 在弦AB 的垂直平分线上，所以点O 是上底DE 的中点，即OD＝OE．图 3 图 425例2017年上海市静安区中考模拟第24题如图 1，已知二次函数 1 2y x bx c 的图像与x 轴的正半轴交于点A(2, 0)和点B，2与y 轴交于点C，它的顶点为M，对称轴与x 轴相交于点N．（1）用b 的代数式表示点M 的坐标；（2）当 tan∠MAN＝2 时，求此二次函数的解析式及∠ACB 的正切值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 静安 24”，拖动点N 运动，观察∠MAN 的正切值的度量值，可以体验到，当 tan∠MAN＝2 时，△OBC 是等腰直角三角形．思路点拨1．第（1）题分三步：根据抛物线的解析式写出对称轴x＝b；代入点A 的坐标，用b表示c；求x＝b 时y 的值，得到顶点的纵坐标．2．第（2）题先根据 tan∠MAN＝2 求b 的值，确定点B、C 的坐标，再作BC 边上的高AH，解直角三角形ABH 和直角三角形ACH．图文解析（1）由 1 2y x bx c ，得抛物线的对称轴为直线x＝b．2将点A(2, 0)代入 1 2y x bx c ，得－2＋2b＋c＝0．所以c＝2－2b．2当x＝b 时， 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ( 2)2y x bx b b b b ．2 2 2所以抛物线的顶点M 的坐标可以表示为( , 1 ( 2)2 )b b ．2MN（2）当 tan∠MAN＝2 时， 2 ，即MN＝2AN．AN解方程1 ( 2)2 2( 2)b b ，得b＝6，或b＝2（与A 重合，舍去）．2此时抛物线的解析式为 1 2 6 10y x x ，A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)．2所以AB＝8，OB＝OC＝10．所以BC＝10 2 ，∠B＝45°．27作AH⊥BC 于H，那么AH＝BH＝4 2 ．在 Rt△ACH 中，CH＝BC－BH＝6 2 ，所以 tan∠ACB＝A HC H＝23 ．图 2考点伸展第（2）题上面的解法是利用“边角边”，作高先求高．也可以利用“边边边”，作高不设高．由A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)，得AB＝8，BC＝10 2 ，AC＝104 ．设CH＝m，那么BH＝10 2 m．由AH2＝AC2－CH2，AH2＝AB2－BH2，得AC2－CH2＝AB2－BH2．解方程( 104)2 m2 82 (10 2 m)2 ，得m CH 6 2 ．所以AH2＝AC2－CH2＝( 104)2 (6 2)2 ＝32．所以AH＝4 2 ．28例2017年上海市静安区中考模拟第25题如图 1，已知⊙O 的半径OA 的长为 2，点B 是⊙O 上的动点，以AB 为半径的⊙A 与线段OB 相交于点C，AC 的延长线与⊙O 相交于点D．设线段AB 的长为x，线段OC 的长为y．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当四边形ABDO 是梯形时，求线段OC 的长．图 1图文解析（1）如图 1，因为OA＝OB，所以∠OAB＝∠B．因为AC＝AB，所以∠ACB＝∠B．所以∠OAB＝∠ACB．所以△OAB∽△ACB．所以B O B A，即2xB A B Cx 2 y．整理，得 2 1 2y x ．定义域是 0≤x≤2．x＝2 的几何意义如图 2 所示．2图 1 图 2（2）梯形ABDO 存在两种情况：①如图 3，当AB//OD 时，A B C B，即x2y．整理，得(x＋2)y＝4．D O C O2y代入y 2 1 x2 ，得( 2)(2 1 2 ) 4x x ．整理，得x2＋2x－4＝0．2 2解得x＝ 5 1，或x＝ 5 1（舍去）．所以CO＝y＝2 1 2 ＝2 1 ( 5 1)2x＝ 5 1．事实上，此时点C 是线段OB 的黄2 2金分割点．。

闵行区2017学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 在下列各式中，二次单项式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意可知：2xy是二次单项式．故选C．2. 下列运算结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：A．原式=a2+2ab+b2，故A错误；B．2a2+a中没有同类项，不能合并，故B错误；C．正确；D．原式=，故D错误．故选C．3. 在平面直角坐标系中，反比例函数图像在每个象限内y随着x的增大而减小，那么它的图像的两个分支分别在（）A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一、二象限D. 第三、四象限【答案】A【解析】解：∵反比例函数y=（k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而减小，∴k＞0，∴它的图象的两个分支分别在第一、三象限．故选A．4. 有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差【答案】B..................5. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A. 当AB．= BC时，四边形ABCD是菱形B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C. 当∠ABC = 90o时，四边形ABCD是矩形D. 当AC = BD时，四边形ABCD是正方形【答案】D【解析】A.因为有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，所以A正确；B.因为对角线相等的平行四边形是菱形，所以B正确；C.因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以C正确；D.对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，所以D错误.故选D.6. 点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那么圆O与直线a的位置关系可能是（）A. 相交B. 相离C. 相切或相交D. 相切或相离【答案】D【解析】解：∵点A在圆O上，已知圆O的半径是4，点A到直线a的距离是8，∴圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离．故选D．点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 计算：______．【答案】5【解析】解：原式=1+4=5．故答案为：5．8. 在实数范围内分解因式：_______．【答案】【解析】解：原式==．故答案为：．9. 方程的解是_______．【答案】x=1【解析】原方程化为解得x =110. 已知关于x的方程没有实数根，那么m的取值范围是_______．【答案】m＜【解析】解：∵关于x的方程x2﹣3x﹣m=0没有实数根，∴△＜0，即（﹣3）2﹣4（﹣m）＜0，解得：m＜﹣．故答案为：m＜﹣．11. 已知直线与直线平行，且截距为5，那么这条直线的解析式为_______．【答案】【解析】解：∵直线y=kx+b平行于直线y=﹣x，∴k=﹣．又∵截距为5，∴b=5，∴这条直线的解析式是y=﹣x+5．故答案为：y=﹣x+5．12. 一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小杰过马路时，恰巧是绿灯的概率是_______．【答案】【解析】解：当小杰过马路时，恰巧是绿灯的概率是．故答案为：．13. 已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、6，第五组的频率是0.1，那么第六组的频数是_______．【答案】8【解析】解：根据题意，得：第一组到第四组的频率和是=0.7．又∵第五组的频率是0.10，∴第六组的频率为1﹣（0.7+0.10）=0.2，∴第六组的频数为：40×0.2=8．故答案为：8．14. 如图，已知在矩形ABCD中，点E在边AD上，且AE = 2ED．设，，那么_______（用、的式子表示）．【答案】【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，∴====．∵AE=2DE，∴==+=﹣．故答案为：﹣．15. 如果二次函数（，、、是常数）与（，、、是常数）满足与互为相反数，与相等，与互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数的“亚旋转函数”为_________．【答案】【解析】解：∵－1的相反数是1，－2的倒数是，∴函数的“亚旋转函数”为．故答案为：．16. 如果正n边形的中心角为，边长为5，那么它的边心距为_______．（用锐角的三角比表示）【答案】cotα（或）【解析】解：如图所示．∵正n边形的中心角为2α，边长为5．∵边心距OD=（或）．故答案为：（或）．17. 如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l的距离MN为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为0.6秒，并测得点A的俯角为30o，点B的俯角为60o．那么此车从A到B的平均速度为_______米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据：，）【答案】17.3【解析】解：在Rt△AMN中，AN=MN×tan∠AMN=MN×tan60°=9×=9．在Rt△BMN中，BN=MN×tan∠BMN=MN×tan30°=9×=3，∴AB=AN﹣BN=9﹣3=6．则A到B的平均速度为：==10≈17.3（米/秒）．故答案为：17.3．点睛：本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．18. 在直角梯形ABCD中，AB // CD，∠DAB = 90o，AB = 12，DC = 7，，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD =_______．【答案】．【解析】解：过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD为矩形，如图所示．∵AB=12，DC=7，∴BF=5．又∵cos∠ABC=，∴BC=13，CF==12．∵AD=CF=12，AB=12，∴BD==12．∵△ABE沿BE翻折得到△PBE，∴BP=BA=12，∴PD=BD﹣BP=12﹣12．故答案为：12﹣12．点睛：本题考查了翻折变换、直角梯形以及解直角三角形，通过解直角三角形求出AD、BD的长度是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. 计算：．【答案】2【解析】试题分析：根据分母有理化，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，分数指数幂的意义解答即可．试题解析：解：原式==2．20. 解方程组：．【答案】，．【解析】试题分析：先将第二个方程分解因式可得：x﹣2y=0或x+y=0，分别与第一个方程组成新的方程组，解出即可．试题解析：解：由②得：（x﹣2y）（x+y）=0x﹣2y=0或x+y=0原方程组可化为解得原方程组的解为∴原方程组的解是为．点睛：本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．21. 已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内作直角三角形ABC，且∠BAC = 90o，．（1）求点的坐标；（2）在第一象限内有一点M（1，m），且点M与点C位于直线AB的同侧，使得，求点M 的坐标．【答案】（1）点C坐标是（4，1）．（2）M（1，）．【解析】试题分析：（1）先求出点A、点B的坐标，再求出AB的长，AC的长．过C点作CD⊥轴于点D，易得△OBA∽△DAC，得出AD=2，CD=1，从而得到结论．（2）求出=5，S△ABM =，ME=m-2，分别过点A、B作直线x=1的垂线，垂足分别是点F、G，得到AF+BG= OA = 2，由S△ABM = S△BME + S△AME =，得到ME的长，从而得到结论．试题解析：解：（1）令y=0，则－2x+4=0，解得：x=2，∴点A坐标是（2，0）．令x=0，则y=4，∴点B坐标是（0，4），∴AB===．∵∠BAC=90°，tan∠ABC=，∴AC=．过C点作CD⊥轴于点D，易得△OBA∽△DAC，∴AD=2，CD=1，∴点C坐标是（4，1）．（2）=AB•AC==5．∵2S△ABM=S△ABC，∴S△ABM =．∵M（1，m），∴点M在直线x=1上；令直线x=1与线段AB交于点E，ME=m-2；分别过点A、B作直线x=1的垂线，垂足分别是点F、G，∴AF+BG = OA = 2；S△ABM = S△BME + S△AME =ME•BG+ME•AF=ME（BG+AF）=ME•OA=×2×ME=，∴ME=，m-2=，m=，∴M（1，）．22. 为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校7.5千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米／小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时，求自行车的平均速度？【答案】自行车的平均速度是15千米／时．【解析】试题分析：根据题目中的关键语句“骑自行车所用时间比驾车所用时间多小时”，找到等量关系列出分式方程求解即可．试题解析：解：设自行车的平均速度是x千米/时．根据题意，列方程得：﹣=解得：x1=15，x2=﹣30．经检验，x1=15是原方程的根，且符合题意，x2=﹣30不符合题意舍去．