第14章 虚位移原理
在静力学中，我们利用力系的平衡条件研究了刚体在力的作用下的平衡问题，但对有许多约束的刚体系而言，求解某些未知力需要取几次研究对象，建立足够多的平衡方程，才能求出所要求的未知力。这样做是非常繁杂，同时平衡方程的确立只是对刚体而言是必要和充分的条件；而对任意的非自由质点系而言，它只是必要条件不是充分条件。
从本章开始我们学习用数学分析的方法来研究非自由质点系的力学问题，称为分析力学。1788年，法国科学家拉格朗日发表的《分析力学》一书，给出了解决非自由质点系的新方法，即利用广义坐标描述非自由质点系的运动，使描述系统运动量大大减少，同时从能量角度出发将质点系的动能、势能与功用广义坐标联系起来，给出了动力学普遍方程和拉格朗日方程。
虚位移原理是静力学的最一般原理，它给出了任意质点系平衡的必要和充分条件，减少了不必要的平衡方程，从系统主动力作功的角度出发研究质点系的平衡问题。
14.1 约束·自由度·广义坐标
质点或质点系的运动受到它周围物体的限制作用，这种限制作用称为约束，表示约束的数学方程称为约束方程。按约束方程的形式对约束进行以下分类。
1.几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。例如图14-1所示的单摆，其约束方程为
222l =y +x
又如图14-2所示的曲柄连杆机构，其约束方程为
?????--0+22222
=y l =)y (y +)x (x r =y x B
B A 2B A A A
图14-2
x
y
图14-3
上述例子中的约束方程均表示几何约束。
如果约束方程中含有坐标对时间的导数，或者说，约束限制质点或质点系运动的条件，称为运动约束。例如图14-3所示在平直轨道上作纯滚动的圆轮，轮心C 的速度为
ωr =v c
运动约束方程为
0=ωr v c -
设c x 和φ分别为轮心C 点的坐标和圆轮的转角，则上式可改写为
0C =r φx - 2.定常约束与非定常约束
约束方程中不显含时间的约束称为定常约束，上面各例中的约束均为定常约束。约束
方程中显含时间的约束称为非定常约束，例如将单摆的绳穿在小环上，如图14-4所示，设初始摆长为0l ，以不变的速度拉动摆绳，单摆的约束方程为
2022)vt l (=y +x -
约束方程中有时间变量t ，属于非定常约束。
x
图14-4
3.完整约束与非完整约束
约束方程中含有坐标对时间的导数，而且方程不能积分成有限形式，称为非完整约束。反之，约束方程中不含有坐标对时间的导数；或约束方程中含有坐标对时间的导数，但能积分成有限形式，称为完整约束。上述例子中在平直轨道上作纯滚动的圆轮，其运动约束方程为完整约束。
4.双侧约束与单侧约束
如果约束不仅限制物体沿某一方向的位移，同时也限制物体沿相反方向的位移，这种约束称为双侧约束。例如，图14-1所示的单摆是用直杆制成的，摆杆不仅限制小球拉伸方向的位移，而且也限制小球沿压缩方向的位移，此约束为双侧约束。若将摆杆换成绳索，绳索不能限制小球沿压缩方向的位移，这样的约束为单侧约束。即约束仅限制物体沿某一方向的位移，不能限制物体沿相反方向的位移，这种约束称为单侧约束。
本章非自由质点系的约束只限于几何、定常的双侧约束，约束方程的一般形式为
0111=)z ,y ,x ,,z ,y ,x (f n n n j )s ,,,j ( 21= (14-1) 式中n 为质点系中质点的数目，s 为约束方程的数目。
确定具有完整约束的质点系位置所需独立坐标的数目称为质点系的自由度数，简称自由度，用k 表示。例如，在空间运动的质点，其独立坐标为)z ,y ,x (,自由度为3=k ；在平面运动的质点，其独立坐标为)y ,x (,自由度为2=k ；作平面运动的刚体，其独立坐标为),y ,x (A A ?，自由度为k=3。
一般情况，设由n 个质点组成的质点系，受有s 个几何约束，此完整系统的自由度数为
空间运动的自由度数： s n k -=3； 平面运动的自由度数： s n k -=2。
确定质点系位置的独立参量称质点系的广义坐标，常用j q )s ,,,j ( 21=表示。广义坐标的形式是多种的，可以是笛卡尔直角坐标x ,y ,z 、弧坐标s 、转角?。
一般情况，设具有理想、双则约束的质点系，由n 个质点组成，受有s 个几何约束，系统的自由度为s n k -=3，若以k q ,,q ,q 21表示质点系的广义坐标，质点系第i 个质点的直角坐标形式的广义坐标为
???
