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平行四边形中的常用辅助线
PART A知识讲解
六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴：
第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
E,F ACABCDAE?CF,中，点上，且1，在平行四边形在对角线请例1如左下图F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已你以有的某一条线段相等
（只需证明一条线段即可）
BFBF?DE⑵⑴连结
DB,DFDB,AC交于点⑶证明：连结设O,AO?OC,DO?OB ABCD∴∵四边形为平行四边形
AE?FCAO?AE?OC?FCOE?OF∴即∵EBFDBF?DE∴∴四边形为平行四边形
D
DCC
FOOEBEBAA1图2图
第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
ABCDACAC?12BD，相交于点O2如右图2，在平行四边形，中，对角线如果和例
m m?10ABBD?的取值范围是（，那么，）
2?m?2210?m?125?m?611??1m BD C A
DCDB?CEDC?BECDBEDB为平,则有四边形沿方向平移，使得,解：将线段
?ACEAC?12CE?BD?10AE?2AB?2m , ,行四边形,∵在,中
2?2m?221?m?111012?10?2m?12?∴解得故选，即A
第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
ABCD为平行四边形3，四边形例3已知：如左下图222222DA?CDAC?BD?AB?BC?求证：D,A BCDFAE?BC?E F
于点分别作证明：过的延长线于点，22222222BC?BC?AB??2BE)(ABAEAC??CE??BE?BC?BE ∴22222222CF?)CD?BC??BC2CFBC?CFCD???BDDFBF(?)(?
222222BE2??CD??AB??ACBDBCDA2?CF?BCBC?则精品文档．
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ABCDCDAB?CDAD?BCAB∥,为平行四边形∴且∵四边形
090??DFC?AEB?DCF?ABC??∵∴CF?DCFBE?ABE??∴
∴222222DA??AC?BD?ABBC?CD∴DEC
1D3A
PF2KAFBCEB4图3图
第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
E,F CDABCDDABE与4：已知：如右上图4，在正方形分别是中，的中点，、例CFPAP?AB 点，求证：交于CFBAK证明：延长的延长线于点交ABCD为正方形∵四边形
090???D?BAD??BCD AD?CDAB?CDCDAB∥,∴
且,090?DAK??D?CDF?KAF?1??DF?AF?K∴∴,又∵≌
11CD,DF?AD?CECE?DFAK?CD?AB∴∴∵
220?BCD??D?90?BCE?CDF?1??2≌∴∵∴
00009090CPB??KPB?3??1??390?2???90?∴则, ∵∴ABAP?∴第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。CDABCDE上任一点，请你在该图基础5例如左下图5，在平行四边形为边中，点上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。BCFAE与的延长线相交于解：延长，则有FECFEC??FAB???AEDAED?FAB ,
∽∽,∽
ADA
DNEOFCEFCBB6图5图
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精品文档第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线
1BC?BENEBNABCDAN?中，,,例6已知：如右上图6，在平行四边形3BDBF:FBD交，
求于ONACOBD,解：连结连结交于点BDOA?OC,OB?OD?ABCD∴为平行四边形
∵四边形2BF11BE??BCONBCONAN?BN且∵∴∴∥FO22ON21BF?BEBC?3:BEON?2:∴∵∴
33FO2BF5BF::BD?1?∴∴5BO综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。
PART B综合演练
一、一般多边行
1、如图，四边形ABCD中，E、F、G、H是四边形各边的中点，求证：四边形EFGH是平行四
边形。
2、某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产形状如图所示的风筝，点E、F、
G、H分别是四边形ABCD的中点，其阴影部分用的甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料），若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料多少匹？
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3、提出问题：如图①所示，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究问题：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的，特殊的情形入手：
1AD时（如图②）AP=：（1）当211S?S。∵AP=的高相等，∴AD，△ABP和△ABD ABD??ABP2211S?S。，△CDP和△CDA的高相等，∴AP=∵PD=AD－AD
CDA?CDP?22S?S?S?S∴CDP???PBCABPABCD四边形11S?SS?＝CDAABD??ABCD四边形2211????SS????SSS＝ABCDBC??ABCD四边形四边形ABCD四边形ABCD2211SS?＝ABCDBC??221S与S与S之间的关系，写出求解过程；AD时，探求（2）当AP=DBC?ABC?PBC?31S 与SS和之间的关系式为______________________（3）当AP=AD时，；DBC?PBCABC??61SS 和与Sn之间的关系，表示正整数）（时，探求4）一般地，当AP=AD（DBC?PBC??ABC n写出求解过程；
m m???10?S和S与S??AD关AP=问题解决：当系为，之间的时C?PBCB??ABCD n n??
____________________。
①②
二、多边形m°，B=110°，∠是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=1301、如图，如果直线）的度数等于（BCD 那么∠°70D 60C °、°、A40
B50 、°、
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329021，检和、∠C2、一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于应分别为，∠B 148验工人量得∠BDC=，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？
cm的正方形板子，另一块是上底为603、王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为cmcmcm 的直角梯形板子（如图①）60，下底为120，王师傅想将这两块板，高为30子裁剪成两块全等的矩形板材，他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点。
（1）求BC的长。
xcm）为多少时，矩形的边的距离所对的顶点到BC（（2）利用图②求出矩形顶点B y面积2cm（）最大？最大面积是多少？
）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。（3
①②
三、平行四边形（矩形、菱形、正方形与其相同）
1、如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。
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1。DC边上，且GH=的中点，点G、H在DC、在矩形2、如图，ABCD中，E、F分别是ADBC
2 BC=12若AB=10，，则图中阴影部分的面积为____________。
F，请你以所在直线上两点，DE=BFF、分别是平行四边形ABCD对角线BD3、如图，E为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有。的某一条线段相等。（只需研究一组线段相等即可）
（说明：写出证明过程的重3）证明：）猜想：_____________；（1（）连结_________；（2 要依
据）。
□BD。、的中点，连结DEBF、、、4、如图，在ABCD中，EF分别为ABCD 。ADE≌△CBF）求证：△（1 是什么特殊四边形？请证明你的结论。，则四边形AD⊥BDBFDE）若（2
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