答：自行车的平均速度是15千米/时．23. 如图，已知在△ABC中，∠BAC=2∠C，∠BAC的平分线AE与∠ABC的平分线BD相交于点F，FG∥AC，联结DG．（1）求证：；（2）求证：四边形ADGF是菱形．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】试题分析：（1）通过证明△ABF∽△CBD，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；（2）先证明△ABF≌△GBF，得到AF=FG，BA=BG，再证明△ABD≌△GBD，得到∠BAD=∠BGD，进而得到AF∥DG，从而有四边形ADGF是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论．试题解析：证明：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAF=2∠EAC．∵∠BAC=2∠C，∴∠BAF=∠C=∠EAC．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．∵∠ABF=∠C，∠ABD=∠DBC，∴△ABF∽△CBD，∴，∴BF•BC=AB•BD．（2）∵FG∥AC，∴∠C=∠FGB，∴∠FGB=∠F AB．∵∠BAF=∠BGF，∠ABD=∠GBD，BF=BF，∴△ABF≌△GBF，∴AF=FG，BA=BG．∵BA=BG，∠ABD=∠GBD，BD=BD，∴△ABD≌△GBD，∴∠BAD=∠BGD．∵∠BAD=2∠C，∴∠BGD=2∠C，∴∠GDC=∠C，∴∠GDC=∠EAC，∴AF∥DG．又∵FG∥AC，∴四边形ADGF是平行四边形，∴AF=FG，∴四边形ADGF是菱形．24. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）求证：∠DAB=∠ACB；（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．【答案】（1），顶点坐标D（－1，4）；（2）答案见解析；（3）点Q的坐标是（，），，）．【解析】试题分析：（1）把B、C坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得到抛物线解析式，从而得到抛物线顶点坐标；（2）由tan∠OCB=．tan∠DAC=，得到∠DAC=∠OCB，从而得到结论；（3）令Q（x，y）且满足，由△ADQ是以AD为底的等腰三角形，得到QD2=QA2，从而得到x-2+2y=0．解方程组，即可得到结论．试题解析：解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，得：，解得：．∴抛物线的解析式是：，∴顶点坐标D（－1，4）．（2）令y=0，则，x1=－3，x2=1，∴A（－3，0），∴OA=OC=3，∴∠CAO=∠OCA．在Rt△BOC中，tan∠OCB=．∵AC=，DC=，AD=，∴AC2+DC2=20，AD2=20，∴AC2+DC2=AD2，∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，∴tan∠DAC=．又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB，∴∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA，即∠DAB=∠ACB．（3）令Q（x，y）且满足，A(－3，0），D（－1，4）．∵△ADQ是以AD为底的等腰三角形，∴QD2=QA2，即，化简得：x-2+2y=0．由，解得：，，∴点Q的坐标是（，），（，）．25. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB = 90o，AC =6，BC = 8，点F在线段AB上，以点B为圆心，BF为半径的圆交BC于点E，射线AE交圆B于点D（点D、E不重合）．（1）如果设BF = x，EF = y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（2）如果，求ED的长；（3）联结CD、BD，请判断四边形ABDC是否为直角梯形？说明理由．【答案】（1）（0＜x＜8）；（2）ED=；（3）四边形ABDC不可能为直角梯形．【解析】试题分析：（1）在Rt△ABC中由勾股定理得到AB=10．过E作EH⊥AB，垂足是H，易得：EH=，BH=，FH=．在Rt△EHF中，由勾股定理即可得到结论；（3）四边形ABDC不可能为直角梯形．分两种情况讨论：①当CD∥AB时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ABD =∠CDB = 90o．由，即可得到结论．②当AC∥BD时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ACD =∠CDB = 90o．由∠ABD＞90o．即可得到结论．试题解析：解：（1）在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°，∴AB=10．过E作EH⊥AB，垂足是H，易得：EH=，BH=，FH=．在Rt△EHF中，，∴（0＜x＜8）．（2）取弧ED的中点P，联结BP交ED于点G．∵，P是弧ED的中点，∴弧EP=弧EF=弧PD，∴∠FBE =∠EBP =∠PBD．∵弧EP=弧EF，BP过圆心，∴BG⊥ED，ED =2EG =2DG．又∵∠CEA =∠DEB，∴∠CAE=∠EBP=∠ABC．又∵BE是公共边，∴△BEH≌△BEG，∴EH=EG=GD=．在Rt△CEA中，∵AC = 6，BC=8，tan∠CAE=tan∠ABC=，∴CE=AC•tan∠CAE==，∴BE==，∴ED=2EG===．（3）四边形ABDC不可能为直角梯形．①当CD∥AB时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ABD =∠CDB = 90o．在Rt△CBD中，∵BC=8，∴CD•cos∠BCD=，BD=BC•sin∠BCD==BE，∴，，∴，∴CD不平行于AB，与CD∥AB矛盾，∴四边形ABDC不可能为直角梯形．②当AC∥BD时，如果四边形ABDC是直角梯形，只可能∠ACD =∠CDB = 90o．∵AC∥BD，∠ACB = 90o，∴∠ACB =∠CBD = 90o，∴∠ABD =∠ACB +∠BCD＞90o．与∠ACD =∠CDB = 90o矛盾．∴四边形ABDC不可能为直角梯形．点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和直角梯形的判定．解题的关键是（3）要分两种情况讨论．。

上海市闵行区2017届高三4月教学质量检测（二模）数 学 试 卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果． 1. 方程()3log 212x +=的解是 ． 2. 已知集合{}{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则MN = ．3. 若复数122,2z a i z i =+=+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数，则实数a = ．4.直线23x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）对应的普通方程是 ．5. 若()1(2),3nnn x x ax bx c n n -*+=++++∈≥N ，且4b c =，则a的值为 ．6. 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是 ．7.若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ．8.在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为 ． 9.某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ．10.已知椭圆()222101y x b b+=<<，其左、右焦点分别为12F F 、，122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=的距离是1PF 与2PF 的等差中项，则b 的最大值为 ．11.已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP '=，O 是坐标原点，则PQ 的取值范围是 ．12.已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =___．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.设a b 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b 、的夹角的取值范围为A ，12l l 、所成的角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的 ( ) (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 14.将函数sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数的图像上，则 ( )(A) 12t =，s 的最小值为6π(B) t =s 的最小值为6π (C) 12t =，s 的最小值为12π(D) 2t =，s 的最小值为12π 15.某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 ( )(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） (B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） (C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） (D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 16.设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：sin 2y x=（1）若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； （2）若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； （3）若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数； （4）若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点． 其中正确的命题共有 ( ) (A)1个 (B) 2个 (C) 3个(D) 4个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形， AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA , M 是侧棱1CC 上一点，设h MC =．（1）若C A BM 1⊥，求h 的值；（2）若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设函数()2xf x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称． （1）若()4()3f x g x =+，求x 的值；（2）若存在[]0,4x ∈，使不等式(+)(2)3f a x g x --≥成立，求实数a 的取值范围．19.（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？(2)在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？20. (本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A B 、，与圆()()22250x y rr -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．(1) 若AOB △是正三角形（O 为坐标原点），求此三角形的边长； (2) 若4r =，求直线l 的方程；(3) 试对()0,r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（只需直接写出结果）．21.(本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分)已知()y f x =是R 上的奇函数，(1)1f -=-，且对任意(),0x ∈-∞，()11x f x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭都成立． (1) 求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭、13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2) 设1()()n a f n n*=∈N ，求数列{}n a 的递推公式和通项公式；(3) 记121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++，求1limn n nT T +→∞的值．参考答案一. 填空题1．4x =； 2．{1,0}-； 3．1； 4．10x y +-=； 5．16； 6．； 7．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 8．9； 9．29； 1011．； 12．