2019-2020学年重庆市沙坪坝区南开中学八年级（上）期中数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．下列各数中是无理数的是（）
A．﹣1 B．3.1415 C．πD．
2．函数y＝的自变量的取值范围是（）
A．x≠2 B．x＝2 C．x≤2 D．x≥2
3．点P（m+3，m+1）在x轴上，则m的值为（）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
4．一个长方形抽屉长16厘米，宽12厘米，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（）
A．20厘米B．18厘米C．22厘米D．24厘米
5．估计的值应在（）
A．5和6之间B．3和4之间C．4和5之间D．6和7之间
6．若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax+b的图象可能是（）
A．B．
C．D．
7．已知是二元一次方程组的解，则a﹣b的值为（）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
8．嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用（﹣1，1）表示，右下角的圆形棋子用（0，0）表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣1）C．（0，2）D．（1，3）
9．如图，四边形ABCD中，AB＝17，BC＝8，CD＝12，AD＝9，∠D＝90°，则四边形ABCD的面积为（）
A．100 B．110 C．114 D．122
10．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣2），C（﹣3，﹣2），D是线段BC上的一个动点，作直线AD，过点D作DE⊥AD交y轴于点E，若AD＝DE，设点D、E在直线y＝kx+b上，则k为（）
A．2 B．C．3 D．
11．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝6，则CD的长为（）
A．2B．6﹣3C．6﹣2D．3
12．如图，一个粒子在x轴上及第一象限内运动，第1次从（0，0）运动到（1，0），第2次从（1，0）运动到（2，0），第3次从（2，0）运动到（1，1），它接着按图中箭头所示的方向运动．则第2019次时运动
到达的点为（）
A．（59，6）B．（59，5）C．（62，3）D．（62，2）
二、填空题（每小题3分，共30分）
13．6的算术平方根是．
14．将直线y＝2x﹣1向上平移2个单位得到直线．
15．若方程（a﹣2）x?a﹣1?﹣5y＝7是关于x、y的二元一次方程，则a＝．
16．点A（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是．
17．如图，已知直线y＝﹣x+n和直线y＝mx﹣2（m≠﹣）交于点A（﹣2，2），则关于x、y的方程组的解是．
18．如图，在直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣2，1）、B（﹣1，4）、C（﹣4，5）、D（﹣6，2），当直线y＝kx﹣1与四边形ABCD有交点时，k的取值范围是．
19．已知直线y＝﹣2x﹣3b与两坐标轴围成的三角形面积为9，则b＝．
20．如图，将矩形纸片ABCD放入以AB所在直线为y轴，AB边上一点O为坐标原点的直角坐标系中，连接OD．将纸片ABCD沿OD折叠，使得点A落在BC边上点E处，若AB＝8，BC＝10，在OD上存在点F，使F到E、C的距离之和最小，则点F的坐标为．
21．甲、乙两车分别从A、B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后，休息半小时后立即掉头，并以原速的倍与乙车同向行驶，经过一段时间后，两车先后到达距A地300km的C地并停下来，设两车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），y与x 的函数关系如图，则当甲车从B地掉头追到乙车时，乙车距离C地km．
22．为庆祝重庆南开中学建校83周年暨校运动会，我校初二（21）班准备统一穿初一时期订制的服装参加运动会，分别需要增订“英伦学院风”班服（250元/件）、“NK”运动裤（90元/件）、“少年的我”短袖T 恤（40元/件）共50件（三种服装均有增订），总花费6000元，且需要增订“少年的我”短袖T恤的件数最多，则需要增订“NK”运动裤件．
三、解答题（共72分）
23．（16分）计算：
（1）（﹣1）2019+|1﹣|﹣（3﹣π）0+（）﹣1 （2）×﹣﹣3﹣÷
（3）（﹣）（+）﹣（4）（﹣）+（+1）2+
24．（10分）解方程组：
（1）（2）