??===)
t ,q ,,q ,q (z z )t ,q ,,q ,q (y y )
t ,q ,,q ,q (x x k i i
k i i k i i 212121 )n ,,,i ( 21= (14-2)
矢量形式为
)t ,q ,,q ,q (k i i 21r r = )n ,,,i ( 21= (14-3)
14.2 虚位移原理
1.虚位移
在某给定瞬时，质点或质点系为约束所允许的无限小的位移称为质点或质点系的虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。用变分符号r δ表示，以区别真实位移r d 。
例如图14-1所示的单摆，沿圆弧的切线有虚位移r δ。
虚位移与实际位移是两个截然不同的概念。虚位移只与约束条件有关，与时间、作用力和运动的初始条件无关。实位移是质点或质点系在一定时间内发生的真实位移，除了与约束条件有关以外，还与作用在它们上的主动力和运动的初始条件有关。虚位移是任意的无限小的位移，在定常约束下，虚位移可以有沿不同方向的虚位移。
2.虚功
力在虚位移上作的功称为虚功，用W δ表示，即
r F δδ?=W (14-4)
虚功与实际位移中的元功在本教材中的符号相同，但它们之间有着本质的区别。因为虚位移是假想的，不是真实位移，因此其虚功就不是真实的功，是假想的，它与实际位移无关；而实际位移中的元功是真实位移的功，它与物体运动的路径有关。这一点上学习时应当注意。
3.理想约束
如果约束力在质点系的任意虚位移中所作的虚功之和等于零，这样的约束称为理想约束。若用Ni F 表示质点系中第i 个质点所受的约束力，i δr 表示质点系中第i 个质点的虚位移，则理想约束为
01
=?∑=s
i i Ni F =W r δδ (14-5)
将第12章的式（12-11）中i r d 变换为i δr 即可。如光滑接触面、铰链、不可伸长刚杆（二力杆）等均为理想约束。将第12章的理想约束推广到某些非定常约束，也能成为理想约束。
例如变长度摆，如图14-5所示，绳的约束力在实位移上作的功0≠?r F T d ，但虚位移上的虚功0=r F T δ?，因而也是理想约束。
图14-5
虚位移原理：具有理想、双侧、定常约束的质点系其平衡必要与充分条件是：作用在质点系上的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即
01
==W n
i i F ∑=?r F i δδ (14-6)
式(14-6)的解析式为
01
=++∑=n
i i zi i yi i xi
)z F y F x F
(δδδ (14-7)
虚位移原理由拉格朗日于1764年提出的，又称为虚功原理，它是研究一般质点系平衡的普遍定理，也称静力学普遍定理。
虚位移原理的必要性证明：
当质点系平衡时，质点系中的每个质点受到主动力i F 和约束力Ni F 而处于平衡，则有
0=F F Ni i + )n ,,,i ( 21=
将上式两端同乘以i δr ，并连加得
01
1
=F
F i
i
∑∑==n
i N n i +
由于质点系受有理想约束，即
01
=r F
i ∑=?n
i i N δ
则有 01
==W n
i i F ∑=?r F i δδ
虚位移原理的充分性证明：
假设质点系受到力系作用时，不处于平衡状态，则作用在质点系上的某一个主动力i
F
和约束力Ni F 其在相应的虚位移上所作的虚功必有
0≠?+i i )(r F F Ni δ
由于质点系受有理想约束，即
图14-
6
12
01
=r F
i
∑=?n
i i N δ
则对于质点系有
01
≠?∑=n
i i F =W r F i δδ
这与式(14-6)矛盾，质点系必处于平衡。
例题14-1如图14-6所示的机构中，当曲柄OC 绕轴O 转动时，滑块A 沿曲柄滑动，从而带动杆AB 在铅直的滑槽内移动，不计各杆的自重与各处的摩擦。试求平衡时力1F 和2F 的关系。
解：作用在该机构上的主动力为力1F 和2F ，约束是理想约束，且为1个自由度体系。有如下的两种解法：
（1）几何法
如图14-6所示，A 、C 两点的虚位移为A r δ，C r δ，则由虚位移原理式(14-6)得
012=-C A F F r r δδ （1）
由图中的几何关系得
?δδcos A e r r =
a l
cos a cos l
cos a OA
A A e
C ?
δ?
?
δδδ2r r r r ==
=
（2）
式（2）代入式（1），得
0212=-a l
cos F F A A ?
δδr r
0212=-A )a l
cos F F (r δ?
由于虚位移为A r δ是任意独立的，则
0212=-a l
cos F F ?
有关系为
?
221cos a l F F = （2）解析法
由于体系具有1个自由度，广义坐标为曲柄OC 绕轴O 转动时的转角?，则滑块A 在图示坐标系中的坐标为
?tan l y =
滑块A 的虚位移为
?δ?
δδ2cos l
y A =
=r C 点的虚位移为
?δ?δδa )a (C ==r
将点A 、C 的虚位移代入式（1）得
0122=-?δ?δ?
a F cos l F 012
2=-?δ?
)a F cos l
F ( 由于广义虚位移?δ是任意独立的，则有
012
2=-a F cos l F ? 即
?