1009；二. 选择题13．C ； 14．A ； 15．B ； 16．B ． 三. 解答题17．[解]（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,2(B ,)4,0,0(1A ，)0,2,0(C ，),2,0(h M),2,2(h -=，)4,2,0(1-=A由C A BM 1⊥得01=⋅A ，即0422=-⨯h 解得1=h ．(2) 解法一：此时(0,2,2)M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =由00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x y z =⎧⎨+=⎩所以(0,1,1)n =-设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin 2n BA n BAθ⋅===⋅所以sinarc θ= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为arc 解法二：联结1A M ，则1AM AM ⊥， 1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB ∴⊥平面11AAC C1AB AM ∴⊥ 1A M ∴⊥平面ABM所以1ABM ∠是直线1BA与平面ABM 所成的角； 在1A BM Rt △中，11AM AB == 所以111sin 5A M A BM AB ∠===所以1A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为arc 18．[解]（1）由()4()3f x g x =+得2423xx-=⋅+223240x x ⇒-⋅-=所以21x=-（舍）或24x=， 所以2x =（2）由()(2)3f a x g x +--≥得2223a xx +-≥2223a x x +≥+2232a x x -⇒≥+⋅而232xx-+⋅≥，当且仅当[]4232,log 30,4x x x -=⋅=∈即时取等号所以2a≥211log 32a ≥+． 19．[解]（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=， 即23000x y +=，1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅y x ⋅⋅=43y x ⋅⋅=28322283⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x =2m 当且仅当y x =2，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC △的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米 （2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==． 由2133AD AB AC =+ 得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22919494+⋅+= 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=，1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． 解法二：在ABC ∆中， 120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+==7750=在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元．解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B )120sin 1500,120cos 1500( C ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D由2CD DB =，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x ，所以(D所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． 20．[解] (1)设AOB △的边长为a ，则A的坐标为1,)2a ±所以214,22a ⎛⎫±= ⎪⎝⎭所以a =此三角形的边长为 (2)设直线:l x ky b =+当0k =时，1,9x x ==符合题意当0k ≠时，224404x ky by ky b y x =+⎧⇒--=⎨=⎩222121216()0,4,42(2,2)k b y y k x x k b M k b k ∆=+>+=+=+⇒+11,AB CM AB k k k k⋅=-= 2223225CM k k k b k k b ∴==-⇒=-+- 22216()16(3)003k b k k ∴∆=+=->⇒<<4r ===()230,3k ∴=∉，舍去综上所述，直线l 的方程为：1,9x x ==(3)(][)0,24,5r ∈时，共2条；()2,4r ∈时，共4条；[)5,r ∈+∞时，共1条．21．[解]（1）对等式()11x f x f x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 令11(1)12x f f ⎛⎫=-⇒-=-=- ⎪⎝⎭所以112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭令1111222233x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以1132f ⎛⎫-=-⎪⎝⎭ （2）取1x n =-，可得111()()1f f n n n=--+， 即111()()1f f n n n=+， 所以11()n n a a n n*+=∈N 1(1)(1)1,a f f ==--=所以数列{}n a 的递推公式为1111,()n n a a a n n *+==∈N 故()13212211111111221!n n n n n a a a a a a a a a a n n n ---⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=--- 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)!n a n =-． （3）由（2）1(1)!n a n =-代入121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++得111110!(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(1)!0!n T n n n n n =+++++⋅-⋅-⋅-⋅--⋅ 1(1)!(1)!(1)!(1)!11(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(2)!1!n n n n n T n n n n n ⎡⎤----⇒=++++++⎢⎥-⋅-⋅-⋅--⋅⎣⎦ 101232111111112(1)!(1)!n n n n n n n n n n T C C C C C C n n ---------⎡⎤⇒=++++++=⎣⎦-- 12!nn T n +⇒= 则12lim lim 0n n n nT T n +→∞→∞==。

本解析由华东师范大学出版社《挑战压轴题》作者马学斌老师独家提供。

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轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是上述抛物线上一点，如果△ABM 和△ABC 相似，求点M 的坐标；（3）联结AC，求顶点D、E、F、G 在△ABC 各边上的矩形DEFG 面积最大时，写出该矩形在AB 边上的顶点的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 24”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，当点D是BC 的中点时，矩形DEFG 的面积最大，最大值是△ABC 面积的一半．思路点拨1．第（2）题△ABM 和△ABC 相似，只存在这两个三角形全等的情形，此时M、C 关于抛物线的对称轴对称．2．第（3）题的矩形DEFG 存在两种情况．用二次函数表示矩形的面积，求二次函数的最大值，然后看看最大值时矩形顶点的位置具有什么特殊性．图文解析（1）由1y x 2 ，得B(4, 0)，C(0,－2)．2将点B(4, 0)代入y 1 x2 bx 2 ，得 8＋4b－2＝0．解得 3b ．2 2所以抛物线的解析式为 1 2 3 2 1 ( 1)( 4)y x x x x ．所以A(－1, 0)．2 2 2（2）如图 2，由A(－1, 0)、B(4, 0)、C(0,－2)，可得 tan∠CAO＝tan∠BCO＝2．又因为∠CAO 与∠ACO 互余，所以∠BCO 与∠ACO 互余．所以△ABC 是直角三角形．过点A、B 分别作x 轴的垂线，不可能存在点M．所以只存在∠AMB＝90°的情况，此时点M 在x 轴的下方（如图 3 所示）．图 2 图 32如图 3，如果△ABM 和△ABC 相似，那么△ABM ≌△BAC ．所以点 M 与点 C 关于抛物线的对称轴对称，点 M 的坐标为(3,－2)．（3）矩形 DEFG 有两种情况：1①如图 4，在 AB 边上的顶点有两个，坐标分别为(2, 0)和( ,0) ．23②如图 5，在 AB 边上的顶点有一个，坐标为( ,0)．2考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：在 Rt △ABC 中，AB ＝5，高 CO ＝2．情形一，如图 4，F 、G 两点在 AB 上．设 DE ＝m ，DG ＝n ．根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得 2 ．所以 5(2 )n m nm ． 2 52 所以 S ＝mn ＝ 5 2 n n ＝ 5 ( 1)2 5 (2 )n ． 2 2所以当 n ＝1 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面积 最大，最大值是△ABC 面积的一半．情形二，如图 5，点 G 在 AB 上．同样的，设 DE ＝m ，DG ＝n ．由 BD DG ，得 2 5．所以 2 5 n ． m n m BE EA 22 55 所以 S ＝m n ＝ (2 5 ) m m 2 ＝ 1 ( 5)2 5 m ．2 2所以当 m 5 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面 积最大，最大值也是△ABC 面积的一半．此时点 G 为 AB 的中点．图 4 图 53例2017年上海市宝山区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，∠ACB 为直角，AB＝10，∠A＝30°，半径为 1 的动圆Q 的圆心从点C 出发，沿着CB 方向以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点B 出发，沿着BA 方向也以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t≤5），以P 为圆心、PB 为半径的⊙P 与AB、BC 的另一个交点分别为E、D，联结ED、EQ．（1）判断并证明ED 与BC 的位置关系，并求当点Q 与点D 重合时t 的值；（2）当⊙P 和AC 相交时，设CQ 为x，⊙P 被AC 解得的弦长为y，求y 关于x 的函数解析式，并求当⊙Q 过点B 时⊙P 被AC 截得的弦长；（3）若⊙P 与⊙Q 相交，写出t 的取值范围．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 25”，拖动Q 由C 向B 运动，可以体验到，⊙P 与⊙Q 的位置关系依次为外离、外切和相交．思路点拨1．第（1）题Q、D 重合时，根据CQ＋BD＝BC 列关于t 的方程．2．第（2）题⊙Q 过点B 时，CQ＝5－1＝4．3．第（3）题求⊙P 与⊙Q 相交，先求临界位置外切时t 的值．图文解析（1）如图 2，根据直径所对的圆周角是直角，可以知道ED⊥BC．在 Rt△ABC 中，AB＝10，∠A＝30°，所以BC＝5．在 Rt△BDE 中，BE＝2BP＝2t，∠BED＝30°，所以BD＝t，DE＝ 3 t．如图 3，当点Q 与点D 重合时，BD＋CQ＝BC＝5．所以 2t＝5．解得t＝2.5．图 2 图 3（2）如图 4，设⊙P 和AC 相交于M、N 两点．作PH⊥MN 于H，那么MH＝NH．在 Rt△PAH 中，PA＝10－t，∠A＝30°，所以PH＝12(10t)t．＝5 12在 Rt△PMH 中，PM＝PB＝t，由勾股定理，得MH2＝PM2－PH2＝ 2 (5 1 )2t t ．2 于是得到y＝MN＝2MH＝3t2 20t 100 ．4如图 5，当⊙Q 过点B 时，CQ＝x＝4，此时MN＝y＝316 20 4 100 ＝2 7 ．图 4 图 5＜t≤5．（3）当⊙P与⊙Q相交时，t的取值范围是17974考点伸展第（3）题的解题过程分三步：第一步，罗列三要素．对于圆P，r P＝t；对于圆Q，r Q＝1；圆心距PQ 需要求一下．如图 6，作PF⊥BC 于F．在Rt△PFQ 中，由勾股定理，得PQ＝( 3 )2 (5 3 )2t t ．2 2第二步，列方程．如图 7，当⊙P 与⊙Q 外切时，r P＋r Q＝PQ．所以t 1( 3 t)2 (5 3t)2 ．整理，得 2t2－17t＋24＝0．解得17 97t ．2 2 4第三步，写结论．