题8-12图
8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强．
解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，
两面间， n E )(21210σσε-=1σ面外， n E
)(21210
σσε+-= 2σ面外， n E
)(21210
σσε+=
n
：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．
8-13 半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r ＜R 的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O 与O '点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的． 解:将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．
(1)ρ+球在O 点产生电场010=E ，
ρ-球在O 点产生电场'd
π4π34
3
0320
OO r E
ερ
= ∴O 点电场'd
33
030
OO r E ερ
=
； (2)ρ+
在O '产生电场'd
π4d 34
30301OO E ερπ=' ρ-球在O '产生电场002='E
∴O '点电场0
03ερ=
'
E 'OO
题8-13图(a)题8-13图(b)
(3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r
'，相对O 点位矢为r (如题8-13(b)图)
则0
3ερr
E
PO
=
，
3ερr E O P '
-
=' ,
∴0
003'3)(3ερερερd OO r r E E E
O P PO P
=
='-=+='
∴腔内场强是均匀的． 8-14 一电偶极子由q =1.0×10-6C 的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm ，把这电偶极子放在
1.0×105N ·C -1
的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩．
解:∵电偶极子p
在外场E 中受力矩
E p M ?=
∴qlE pE M ==max 代入数字
4536max 100.2100.1102100.1---?=?????=M m N ?
8-15两点电荷1q =1.5×10-8C ，2q =3.0×10-8
C ，相距1r =42cm ，要把它们之间的距离变为2r =25cm ，需作多少功?
解:
?
?
==
?=
2
2
2
1
0212021π4π4d d r r r r q q r r q q r F A εε )11(2
1r r - 61055.6-?-=J
外力需作的功61055.6-?-=-='A A J
题8-16图
8-16 如题8-16图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功．
解: 如题8-16图示
0π41
ε=
O U 0)(=-R q R
q
0π41ε=
O U )3(R q R q -R
q
0π6ε-
=
∴R
q
q U U q
A o C O 00
π6)(ε=
-=
8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R ．试求环中心O 点处的场强和电势．
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =
则θλd d R q =产生O 点E
d 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向
题8-17图
θ
εθ
λπ
π
cos π4d d 22
2
0??-
==
R R E E y
R
0π4ελ=
［)2
sin(π-2
sin π-］
R
0π2ελ-=
(2)AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U
?
?
==
=
A
B
20
0012ln π4π4d π4d R
R
x x x
x
U ελελελ 同理CD 产生2ln π40
2
ελ
=
U 半圆环产生0
03
4π4πελ
ελ=
=
R R U
∴0
032142ln π2ελ
ελ+
=
++=U U U U O
8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m ·s -1的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量0m =9.1×10-31kg ，电子电量e =1.60×10-19C) 解:设均匀带电直线电荷密度为λ，在电子轨道处场强
r
E 0π2ελ
=
电子受力大小r
e eE F e
0π2ελ
=
=
∴
r
v m
r e 2
0π2=ελ
得13
2
0105.12π2-?==
e
mv ελ
1m C -?
8-19空气可以承受的场强的最大值为E =30kV ·cm -1，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d =0.5cm ，求此电容器可承受的最高电压．
解: 平行板电容器内部近似为均匀电场 ∴4105.1d ?==E U V
8-20 根据场强E
与电势U 的关系U E -?= ，求下列电场的场强：(1)点电荷q 的电场；(2)总电量为q ，
半径为R 的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子ql p =的l r >>处(见题8-20图)．
解:(1)点电荷r
q
U 0π4ε=
题 8-20 图
∴0200π4r r
q r r U E ε=??-=0
r
为r 方向单位矢量． (2)总电量q ，半径为R 的均匀带电圆环轴上一点电势
2
20
π4x R q
U +=
ε
∴()
i
x R qx
i x
U E 2
/32
20π4+=
??-
=ε (3)偶极子l q p
=在l r >>处的一点电势
2
00
π4cos ])cos 2
1(1)cos 2
(1
[
π4r ql l
l
r q
U εθθθε=
+
--
=
∴3
0π2cos r p r U E
r
εθ
=??-
=
3
0π4sin 1r p U r E εθ
θθ=
??-
=
8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同．
证: 如题8-21图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，
4
σ
题8-21图
(1)则取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合柱面为高斯面时，有
0)(d 32=?+=??S S E s
σσ
∴+2σ03=σ
说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；
(2)在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即
22220
4
030201=---εσεσεσεσ 又∵+2
σ
3=σ
∴1σ4σ=
说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．
8-22 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0 mm ．B ，
C 都接地，如题8-22图所示．如果使A 板带正电3.0×10-7
C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电
荷各是多少?以地的电势为零，则A 板的电势是多少?