25．（6分）（1）如图所示，在平面直角坐标系中，先描点A（2，1），再将点A向右平移2个单位长度得到点B，作点B关于x轴的对称点B′，最后描点C（1，﹣2），作△AB′C；
（2）△AB′C的面积是．
26．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是AB边上的高，AF平分∠CAB交CE于点F，过点F作FD ∥CB交AB于点D．求证：AC＝AD．
27．（7分）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
28．（7分）如图，在直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点A、B，直线l2：y＝kx+b过点C（，2）且分别交y轴负半轴、直线l1于点D、E，OD＝OB．
（1）求直线l2的解析式及点E的坐标；
（2）若点P为直线l1上一点，过P作PQ∥y轴，交直线l2于Q，且点P的横坐标为n，若PQ＝BD，求n 的值．
29．（7分）为保障国庆70周年南口阅兵训练基地全体人员的生活，需通过铁路、公路两种运输方式运送生活物资．原计划铁路运输物资的5倍是公路运输的8倍，实际铁路运输的物资减少了15吨，公路运输增加了15吨，且铁路运输物资的2倍比公路运输的3倍少60吨．
（1）原计划铁路、公路分别运输多少吨物资到训练基地？
（2）现采用微型集装箱装载这些物资．每个集装箱装满后箱货总重量为1.6吨，空箱重量为0.1吨．为增加集装箱的载货量将其进行改造，改造后每个集装箱装满后箱货总重量比改造前增加m吨，空箱重量比改造前减少m吨，其中0.1≤m≤0.4．改造前的集装箱每个装满后恰好装下这些物资．若用改造后的集装箱来装载这些物资，改造后的集装箱个数比改造前少用10个．设改造后的集装箱最大载货量总重量为w吨，求w关于m的函数关系式以及w的最大值．
30．（12分）一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y轴上，D为射线OB上任意一点．
（1）如图1，若点D坐标为（0，2），连接AD交OC于点E，则△AOE的面积为；
（2）如图2，将△AOD沿AD翻折得△AED，若点E在直线y＝x图象上，求出E点坐标；
（3）如图3，将△AOD沿AD翻折得△AED，DE和射线BC交于点F，连接AF，若∠DAO＝75°，平面内是否存在点Q，使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．
1．【解答】解：﹣1是整数，属于无理数，故选项A不合题意；
3.1415是有限小数，属于无理数，故选项B不合题意；
是分数，属于无理数，故选项D不合题意．
故选：C．
2．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：D．
3．【解答】解：∵点P（m+3，m+1）在x轴上，
∴m+1＝0，
故选：B．
4．【解答】解：这根木棒最长＝＝20厘米，
故选：A．
5．【解答】解：
＝+2
∵3＝，
∴的值应在5和6之间．
故选：A．
6．【解答】解：∵ab＜0，且a＞b，
∴a＞0，b＜0，
故选：A．
7．【解答】解：∵已知是二元一次方程组的解，∴
由①﹣②，得b＝3，
故选：A．
8．【解答】解：
故选：A．
9．【解答】解：∵CD＝12，AD＝9，∠D＝90°，
∴AC＝＝＝15；
∴AC2+BC2＝AB2，
∴四边形ABCD的面积为：×12×9+×15×8＝54+60＝114．
故选：C．
10．【解答】解：连接AC，
∵A（﹣3，0），B（0，﹣2），C（﹣3，﹣7），
∴AC＝OB＝2，OA＝BC＝3，∠ACD＝∠DBE＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAC＝∠EDB，
∴△ACD≌△DBE（AAS）
∴D（﹣2，﹣2），E（5，﹣1）代入y＝kx+b得：﹣2k+b＝﹣2，且b＝﹣1，故选：B．
11．【解答】解：如图，过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝6，
∵AB∥CF，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，
∴MD＝BM÷tan60°＝6÷＝2，
故选：C．
12．【解答】解：由图形可知：每条斜线上有点的个数与这条线段在x轴的交点的数一样，如图，
且发现x轴上奇数的点箭头方向向右，偶数的点箭头方向向左上线段上，
1+2+3+4+…+n＝，
当n＝64时，＝2080，
∴第2016次时运动到达的点是（63，0），
故选：D．
13．【解答】解：6的算术平方根是．
故答案为：．
14．【解答】解：原直线的k＝2，b＝﹣1；向上平移2个单位长度得到了新直线，那么新直线的k＝2，b＝﹣1+8＝1．
∴新直线的解析式为y＝2x+1．
15．【解答】解：由题意得：
|a﹣1|＝1，且a﹣2≠0，