图 6 图 75例2017年上海市崇明区中考模拟第 24题 如图 1，已知抛物线 y ＝ax 2－2x ＋c 经过△ABC 的三个顶点，其中点 A (0, 1)，点 B (9, 10)，AC //x 轴． （1）求这条抛物线的解析式；（2）求 tan ∠ABC 的值；（3）若点 D 为抛物线的顶点，点 E 是直线 AC 上一点，当△CDE 与△ABC 相似时，求 点 E 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 24”，拖动点 E 在点 C 左侧运动，可以体验到，△CDE 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．求 tan ∠ABC 的值，首先要将∠ABC 放在某个直角三角形中．作 AB 边上的高 CH 以 后，有两种解法：一种解法是∠BAC ＝45°为特殊值；另一种解法是一般性的，已知三角形 的三边，作高不设高，设 AH ＝m ．2．探究△CDE 与△ABC 相似，首选的方法是寻找一组等角，然后按照对应边成比例分 两种情况列方程．图文解析 c1,（1）将 A (0, 1)、B (9, 10)两点分别代入 y ＝ax 2－2x ＋c ，得81a 18 c 10.1 3 解得 a ＝ ，c ＝1．所以这条抛物线的解析式为 12 2 1y x x ． 3（2）由于 AC //x 轴，抛物线的对称轴为 x ＝3，所以 C (6, 1)．如图 2，作 BM ⊥AC ，垂足为 M ．作 CH ⊥AB 于 H ．由 A (0, 1)、B (9, 10)，可知 AM ＝BM ＝9，所以∠BAC ＝45°，AB ＝9 2 ．在 Rt △ACH 中，AC ＝6，所以 AH ＝CH ＝3 2 ．在 Rt △BCH 中，BH ＝AB －AH ＝6 2 ，所以 tan ∠ABC ＝ C H B H＝ 3 2 6 2 ＝ 1 2 ． 6（3）由 1 2 2 1 1 ( 3)2 2y x x x ，得顶点D 的坐标为(3,－2)．3 3由C(6, 1)、D(3,－2)，可知∠ACD＝45°，CD＝3 2 ．当点E 在点C 左侧时，∠DCE＝∠BAC．分两种情况讨论△CDE 与△ABC 相似：①当C E A B时，CE 9 2 ．解得CE＝9．此时E(－3, 1)（如图 3 所示）．C D A C32 6②CE AC 时，CE 6 ．解得CE＝2．此时E(4, 1)（如图 4 所示）．C D A B329 2图 2 图 3 图 4考点伸展第（2）题还有一般的解法：如图 2，△ABC 的三边长是确定的，那么作AB 边上的高CH，设AH＝m，就可以求得AH，进而求得CH、BH 的长．由A(0, 1)、B(9, 10)、C(6, 1)，可得AB＝9 2 ，BC＝3 10 ，AC＝6．由CH2＝CA2－AH2，CH2＝CB2－BH2，得CA2－AH2＝CB2－BH2．解方程62 m2 (3 10)2 (9 2 m)2 ，得m 3 2 ．于是得到BH＝6 2 ，CH＝3 2 ．7例 2017年上海市崇明区中考模拟第 25题如图，梯形 ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，tan D ＝2，点 E 是射线 CD 上一动点（不与点 C 重合），将△BCE 沿着 BE 进行翻折，点 C 的对应点记为点 F ．（1）如图 1，当点 F 落在梯形 ABCD 的中位线 MN 上时，求 CE 的长；S （2）如图 2，当点 E 在线段 CD 上时，设 CE ＝x ， △BFCS△E F C＝y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如图 3，联结 AC ，线段 BF 与射线 CA 交于点 G ，当△CBG 是等腰三角形时，求 CE 的长．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 25”，拖动点 E 运动，可以体验到，等腰三角形 BCG 存在三种情况，每种情况的点 G 的位置都具有特殊性．思路点拨1．第（1）题点 F 到 AB 的距离等于 BF 的一半，得到∠FBA ＝30°．2．第（2）题△BFC 与△EFC 的面积比等于 BH 与 EH 的比，通过 Rt △BCH ∽Rt △CEH 得到 BH 与 EH 的比．3．第（3）题先求 CG 的长，再求 CE 的长．延长 BF 交 CD 的延长线于 K ，得到△KEF ∽△KBC ．图文解析（1）如图 4，在 Rt △FNB 中，BN ＝ 所以∠B F N ＝30°． 1 2 B C ＝ 1 2B F ，所以∠FBA ＝30°．所以∠FBC ＝60°． 所以∠FBE ＝∠CBE ＝30°．＝ 8 3 3所以 C E ＝B C t a n 30°＝83 3． 图 4（2）如图 5，设 BE 垂直平分 FC 于点 H ，那么∠CBH ＝∠ECH ． 所以△CBH ∽△ECH ．S 所以CBH△S△ECHBH ＝ ( )2EH＝ 64 x 2 S ．所以 y ＝ BFC △S△EFC＝ 2S △CBHC2S △ECH ＝ 64 x2． 定义域是 0＜x ≤10．8图 5图 6（3）①如图 6，当 CG ＝CB ＝8 时，AG ＝2．CK CG 延长 BF 交 CD 的延长线于 K ．由 4 ，得 CK ＝4AB ＝24．AB AG1 3在 Rt △KBC 中，BC ＝8，CK ＝24，所以 tan ∠K ＝．所以 sin ∠K ＝ 10 10． 在 Rt △KEF 中，FE ＝CE ＝x ，EK ＝CK －CE ＝24－x ．由 sin ∠K ＝F E E K ＝ 10 10，得10 x 24 x 10．解得 x ＝CE ＝ 8 10 83．②如图 7，当 GC ＝GB 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，此时四边形 ABCK 为矩形． 在 Rt △EKF 中，sin ∠EKF ＝B C B K ＝ 8 10 ＝ 4 5，FE ＝CE ＝x ，KE ＝CK －CE ＝6－x ．所以 4 x6 x 5．解得 x ＝CE ＝ 8 3．③如图 8，当 BG ＝BC ＝8 时，由于 BC ＝BF ，所以 F 、G 重合．此时 BE ⊥AC ．由 tan ∠CEB ＝tan ∠ACB ＝ 3 4 ，得B C C E 3 ．所以 CE ＝ 432 3．图 7 图 8考点伸展第（3）题的①、②两种情况，解 Rt △KEF ，可以用勾股定理列方程．9例 2017年上海市奉贤区中考模拟第 24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点 A (3, 0)和点 B (2, 3)，过点1 3A 的直线与 y 轴的负半轴相交于点 C ，且 tan ∠CAO ＝（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；． （2）联结 AB 、BC ，求∠ABC 的正切值；（3）若点 D 在 x 轴下方的对称轴上，当 S △ABC ＝S △ADC 时，求点 D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 24”，可以体验到，△ABC 是等腰直角三角形，B 、D 两点到直线 AC 的距离相等．思路点拨1．直觉告诉我们，△ABC 是直角三角形．2．第（3）题的意思可以表达为：B 、D 在直线 AC 的两侧，到直线 AC 的距离相等．于 是我们容易想到，平行线间的距离处处相等．图文解析（1）将 A (3, 0)、B (2, 3)两点分别代入 y ＝－x 2＋bx ＋c ，得93b c 0,4 2b c 3.解得 b ＝2，c ＝3．所以 y ＝－x 2＋2x ＋3．对称轴是直线 x ＝1．O C OA （2）由 t a n ∠C A O ＝＝ 1 3，OA ＝3，得 OC ＝1．所以 C (0,－1)． 由两点间的距离公式，得 AB 2＝12＋32＝10，AC 2＝32＋12＝10，BC 2＝22＋42＝20． 所以∠BAC ＝90°，且 AB ＝AC ．所以△ABC 是等腰直角三角形，tan ∠ABC ＝1．（3）因为△ABC 与△ADC 有公共底边 AC ，当 S △ABC ＝S △ADC 时，B 、D 到直线 AC 的距离相等．如图 2，因为点 B (2, 3)关于点 A (3, 0)的对称点为 E (4,－3)，那么过点 E 作 AC 的平行线 与抛物线的对称轴的交点即为所求的点 D ．由 A (3, 0)、C (0,－1)可得直线 AC 的解析式为1y x 1．3设直线 DE 的解析式为y x b ，代入点 E (4,－3)，得 13 1b ．3 3 10所以直线DE 的解析式为11 3 y x ．当x＝1 时，y＝－4．3 3所以点D 的坐标为(1,－4)．考点伸展第（2）题也可以构造 Rt△ABM 和 Rt△CAN（如图 3），用“边角边”证明△ABM≌△CAN，从而得到等腰直角三角形ABC．图 2 图 3第（3）题也可以这样思考：如图 4，过点B 与直线AC 平行的直线为y 1 x 7 ，与y 轴交于点F(0, 7)33 3．F、C 两点间的距离为710(1) ．3 3把直线AC：y 1 x 向下平移1013 3个单位，得到直线113y x ．3 3感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师第（3）题的解法：如图 5，如果把BL、KD 分别看作△ABC 和△ADC 的底边，那么它们的高都是A、C 两点间的水平距离，当△ABC 与△ADC 的面积相等时，BL＝KD．1 )，K(1,2 )．所以3 ( 1) ( 2) 由直线AC 的解析式可以求得L (y ．2,D3 3 3 3解得y D＝－4．所以D(1,－4)．图 4 图 511例2017年上海市奉贤区中考模拟第25题如图 1，线段AB＝4，以AB 为直径作半圆O，点C 为弧AB 的中点，点P 为直径AB 上一点，联结PC，过点C 作CD//AB，且CD＝PC，过点D 作DE//PC，交射线PB 于点E，PD 与CE 相交于点Q．（1）若点P 与点A 重合，求BE 的长；PD＝y，当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及定义域；C E（2）设P C＝x，（3）当点Q 在半圆O 上时，求PC 的长．图 1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 25”，拖动点P 在AO 上运动，可以体验到，PD 与CE的比就是菱形的对角线的比，可以转化为PQ 与EQ 的比，进而转化为∠PEQ 的正切值．拖动点P 在OB 上运动，可以体验到，当点Q 落在圆上时，点Q 到AB 的距离等于圆的半径的一半．思路点拨1．四边形PCDE 是菱形，对角线互相垂直平分．2．第（2）题根据∠PEQ 和∠CEO 是同一个角，用正切值得到关系式．3．第（3）题画图的步骤是：点Q 在OC 的中垂线与圆的交点处，延长CQ 交AB 的延长线于点E，过点Q 作CE 的垂线得到点P、D．图文解析（1）如图 2，由CD//AB，DE//PC，得四边形PCDE 是平行四边形．又因为CD＝PC，所以四边形PCDE 是菱形．在等腰直角三角形AOC 中，AC＝ 2 OA＝2 2 ．当点P 与点A 重合，PE＝AC＝2 2 ．所以BE＝AB－PE＝4－2 2 ．图 2 图 3（2）如图 3，在 Rt△CPO 中，PC＝x，CO＝2，所以PO＝x 2 4 ．所以EO＝PE－PO＝PC－PO＝x x 2 4 ．12因为PD 与CE 互相垂直平分于Q，所以y＝P DC E＝PQE Q ＝tan∠PEQ＝tan∠CEO＝C OE O．所以y2x x 42x x2 442．定义域是2≤x≤22 ．（3）如图 4，作QH⊥AB 于H．因为菱形PCDE 的对边CD 与PE 间的距离保持不变，等于圆的半径CO＝2，当点Q在半圆O 上时，QH＝12OQ＝1．所以∠QOH＝30°．此时∠COQ＝60°，△COQ 是等边三角形．所以∠DCE＝30°．所以∠PCE＝30°．在 Rt△COP 中，∠OCP＝30°，CO＝2，所以PC＝C O＝ 2c o s3032＝4 33．图 4 图 5考点伸展在本题情境下，当点P 从A 运动到B 的过程中，求点Q 运动过的路径长．因为点Q 是CE 的中点，所以点Q 的运动轨迹与点E 的运动轨迹平行，点Q 的路径长等于点E 路径长的一半．如图 2，当点P 与点A 重合时，AE＝AC＝2 2 ．如图 5，当点P 与点B 重合时，BE＝BC＝2 2 ．所以点E 运动的路径长为 4，点Q 运动的路径长为 2．13例2017年上海市虹口区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线1y x bx c 经过点A(－2, 0)和原点，点B 在4抛物线上且 tan∠BAO＝12，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P 的坐标；（2）点C 为抛物线上一点，若四边形AOBC为等腰梯形且AO//BC，求点C 的坐标；（3）点D 在AB 上，若△ADP 与△ABO 相似，求点D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 24”，拖动点D 在AB 上运动，可以体验到，△ADP与△ABO 相似存在两种情况．点击屏幕左下角的按钮“第（2）题”，可以体验到，以A、O、B、C 为顶点的等腰梯形存在三种情况，其中AO//BC 时，点C 与点B 关于抛物线的对称轴对称．思路点拨1．已知二次函数的二次项系数和抛物线与x 轴的两个交点，可以直接写出交点式．2．等腰梯形AOBC 当AO//BC 时，C、B 两点关于抛物线的对称轴对称．3．分两种情况讨论△ADP 与△ABO 相似．由于∠A 是公共角，根据夹∠A 的两边对应成比例，分两种情况列方程，先求AD 的长，再求点D 的坐标．图文解析（1）因为抛物线1y x bx c 与x 轴交于点A(－2, 0)和原点，所以411 1y x(x2)x x．244 2抛物线的对称轴是直线x＝－1，点P 的坐标为(－1, 0)．1（2）作BH⊥x 轴于H．设点B 的坐标为(x, x(x 2)) ．4由 tan∠BAO＝B HA H＝121，得AH＝2BH．所以(x 2) 2x(x 2) ．4解得x＝2，或x＝－2（B、A 重合，舍去）．所以B(2, 2)．