解:如题8-22图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为2σ
题8-22图
(1)∵AB AC U U =，即
∴AB AB AC AC E E d d = ∴2d d
2
1
===
AC
AB AB AC E E σσ 且1σ+2σS
q A =
得,32
S
q A
=
σS
q A 321=
σ
而711023
2
-?-=-
=-=A C
q S q
σC
C
10172-?-=-=S q B σ (2)
30
1
103.2d d ?==
=AC AC AC A E U εσV
8-23两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q ，试计算：
(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；
(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；
*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．
解: (1)内球带电q +；球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，其电势
题8-23图
?
?
∞
∞
==
?=
2
2
02
0π4π4d d R R R q r
r q r E U εε (2)外壳接地时，外表面电荷q +入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q -．所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生：
0π4π42
02
0=-
=
R q R q U εε
(3)设此时内球壳带电量为q '；则外壳内表面带电量为q '-，外壳外表面带电量为+-q q ' (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且
π4'
π4'π4'2
02
01
0=+-+
-
=
R q q R q R q U A εεε 得q R R q 2
1=
' 外球壳上电势
()2
2
021202
02
0π4π4'π4'π4'R q R R R q q R q R q U B εεεε-=+-+
-
=
8-24半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量．
解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q '，则球接地时电势0=O U
8-24图
由电势叠加原理有：
=
O U 03π4π4'00=+R
q
R q εε 得-
='q 3
q
8-25有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为0F ．试求：
(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力； (2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．
解: 由题意知2
02
π4r q F
ε=
(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电
2
q q =
', 小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电
q q 4
3=
''
∴此时小球1与小球2间相互作用力
2
2
18
3
π
4
8
3
π
4
"
'
2
F
r
q
r
q
q
F=
-
=
ε
ε
(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为
3
2q.
∴小球1、2间的作用力
29
4
π
4
3
2
3
2
2
F
r
q
q
F=
=
ε
*8-26 如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相距为d，分别维持电势
A
U=U，
B
U=0不变．现把一块带有电量q的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积也是S，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．
解:依次设A,C,B从上到下的6个表面的面电荷密度分别为
1
σ，
2
σ，
3
σ，
4
σ,
5
σ,
6
σ如图所示．由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持U
U
AB
=可得以下6个方程
题8-26图
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
+
+
+
=
=
+
=
+
-
=
=
+
=
+
=
=
=
+
6
5
4
3
2
1
5
4
3
2
6
5
4
3
2
1
1
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
ε
σ
σ
σ
σ
ε
σ
σ
d
U
S
q
S
q
d
U
U
C
S
S
q
B
A
解得
S
q
2
6
1
=
=σ
σ
S
q
d
U
2
3
2
-
=
-
=
ε
σ
σ
S
q
d
U
2
5
4
+
=
-
=
ε
σ
σ
所以CB间电场
S
q
d
U
E
4
22ε
ε
σ
+
=
=
)
2
d
(
2
1
2
d
2S
q
U
E
U
U
CB
Cε
+
=
=
=
r
d
r
d
?
+
?
=?
?∞
∞
r
r
E
E
U
外
内
注意：因为C 片带电，所以2
U U C ≠，若C 片不带电，显然2
U U C =
8-27在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r ε，金属球带电Q ．试求： (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势．
解:利用有介质时的高斯定理∑?=?q S D S
d
(1)介质内)(21R r R <<场强
3
03π4,π4r r
Q E r r Q D r εε =
=
内;
介质外)(2R r <场强
3
03π4,π4r r
Q E r Qr D ε
==
外
(2)介质外)(2R r >电势
r
Q E U 0r
π4r d ε=
?=
?
∞
外
介质内)(21R r R <<电势
2
020π4)11(
π4R Q R r q r
εεε+-=
)11
(
π42
0R r Q r r
-+=
εεε (3)金属球的电势
r d r d 2
2
1
?+?=
??
∞R R R E E U 外内
?
?
∞
+=
2
2
2
02
0π44πdr R R R
r r Qdr r
Q εεε
)11
(
π42
10R R Q r r
-+=
εεε 8-28 如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r ε的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值．
解:如题8-28图所示，充满电介质部分场强为2E ，真空部分场强为1E
，自由电荷面密度分别为2σ与
1σ
由∑?=?0d q S D
得
11σ=D ，22σ=D
而101E D ε=,202E D r εε=
d
21U E E =
= ∴
r D D εσσ==1
2
12
题8-28图题8-29图
8-29两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为1R 和2R (2R ＞1R )，且l >>2R -1R ，两柱面之间充有介电常数ε的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q 和-Q 时，求：
(1)在半径r 处(1R ＜r ＜2R ＝，厚度为dr ，长为l 的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；
(2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容． 解:取半径为r 的同轴圆柱面)(S 则
rlD
S
D S π2d )
(=??
