2018年艺体生全套复习资料
高
中
数
学
集合与简易逻辑：
一、理解集合中的有关概念
（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 。 （2）集合与元素的关系用符号?∈, 表示。
（3）常用数集的符号表示：自然数集 N ；正整数集 N *
、 N + ；整数集 Z ；
有理数集 Q 、实数集 R 。
（4）集合的表示法:列举法，描述法，符号法（数轴法，韦恩图法）
注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；
}
12|),{(2++==x x y y x C }12|{2++==x x x x D ；
},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；
}12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2x
y
z x x y z G =++==
（5）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意：条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 如：}012|{2
=--=x ax x A ，如果φ=+
R A I ，求a 的取值。
二、集合间的关系及其运算
（1）符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；
符号“??,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 （2）A ?B={ x| x ∈A 且x ∈B} A ?B={ x| x ∈A 或x ∈B}； C I A={ x| x ∈ I
且x ?A }
（3）对于任意集合B A ,，则：
①A B B A Y Y =；A B B A I I =；B A B A Y I ?； ②?=A B A I A ?B ；?=A B A Y B ?A ；
?=U B A C U Y A ?B=?；?=φB A C U I A ?B=U ；
③=B C A C U U I )(B A C U ?; B C A C U U ?)(B A C U I =； （4）①若n 为偶数，则=n 2K,(k Z ∈)；若n 为奇数，则=n 2k+1, (k Z ∈)；
②若n 被3除余0，则=n 3k, (k Z ∈)；若n 被3除余1，则=n 3k+1(k Z ∈)；若n 被3除余2，则=n 3k+2(k Z ∈)；
三、集合中元素的个数的计算：
（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为2n
，所有真子集的个数
是2n
-1，所有非空真子集的个数是2n
-2。 （2）B A Y 中元素的个数的计算公式为：
=)(B A Card Y -+CardB CardA )(B A Card ?；
（3）韦恩图的运用：
四、x x A |{=满足条件}p ，x x B |{=满足条件}q ，
若p ?q,q ?p ；则p 是q 的充分非必要条件B A ??； 若p ?q,q ?p ；则p 是q 的必要非充分条件B A ??； 若p ?q ；则p 是q 的充要条件B A =?；
若p ?q,q ?p ；则p 是q 的既非充分又非必要条件A B B A ???,； 五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的充要性；
注意：“若q p ???，则q p ?”在解题中的运用， 如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的充分不必要条件。
六、反证法：当证明“若p ，则q ”感到困难时，改证它的等价命题“若q ?则p ?”成立， 步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；
3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个 否定 不等于 不大于 不小于
不是
不都是 至少有两个 正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n 个
任意两个
否定
一个也没有
某些
存在
至少n+1个 存在两个不
课本题 1．设(){}(){},46,,53,A x y y x B x y y x =
=-+==+-，则A B =I
（1，2）
2．（P13练习5）设{
}
{
}
21,,21,,A x x k k Z B x x k k Z ==+∈==-∈
{}2,,C x x k k Z ==∈则A B =I A ，B C =I ?，A C =U R ，A B =U A 。
3．（P14习题9）一个集合的所有子集共有n 个，若{}0,1,2,3,4,5n ∈，则n ={1,2.4} 4.（P14习题10）我们知道,如果集合A S ?，那么S 的子集A 的补集为{},s C A x x S x A =∈?且．
类似地,对于集合A,B ，我们把集合叫{},x x A x B ∈?且做集合Ａ，Ｂ的差集，记作Ａ－Ｂ．若{}{}1,2,3,4,5,4,5,6,7,8A B ==，则
()()A B B A --=I {1,2.3.6.7.8}.若A B -=?，则集合A 与B 之间的关系为A ?B=?