若四边形AOBC 为等腰梯形且AO//BC，那么B、C 关于抛物线的对称轴x＝－1 对称．所以点C 的坐标为(－4, 2)．图 2 图 314（3）作DE⊥x 轴于E．在 Rt△ADE 中，已知 tan∠A＝12，所以DE＝55A D，AE＝2 55 A D．由于△ADP 与△ABO 有公共角∠A，分两种情况讨论相似：①当AD AB 时，AD 2 5 ．所以AD＝5 ．A P A O1 2此时DE＝1，AE＝2．所以点D 的坐标为(0, 1)．②当A D A O时，A D 2．所以A D＝ 5 A P A B125 5．此时DE＝15，AE＝25．所以OE＝OA－AE＝858 1(,)．5 5．所以点D的坐标为图 4 图 5考点伸展如果第（2）题改为以A、O、B、C 为顶点的四边形是等腰梯形，那么就要分三种情况：△AOB 的三边的垂直平分线都可以是等腰梯形的对称轴．第二种情况：如果OC//AB，那么点C 与点O 关于直线AB 的垂直平分线对称．点C 在直线1y x 上，设C(2m, m)．2由CB＝OA＝2，得CB2＝4．所以(2m－2)2＋(m－2)2＝4．解得m＝254 2 ，或m＝2（此时四边形AOCB 是平行四边形）．所以C( , )．5 5第三种情况：如果AC//OB，那么点C 与点A 关于直线OB 的垂直平分线对称．点C 在直线y＝x＋2 上，设C(n, n＋2)．由CB＝AO＝2，得CB2＝4．所以(n－2)2＋n2＝4．解得n＝2，或n＝0（舍去）．所以C(2, 4)．图 6 图 715例2017年上海市虹口区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，AB＝AC＝5，cos B＝45，点P 为边BC 上一动点，过点P 作射线PE 交射线BA 于点D，∠BPD＝∠BAC．以点P 为圆心，PC 长为半径作⊙P 交射线PD 于点E，联结CE，设BD＝x，CE＝y．（1）当⊙P 与AB 相切时，求⊙P 的半径；（2）当点D 在BA 的延长线上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果⊙O 与⊙P 相交于点C、E，且⊙O 经过点B，当O P＝54时，求AD 的长．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 25”，拖动点P 运动，可以体验到，△BPD 与△BAC 保持相似，PN 与BD 保持平行．观察度量值，可以体验到，OP＝1.25 存在两种情况．思路点拨1．作圆P 的弦CE 对应的弦心距PN，把图形中与∠B 相等的角都标记出来．2．第（3）题的圆O 经过B、C、E 三点，事实上OP 与BD 是平行的．图文解析（1）如图 2，作AM⊥BC 于M，那么BM＝CM．在 Rt△ABM 中，AB＝5，cos B＝B MA B＝45，所以BM＝4，sin B＝35．如图 3，设⊙P 与AB 切于点H，那么 sin B＝PHBP＝35．所以r8 r 35＝．解得r＝3．图 2 图 3 图 4 （2）如图 4，由于∠B＝∠B，∠BPD＝∠BAC，所以△BPD∽△BAC．因为AB＝AC，所以PB＝PD．如图 5，设圆P 与BC 的另一个交点为F，因此所以F E//B D．所以∠E F C＝∠B．P F P E．P B P D在△PBD 中，B P B A 5，所以5 5BP BD x ．B D B C888在△EFC 中，由PC＝PE＝PF，可知∠FEC＝90°，所以 sin∠EFC＝C EC F3．516所以CF5 CE 5 y ．所以 PC ＝ 13 3 2 CF ＝ 5 6y ．由 BC ＝BP ＋PC ＝8，得5 x 5 y ．整理，得 48 3 y x ．定义域是 5＜x ＜ 64886545．（3）因为⊙O 经过 B 、C 、E 三点，所以圆心 O 是 BC 和 CE 的垂直平分线的交点． 如图 6，设 CE 的中点为 N ，那么 OP ⊥CE 于 N ． 所以 OP //FE //BA ．所以 cos ∠OPM ＝cos B ＝ 4 5 ．当 OP ＝ 5 4时，MP ＝1．①如图 6，当 P 在 M 右侧时，BP ＝4＋1＝5．此时 BD ＝ 所以 A D ＝B D －B A ＝8－5＝3．8 5BP ＝8．②如图 7，当 P 在 M 左侧时，BP ＝4－1＝3．此时 BD ＝ 8 5 B P ＝ 24 5．2 4 所以 AD ＝BA －BD ＝ 5 ＝ 51 5．图 5 图 6 图 7考点伸展第（2）题不证明 FE //BA 的话，可以证明∠CPN ＝∠B ．如图 8，由于∠CPE ＝∠B ＋∠D ＝2∠B ，∠CPE ＝2∠CPN ，所以∠CPN ＝∠B ．在 Rt △CPE 中， 1 2 3 5 C E ＝PC ．所以 PC ＝5 6 C E ＝ 5 6 5 y ．所以 BP ＝8 y ．6 在△BPD 中， 1 2 B D ＝ 4 5 BP ．所以 1 x 4 5 y ．整理，得 48 3 (8 ) y x ．2 5 6 5 4定义域中 x ＝ 64 5的几何意义如图 9 所示．图 8 图 917例 2017年上海市黄浦区中考模拟第 24题如图 1，点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上，过点 A 作 x 轴和 y 轴的平行线分别交函 x数 y 1的图像于点 B 、C ，直线 BC 与坐标轴的交点为 D 、E ． x（1）当点 C 的横坐标为 1 时，求点 B 的坐标；（2）试问：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，△ABC 的面积是否发生变 x 化？若不变，请求出△ABC 的面积；若变化，请说明理由；（3）试说明：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，线段 BD 与 CE 的长始终 x相等．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 24”，拖动点 A 运动，可以体验到，△DBM 与△CEN 保持全等，MN 与 BC 保持平行．思路点拨1．设点 A 的横坐标为 m ，A 、C 两点的横坐标相等，A 、B 两点的纵坐标相等，用 m 表 示 A 、B 、C 三点的坐标和 AB 、AC 的长．2．证明 BD ＝CE ，因为四点共线，只要证明 B 、D 两点间的竖直距离等于 C 、E 两点间 的竖直距离就可以了．图文解析（1）当点 C 的横坐标为 1 时，C (1, 1)，A (1, 4)．由 1 x4 ，得x 1 ．所以点 B 的坐标为(1 ,4) 4 4 ． （2）△ABC 的面积为定值．计算如下：4 如图 2，设点 A 的坐标为(m , ) m 1 ，那么 C (m , ) mm 4 ，B ( , )． 4 m3m 所以 A B ＝ 4 ，AC ＝ 3 m ．所以 S △ABC ＝ 1 2 A B A C ＝ 1 3 3 ＝ m2 4 m9 8 ． （3）如图 3，延长 AB 交 y 轴于 M ，延长 AC 交 x 轴于 N ．在 Rt △DBM 中，tan ∠DBM ＝tan ∠ABC ＝ A C A B ＝ 3 3m ＝ m 44 m 2 ，BM ＝ m 4，所以DM＝BM tan∠DBM＝m44＝m21m．所以DM＝CN．18又因为 sin∠DBM＝sin∠CEN，所以DB＝CE．图 2 图 3考点伸展如图 4，第（2）题中，面积为定值的有：矩形AMON、△ABC、△BOM、△CON，所以△BOC 的面积也为定值．如图 5，联结MN，那么MN 与BC 保持平行，这是因为M B N C 1．M A N A 4还有一个有趣的结论，随着点A 的运动，直线MN 与双曲线y 1（x＞0）保持相切．x直线MN 的解析式为44，与y1y x 联立方程组，消去y，得m m x214 4x．x m m2整理，得(2x－m)2＝0．所以直线MN 与双曲线有一个交点，保持相切．感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师提供的第（3）题的简练解法：如图 4，因为B D B M 1，C E C N 1，所以B D＝C E．B C B A3C B C A 3图 4 图 519例2017年上海市黄浦区中考模拟第25题已知 Rt△ABC 斜边AB 上的D、E 两点满足∠DCE＝45°．（1）如图 1，当AC＝1，BC＝ 3 ，且点D 与点A 重合时，求线段BE 的长；（2）如图 2，当△ABC 是等腰直角三角形时，求证：AD2＋BE2＝DE2；（3）如图 3，当AC＝3，BC＝4 时，设AD＝x，BE＝y，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 25”，可以体验到，四边形CMEN 是正方形．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，可以体验到，直角三角形DEF 的边FD＝AD，FE＝BE．点击按钮“第（3）题”，可以体验到，△CDP∽△ECQ．思路点拨1．第（1）题过点E 向两条直角边作垂线段，围成一个正方形，然后根据对应线段成比例求正方形的边长，再得到BE 的长等于正方形边长的 2 倍．2．第（2）题的目标是把AD、BE 和DE 围成一个直角三角形．经典的解法有翻折和旋转两种．图文解析（1）当AC＝1，BC＝ 3 时，AB＝2，∠B＝30°．如图 4，作EM⊥BC 于M，作EN⊥AC 于N，那么四边形CMEN 是正方形．设正方形的边长为a．由EM BM，得a 3 a ．AC BC 1 3解得 3 3a ．2所以BE＝2EM＝3 3 ．图 4【解法二】如图 4，因为1C B E MS C B△C B E21S C A E N C A△C B E2S B E，△C B ES E A△C B E，所以C B B E．C A E A．解得BE＝3 3 ．所以3B E12B E20（2）如图5，以CE 为对称轴，构造△CFE≌△CBE，那么FE＝BE，∠CFE＝∠B＝45°．联结DF．由“边角边”证明△CFD≌△CAD，所以FD＝AD，∠CFD＝∠A＝45°．所以△DEF 是直角三角形，FD2＋FE2＝DE2．所以AD2＋BE2＝DE2．【解法二】如图 6，绕点C 将△CBE 逆时针旋转 90°得到△CAG，那么AG＝BE，CE ＝CG，∠CAG＝∠B＝45°．由“边角边”证明△CDG≌△CDE，所以DG＝DE．在 Rt△GDA 中，AD2＋AG2＝DG2．所以AD2＋BE2＝DE2．图 5 图 6（3）如图 7，作CH⊥AB 于H．在 Rt△ABC 中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．于是可得CH 12 ，BH 16 ，9AH ．5 5 5所以DH 9 x，16EH y ．5 5如图 8，以H 为旋转中心，将点D 逆时针旋转 90°得到点P，将点E 顺时针旋转 90°得到点Q．于是可得△CDP∽△ECQ．由PD QC，得PD QE PC QC ．PC QE所以2(9 x) 2(16 y ) 12 (9 x )12 (16 y )5 5 5 5 5 5．整理，得2860xy5x 21．157 定义域是0≤x≤15 7．当B、E 重合时x＝．图 7 图 821考点伸展第（3）题解法多样，再介绍三种解法：如图 9，过点C 作AB 的平行线KL．构造等腰直角三角形KDD′和LEE′．由△CDE∽△KCD，△CDE∽△LEC，得△KCD∽△LEC．所以KC DK，即KC CL=LE DK ．LE CL所以12 (9 )12 (16 ) 12 2 12 2x y55555 5．整理即可．如图 10，分别以CD、CE 为对称轴，作CH 的对应线段CK、CL，再围成正方形CKRL．在 Rt△DER 中，由DR2＋ER2＝DE2，得2 2129121 6(x)(y)(5x y)25555．整理即可．如图 11，类似第（2）题的第一种解法，在 Rt△A′B′T 中，A′B′＝CB－CA＝1，所以A′T＝35 ，B′T＝ 4 5．在 Rt△DET 中，DE＝5－x－y，TE＝y 4，T D＝ 3x ，由勾股定理，得5 52 4 23 2(5x y ) (y ) (x ) ．整理即可．5 5图 9 图 10 图 1122例2017年上海市嘉定区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(3, 1)，点B 的坐标为(6, 5)，点C 的坐标为(0, 5)，某二次函数的图像经过A、B、C 三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）假如点Q 在该二次函数图像的对称轴上，且△ACQ 是等腰三角形，请直接写出点Q 的坐标；（3）如果点P 在（1）中求出的二次函数的图像上，且 tan∠PCA＝12，求∠PCB 的正弦值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 24”，可以体验到，当AD⊥AC，且AC＝2AD 时，点D 的位置是确定的，射线CD 与抛物线的交点就是点P．思路点拨1．由B、C 两点的坐标可知抛物线的对称轴是直线x＝3，再由点A 的坐标可知点A 就是抛物线的顶点，因此设顶点式比较简便．2．分三种情况讨论等腰三角形ACQ：AQ＝AC，CQ＝CA，QA＝QC．3．第（3）题的解题策略是：根据 tan∠PCA＝12，过点A 作AC 的垂线，在垂线上截取AD＝12AC，那么点P 就是射线CD 与抛物线的交点，∠DCB 就是∠PCB．不用求点P的坐标，求点D 的坐标就好了．图文解析（1）由B(6, 5)、C(0, 5)，可知抛物线的对称轴是直线x＝3．由A(3, 1)，可知点A 是抛物线的顶点．设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2＋1，代入点B(6, 5)，得 9a＋1＝5．4 4 4 8解得a ．所以y (x 3)2 1x 2 x 5．9 9 9 33 3（2）点Q 的坐标为(3, 6)，(3,－4)，(3, 9)或(3, )8．（3）如图 2，绕着点A 将线段AC 的中点旋转 90°得到点D，那么射线CD 与抛物线的交点就是要求的点P．当点D 在CA 左侧时，射线CD 与抛物线没有交点．如图 3，当点D 在CA 右侧时，作DE⊥x 轴于E，那么∠DCE 就是∠PCB．