全等三角形及其应用
【知识精读】
1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法:若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中,“≌”读作
“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
３. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等;
4. 寻找对应元素的方法
（１）根据对应顶点找
如果两个三角形全等，那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2)根据已知的对应元素寻找:全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;
（3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成
①翻折:如图(1)，?BOＣ≌?EＯD，?BOC可以看成是由?ＥOＤ沿直线AＯ翻折180?得到的;
②旋转:如图（２），?COD≌?BOA,?COD可以看成是由?ＢOA绕着点Ｏ旋转1８０?得到的;
③平移：如图(3)，?DEF≌?ＡCB,?ＤＥＦ可以看成是由?ACＢ沿CB方向平行移动而得到的。
5. 判定三角形全等的方法：SAS，SSS,ASＡ,AＡS,HL
6. 注意问题：(1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；
(2)不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等,即AAA;b ：有两边和其中一角对应相等,即ＳSA。
【分类解析】
(1)证明线段（或角)相等
例1:如图，已知ＡD=AＥ,AB＝AC．求证:BF=FC
(２）证明线段平行
E
D
A
例2：已知:如图,ＤE ⊥AC,ＢF ⊥ＡＣ,垂足分别为E 、Ｆ，ＤＥ=B Ｆ,AF ＝C Ｅ.求证：AB ∥ＣD
D C
B A
E F
(3）证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等
例3:如图，在△ ABC 中，AB=AC ，延长A Ｂ到D ，使B Ｄ＝AB ，取AB 的中点Ｅ,连接CD 和ＣE. 求证：CD=2CE
(4)证明线段相互垂直
例4:已知:如图，A 、D 、B 三点在同一条直线上,ΔADC 、ΔB ＤO 为等腰三角形,AO 、B Ｃ的大小关系和位置关系分别如何?证明你的结论。
C B
A O E
D
【题型点拨】
例1．如图,A Ｃ∥BD,E Ａ，EB 分别平分∠CA Ｂ,∠DBA ，ＣD 过点Ｅ,求证;AB ＝AC+ＢD
D
C
B
A
例2如图，在四边形ABCＤ中,BC>BＡ，AD=ＣD,BD平分ABC
∠，
求证: 0
180
=
∠
+
∠C
A
【题型展示】
例1 如图,△AＢC中，∠C=２∠B，∠１=
∠2。求证：AＢ＝ＡC+CD.
【实战模拟】
１.下列判断正确的是（)
(A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
(B）有两边对应相等，且有一角为３０°的两个等腰三角形全等
（C)有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
(D)有两角和一边对应相等的两个三角形全等
２．已知:如图，CＤ⊥AＢ于点D,BE⊥AＣ于点E,BE、CD交于点O,且ＡO平分∠ＢAC．求证:OB＝OC．
O
E
D
C
B
A
3. 如图，已知C 为线段A Ｂ上的一点，?ACM 和?CBN 都是等边三角形，AN 和CM 相交于F 点，BM 和CN 交于E 点。求证:(1)?CEF 是等边三角形。（２）设AN 、BM 交于O,求∠AOM 的度数
A
B
C
M
N
E F
1
2
4. 如图，已知在△A ＢC 中,∠Ｂ=6０°,△A ＢC 的角平分线AD,CE 相交于点Ｏ, 求证:OE=OD
5． 如图，在等腰R ｔ△ABC 中,∠C ＝90°，D 是斜边上ＡB 上任一点，AE ⊥ＣD 于E ,BF ⊥CD 交CD 的延长线于Ｆ，
CH ⊥AB 于H 点，交A Ｅ于Ｇ．
求证:B Ｄ=ＣＧ．
６、(1）如图23（１），以ABC △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形
ACFG ,连结EG ,试判断ABC △与AEG △面积之间的关系,并说明理由。
(２)园林小路，曲径通幽，如图23(２)所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和 是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米?