当)(21R r R <<时，Q q =∑ ∴rl
Q D π2=
(1)电场能量密度2
222
2π82l r Q D w εε==
薄壳中rl
r
Q rl r l r Q w W
εευπ4d d π2π8d d 22222=
=
=
(2)电介质中总电场能量
?
?===
2
1
1
2
2
2ln π4π4d d R R V
R R l Q rl r Q W W εε
(3)电容：∵C
Q W 22
=
∴)
/ln(π22122R R l
W Q C ε==
*8-30金属球壳A 和B 的中心相距为r ，A 和B 原来都不带电．现在A 的中心放一点电荷1q ，在B 的中心放一点电荷2q ，如题8-30图所示．试求： (1) 1q 对2q 作用的库仑力，2q 有无加速度；
(2)去掉金属壳B ，求1q 作用在2q 上的库仑力，此时2q 有无加速度． 解: (1)1q 作用在2q 的库仑力仍满足库仑定律，即
2
2
10π41r q q F ε=
但2q 处于金属球壳中心，它受合力．．
为零，没有加速度． (2)去掉金属壳B ，1q 作用在2q 上的库仑力仍是2
2
10π41r q q F ε=，但此时2q 受合力不为零，有加速度．
题8-30图题8-31图
8-31如题8-31图所示，1C =0.25μF ，2C =0.15μF ，3C =0.20μF ．1C 上电压为50V ．求：AB U ． 解: 电容1C 上电量
111U C Q =
电容2C 与3C 并联3223C C C += 其上电荷123Q Q = ∴35
50
25231123232
?===
C U C C Q U
86
)
35
25
1
(
50
2
1
=
+
=
+
=U
U
U
AB
V
8-32
1
C和
2
C两电容器分别标明“200pF、500 V”和“300 pF、900 V”，把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V的电压，是否会击穿?
解: (1)
1
C与
2
C串联后电容
120
300
200
300
200
2
1
2
1=
+
?
=
+
=
'
C
C
C
C
C
pF
(2)串联后电压比
2
3
1
2
2
1=
=
C
C
U
U，而1000
2
1
=
+U
U
∴600
1
=
U V,400
2
=
U V
即电容
1
C电压超过耐压值会击穿，然后
2
C也击穿．
8-33将两个电容器
1
C和
2
C充电到相等的电压U以后切断电源，再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联．试求：
(1)每个电容器的最终电荷；
(2)电场能量的损失．
解: 如题8-33图所示，设联接后两电容器带电分别为
1
q,
2
q
题8-33图
则
?
?
?
?
?
?
?
=
=
-
=
-
=
+
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
20
10
2
1
U
U
U
C
U
C
q
q
U
C
U
C
q
q
q
q
解得(1)=
1
q
U
C
C
C
C
C
q
U
C
C
C
C
C
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
)
(
,
)
(
+
-
=
+
-
(2)电场能量损失
W
W
W-
=
?
)
2
2
(
)
2
1
2
1
(
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1C
q
C
q
U
C
U
C+
-
+
=
2
2
1
2
1
2
U
C
C
C
C
+
=
8-34 半径为
1
R=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为
2
R=4.0cm和3
R=5.0cm，当内球带电荷Q=3.0×10-8C时，求：
(1)整个电场储存的能量；
(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量；
(3)此电容器的电容值．
解:如图，内球带电Q，外球壳内表面带电Q
-，外表面带电Q
题8-34图
(1)在
1
R
r<和
3
2
R
r
R<
<区域
=
E
在
2
1
R
r
R<
<时
3
1π
4r
r
Q
E
ε
=
3
R
r>时
3
2π
4r
r
Q
E
ε
=
∴在
2
1
R
r
R<
<区域
?
=2
1
d
π
4
)
π
4
(
2
1
2
2
2
1
R
R
r
r
r
Q
W
ε
ε
?-
=
=2
1
)
1
1
(
π
8
π
8
d
2
1
2
2
2
R
R R
R
Q
r
r
Q
ε
ε
在
3
R
r>区域
?∞=
=
323
2
2
2
2
1
π
8
d
π
4
)
π
4
(
2
1
R R
Q
r
r
r
Q
W
ε
ε
ε
∴总能量
)
1
1
1
(
π
8
3
2
1
2
2
1R
R
R
Q
W
W
W+
-
=
+
=
ε
4
10
82
.1-
?
=J
(2)导体壳接地时，只有
2
1
R
r
R<
<时
3
π
4r
r
Q
E
ε
=,0
2
=
W
∴4
2
10211001.1)1
1(π8-?=-=
=R R Q W W
εJ
(3)电容器电容
)11/(π422102
R R Q
W C -==
ε 121049.4-?=F