221cos a l F F = 例题14-2如图14-7所示的平面机构中。已知各杆与弹簧的原长为l ，重量均略去不计。滑块A 重为P ，弹簧刚度系数为k ，铅直滑道是光滑的。试求平衡时重力P 与θ之间的关系。
x
D
图14-7
解：去掉弹簧的约束，以弹力F 、F '代替，体系的约束为理想约束，在主动力重力P 和弹力F 、F '的作用下处于平衡。此体系具有1个自由度，广义坐标为θ，则由虚位移原理式(14-6)得
0='+--D B A x F x F y P δδδ （1） 主动力作用点的坐标为
???
??-===θθθcos l x cos l x sin l y D
B A 2 则各作用点的虚位移为上式取变分，得
??=-==δθθδθδθδθδθδsin l x sin l x cos l y D B A 2 （2）
弹簧的弹力F 、F '为
)l cos l (k F F -='=θ2 （3）
将式（2）和式（3）代入式（1），得
0222=-+-+-δθθθθδθθθδθsin l )l cos l (k sin l )l cos l (k cos l P 整理得
0]2[=-+-δθθθ)tan sin (kl P
由于广义虚位移θδ是任意独立的，则有
02=-+-)tan sin (kl P θθ
即得平衡时重力P 与θ之间的关系为
)tan sin (kl P θθ-=2
例题14-3一多跨静定梁受力如图14-8a 所示，试求支座B 的约束力。
M
M
E
(a)
图14-2
(b)
解：将支座B 处的约束解除，用力B F 代替。此梁为1个自由度体系。由虚位移原理式(14-6)得
02211=--+-θδδδδM r F r F r F B B
则
B
B B B r M r r F r r F F δθ
δδδδδ++=2211
其中，各处的虚位移关系为
21
1=B r r δδ 8
11
2=B r r δδ 96
11
8111213636361614122=?=?=?=?=?=B B E B G B B r r r r r r r r r δδδδδδδδδθδ 从而得支座B 的约束力为
M F F F B 96
11
8112121++=
设由n 个质点组成的质点系，受有s 个定常完整约束，系统的自由度为s n k -=3，对
质点系中第i 个质点的广义坐标求变分，由式(14-2)得
???
?
??
???∑∑∑===k
j j j i i k j j j i
i k j j j i
i q q z z q q y y q q x x 111??????δδδδδδ=== )n ,,,i ( 21= （14-8）
其矢量式为
∑
=k
j j j
i
i q q 1??δδr =r )n ,,,i ( 21= 式(14-8)代入式(14-7)得
∑∑∑∑====n
i k
j j j
i
zi k j j j i yi k
j j j i xi F )q q z (F )q q y (F )q q x (F =W 1111??????][δδδδ++
0]??????[1
1
=+j k j n
i j i
zi j i yi j i xi
q )q z F q y F q x F (=δ∑∑==+ (14-9) 令
∑=n
i j
i
zi j i yi j i xi
j )q z F q y F +q x F (=Q 1??????+ ∑=?
n i j
i
q =1
??r F i )k ,,,j ( 21= (14-10) 式(14-10)代入式(14-9)
01
=q Q =W k
j j j F ∑=δδ (14-11)
其中，j j q Q δ具有功的量纲，j Q 称为与广义坐标j q 对应的广义力。
由于广义坐标j q 具有独立性，式(14-11)有
0=Q j )k ,,,j ( 21= (14-12)
即质点系平衡的必要与充分条件是：系统中所有广义力都等于零。式(14-12)广义力表示的
平衡方程。
求广义力有两种方法：一是直接从式(14-10)中求出，另一中求法是利用广义坐标具有
独立和任意的性质，令某一的虚位移0≠
j q δ，其余的1-k 个虚位移为零，则有 j j F q Q =W δδ
从而
j
F
j q W =
Q δδ (14-13) 在实际求解中常采用第二种方法。
例题14-4平面机构在如图14-9所示位置上平衡，已知在曲柄AB 上作用有力偶矩M ，
在铰链C 处，受有水平力F 。l CD AB ==2
1
，各杆的重量和摩擦不计，试求水平力P 与力
偶矩为M 的关系。
图14-9
解：此机构为2个自由度体系。设广义坐标为曲柄AB 与水平轴的夹角?，滑块D 的水平位移D r 。
（1）求广义坐标?所对应的广义力
令滑块D 不动，虚位移0=D x δ，则广义力
?
δδ?δδδ1
11130r Fcso M q W =Q o -=
图示位置，杆CD 可以看成瞬时平移，则有 ?δδδl r r B ==1
代入上式，再由质点系平衡的必要与充分条件是：系统中所有广义力都等于零。则
01=Q 得
030=-?
δ?