5．（P17复习题6）已知集合[)()1,4,,,A B a A B ==-∞?，则a ∈+∞,4[) 6．（P17复习题8）满足{}{}1,31,3,5A =U 的集合A 最多有4 个。
7．（P17复习题10）期中考试，某班数学优秀率为70%，语文优秀率为75%.则上述两门学科都优秀的百分率至少为45%。
8．（P17复习题11）设全集为U ，则()(),,U U U C A C A B C A B I U 三者之间的关系为
()()U U U C A B C A C A B ??U I
9．（P17复习题12）设A ，B 均为有限集，A 中元素的个数为m ，B 中元素的个数为n ，A B U 中的元素的个数s ，A B I 中的元素的个数t ，则下列各式能成立的序号是(1)(2) （1）．m n s +> （2）．m n s += （3）．m n s +p 10．（P17复习题13）对于集合A ，B ，我们把集合
(){},,a b a A b B ∈∈记作A B ?.例如，
{}{}1,2,3,4A B ==，则有
()()()(){}()()()(){}1,3,1,4,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2,A B B A ?=?=
()()()(){}()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3,3,4,4,3,4,4.A A B B ?=?=
据此，试解答下列问题：
（1） 已知{}{},1,2,3C a D ==，求C D ?及D C ?；
C ?D={(a,1),(a,2),(a,3)}
D ?C={(1,a),(2,a),(3,a)}
（2） 已知()(){}
1,2,2,2A B ?=，求集合A ，B ；A={1,2}B={2} （3） 若A 有3个元素，B 有4个元素，试确定A B ?有几个元素？12
高考题
1.若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B =I ，则实数a =2．
2.设集合{|32}M m m =∈-< 3.已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合 )(B C A U I 等于{}|13x x -≤≤ 4.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则=)(B A C U I {}1,4,5 5.设集合|0{8}x x N U =∈<≤，{1,2,4,5}S =，{3,5,7}T =，则=)(T C S U I {1,2,4} 6.定义集合运算:{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合 A B *的所有元素之和为6 7.（湖南卷2）“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的必要不充分条件 8.已知全集{12345}U =， ，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合)(B A C U Y 中元素的个数为2 9.设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的充分而不必要条件 10.（福建卷2)设集合A={x |1 x x -＜0},B={x |0＜x ＜3＝,那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分而不必要条件 11.已知U=R ，A={}0|>x x ,B={}1|-≤x x , 则()()=A C B B C A u u I Y I {}10|-≤>χχχ或 12.已知集合{}3| 0|31x M x x N x x x +?? ==<=-??-?? ，≤，则集合{}|1x x ≥＝ D A ．M N I B ．M N U C ．)(N M C U I D ．)(N M C U Y 13.（江苏卷4）A={()}2 137x x x -<-，则A I Z 的元素的个数 0 ． 14.（重庆卷11）设集合U ={1,2,3,4,5},A ={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则 )()(C C B A U I Y = {}5,2 . 函数 一、映射与函数： （1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念： 如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有34 个，B 到A 的映射有43 个；A 到B 的函数有81个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有6个。 函数)(x y ?=的图象与直线a x =交点的个数为 0 或1个。 二、函数的三要素：定义域，值域，对应法则。 相同函数的判断方法：①定义域相同；②对应法则一样 (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法： ①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法： （2）函数定义域的求法： ①) () (x g x f y = ，则g （x ）0≠； ②)()(*2N n x f y n ∈=则f （x ）0≥； ③0 )]([x f y =，则f （x ）0≠； ④如：)(log )(x g y x f =，则{ ()0 0()1()1g x f x f x ><<>或； ⑤含参问题的定义域要分类讨论； ⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为r ，扇形面积为S ，则==)(r f S -r 2 +10r ；定义域为（0，10）。 （3）函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： ),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出 y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x d cx b ax y ∈++= ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：)0(>+ =k x k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 求下列函数的值域：①])1,1[,,0,0(-∈>>>-+= x b a b a bx a bx a y （2种方法）； ②)0,(,32-∞∈+-=x x x x y （2种方法）；③)0,(,1 3 2-∞∈-+-=x x x x y （2种方法）； 三、函数的性质： 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有：定义法（作差比较和作商比较） 导数法（适用于多项式函数） 复合函数法和图像法。 应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0? f(x) =f(-x) ?f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0? f(x) =－f(-x) ?f(x)为奇函数。 判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。 