2010年江苏专转本高等数学真题(附答案)
2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
1.设当0x →时，函数()sin f x x x =-与()n
g x ax =是等价无穷
小，则常数,a n 的值为 ( )
A. 1,36a n ==
B. 1,33a n ==
C. 1
,412a n == D. 1,46
a n == 2.曲线22
3456
x x y x x -+=-+的渐近线共有
( )
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条 3.设函数2
2
()cos t x
x e tdt
Φ=?，则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于
( ) A.
2
2
2cos x xe x B.
2
2
2cos x xe x - C. 2cos x
xe
x
-
D. 2
2
cos x e
x -
4.下列级数收敛的是
8. 若(0)1f '=，则0
()()lim x f x f x x →--=
9. 定积分
31
2111x dx
x -++?的值为
10. 设(1,2,3),(2,5,)a b k ==，若a 与b 垂直，则常数k = 11. 设函数24z x y
=+，则10
x y dz
===
12. 幂级数0
(1)n n
n x n ∞
=-∑的收敛域为
三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
13、求极限2
11
lim()tan
x x x x
→- 14、设函数()y y x =由方程2x y
y e x
++=所确定，求
22
,dy d y
dx dx
15、求不定积分arctan x xdx ? 16、计算定积分40
21
dx x +?
17、求通过点(1,1,1)，且与直线23253x t y t z t =+??
=+??=+?
垂直，又与
平面250x z --=平行的直线的方程。 18、设2
(,)
x z y f xy e =，其中函数f 具有二阶连续偏导
数，求
2z x y
???
19、计算二重积分D
xdxdy ??，其中D 是由曲线2
1x y =
-，
直线y x =及x 轴所围成的闭区域。
20、已知函数x
y e =和2x
y e -=是二阶常系数齐次线性
微分方程"
'0
y
py qy ++=的两个解，试确定常数q p ,的
值，并求微分方程"
'
x
y py qy e ++=的通解。
四、证明题（每小题9分，共18分） 21、证明：当1x >时，1
211
22
x e x ->
+
22、设
()
,0,()1,
0,x x f x x
x ??≠?
=??=?其中函数()x ?在0x =处具有二
阶连续导数，且
'(0)0,(0)1
??==，证明：函数()f x 在0x =处连续且可导。
五、综合题（每小题10分，共20分） 23、设由抛物线2
(0)y x x =≥，直线2
(01)y a a =<<与y 轴
所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1
()V a ，由抛物线2
(0)y x x =≥，直线
2(01)
y a a =<<与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋
转一周所形成的旋转体的体积记为2
()V a ，另
12()()()
V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值。
24、设函数()f x 满足方程'
()()2x
f x f x e +=，且(0)2f =，记由曲线
'()()
f x y f x =
与直线1,(0)y x t t ==>及y 轴所围平面图
形的面积为()A t ，试求lim ()t A t →+∞
2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、A
2、C
3、B
4、D
5、D
6、C
7、2
e 8、2
9、2
π 10、4-
11、dy dx 2+ 12、]1,1(- 13、原式=313tan lim 3sec 1lim tan lim tan tan lim 2
202203020-=-=-=-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x x x .
14、
3
22)1(9;122)1(y x y x y x y x y
x e e dx y d e e dx dy dx dy e dx dy ++++++-=+-==++，
15、原式.arctan 2
1
21arctan 2
12
C x x x x
++-
=
16、变量替换：令
t
x =+12，
2
12-=
t x ，tdt dx =，
原式3
2813)2561()252(321
3312
312=+=+=?+-=??t t dt t dt t t t
17、)
3,2,1(1
=→n
，)
1,0,2(2
-=→n
，)
4,7,2(1
0232
12
1
--=-=?=→→→
k
j i n
n n ，
所求直线方程为4
1
7121--=-=--z y x 18、
)('2'12x e f y f y x
z
+=??；
'
'12
2''113'2'12223f e xy f xy yf e f y y
x z x x ++=???＋
19、6
2020
12=
=?
?
??-y y
D
xdx dy dxdy x
20、特征方程的两个根为2
,121
-==r r
，特征方程为
22=-+r r ，从而2,1-==q p ；
1=ω是特征方程的单根，1)(=x p ，可设Ax x Q =)(，