δ?δl Fcso M o
030=-l Fcso M o
则水平力F 与力偶矩为M 的关系为
o
lcso M
F 30=
（a ） （2）求广义坐标D x 所对应的广义力
令曲柄AB 不动，虚位移0=?δ。此时体系相当于BC 为曲柄，杆CD 为连杆组成的曲
柄连杆机构。铰链C 处的虚位移2r δ垂直于杆BC ，由速度投影定理得
o D cos r r 602δδ=
广义力为
D
o D x r Fcso r P q W =Q δδδδδ2
22260-=
D
o
D o D r cos r cos F r P δδδ6060-=
由质点系平衡条件
02=Q
得
0602=-o cos F P
则水平力F 与P 的关系为
o cos F P 602= （b ）
将式（a ）代入式（b ）得水平力P 与力偶矩为M 的关系为
l M cos lcso M P o
o
6360302==
例题14-5如图14-10所示两重物A 和B ，重量分别为1P 和2P ，并系在细绳上，分别放在倾角为θ和β的斜面上，绳子绕过两个定滑轮与动滑轮相连。动滑轮上挂重物C ，重
量为3P 的重物。若滑轮和细绳的自重以及各处的摩擦不计，试求体系平衡时，1P 、2P 和3P 的关系。
图14-10
δ
解：此机构为2个自由度体系。设广义坐标为重物A 沿斜面向下的位移为1s 和重物B 沿斜面向上的位移为2s 。重物C 的竖直位移为3s 。
（1）求广义坐标1s δ所对应的广义力 令重物B 不动，虚位移02=s δ，则广义力
1
3
311111s s P s sin P q W =
Q δδθδδδ-=
由运动关系得
132
1
s s δδ=
则上式为
1
13
111
1
121s s P s sin P q W =
Q δδθδδδ-=
2
13
1P sin P -=θ 由质点系平衡条件
01=Q
得
θsin P P 132= （a ）
（2）求广义坐标2s δ所对应的广义力 令重物A 不动，虚位移01=s δ，则广义力
2
2
233222s s sin P s P q W =
Q δδβδδδ-= 由运动关系得
232
1
s s δδ=
则上式为
2
2
223
22221
s s sin P s P q W =Q δδβδδδ-= βsin P P 232
1
-=
由质点系平衡条件
02=Q
得
ββsin P sin P 2222= (b)
由式（a ）和式(b)得1P 、2P 和3P 的关系为
βθsin P P sin P 23122==
当主动力是势力时，势能也是广义坐标的函数，即
)q ,,q ,q (V V k 21=
主动力与势能的关系由（12-27）有
)z V
+y V +x V =i i i k j i F i ??????(- )n ,,,i ( 21= (14-14)
虚位移为
k j i r i j
i j i j i j q z +q y +q x =q ???????? )n ,,,i ( 21= (14-15) 将式(14-14)和(14-15)代入(14-10)得 ∑∑==???-?k
j j
i
i j i i j i i k j j i j )q z z V +q y y V +q x x V q =Q 11?????????(??=r F i
j
q V =??-
(14-16)
则虚位移原理的平衡方程式(14-12)变为 0=q V
j ?? )k ,,,j ( 21= (14-17) 或者为
0=V δ (14-18)
即在势力场中，具有理想、双侧、定常约束的质点系平衡的必要与充分条件是：势能对每个广义坐标的偏导数都等于零，或者势能在平衡位置取驻值。
例题14-6例题14-2用广义坐标法，求试求平衡时重力P 与θ之间的关系。
解：此机构为1个自由度体系。广义坐标θ。设铰链C 为重力的零势能点，弹簧为原长为弹力的零势能点，则体系的势能为
222
1
2)l cos l (k sin Pl V -+=θθ
虚位移原理的平衡条件，
0=V δ
得
)sin l )(l cos l (k cos Pl V θθδθθθδδ222--+=
0]222[=--+=θδθθθ)sin l )(l cos l (k cos Pl
由虚位移是任意独立的，则得
)tan sin (kl P θθ-=2
14.3 本章小结
1．约束·自由度·广义坐标
约束分为以下形式：
（1）几何约束：限制质点或质点系在空间的几何位置的条件。 （2）运动约束：约束限制质点或质点系运动的条件。 （3）定常约束：约束方程中不显含时间的约束。 （4）非定常约束：约束方程中显含时间的约束。 （5）非完整约束：约束方程中含有坐标对时间的导数，而且方程不能积分成有限形式，（6）完整约束：约束方程中不含有坐标对时间的导数；或约束方程中含有坐标对时间的导数，但能积分成有限形式。 （7）双侧约束：约束限制物体沿某一方向的位移，同时也限制物体沿相反方向的位移。 （8）单侧约束：约束仅限制物体沿某一方向的位移，不能限制物体沿相反方向的位移。 自由度：确定具有完整约束的质点系位置所需独立坐标的数目，用k 表示。
广义坐标：确定质点系位置的独立参量，以k q ,,q ,q 21表示质点系的广义坐标。 由n 个质点组成的质点系，受有s 约束，自由度为k ，则质点系第i 个质点直角坐标形式的广义坐标为
???