故答案为：0．
16．【解答】解：点A（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是（2，1），
故答案为：（7，1）．
17．【解答】解：根据一次函数与二元一次方程（组）的关系可知：
直线y＝﹣x+n和直线y＝mx﹣2（m≠﹣）的交点A（﹣2，2），即为关于x、y的方程组的解，
故答案为．
18．【解答】解：由已知，当直线y＝kx﹣1在B、D点之间变化时始终与四边形有交点，
当直线y＝kx﹣1经过B（﹣1，4）时，k＝﹣5，
∴﹣3≤k≤﹣，
故答案为﹣5≤k≤﹣．
19．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2x﹣3b＝﹣3b，
∴直线y＝﹣5x﹣3b与y轴交于点（0，﹣3b）；
解得：x＝﹣b，
∵直线y＝﹣7x﹣3b与两坐标轴围成的三角形面积为9，
解得：b＝±2．
故答案为：±2．
20．【解答】解：连接AC交OD于F，则F到E、C的距离之和最小，
∵四边形ABCD是矩形，
由折叠的性质得：AF＝EF，OA＝OE，ED＝AD＝10，
∴BE＝BC﹣CE＝4，
在Rt△OBE中，由勾股定理得：44+（8﹣x）2＝x2，
∴OA＝OE＝4，∴A（0，5），D（10，5），C（10，﹣2），
∴直线OD的解析式为y＝x，
解得：，
解方程组得：，
故答案为：（，）．
21．【解答】解：由图象可得：当x＝0时，y＝300，
∴AB＝300千米．
又∵300÷3＝100千米/小时，
∴＝5.4小时，
故答案为：160．
22．【解答】解：设需要增订“英伦学院风”班服x件，需要增订“NK”运动裤y件，需要增订“少年的我”短袖T恤z件，依题意有
，
②﹣①×40得210x+50y＝4000，即21x+5y＝400，
∵x，y，z都是正整数，且需要增订“少年的我”短袖T恤的件数最多，
x＝10，y＝38，z＝2（舍去）；
故需要增订“NK”运动裤17件．
故答案为：17．
23．【解答】解：（1）原式＝﹣1+﹣1﹣1+7
＝；
＝﹣2；
＝﹣3；
＝．
24．【解答】解：（1），
把①代入②得：2x+7x﹣3＝2，
把x＝1代入①得：y＝0，
（2），
①×2﹣②得：5x＝﹣5，
解得：x＝﹣1，
则方程组的解为．
25．【解答】解：（1）如图所示：△AB′C即为所求；
（2）△AB′C的面积是：3×4﹣×1×3﹣×2×2﹣×1×7＝9﹣﹣2﹣＝4．
故答案为：4．
26．【解答】证明：∵FD∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∴∠ACB＝∠CEB＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∵AF平分∠CAB，
在△ACF和△ADF中
∴△ACF≌△ADF（AAS），
∴AC＝AD．
27．【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：千米；
得，
∴y＝﹣0.5x+110，
答：当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x+110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．
28．【解答】解：（1）直线l1：y＝﹣x+2可知A（2，0），B（0，2），
∴OB＝2，
∴OD＝1，
∵直线l6：y＝kx+b过点C（，2），D（0，﹣8）
∴直线l2的解析式为y＝2x﹣1，
∴E（1，1）；
∴P（n，﹣n+2），
∴Q（n，2n﹣7），
∴PQ＝1，
解得n＝或n＝．
29．【解答】解：（1）设原计划铁路、公路分别运输a吨，b吨物资到训练基地，
由题意得：
答：原计划铁路、公路分别运输120吨，75吨物资到训练基地；
由题意可得：w＝（130﹣10）[（1.6+m）﹣（3.1﹣m）]＝132m+180，
∴当m＝0.4时，w最大值＝232.6吨．
30．【解答】解：（1）∵边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，
∴点A坐标（4，0），点C（6，4），
∵点D坐标为（0，2），点A坐标（4，0），
∴
∴点E坐标（，）
故答案为：；
∴AO＝AE＝4，
∴OH＝a，EH＝a，
∵AE2＝EH2+AH2，
∴a＝0（舍去），a＝，
（3）∵将△AOD沿AD翻折得△AED，
∴∠OAE＝150°，AE＝AC，∠ACF＝∠AED＝90°，
∵AE＝AC，AF＝AF，
∴∠CAF＝∠EAF＝30°，且AC＝2，
∵△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，
∴∠NQF＝∠AFC，且∠ACF＝∠QNF＝90°，QF＝AF，∴QN＝CF＝，AC＝NF＝4，
同理可求：Q'（5+，4﹣），
同样方法可求，Q''（0，），Q'''（8，﹣
）