动量定理变质量问题
1、如图所示，一个下面装有轮子的贮气瓶停放在光滑的水平地面
上，底端与竖直墙壁接触。现打开右端阀门，气体向外喷出，设喷口
的面积为S ，气体的密度为ρ，气体向外喷出的速度为v ，则气体刚喷
出时瓶底端对竖直墙面的作用力大小是( )
A ．ρv S
B ．ρv 2S
C ．12ρv 2S
D ．ρv 2S
2、为估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得1小时内杯中水位上升了45 mm.查询得知，当时雨滴竖直下落速度约为12 m/s ，据此估算该压强约为(设雨滴撞击睡莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103 kg/m 3)( )
A ．0.15 Pa
B ．0.54 Pa
C ．1.5 Pa
D ．5.4 Pa
3、航天器离子发动机原理如图所示，首先电子枪发射出的高速电子将中性推进剂离子化(即电离出正离子)，正离子被正、负极栅板间的电场加速后从喷口喷出，从而使航天器获得推进或姿态调整的反冲力。已知单个正离子的质量为m ，电荷量为q ，正、负极栅板间加速电压为U ，从喷口喷出的正离子所形成的电流为I 。忽略离子间的相互作用力，忽略离子喷射对航天器质量的影响。该发动机产生的平均推力F 的大小为( )
A ．I
2mU q B ．I mU q C ．I mU 2q D ．2I mU q
4、有一宇宙飞船，它沿运动方向的正对面积S ＝2 m 2，以v ＝3×103 m/s 的相对速度飞入一宇宙微粒尘区。此微粒尘区1 m 3空间中有一个微粒，每一个微粒的平均质量为m ＝2×10－7 kg 。设微粒与飞船外壳碰撞后附着于飞船上，要使飞船速度不变，飞船的牵引力应增加
( )
A ．3.6×103 N
B ．3.6 N
C ．1.2×103 N
D ．1.2 N
5、如图所示，自动称米机已在许多大粮店广泛使用．买者认为：因为米流落到容器中
时对容器有向下的冲力而不划算；卖者则认为：当预定米的质量达到要求时，自动装置即刻切断米流，此刻有一些米仍在空中，这些米是多给买者的，因而双方争执起来．下列说法正确的是()
A．买者说的对B．卖者说的对
C．公平交易D．具有随机性，无法判断
6、用豆粒模拟气体分子，可以模拟气体压强产生的原理．如图3所示，从距秤盘80 cm高处把1 000粒的豆粒连续均匀地倒在秤盘上，持续作用时间为1 s，豆粒弹起时竖直方向的速度大小变为碰前的一半，方向相反．若每个豆粒只与秤盘碰撞一次，且碰撞时间极短(在豆粒与秤盘碰撞极短时间内，碰撞力远大于豆粒受到的重力)，已知1 000粒的豆粒的总质量为100 g．则在碰撞过程中秤盘受到的压力大小约为()
A．0.2 N B．0.6 N
C．1.0 N D．1.6 N
答案 B
7、水力采煤就是利用从高压水枪中喷出来的强力水柱冲击煤层而使煤层碎裂。设所用水枪的直径为d，水速为v0，水的密度为ρ，水柱垂直地冲击到竖直煤壁上后沿竖直煤壁流下，求水柱施于煤层上的冲力大小。
8、如图所示，由喷泉中喷出的水柱，把一个质量为M的垃圾桶倒顶在空中，水以速率v0、
恒定的质量增率(即单位时间喷出的质量)Δm
Δt从地下射向空中．求垃圾桶可停留的最大高
度．(设水柱喷到桶底后以相同的速率反弹，重力加速度为g)
9、一艘帆船在湖面上顺风航行，在风力的推动下做速度为v 0＝4 m/s 的匀速直线运动。若该帆船在运动状态下突然失去风力的作用，则帆船在湖面上做匀减速直线运动，经过t ＝8 s 才可静止。该帆船的帆面正对风的有效面积S ＝10 m 2，帆船的总质量约为M ＝936 kg 。若帆船在航行过程中受到的阻力恒定不变，空气的密度为ρ＝1.3 kg/m 3，在匀速行驶状态下估算：
(1)帆船受到风的推力F 的大小；
(2)风速的大小v 。