??===)
t ,q ,,q ,q (z z )t ,q ,,q ,q (y y )t ,q ,,q ,q (x x k i i
k i i k i i 212121 )n ,,,i ( 21= 矢量形式为
)t ,q ,,q ,q (k i i 21r r = )n ,,,i ( 21=
2.虚位移·虚功·理想约束
虚位移:质点或质点系为约束所允许的无限小的位移。
虚功：力在虚位移上作的功。
理想约束：约束力在质点系的任意虚位移中所作的虚功之和等于零。即
01
=?∑=s
i i Ni F =W r δδ
3.虚位移原理
具有理想、双侧、定常约束的质点系其平衡必要与充分条件是：作用在质点系上的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即
01
==W n
i i F ∑=?r F i δδ
解析式为
01
=++∑=n
i i zi i yi i xi
)z F y F x F
(δδδ
4.广义坐标表示的质点系平衡方程 （1）一般的平衡问题 广义力：
∑=n
i j
i
zi j i yi j i xi
j )q z F q y F +q x F (=Q 1??????+
∑=?
n
i j
i
q =1??r F i )k ,,,j ( 21= 广义力表示的平衡方程：
0=Q j
即质点系平衡的必要与充分条件是：系统中所有广义力都等于零。
（2）当主动力是势力时 广义力:
j j q V
=Q ??-
其中，势能是广义坐标的函数，即)q ,,q ,q (V V k 21=。
平衡方程：
0=q V
j
?? )k ,,,j ( 21= 或者为
0=V δ
即在势力场中，具有理想、双侧、定常约束的质点系平衡的必要与充分条件是：势能对每个广义坐标的偏导数都等于零，或者势能在平衡位置取驻值。
1． 计算齿轮机构的自由度. 解：由于B. C 副中之一为虚约束，计算机构自由度时，应将 C 副去除。即如下 图所示： 该机构的自由度1213233231=?-?-?=--=h p p n F 2. .机构具有确定运动的条件是什么？如果不能满足这一条件，将会产生什么结果？ 机构在滚子B 处有一个局部自由度，应去除。 该机构的自由度017253231=-?-?=--=h p p n F 定轴轮系 A B C 1 2 3 4 图2－ 22
当自由度F=1时,该机构才能运动, 如果不能满足这一条件,该机构无法运动。 该机构当修改为下图机构，则机构可动： N=4, PL=5, Ph=1; F=?-?-= 自由度342511 3. 计算机构的自由度. 1)由于机构具有虚约束, 机构可转化为下图机构。 F=?-?-= 自由度342511
2)由于机构具有虚约束, 机构可转化为下图机构。 F=?-?= 自由度31211 3)由于机构具有虚约束, 机构可转化为下图机构。 F=?-?= 自由度33241 第一章平面机构的运动简图及自由度 一、判断题（认为正确的，在括号内画√，反之画×） 1.机构是由两个以上构件组成的。（） 2.运动副的主要特征是两个构件以点、线、面的形式相接触。（） 3.机构具有确定相对运动的条件是机构的自由度大于零。（） 4.转动副限制了构件的转动自由度。（） 5.固定构件（机架）是机构不可缺少的组成部分。（） 6.4个构件在一处铰接，则构成4个转动副。（） 7.机构的运动不确定，就是指机构不能具有相对运动。（） 8.虚约束对机构的运动不起作用。（） 二、选择题 1.为使机构运动简图能够完全反映机构的运动特性,则运动简图相对于与实际机构的（）应相同。 A.构件数、运动副的类型及数目 B.构件的运动尺寸 C.机架和原动件 D. A 和 B 和 C 2.下面对机构虚约束的描述中，不正确的是（）。 A.机构中对运动不起独立限制作用的重复约束称为虚约束，在计算机构自由度时应除去虚约束。 B.虚约束可提高构件的强度、刚度、平稳性和机构工作的可靠性等。 C.虚约束应满足某些特殊的凡何条件，否则虚约束会变成实约束而影响机构的正常运动。为此应规定相应的制造精度要求。虚约束还使机器的结构复杂，成本增加。 D.设计机器时，在满足使用要求的情况卜，含有的虚约束越多越好。 三、综合题
1.计算自由度（如有复合铰链、虚约束、局部自由度，请指出） 1. D 处构成复合铰链，滚子有局部自由度，H （K ）构成虚约束 F=3n －2P L －P H ＝3×7-2×9-1=2 2. 计算图示机构的自由度，并判定其是否具有确定运动，（绘有箭头的构件为 原动件）。 1）F=3n-2Pl-Ph--------- =3*6-2*8-1=1，---------- 自由度数等于原动件数， 具有确定运动- O A B C D E F G H K
3、计算自由度（如有复合铰链、虚约束、局部自由度，请指出） 解：滚子B 为局部自由度，E 处为复合铰链。 F=3n –2P L –P h =3×7–2×9–2=1。 4、计算图示机构的自由度，并判定其是否具有确定的运动。标有箭头的构件为原动件；如有复合铰链、局部自由度或虚约束的地方请明确指出。 解：（1）机构的自由度F ＝3n －2P L -P H =3×7-2×9-2=1 （2）具有确定的运动 （2）复合铰链 （3）局部自由度：滚子 6、计算图示机构的自由度，如有复合铰链、局部自由度和虚约束，请指出。并判断该机构是否具有确定运动。 解，有复合铰链 有虚约束