周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x 满足：f(x+T)=f(x),则T 为函数f(x)的周期。 其他：若函数f(x)对定义域内的任意x 满足：f(x+a)=f(x －a),则2a 为函数f(x)的周期. 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。 四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考） 平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b 注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过左移2个单位平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。 （ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量a （ｍ，ｎ）平移的意义。 对称变换 y=f(x)→y=f(－x),关于ｙ轴对称 y=f(x)→y=－f(x) ,关于ｘ轴对称 y=f(x)→y=f|x|,把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称。 （注意：它是一个偶函数） 伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx), y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。 一个重要结论：若f(a －x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称； 五、常用的初等函数： （1）一元一次函数：)0(≠+=a b ax y ，当0>a 时，是增函数；当0 一般式：)0(2 ≠++=a c bx ax y ；对称轴方程是x=-a b 2；顶点为（-a b 2，a b a c 442-）； 两点式：))((21x x x x a y --=；对称轴方程是x= 2 2 1x x +与x 轴交点（x 1，0）（x 2，0）； 顶点式：h k x a y +-=2 )(；对称轴方程是x=k ；顶点为（k ，h ）； ①一元二次函数的单调性： 当0>a 时：(-+∞,2a b ）为增函数；（-a b 2,- ∞）为减函数； 当0 b ）为减函数； ②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为h k x a y +-=2 )(的形式， 有三个类型题型：(1)顶点固定，区间也固定。如：]1,1[,12 -∈++=x x x y (2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参 数．]1,[,12 +∈++=a a x x x y ③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程0)(2 =++=c bx ax x f 的两根为21,x x （3）反比例函数：)0(≠= x x a y ?b x c a y -+ = （4）指数函数：)1,0(≠>=a a a y x 指数运算法则：r a ·s r r a a +=； rs s r a a =)(； s r r a a ab =)(。 指数函数：y=x a (a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a 的值有关，在解题中，往往要对a 分a>1和0 a a a M log =log M -log N N ； ()n a a log M =nlog M n R ∈ 对数函数：y=x a log (a>o,a≠1) 图象恒过点（1，0），单调性与a 的值有关，在解题中，往往要对a 分a>1和0 （1）x a y =与x y a log =的图象关系是关于y=x 对称； （2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。 （3）已知函数)2(log )(2 2 1++=kx x x f 的定义域为R ，求k 的取值范围。(-22，22) 已知函数)2(log )(2 2 1++=kx x x f 的值域为R ，求k 的取值范围。 (][) ∞+?-∞-,22 22, 六、)0(>+ =k x k x y 的图象： 定义域：{x|x 0≠}；值域：(][ ) ∞+?-∞-,22,k k ； 奇偶性：奇函数； 单调性：(][ )+∞-∞-,,,k k 是增函数；( ][) 0,,,0k k -是减函数。 七、补充内容： 抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型： ①)()()(2121x f x f x x f +=+?正比例函数)0()(≠=k kx x f ②)()()(2121x f x f x x f ?=+；)()()(2121x f x f x x f ÷=-?指数函数x a x f =)(； ③)()()(2121x f x f x x f +=?；)()()(212 1 x f x f x x f -=?对数函数x x f a log )(=； 课本题 1．设集合}4|||{<=x x A ，}034|{2>+-=x x x B ，则集合{A x x ∈|且B A x I ?}=[1,3]。 2．若集合{02|)(=-+y x y x ，且042=+-y x }}3|){(b x y y x +=?，，则=b 2 。 3．设集合}2|||{<-=a x x A ，}12 1 2| {<+-=x x x B ，且B A ?，则实数a []1,0∈。 4．已知二次函数)0(3)(2≠-+=a bx ax x f 满足)4()2(f f =，则)6(f =-3。 5．已知函数)12(log )(2 ++=ax x x f a 的值域为R ，则a 的取值范围是a 1≥。 6．已知函数1 )(2 ++= x b ax x f 的值域是[－1,4 ]，则b a 2的值是 96 。 7．若函数3)2(2+++=x a x y ，][b a x ，∈的图象关于直线1=x 对称，则=b 6。 8．函数)(x f y =的图象与x x g )4 1()(=的图象关于直线y=x 对称，那么)2(2x x f -的单调减区间是(]1,0。 9．函数1 )(---=a x x a x f 的图象的对称中心是（3,-1），则实数a = 2 。 10．)(x f y =是R 上的减函数，且)(x f y =的图象经过点A （0,1）和B （3,-1），则不等式 1|)1(|<+x f 的解集为 (-1,2) 。 11．如果函数???<>-=0 ),(0 ,32x x f x x y 是奇函数，则)(x f = 2x+3 。 12．已知函数),1,1(,5sin )(-∈+=x x x x f 如果,0)1()1(2<-+-a f a f 则a ∈(1,2) 。 13．关于x 的方程a a x -+= 53 5有负根，则a 的取值范围是 (-3,1) 。 14．定义在区间)1,1(-内的函数)(x f 满足)1lg ()()(2+=--x x f x f ，则 )(x f = )1lg(3 1 )1lg(32x x -++。 15．对任意]1,1[-∈a ，函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=的值恒大于零，那么x 的取值范围是 x>3或x<1。