10、宇宙飞船在飞行过程中有很多技术问题需要解决，其中之一就是当飞船进入宇宙微粒尘区时如何保持速度不变的问题。假设一宇宙飞船以v ＝2.0×103 m /s 的速度进入密度ρ＝2.0×10－6
kg/m 3的微粒尘区，飞船垂直于运动方向上的最大截面积S ＝5 m 2，且认为微粒与飞船相碰后都附着在飞船上，则飞船要保持速度v 不变，所需推力多大？
11、根据量子理论，光子的能量E 与动量p 之间的关系式为E ＝pc ，其中c 表示光速，由于光子有动量，照到物体表面的光子被物体吸收或反射时都会对物体产生压强，这就是“光压”，用I 表示。
(1)一台二氧化碳气体激光器发出的激光，功率为P 0，射出的光束的横截面积为S ，当它垂直照射到一物体表面并被物体全部反射时，激光对物体表面的压力F ＝2pN ，其中p 表示光子的动量，N 表示单位时间内激光器射出的光子数，试用P 0和S 表示该束激光对物体产生的光压。
(2)有人设想在宇宙探测中用光为动力推动探测器加速，探测器上安装有面积极大、反射率极高的薄膜，并让它正对太阳，已知太阳光照射薄膜时每平方米面积上的辐射功率为1 350 W ，探测器和薄膜的总质量为m ＝100 kg ，薄膜面积为4×104 m 2，求此时探测器的加速度大小。
动量习题课--动量定理变质量问题练习
1、如图所示，一个下面装有轮子的贮气瓶停放在光滑的水平地面
上，底端与竖直墙壁接触。现打开右端阀门，气体向外喷出，设喷口
的面积为S ，气体的密度为ρ，气体向外喷出的速度为v ，则气体刚喷
出时瓶底端对竖直墙面的作用力大小是( )
A ．ρv S
B ．ρv 2S
C ．12ρv 2S
D ．ρv 2S
答案D 解析：Δt 时间内贮气瓶喷出气体的质量Δm ＝ρS v ·Δt ，对于贮气瓶、瓶内气体及喷出的气体所组成的系统，由动量定理得F ·Δt ＝Δm ·v －0，解得F ＝ρv 2S ，选项D 正确。
2、为估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得1小时内杯中水位上升了45 mm.查询得知，当时雨滴竖直下落速度约为12 m/s ，据此估算该压强约为(设雨滴撞击睡莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103 kg/m 3)( )
A ．0.15 Pa
B ．0.54 Pa
C ．1.5 Pa
D ．5.4 Pa
答案 A
解析 设雨滴受到睡莲叶面的平均作用力为F ，在Δt 时间内有质量为Δm 的雨水的速度由v ＝12 m/s 减为零．以向上的方向为正方向，对这部分雨水应用动量定理：F Δt ＝0－(－Δm v )
＝Δm v ，得到F ＝Δm Δt
v .设水杯横截面积为S ，对水杯里的雨水，在Δt 时间内水面上升Δh ，则有Δm ＝ρS Δh ，得F ＝ρS v Δh Δt .压强p ＝F S ＝ρv Δh Δt ＝1×103×12×45×10－33 600
Pa ＝0.15 Pa. 3、航天器离子发动机原理如图所示，首先电子枪发射出的高速电子将中性推进剂离子化(即电离出正离子)，正离子被正、负极栅板间的电场加速后从喷口喷出，从而使航天器获得推进或姿态调整的反冲力。已知单个正离子的质量为m ，电荷量为q ，正、负极栅板间加速电压为U ，从喷口喷出的正离子所形成的电流为I 。忽略离子间的相互作用力，忽略离子喷射对航天器质量的影响。该发动机产生的平均推力F 的大小为( )
A ．I
2mU q B ．I mU q C ．I mU 2q D ．2I mU q
答案A 解析：以正离子为研究对象，由动能定理得qU ＝12
m v 2，Δt 时间内通过的总电荷量为Q ＝I Δt ，喷出的正离子总质量为M ＝Q q m ＝I Δt q
m 。由动量定理可知正离子所受的平均冲量F Δt ＝M v ，联立以上式子可得F ＝I 2mU q
，根据牛顿第三定律可知，发动机产生的平均