F n p p =--=?-?-=32L H 362811 该机构具有确定运动 7、计算图示机构的自由度，如有复合铰链、局部自由度和虚约束，请指出。并判断该机构是否具有确定运动。 (1)有复合铰链，位置在F 处； (2)有局部自由度，位置在A 、G 处； (3)有虚约束，位置在B 或C 处。 F n p p =--=?-?-=32372921L H 因为自由度数等于原动件数，所以该机构具有确定运动。 8、计算下列机构的自由度，已知//AB =//CD =EF 。在图中指出其复合铰链， 局部自由度和虚约束，并说明该机构是否具有确定运动？（图中画有箭头的构件为原动件）
第二专题：求自由度（10分） 先注意题目要求：先明确指出下图机构运动简图中的复合铰链、局部自由度、和虚约束，然后计算机构的自由度，并说明该机构具有确定运动的条件。（要求列出计算公式、代入数字、得出结果。每个构件只能有一个构件序号）。 详细的解题步骤请见《学习指导》P18例2—2。 真题一： 解：
3236281L H F n P P =--=?-?-= 真题二： 在图示机构中，若以构件1为主动件，试： (1)计算自由度，说明是否有确定运动。 (2)如要使构件6有确定运动，则可如何修 改？ 说明修改的要点，并用简图表示。 解： (1)滚子5有局部自由度，滚子两侧高副中有一个是虚约束，去掉后n p p =5, H L ,,==61故F n p p =-=?-?-=3-2H L 352612 今只有构件1一个主动件，运动不确定。 (2)修改：把ABCDE 五杆机构改为四杆机构。 真题三： 真题四：
323527L H F n P P =--=?-?= {此为《机械原理》P26原题} 解题注意事项： （1）此类题目多数较为简单，首先必须记住机构自由度公式，其中n 为去除自由度后机构的活动构件数（即不含机架构件），这要与第三专题中求瞬心数目的方法区分开，这里机构总的瞬心数目2(1)2 n n n N C -==这里的的n 为构件数（此时包括机架构件）。 （2）在解题过程中一定注意要按题目要求标注好复合铰链、局部自由度和虚约束，减少不必要的失分。 （3）在说明该机构具有确定运动的条件是可以写：由于此机构的自由度为1，要使得该机构具有确定的运动，需要原动件数也为1。
题目部分，(卷面共有98题,581.0分,各大题标有题量和总分) 一、填空题(20小题,共55.0分) 1．(2分)组成机构的要素是和；构件是机构中的单元体。 2．(2分)具有、、 等三个特征的构件组合体称为机器。 3．(2分)机器是由、、所组成的。 4．(2分)机器和机构的主要区别在于。5．(2分)从机构结构观点来看，任何机构是由三部分组成。6．(2分)运动副元素是指。 7．(2分)构件的自由度是指；机构的自由度是指。 8．(2分)两构件之间以线接触所组成的平面运动副，称为副，它产生个约束，而保留了个自由度。 9．(2分)机构中的运动副是指。 10．(2分)机构具有确定的相对运动条件是原动件数机构的自由度。11．(2分)在平面机构中若引入一个高副将引入______个约束，而引入一个低副将引入_____个约束，构件数、约束数与机构自由度的关系是。12．(2分)平面运动副的最大约束数为，最小约束数为。 13．(2分)当两构件构成运动副后，仍需保证能产生一定的相对运动，故在平面机构中，每个运动副引入的约束至多为，至少为。 14．(5分)计算机机构自由度的目的是 _______________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________。 15．(2分)在平面机构中，具有两个约束的运动副是副，具有一个约束的运动副是副。 16．(5分)计算平面机构自由度的公式为F ，应用此公式时应注意判断：A、铰链，B、自由度，C、约束。17．(5分)机构中的复合铰链是指；局部自由度是指；虚约束是指。 18．(2分)划分机构的杆组时应先按的杆组级别考虑，机构的级别按杆组中的级别确定。 19．(5分)机构运动简图是的简单图形。 20．(5分)在图示平面运动链中，若构件1为机架，构件5为原动件，则成为级机构；若以构件2为机架，3为原动件，则成为级机构；若以构件4为机架，5为原动件，则成为级机构。
一、填空题 [1]决定机构具有确定运动的独立运动参数称为机构的__________________。 [4]形成运动副的两个构件只能在一个平面内相对转动叫_________________________。 [5]房门的开关运动，是____________________副在接触处所允许的相对转动。 [6]在平面机构中，具有两个约束的运动副是___________副。 [7]由于组成运动副中两构件之间的________________形式不同，运动副分为高副和低副。 [8]两构件之间作________________接触的运动副，叫低副。 [9]5个构件组成同一回转轴线的转动副，则该处共有_____________个转动副。 [10]平面运动副的最大约束数为________，最小约束数为__________。 [11]平面机构中若引入一个高副将带入_________个约束，而引入一个低副将带入_________个约束。 [12]机构具有确定运动的条件是_______________________________________________________________________________ ________________。 [13]机构具有确定运动的条件是__________的数目等于自由度数F（F＞0）。 [14]当机构的原动件数目_______________其自由度时，该机构具有确定的运动。 [15]运动副是指能使两构件之间既保持________________接触。而又能产生一定形式相对运动的_____________。 [16]抽屉的拉出或推进运动，是______________副在接触处所允许的相对移动。 [17]两构件之间作______________或____________接触的运动副，叫高副。 [18]组成机构的要素是__________________和________________。 [19]机构中的复合铰链是指________________________________________________________。 [20]在平面机构中，具有一个约束的运动副是__________副。 [21]两构件之间作面接触的运动副，叫______________。 [22]从机构结构观点来看，任何机构是由_________________，_____________________，_____________________三部分组成。 [23]两构件构成低副后，保留___________个自由度。 [24]机构中的局部自由度是指机构中出现的一种与输出构件运动______________的自由度。 [25]机构中的虚约束是指______________________________________________________________________________。 [26]两构件构成高副后，保留__________个自由度。 [27]回转副的两构件之间，在接触处只允许绕孔的轴心线作相对______________。 [28]通过点、线接触的运动副称为______________。 [29]火车车轮在铁轨上的滚动，属于__________副。 [30]低副的缺点：由于是滑动摩擦，摩擦损失比高副__________，效率____________。 [31]计算自由度应注意的三个方面是__________________、______________和_________________。 [32]作平面运动的构件自由度为____________，机构的自由度为________________________________。 [33]移动副的两构件之间，在接触处只允许按给定方向作相对________________。 [34]带动其他构件_____________的构件，叫原动件。 [35]在原动件的带动下，作确定运动的构件，叫______________。 [36]低副的优点：制造和维修容易，单位面积压力小，承载能力____________。
第14章 虚位移原理 在静力学中，我们利用力系的平衡条件研究了刚体在力的作用下的平衡问题，但对有许多约束的刚体系而言，求解某些未知力需要取几次研究对象，建立足够多的平衡方程，才能求出所要求的未知力。这样做是非常繁杂，同时平衡方程的确立只是对刚体而言是必要和充分的条件；而对任意的非自由质点系而言，它只是必要条件不是充分条件。 从本章开始我们学习用数学分析的方法来研究非自由质点系的力学问题，称为分析力学。1788年，法国科学家拉格朗日发表的《分析力学》一书，给出了解决非自由质点系的新方法，即利用广义坐标描述非自由质点系的运动，使描述系统运动量大大减少，同时从能量角度出发将质点系的动能、势能与功用广义坐标联系起来，给出了动力学普遍方程和拉格朗日方程。 虚位移原理是静力学的最一般原理，它给出了任意质点系平衡的必要和充分条件，减少了不必要的平衡方程，从系统主动力作功的角度出发研究质点系的平衡问题。 14.1 约束·自由度·广义坐标 14.1.1约束 质点或质点系的运动受到它周围物体的限制作用，这种限制作用称为约束，表示约束的数学方程称为约束方程。按约束方程的形式对约束进行以下分类。 1.几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。例如图14-1所示的单摆，其约束方程为 222l =y +x 又如图14-2所示的曲柄连杆机构，其约束方程为 ?????--0+222 22=y l =)y (y +)x (x r =y x B B A 2B A A A
图14-2 x y 图14-3 上述例子中的约束方程均表示几何约束。 如果约束方程中含有坐标对时间的导数，或者说，约束限制质点或质点系运动的条件，称为运动约束。例如图14-3所示在平直轨道上作纯滚动的圆轮，轮心C 的速度为 ωr =v c 运动约束方程为 0=ωr v c - 设c x 和φ分别为轮心C 点的坐标和圆轮的转角，则上式可改写为 0C =r φx - 2.定常约束与非定常约束 约束方程中不显含时间的约束称为定常约束，上面各例中的约束均为定常约束。约束 方程中显含时间的约束称为非定常约束，例如将单摆的绳穿在小环上，如图14-4所示，设初始摆长为0l ，以不变的速度拉动摆绳，单摆的约束方程为 2 02 2 )vt l (=y +x - 约束方程中有时间变量t ，属于非定常约束。 x 图14-4