过点A 作x 轴的平行线交y 轴于M，过点D 作DN⊥AM 于N．CM MA AC由△CMA∽△AND，得 2 ．AN ND DA所以A N 1C M ，1 32N D M A ．22 223在 Rt△CDE 中，CE＝MA＋AN＝3＋2＝5，ED＝CM－ND＝3 5 4，2 2所以 tan∠DCE＝E DC E＝12．所以 sin∠DCE＝55，即 sin∠PCB＝55．图 2 图 3考点伸展第（2）题分三种情况讨论等腰三角形ACQ：①如图 4，当AQ＝AC＝5 时，以A 为圆心、以AC 为半径的圆与对称轴有两个交点，所以点Q 的坐标为(3, 6) 或(3,－4)．②如图 5，当CQ＝CA 时，点C 在AQ 的垂直平分线上，此时点Q 的坐标为(3, 9)．③如图 6，当QA＝QC 时，点Q 在AC 的垂直平分线上，此时1 4A C A Q．2 5所以AQ＝58AC ＝2583 3．此时点Q 的坐标为(3, )8．图 4 图 5 图 6 24例2017年上海市嘉定区中考模拟第25题已知AB＝8，⊙O 经过点A、B，以AB 为一边画平行四边形ABCD，另一边CD 经过点O（如图 1）．以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段OC 于点E（点E 不与点O、点C 重合）．（1）求证：OD＝OE；（2）如果⊙O 的半径长为 5（如图 2），设OD＝x，BC＝y，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果⊙O 的半径长为 5，联结AC，当BE⊥AC 时，求OD 的长．图 1 图 2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 25”，拖动点D 运动，可以体验到，四边形ABED 保持等腰梯形的形状，△BCE 保持等腰三角形的形状，垂足H 的位置保持不变，MH 的位置保持不变．双击按钮“AC⊥BE”，可以体验到，点C 恰好落在圆上，MH 等于EC 与AB 和的一半．思路点拨1．根据等腰梯形是轴对称图形，很容易知道点O 是DE 的中点．2．第（2）题中，等腰三角形BCE 的高BH 为定值，先用x 表示EC，再用勾股定理就可以表示BC 了．3．第（3）题如何利用BE⊥AC，常规的方法是过点C 作BE 的平行线得到直角三角形．图文解析（1）如图 3，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD＝BC．又因为BE＝BC，所以AD＝BE．所以四边形ABED 是等腰梯形．因为圆心O 在弦AB 的垂直平分线上，所以点O 是上底DE 的中点，即OD＝OE．图 3 图 425例2017年上海市静安区中考模拟第24题如图 1，已知二次函数 1 2y x bx c 的图像与x 轴的正半轴交于点A(2, 0)和点B，2与y 轴交于点C，它的顶点为M，对称轴与x 轴相交于点N．（1）用b 的代数式表示点M 的坐标；（2）当 tan∠MAN＝2 时，求此二次函数的解析式及∠ACB 的正切值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 静安 24”，拖动点N 运动，观察∠MAN 的正切值的度量值，可以体验到，当 tan∠MAN＝2 时，△OBC 是等腰直角三角形．思路点拨1．第（1）题分三步：根据抛物线的解析式写出对称轴x＝b；代入点A 的坐标，用b表示c；求x＝b 时y 的值，得到顶点的纵坐标．2．第（2）题先根据 tan∠MAN＝2 求b 的值，确定点B、C 的坐标，再作BC 边上的高AH，解直角三角形ABH 和直角三角形ACH．图文解析（1）由 1 2y x bx c ，得抛物线的对称轴为直线x＝b．2将点A(2, 0)代入 1 2y x bx c ，得－2＋2b＋c＝0．所以c＝2－2b．2当x＝b 时， 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ( 2)2y x bx b b b b ．2 2 2所以抛物线的顶点M 的坐标可以表示为( , 1 ( 2)2 )b b ．2MN（2）当 tan∠MAN＝2 时， 2 ，即MN＝2AN．AN解方程1 ( 2)2 2( 2)b b ，得b＝6，或b＝2（与A 重合，舍去）．2此时抛物线的解析式为 1 2 6 10y x x ，A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)．2所以AB＝8，OB＝OC＝10．所以BC＝10 2 ，∠B＝45°．27作AH⊥BC 于H，那么AH＝BH＝4 2 ．在 Rt△ACH 中，CH＝BC－BH＝6 2 ，所以 tan∠ACB＝A HC H＝23 ．图 2考点伸展第（2）题上面的解法是利用“边角边”，作高先求高．也可以利用“边边边”，作高不设高．由A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)，得AB＝8，BC＝10 2 ，AC＝104 ．设CH＝m，那么BH＝10 2 m．由AH2＝AC2－CH2，AH2＝AB2－BH2，得AC2－CH2＝AB2－BH2．解方程( 104)2 m2 82 (10 2 m)2 ，得m CH 6 2 ．所以AH2＝AC2－CH2＝( 104)2 (6 2)2 ＝32．所以AH＝4 2 ．28例2017年上海市静安区中考模拟第25题如图 1，已知⊙O 的半径OA 的长为 2，点B 是⊙O 上的动点，以AB 为半径的⊙A 与线段OB 相交于点C，AC 的延长线与⊙O 相交于点D．设线段AB 的长为x，线段OC 的长为y．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当四边形ABDO 是梯形时，求线段OC 的长．图 1图文解析（1）如图 1，因为OA＝OB，所以∠OAB＝∠B．因为AC＝AB，所以∠ACB＝∠B．所以∠OAB＝∠ACB．所以△OAB∽△ACB．所以B O B A，即2xB A B Cx 2 y．整理，得 2 1 2y x ．定义域是 0≤x≤2．x＝2 的几何意义如图 2 所示．2图 1 图 2（2）梯形ABDO 存在两种情况：①如图 3，当AB//OD 时，A B C B，即x2y．整理，得(x＋2)y＝4．D O C O2y代入y 2 1 x2 ，得( 2)(2 1 2 ) 4x x ．整理，得x2＋2x－4＝0．2 2解得x＝ 5 1，或x＝ 5 1（舍去）．所以CO＝y＝2 1 2 ＝2 1 ( 5 1)2x＝ 5 1．事实上，此时点C 是线段OB 的黄2 2金分割点．。

2016-2017年上海市闵行区高三4月质量调研考试（二模）数学一、填空题：共12题1．方程的解是.【答案】【解析】本题考查对数函数.,即,解得.即方程的解是.2．已知集合则. 【答案】【解析】本题考查集合的基本运算.由题意得;而,所以.3．若复数是虚数单位)，且为纯虚数，则实数= . 【答案】【解析】本题考查复数的概念与运算.=,其为纯虚数,所以,解得=1.4．直线(为参数)对应的普通方程是.【答案】【解析】本题考查直线的参数方程.削去参数,可得;即直线对应的普通方程是.5．若，且，则的值为.【答案】16【解析】本题考查二项式定理.展开式的通项公式,令,可得;令,可得;而,即,解得;即展开式的通项公式,令,可得.【备注】二项展开式的通项公式：.6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是.【答案】【解析】本题考查三视图,空间几何体的表面积.由三视图可得该空间几何体为圆锥;该几何体的侧面积.7．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】本题考查函数与方程.因为函数在区间上有零点,则=,解得.即实数的取值范围是.8．在约束条件下，目标函数的最大值为.【答案】【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域,如图四边形所示;,,,.当过点时,目标函数取得最大值.9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是.【答案】【解析】本题考查互斥事件的概率.由题意得所求的概率=.10．已知椭圆，其左、右焦点分别为.若此椭圆上存在点，使到直线的距离是与的等差中项，则的最大值为.【答案】【解析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,等差数列.由题意得:该椭圆为焦点在轴的椭圆,且;而到直线的距离是与的等差中项，所以到准线的距离,即;而,即,解得;而,所以,解得.即的最大值为.【备注】椭圆,,焦点..11．已知定点，动点在圆上，点关于直线的对称点为，向量是坐标原点，则的取值范围是.【答案】【解析】本题考查平面向量的数量积、平面向量的线性运算.令,而点关于直线的对称点为，所以,;而,所以;而,所以;所以,=;而动点在圆上,所以,所以,即,所以的取值范围是.12．已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和___.【答案】【解析】本题考数列的概念与求和.由题意得若,则,所以,且上述每项均在数列中;所以,,,,即=====1;所以,所以. 二、选择题：共4题13．设分别是两条异面直线的方向向量，向量的夹角的取值范围为所成的角的取值范围为，则“”是“”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】本题考查充要条件,两直线的位置关系.由题意得，;所以“”是“”的必要不充分条件.选C.14．将函数图象上的点向左平移个单位,得到点，若位于函数的图象上，则A.的最小值为B.的最小值为C.的最小值为D.的最小值为【答案】A【解析】本题考查三角函数的图象与性质.由题意得,排除B,D;平移后,而位于函数的图象上,所以,而,则的最小值为,排除C.选A.15．某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如下图所示(收支差额车票收入支出费用)，由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则A.①反映了建议(Ⅱ)，③反映了建议(Ⅰ)B.①反映了建议(Ⅰ)，③反映了建议(Ⅱ)C.②反映了建议(Ⅰ)，④反映了建议(Ⅱ)D.④反映了建议(Ⅰ)，②反映了建议(Ⅱ)【答案】B【解析】本题考查函数的图像与性质.令车票价格为,支出费用为,则收支差额();若按建议(Ⅰ),令减少后的支出费用为,,则,则其对应的为图①;若按建议(Ⅱ),令提高后的车票价格为,,则,则其对应的为图③;所以①反映了建议(Ⅰ),③反映了建议(Ⅱ).选B.16．设函数的定义域是，对于以下四个命题：(1)若是奇函数，则也是奇函数；(2)若是周期函数，则也是周期函数；(3)若是单调递减函数，则也是单调递减函数；(4)若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点.其中正确的命题共有A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】本题考查函数的性质,函数与方程.(1)因为是奇函数,所以;则==,所以也是奇函数,即(1)正确；(2)因为是周期函数,所以;则=,所以也是周期函数,即(2)正确；(3)因为是单调递减函数,所以是单调递增函数,即(3)错误；(4)若函数存在反函数，且函数有零点，即与有交点,则交点一定在上,所以与亦有交点,即函数也有零点.(4)正确;所以正确的命题有(1)(2)(4),共有3个.选C.三、解答题：共5题17．直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，,是侧棱上一点，设.(1)若，求的值；(2)若，求直线与平面所成的角.【答案】(1)以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴,建立空间直角坐标系，如图所示，则,由得，即解得.(2) 解法一：此时;设平面的一个法向量为由得,所以设直线与平面所成的角为,则,所以所以直线与平面所成的角为解法二：联结，则，平面,，平面，所以是直线与平面所成的角；在中，，所以所以所以直线与平面所成的角为【解析】本题考查线面垂直,空间向量的应用.(1)建立恰当的空间直角坐标系,，而，所以,解得.(2),求得平面的法向量,求得,所以直线与平面所成的角为.18．设函数，函数的图象与函数的图象关于轴对称.(1)若，求的值；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)由得，所以(舍)或，所以.(2)由得，而，当且仅当时取等号所以，所以.【解析】本题考查指数函数、反函数.(1)由得,解得.(2)由得;而,所以，即.19．如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道(平台大小忽略不计)，水上通道的造价是元/米.(1)若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和AC 的长度分别为多少米？(2)在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？【答案】(1)设长为米，长为米；依题意得，即，=当且仅当，即时等号成立，所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米(2)在(1)的条件下，因为.由得=，元所以，建水上通道还需要万元.解法二：在中，在中，=在中，元所以，建水上通道还需要万元.解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则,即，设由，求得，所以所以，元所以，建水上通道还需要万元.【解析】本题考查解三角形,正余弦定理,三角形的面积公式.(1)设长为米，长为米；依题意得,=，即时等号成立，所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米;(2)由余弦定理得,,在中，,元,所以建水上通道还需要万元.20．设直线与抛物线相交于不同两点，与圆相切于点，且为线段的中点.(1)若是正三角形(为坐标原点)，求此三角形的边长；(2)若，求直线的方程；(3)试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数(只需直接写出结果). 【答案】(1)设的边长为，则的坐标为所以所以此三角形的边长为.(2)设直线当时，符合题意当时，=，，，舍去综上所述，直线的方程为：(3)时，共2条；时，共4条；时，共1条.【解析】本题考查抛物线的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(1)设的边长为,由题意得解得.(2)当时，符合题意;当时，联立方程,套用根与系数的关系求得:,舍去;综上所述,直线的方程为.(3)时,共2条;时,共4条;时,共1条.21．已知是上的奇函数，，且对任意都成立.(1)求、的值；(2)设，求数列的递推公式和通项公式；(3)记，求的值.【答案】(1)对等式，令,所以令,所以(2)取，可得，即，所以而所以数列的递推公式为故所以数列的通项公式为.(3)由(2)代入得++++=则【解析】本题考查函数的性质,数列的通项与求和.(1)令;令,求得;(2)取得,而累乘得.(3)由(2)代入得,,所以.。