推力F＝I 2mU
q，故A正确。
4、有一宇宙飞船，它沿运动方向的正对面积S＝2 m2，以v＝3×103 m/s的相对速度飞入一宇宙微粒尘区。此微粒尘区1 m3空间中有一个微粒，每一个微粒的平均质量为m＝2×10－7kg。设微粒与飞船外壳碰撞后附着于飞船上，要使飞船速度不变，飞船的牵引力应增加()
A．3.6×103 N B．3.6 N
C．1.2×103 N D．1.2 N
答案B解析：在t时间内与飞船碰撞并附着于飞船上微粒总质量为M＝v tSm，设飞船对微粒的作用力为F，由动量定理，Ft＝M v，联立解得：F＝v2Sm，代入相关数据，得F＝3.6 N。根据牛顿第三定律，微粒对飞船的作用力为3.6 N。要使飞船速度不变，根据平衡条件，飞船的牵引力应增加3.6 N，选项B正确。
5、如图所示，自动称米机已在许多大粮店广泛使用．买者认为：因为米流落到容器中时对容器有向下的冲力而不划算；卖者则认为：当预定米的质量达到要求时，自动装置即刻切断米流，此刻有一些米仍在空中，这些米是多给买者的，因而双方争执起来．下列说法正确的是()
A．买者说的对B．卖者说的对
C．公平交易D．具有随机性，无法判断
【答案】C.【解析】设米流的流量为d，它是恒定的，米流在出口处速度很小可视为零，若切断米流后，设盛米的容器中静止的那部分米的质量为m1，空中还在下落的米的质量为m2，落到已静止的米堆上的一小部分米的质量为Δm.在极短时间Δt内，取Δm为研究对象，这部分米很少，Δm＝d·Δt，设其落到米堆上之前的速度为v，经Δt时间静止，如图所示，
即自动称米机是准确的，不存在哪方划算不划算的问题，选项C 正确．
6、用豆粒模拟气体分子，可以模拟气体压强产生的原理．如图3所示，从距秤盘80 cm 高处把1 000粒的豆粒连续均匀地倒在秤盘上，持续作用时间为1 s ，豆粒弹起时竖直方向的速度大小变为碰前的一半，方向相反．若每个豆粒只与秤盘碰撞一次，且碰撞时间极短(在豆粒与秤盘碰撞极短时间内，碰撞力远大于豆粒受到的重力)，已知1 000粒的豆粒的总质量为100 g ．则在碰撞过程中秤盘受到的压力大小约为( )
图3
A ．0.2 N
B ．0.6 N
C ．1.0 N
D ．1.6 N
答案 B
解析 豆粒从80 cm 高处下落到秤盘上时的速度为v 1，v 12＝2gh ，
则v 1＝2gh ＝2×10×0.8 m/s ＝4 m/s
设竖直向上为正方向，根据动量定理：Ft ＝m v 2－m v 1
则F ＝m v 2－m v 1t ＝0.1×2－0.1×(－4)1
N ＝0.6 N ， 故B 正确，A 、C 、D 错误．
7、水力采煤就是利用从高压水枪中喷出来的强力水柱冲击煤层而使煤层碎裂。设所用水枪的直径为d ，水速为v 0，水的密度为ρ，水柱垂直地冲击到竖直煤壁上后沿竖直煤壁流下，求水柱施于煤层上的冲力大小。
答案：πd 2ρv 204
解析：取Δt 时间内射到煤层的水为研究对象，设这部分水的质量为Δm ，以S 表示水柱的截面积，则
Δm ＝ρS v 0Δt ＝ρ·πd 24·v 0
Δt 这部分水经时间Δt ，其水平方向的动量由Δm v 0变为零，设水受到煤层的反作用力为F ，并设F 方向为正方向，根据动量定理，有F Δt ＝0－(－Δm ·v 0)
故F ＝Δm v 0Δt ＝πd 2ρv 204
根据牛顿第三定律，水柱对煤层的作用力大小为F ′
＝πd 2ρv 204
。 8、如图所示，由喷泉中喷出的水柱，把一个质量为M 的垃圾桶倒顶在空中，水以速率v 0、恒定的质量增率(即单位时间喷出的质量)Δm Δt
从地下射向空中．求垃圾桶可停留的最大高度．(设水柱喷到桶底后以相同的速率反弹，重力加速度为g )
答案 v 022g －M 2g 8(Δt Δm
)2 解析 设垃圾桶可停留的最大高度为h ，并设水柱到达h 高处的速度为v t ，则
v t 2－v 02＝－2gh
