16/9/21 旋转构图，聚拢条件（1）姓名：
1.正三角形类型
在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC 重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。
例1.图1-1，设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，求∠APB的度数
解：将△APC绕A点逆时针旋转60°，使得AC与AB重合并连接PP’，
2.正方形类型
在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。
例2.如图（2-1），P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求∠APB的度数。
图2-1
A B
C
P
D
3.等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=900, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。
例3．如下图，在ΔABC中，∠ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠BPC的度数。
解：
练习：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，
（1）按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），
（2）分别求∠A′BC、OA+OB+OC的大小。
16/9/23 旋转构图，聚拢条件(2) 姓名：
例1．如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 上任意一点，F 是边AD 上的点，且FB 平分∠ABE ．
求证：BE =AF ＋CE ．
例2．如图，正方形ABCD 中，∠EAF=45?, 当∠EAF 绕点A 旋转时，分别交BC 、CD 于点E 、F ，
求证：BE+DF=EF ．
【变式1】 如上图，已知正方形ABCD 中，∠EAF=45?, 当∠EAF 绕点A 旋转时，分别交BC 、CD
于点E 、F ，如果正方形的边长为1，求△EFC 的周长．
【变式2】如图3，设点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上滑动且保持∠EAF=45?，AP ⊥EF 于点P ，（1）求证：AP=AB ， （2）若AB=5，求ΔECF 的周长。
【变式3】如图，正方形ABCD 的边长为1，BC 、CD 上各有一点E 、F ，如果△EFC 的周长为2，
求∠EAF 的度数．
A
B
C D
E
F
A
D
F
F
E
D
C
B
A
图3
【变式4】（09广州）如图12，边长为1的正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割为四个小矩形，EF 与GH 交于点P 。 （1）若AG=AE ，证明：AF=AH ； （2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH ；
【变式5】（09山东济宁）如图，在坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在
y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N . （1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形 OABC 旋转的度数； （3）设MBN ?的周长为p ，在旋转正方形OABC
的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.
O
A
B
C M
N
y x = x
y
16/9/23 《图形的旋转》专项练习1 姓名：
1．如左1图，如图3，等腰直角△ABC 绕直角顶点A 按逆时针方向旋转60°后得到△ADE ，且AB ＝1，则EC 的长为______
2.如左2图，AD 是ΔABC 的中线，∠ADC=45°，把ΔADC 沿AD 对折，点C 落在点C ′的位置，如果BC ＝2，则BC ′＝ .
3.如左3图，在△ABC 中，以AB 、AC 为边分别作正方形ADEB 、ACGF ，连接DC 、BF ， 则CD 与BF 的关系是( ).
(A)相等但不垂直 (B)垂直但不相等 (C)相等且垂直 (D)没有任何关系
4．如左4图,四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90o，AB=AD ，AE ⊥BC 于E ，若线段AE=5， 则S 四边形ABCD ＝ 。
5．如下中图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，△ABC 以点C 为中心旋转到△A ′B ′C
的位置，使B 在斜边A ′B ′上，A 'C 与AB 相交于点D ，求∠ADC 的度数．
6．如图，△ABC 的直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合， 如果AP=3，求PP ′的长．
E
D
C
B
A
7．如左1图图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为．
8．如左2图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）
A． B． C． D．
9．如左3图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C 顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（）
A．6 B．4 C．3 D．3
10．如左4图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）
A． 2﹣B． C．﹣1 D．1
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．
（1）求n的值；
（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
12．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．
（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；