2017年上海市闵行区高考数学二模试卷一、填空题（本题共12小题，满分54分）1．方程log3（2x+1）=2的解是．2．已知集合M={x||x+1|≤1}，N=﹣{﹣1，0，1}，那么M∩N=．3．若复数z1=a+2i，a2=2+i（i是虚数单位），且z1z2为纯虚数，则实数a=．4．直线（t为参数）对应的普通方程是．5．若（x+2）n=x n+ax n﹣1+…+bx+c（n∈N*，n≥3），且b=4c，则a的值为．6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是7．若函数f（x）=2x（x+a）﹣1在区间[0，1]上有零点，则实数a的取值范围是．8．在约束条件|x+1|+|y﹣2|≤3下，目标函数z=x+2y的最大值为．9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这么学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是．10．已知椭圆x2+=1（0＜b＜1），其左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=2c．若此椭圆上存在点P，使P到直线x=的距离是|PF1|与|PF2|的等差中项，则b的最大值为．11．已知定点A（1，1）、动点P在圆x2+y2=1上，点P关于直线y=x的对称点为P′，向量=，O是坐标原点，则||的取值范围是．12．已知递增数列{a n}共有2017项，且各项均不为零，a2017=1，如果从{a n}中任取两项a i，a j，当i＜j时，a j﹣a i仍是数列{a n}中的项，则数列{a n}的各项和S2017=．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设、分别是两条异面直线l1、l2的方向向量，向量、的夹角的取值范围为A．l1、l2所成的角的取值范围为B，则“a∈A”是“a∈B”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件14．将函数y=sin（x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为15．某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额=车票收入﹣支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）16．设函数y=f（x）的定义域是R，对于以下四个命题：（1）若y=f（x）是奇函数，则y=f（f（x））也是奇函数；（2）若y=f（x）是周期函数，则y=f（f（x））也是周期函数；（3）若y=f（x）是单调递减函数，则y=f（f（x））也是单调递减函数；（4）若函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=f（x）﹣f﹣1（x）有零点，则函数y=f（x）﹣x也有零点．其中正确的命题共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题（本大题共5小题，共76分）17．（14分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰三角形，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，M是侧棱CC1上一点，设MC=h．（1）若BM⊥A1C，求h的值；（2）若h=2，求直线BA1与平面ABM所成的角．18．（14分）设函数f（x）=2x，函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于y 轴对称．（1）若f（x）=4g（x）+3，求x的值；（2）若存在x∈[0，4]，使不等式f（a+x）﹣g（﹣2x）≥3成立，求实数a的取值范围．19．（14分）如图所示，∠PAQ是某海湾旅游区的一角，其中∠PAQ=120°，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸AP和AQ上分别修建观光长廊AB和AC，其中AB是宽长廊，造价是800元/米；AC是窄长廊，造价是400元/米；两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC上靠近点B 的三等分点D处建一个观光平台，并建水上直线通道AD（平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．（1）若规划在三角形ABC区域内开发水上游乐项目，要求△ABC的面积最大，那么AB和AC的长度分别为多少米？（2）在（1）的条件下，建直线通道AD还需要多少钱？20．（16分）设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于不同两点A 、B ，与圆（x ﹣5）2+y 2=r 2（r ＞0）相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．（1）若△AOB 是正三角形（O 为坐标原点），求此三角形的边长； （2）若r=4，求直线l 的方程；（3）试对r ∈（0，+∞）进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（只需直接写出结果）21．（18分）已知y=f （x ）是R 上的奇函数，f （﹣1）=﹣1，且对任意x ∈（﹣∞，0），f （x ）=f （）都成立．（1）求f （﹣）、f （﹣）的值；（2）设a n =f （）（n ∈N*），求数列{a n }的递推公式和通项公式；（3）记T n =a 1a n +a 2a n ﹣1+a 3a n ﹣2+…+a n a 1，求的值．2017年上海市闵行区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题共12小题，满分54分）1．方程log3（2x+1）=2的解是x=4．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】把对数方程化为指数方程，进而解出．【解答】解：方程log3（2x+1）=2化为：2x+1=32，解得x=4．经过验证满足条件．∴原方程的解为：x=4．故答案为：x=4．【点评】本题考查了对数方程化为指数方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知集合M={x||x+1|≤1}，N=﹣{﹣1，0，1}，那么M∩N={﹣1，0} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据绝对值不等式的解法求出集合M，进而根据交集的定义求出其交集可得答案．【解答】解：分析可得，M为不等式|x+1|≤1的解集，则M={x|﹣2≤x≤0}，N={﹣1，0，1}，故集合M∩N={﹣1，0}，故答案为：{﹣1，0}．【点评】本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，再求集合的交集，属于基础题．3．若复数z1=a+2i，a2=2+i（i是虚数单位），且z1z2为纯虚数，则实数a=1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数z1=a+2i，a2=2+i（i是虚数单位），且z1z2=（a+2i）（2+i）=2a﹣2+（4+a）i为纯虚数，∴2a﹣2=0，4+a≠0，解得实数a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．直线（t为参数）对应的普通方程是x+y﹣1=0．【考点】QJ：直线的参数方程．【分析】利用加减消元法消去参数t，即可得到直线的普通方程．【解答】解：两个方程相加得x+y﹣1=0，故答案为：x+y﹣1=0．【点评】本题考查了参数方程与普通方程的转化，属于基础题．5．若（x+2）n=x n+ax n﹣1+…+bx+c（n∈N*，n≥3），且b=4c，则a的值为16．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用（x+2）n=x n+ax n﹣1+…+bx+c（n∈N*，n≥3），可得：c=2n，b=2n﹣1=n•2n﹣1，又b=4c，解得n．即可得出a．【解答】解：由（x+2）n=x n+ax n﹣1+…+bx+c（n∈N*，n≥3），可得：c=2n，b=2n﹣1=n•2n﹣1，又b=4c，∴n•2n﹣1=4×2n，解得n=8．∴a==16．故答案为：16．【点评】本题考查了二项式定理的展开式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是4π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】观察三视图．得到这个几何体为圆锥，圆锥的高为6，底面圆的直径为4，再利用勾股定理计算出母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式求解．【解答】解：这个几何体为圆锥，圆锥的高为6，底面圆的直径为4，所以圆锥的母线长==2，所以该几何体的侧面积=•4π•2=4π．故答案为：4π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．7．若函数f（x）=2x（x+a）﹣1在区间[0，1]上有零点，则实数a的取值范围是[﹣，1] ．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=2x（x+a）﹣1在区间[0，1]上有零点⇔方程x+a=在区间[0，1]上有解．⇔函数y=x+a，y=的图象在区间[0，1]上有交点．如图在同一坐标系内画出函数y=x+a，y=的图象，结合图象可得【解答】解：函数f（x）=2x（x+a）﹣1在区间[0，1]上有零点⇔方程x+a=在区间[0，1]上有解．⇔函数y=x+a，y=的图象在区间[0，1]上有交点．如图在同一坐标系内画出函数y=x+a，y=的图象，结合图象可得：0+a≤（）0，且1+a≥（）1⇒﹣≤a≤1实数a的取值范围是[﹣，1]故答案为：[﹣，1]，【点评】本题考查了函数的零点，函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．8．在约束条件|x+1|+|y﹣2|≤3下，目标函数z=x+2y的最大值为9．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【解答】解：由z=x+2y得y=x+z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=x由图象可知当直线经过点A（﹣1，5）时，直线在y轴的截距最大，此时z也最大，代入目标函数z=﹣1+2×5=9，即目标函数的最大值为9；故答案为：9．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这么学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是．【考点】CF：几何概型．【分析】这名学生在上学路上，在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这么学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯是指事件“这名学生在第一个路口没有遇到红灯，且在乙路口遇到红灯”，从而可求概率．【解答】解：在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这么学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯，即第一个路口遇到绿灯，第二个路口遇到红灯，由相互独立事件的同时发生得到所以概率为；故答案为：．【点评】本题以实际问题为载体，考查相互独立事件的概率，考查学生分析解决问题的能力．10．已知椭圆x2+=1（0＜b＜1），其左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=2c．若此椭圆上存在点P，使P到直线x=的距离是|PF1|与|PF2|的等差中项，则b的最大值为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆上存在点P，使P到直线x=的距离是|PF1|与|PF2|的等差中项，求出P的横坐标，进而可得c的范围，即可得出结论．【解答】解：设P（x，y），则∵椭圆上存在点P，使P到直线x=的距离是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴|PF1|+|PF2|=2（﹣x）=2a，∴x=﹣a，∴﹣a≤﹣a≤a，∴≤2a=2，∴c，∴1﹣b2≥，∵0＜b＜1，∴0＜b≤．