得v t 2＝v 02－2gh
由动量定理得，在极短时间Δt 内，水受到的冲量为
F Δt ＝2(Δm Δt
·Δt )v t 解得F ＝2Δm Δt ·v t ＝2Δm Δt
v 02－2gh 据题意有F ＝Mg
联立解得h ＝v 022g －M 2g 8(Δt Δm
)2 11、一艘帆船在湖面上顺风航行，在风力的推动下做速度为v 0＝4 m/s 的匀速直线运动。若该帆船在运动状态下突然失去风力的作用，则帆船在湖面上做匀减速直线运动，经过t ＝8 s 才可静止。该帆船的帆面正对风的有效面积S ＝10 m 2，帆船的总质量约为M ＝936 kg 。若帆
船在航行过程中受到的阻力恒定不变，空气的密度为ρ＝1.3 kg/m 3，在匀速行驶状态下估算：
(1)帆船受到风的推力F 的大小；
(2)风速的大小v 。
答案 (1)468 N (2)10 m/s
解析 (1)风突然停止，帆船只受到阻力F f 的作用，做匀减速直线运动，设帆船的加速度为a ，则
a ＝0－v 0t
＝－0.5 m/s 2 根据牛顿第二定律有－F f ＝Ma ，所以F f ＝468 N
则帆船匀速运动时，有F －F f ＝0
解得F ＝468 N
(2)设在时间t 内，正对着吹向帆面的空气的质量为m ，根据动量定理有－Ft ＝m (v 0－v ) 又因为m ＝ρS (v －v 0)t ，所以
Ft ＝ρS (v －v 0)2t ，解得v ＝10 m/s 。
12、宇宙飞船在飞行过程中有很多技术问题需要解决，其中之一就是当飞船进入宇宙微粒尘区时如何保持速度不变的问题。假设一宇宙飞船以v ＝2.0×103 m /s 的速度进入密度ρ＝2.0×10－6 kg/m 3的微粒尘区，飞船垂直于运动方向上的最大截面积S ＝5 m 2，且认为微粒与飞船相碰后都附着在飞船上，则飞船要保持速度v 不变，所需推力多大？
[解析] 设飞船在微粒尘区飞行Δt 时间，则在这段时间内附着在飞船上的微粒质量Δm ＝ρS v Δt ，
微粒由静止到与飞船一起运动，微粒的动量增加，
由动量定理Ft ＝Δp 得F Δt ＝Δm v ＝ρS v Δt v ，
所以飞船所需推力F ＝ρS v 2＝2.0×10－6×5×(2.0×103)2N ＝40 N 。
[答案] 40 N
13、根据量子理论，光子的能量E 与动量p 之间的关系式为E ＝pc ，其中c 表示光速，由于光子有动量，照到物体表面的光子被物体吸收或反射时都会对物体产生压强，这就是“光压”，用I 表示。
(1)一台二氧化碳气体激光器发出的激光，功率为P 0，射出的光束的横截面积为S ，当它垂直照射到一物体表面并被物体全部反射时，激光对物体表面的压力F ＝2pN ，其中p 表示光子的动量，N 表示单位时间内激光器射出的光子数，试用P 0和S 表示该束激光对物体产生的光压。
(2)有人设想在宇宙探测中用光为动力推动探测器加速，探测器上安装有面积极大、反射率极高的薄膜，并让它正对太阳，已知太阳光照射薄膜时每平方米面积上的辐射功率为1 350 W ，探测器和薄膜的总质量为m ＝100 kg ，薄膜面积为4×104 m 2，求此时探测器的加速
度大小。
答案：(1)2P 0cS
(Pa) (2)3.6×10－3 m/s 2 解析：(1)在单位时间内，功率为P 0的激光器的总能量为：P 0×1 s ＝NE ＝Npc ，所以：p ＝P 0Nc
(kg·m/s) 由题意可知：激光对物体表面的压力F ＝2pN
故激光对物体产生的光压：I ＝F S ＝2P 0cS
(Pa)。 (2)由上一问可知：
I ＝2P 0cS (Pa)＝2×1.35×1033×108×1
Pa ＝9×10－6Pa 所以探测器受到的光的总压力F N ＝IS 膜， 对探测器利用牛顿第二定律有F N ＝ma 故此时探测器的加速度
a ＝IS 膜m ＝9×10－
6×4×104100
m /s 2＝3.6×10－3 m/s 2。