∴b的最大值为．故答案为．【点评】本题考查椭圆的定义，等差中项的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知定点A（1，1）、动点P在圆x2+y2=1上，点P关于直线y=x的对称点为P′，向量=，O是坐标原点，则||的取值范围是[，] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】用坐标表示出||，利用直线与圆的位置关系，即可求出||的取值范围．【解答】解：设P（x，y），则P′（y，x），∵=，∴Q（y+1，x+1），∴=（y﹣x+1，x﹣y+1），∴||=，设t=x﹣y，则∵x2+y2=1，∴≤1，∴|t|，∴||=∈[，]．故答案为[，]．【点评】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．已知递增数列{a n}共有2017项，且各项均不为零，a2017=1，如果从{a n}中任取两项a i，a j，当i＜j时，a j﹣a i仍是数列{a n}中的项，则数列{a n}的各项和S2017= 1009．【考点】8E：数列的求和．【分析】递增数列{a n}共有2017项，且各项均不为零，a2017=1，可得0＜a1＜a2＜…＜a2016＜a2017=1，又a1＜0，可得1﹣a1＞1，因此0＜a2017﹣a2016＜a2017﹣a2015＜…＜a2017﹣a1＜1，根据上述每项均在数列{a n}中，可得a2017﹣a2016=a1，a2017﹣a2015=a2，…，a2017﹣a1=a2016．进而得出答案．【解答】解：∵递增数列{a n}共有2017项，且各项均不为零，a2017=1，∴0＜a1＜a2＜…＜a2016＜a2017=1，若a1＜0，则1﹣a1＞1，∴0＜a2017﹣a2016＜a2017﹣a2015＜…＜a2017﹣a1＜1，且上述每项均在数列{a n}中，∴a2017﹣a2016=a1，a2017﹣a2015=a2，…，a2017﹣a1=a2016．即a2016+a1=a2015+a2=…=a1+a2016=a2017=1．数列{a n}的各项和2S2017=2017+1．S2017=1009．故答案为：1009．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设、分别是两条异面直线l1、l2的方向向量，向量、的夹角的取值范围为A．l1、l2所成的角的取值范围为B，则“a∈A”是“a∈B”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别求出A、B的范围根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：向量、的夹角的取值范围为A，故A∈[0，π]，l1、l2所成的角的取值范围为B，则B=[0，]，故“a∈A”是“a∈B”必要不充分条件，故选：C．【点评】本题考查了角的范围，考查集合的包含关系，是一道基础题．14．将函数y=sin（x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．【解答】解：将x=代入得：t=sin=，进而求出平移后P′的坐标，将函数y=sin（x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=±+2kπ，k∈Z，则s=±+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，难度中档．15．某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额=车票收入﹣支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）【考点】3O：函数的图象．【分析】设目前函数为y=kx﹣b，得出建议后的函数，比较建议前后的斜率与截距即可得出答案．【解答】解：设目前车票价格为k，支出费用为b，则y=kx﹣b（k＞0），若按建议（I）减少支出费用，设减少后的支出费用为b1（b1＜b），则y=kx﹣b1，∴图①反映了建议（I）；若提高车票价格，设提高后的车票价格为k1（k1＞k），则y=k1x﹣b，∴图③反映了建议（II）．故选B．【点评】本题考查了函数图象的变换，属于中档题．16．设函数y=f（x）的定义域是R，对于以下四个命题：（1）若y=f（x）是奇函数，则y=f（f（x））也是奇函数；（2）若y=f（x）是周期函数，则y=f（f（x））也是周期函数；（3）若y=f（x）是单调递减函数，则y=f（f（x））也是单调递减函数；（4）若函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=f（x）﹣f﹣1（x）有零点，则函数y=f（x）﹣x也有零点．其中正确的命题共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】3K：函数奇偶性的判断．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：（1）若y=f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），∴f（f（﹣x））=f（﹣f（x））=﹣f（f（x）），也是奇函数，正确；（2）若y=f（x）是周期函数，则f（x+T）=f（x），f（f（x+T））=f（f（x））也是周期函数，正确；（3）若y=f（x）是单调递减函数，则y=f（f（x））是单调递增函数，不正确；（4）若函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=f（x）﹣f﹣1（x）有零点，即y=f（x）与y=f﹣1（x）有交点，则函数y=f（x）﹣x也有零点，正确．故选C．【点评】本题考查函数的性质，考查反函数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共76分）17．（14分）（2017•松江区二模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰三角形，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，M是侧棱CC1上一点，设MC=h．（1）若BM⊥A1C，求h的值；（2）若h=2，求直线BA1与平面ABM所成的角．【考点】MI：直线与平面所成的角；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用=0，求h的值；（2）求出平面ABM的一个法向量，利用夹角公式，求直线BA1与平面ABM所成的角．【解答】解：（1）以A为坐标原点，以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B（2，0，0），M（0，2，h），A1（0，0，4），C（0，2，0）=（﹣2，2，h），=（0，2，﹣4）由BM⊥A1C得，=0，即2×2﹣4h=0解得h=1；（2）M（0，2，2），=（2，0，0），=（0，2，2），=（﹣2，0，4），设平面ABM的一个法向量为=（x，y，z），则，取=（0，1，﹣1），设直线BA1与平面ABM所成的角为θ，则sinθ=||=，∴直线BA1与平面ABM所成的角为arcsin．【点评】本题考查棱柱的结构特征，直线与平面所成的角，考查转化思想，计算能力，是中档题．18．（14分）（2017•松江区二模）设函数f（x）=2x，函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）若f（x）=4g（x）+3，求x的值；（2）若存在x∈[0，4]，使不等式f（a+x）﹣g（﹣2x）≥3成立，求实数a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；3T：函数的值．【分析】（1）依题意知2x=4•2﹣x+3，整理得：22x﹣3•2x﹣4=0，解之即可求得x 的值；（2）由f（a+x）﹣g（﹣2x）≥3得2a+x﹣22x≥3，移项可得2a+x≥22x+3⇒2a≥2x+3•2﹣x，利用基本不等式可得2x+3•2﹣x≥2，当且仅当2x=3•2﹣x，即x=log43时取等号，继而可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=4g（x）+3得2x=4•2﹣x+3．…2分整理得：22x﹣3•2x﹣4=0，所以2x=4或2x=﹣1（舍）．…4分所以x=2．…6分（2）由f（a+x）﹣g（﹣2x）≥3得2a+x﹣22x≥3…8分即2a+x≥22x+3⇒2a≥2x+3•2﹣x…10分而2x+3•2﹣x≥2，当且仅当2x=3•2﹣x，即x=log43∈[0，4]时取等号，…12分所以2a≥2，所以a≥1+log23．…14分【点评】本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与函数与方程思想，考查基本不等式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•松江区二模）如图所示，∠PAQ是某海湾旅游区的一角，其中∠PAQ=120°，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸AP和AQ上分别修建观光长廊AB和AC，其中AB是宽长廊，造价是800元/米；AC是窄长廊，造价是400元/米；两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个观光平台，并建水上直线通道AD（平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．（1）若规划在三角形ABC区域内开发水上游乐项目，要求△ABC的面积最大，那么AB和AC的长度分别为多少米？（2）在（1）的条件下，建直线通道AD还需要多少钱？【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）设AB=xm，AC=ym，则800x+400y=1200000，即2x+y=3000，表示面积，利用基本不等式，可得结论；（2）利用向量方法，求出AD，即可得出结论．【解答】解：（1）设AB=xm，AC=ym，则800x+400y=1200000，即2x+y=3000，S△ABC====281250m3，当且仅当2x=y，即x=750m，y=1500m时等号成立，∴△ABC的面积最大，那么AB和AC的长度分别为750米和1500米；（2）在（1）的条件下，=+，∴==250000，∴||=500，∴1000×500=500000元，即建直线通道AD还需要50万元．【点评】本题考查三角形中面积的求法，考查向量知识的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20．（16分）（2017•松江区二模）设直线l与抛物线y2=4x相交于不同两点A、B，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点．（1）若△AOB是正三角形（O为坐标原点），求此三角形的边长；（2）若r=4，求直线l的方程；（3）试对r∈（0，+∞）进行讨论，请你写出符合条件的直线l的条数（只需直接写出结果）【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1）若△AOB是正三角形（O为坐标原点），求出A的坐标，即可求此三角形的边长；（2）若r=4，设直线l：x=ky+b，分类讨论，即可求直线l的方程；（3）根据直线与圆的位置关系，可得结论．【解答】解：（1）设△AOB的边长为a，则A（a，），∴，∴；（2）设直线l：x=ky+b，k=0时，x=1，x=9符合题意；k≠0时，方程联立可得y2﹣4ky﹣4b=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4k，x1+x2=4k2+2b，∴M（2k2+b，2k），∵k AB•k OM=﹣1，∴k OM==﹣k，∴b=3﹣2k2，∴△=16（k2+b）＞0，∴0＜k2＜3，∵4=r==2，∴k2=3∉（0，3），舍去，综上所述，直线l的方程为x=1，x=9；（3）2＜r＜4时，直线l有4条；r∈（0，2]∪[4，5）时，2条；r∈[5，+∞），1条．【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（18分）（2017•闵行区二模）已知y=f（x）是R上的奇函数，f（﹣1）=﹣1，且对任意x∈（﹣∞，0），f（x）=f（）都成立．（1）求f（﹣）、f（﹣）的值；（2）设a n=f（）（n∈N*），求数列{a n}的递推公式和通项公式；（3）记T n=a1a n+a2a n﹣1+a3a n﹣2+…+a n a1，求的值．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）对等式f（x）=f（），令x=﹣1，则f（﹣1）=﹣，可得，f（﹣）=﹣．令x=﹣，可得f（﹣）=﹣2=2，解得．=a n，利（2）令x=﹣，则=﹣n，=，可得a n+1用a n=••…••a1，即可得出a n．（3）T n=a1a n+a2a n﹣1+a3a n﹣2+…+a n a1=++…+==．进而得出．【解答】解：（1）对等式f（x）=f（），令x=﹣1，则f（﹣1）=﹣=﹣1，可得=1，∴f（﹣）=﹣=﹣1．令x=﹣，可得f（﹣）=﹣2=2=﹣1，解得=﹣．=a n，（2）令x=﹣，则=﹣n，∴=，∴a n+1又a 1=f （1）=﹣f （1）=1．∴a n =••…••a 1=•…•1×1=．∴a n =．（3）T n =a 1a n +a 2a n ﹣1+a 3a n ﹣2+…+a n a 1=++…+==．∴T n +1=．∴==0．【点评】本题考查了函数关系式、数列递推关系、“累乘求积“方法、排列与组合计算公式、二项式定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。