平面体系自由度和约束 自由度：所谓体系的自由度，是指该体系运动时，用来确定其位置所需的独立坐标（或参变量）的个数。如果一个体系的自由度大于零，则该体系就是几何可变体系。 （1）点的自由度：平面内一动点A，其位置需用两个坐标x和y来确定，所以一个点在平面内有两个自由度。 1.swf （2）刚片的自由度：一个刚片在平面内运动时，其位置将由其上任一点A的坐标x、y 和过点A的任一直线AB的倾角φ来确定，因此，一个刚片在平面内有三个自由度。 2.swf 约束：约束是指能够减少自由度的装置（又称联系）。减少一个自由度的装置，就称为一个约束（或联系）。 约束有两大类：支座约束和刚片间的约束。 1. 支座约束 （1）滚轴支座：能限制刚片A点在垂直方向移动，但不能限制其水平方向移动和绕A 点的转动，减少了一个自由度，相当于一个约束。 3.swf （2）铰支座：能限制刚片A点在水平方向和竖直方向移动，但不能限制其绕A点的转动，减少了两个自由度，相当于两个约束。 4.swf （3）固定支座：能限制刚片在水平、竖直方向的移动和转动，使刚片的自由度减少为零，相当于三个约束。 5.swf 2. 刚片间的联结约束 （1）单铰约束：联结两个刚片的铰称为单铰。两刚片在平面内独立的自由度个数为六个，用一个铰将刚片Ⅰ、Ⅱ联结起来，对刚片Ⅰ而言，其位置可由A点的坐标x、y和AB 线的倾角φ1来确定，因此其有三个自由度，刚片Ⅱ相对刚片Ⅰ只能绕A点转动，即两刚片间只保留了相对转角φ2，则由刚片Ⅰ、Ⅱ所组成的体系在平面内有四个自由度，则一个单铰约束减少了二个自由度。一个单铰相当于两个约束。 6.swf
（2）复铰约束：用一个铰同时联结三个或三个以上的刚片，则这种铰称为复铰。设其中一刚片可沿x、y向移动和绕某点转动，则其余两刚片都只能绕其转动，因此各减少两个自由度。象这种联结三刚片的复铰相当于两个单铰的作用，由此可见，联结n个刚片的复铰，相当于（n－1）个单铰的作用。 7.swf
1.2.3 过约束、虚约束和局部自由度 点击数： 127 【字体：小大】【收藏】【打印文章】服务器响应错,错误代码:0 【课件视频问题提 交页面】 1.2.3 过约束、虚约束和局部自由度 计算自由度时，必须注意一些特殊结构的处理。如果不加特殊处理，则会得出错误的结论。如图1.2.3-1中三个机构，计算出来的自由度数，有明显的错误。 引起上述计算错误的原因在于，忽略了机构中的一些特殊的结构。常见的情况有：过约束、虚约束、复合铰链、局部自由度。 一、过约束 过约束是平面机构中每个构件都具有的约束，称为机构（或运动链）的公共约束。过约束在理论上是不影响机构自由度的，故在计算自由度时应将其减去。 从平面机构自由度计算公式中可以看出，采用计算自由度，已经考虑了公共约束，即过约束后的计算公式。因此，采用平面机构自由度计算公式时，不考虑过约束的影响。 要特别指出，在平面机构中一旦各运动副的特殊配置关系所提供的约束向量完全一致的前提被破坏（例如由制造、安装误差和受力、受热后的变形，使某些运动副轴线不相互平行），则所谓非独立的重复约束将成为独立有效的约束，从而阻碍机构的正常运转或迫使机构发生弹性变形，造成运动副中的附加应力，降低效率和寿命。因此，平面机构对运动副的形位误差十分敏感。
闭链机构，特别是平面闭链机构，一般都普遍存在过约束；开链机构由于末端构件不 存在运动副的强制封闭，故不存在过约束。 二、虚约束 在特殊的几何条件下，有些约束所起的限制作用是重复的，这种不起独立限制作用的 约束称为虚约束。 例如图1.2.3-2中的平行四边形机构，为了增加连杆AB的强度，加入了一根MN杆， 和两个转动副，并使AO1∥BO3∥MN。由于MN杆加入前后，A、B点的轨迹没有发生任何变化，故实际上MN杆所引入的约束是重复的，不影响机构自由度。但如果单纯按照平面机构的构件数和运动副数计算，则会得到错误的结论。故在计算时应首先将带来虚约束的构件，连 同引入的两个运动副一起去除掉，然后再进行机构自由度计算。 通常加入虚约束是为了增加结构刚度，提高运动的可靠性和工作稳定性，或者为了分 担负荷功率分流，或者为了惯性力的平衡。归纳起来，出现虚约束的场合有以下四种： 1、不同构件上两点间的距离保持恒定，如图1.2.3-3所示。 2、两构件构成多个移动副且导路互相平行，如图1.2.3-4所示。
第一章平面机构的运动简图及自由度 一、判断题（认为正确的，在括号内画√，反之画×） 1.机构是由两个以上构件组成的。（） 2.运动副的主要特征是两个构件以点、线、面的形式相接触。（） 3.机构具有确定相对运动的条件是机构的自由度大于零。（） 4.转动副限制了构件的转动自由度。（） 5.固定构件（机架）是机构不可缺少的组成部分。（） 6.4个构件在一处铰接，则构成4个转动副。（） 7.机构的运动不确定，就是指机构不能具有相对运动。（） 8.虚约束对机构的运动不起作用。（） 二、选择题 1.为使机构运动简图能够完全反映机构的运动特性,则运动简图相对于与实际机构的（）应相同。 A.构件数、运动副的类型及数目 B.构件的运动尺寸 C.机架和原动件 D. A 和 B 和 C 2.下面对机构虚约束的描述中，不正确的是（）。 A.机构中对运动不起独立限制作用的重复约束称为虚约束，在计算机构自由度时应除去虚约束。 B.虚约束可提高构件的强度、刚度、平稳性和机构工作的可靠性等。 C.虚约束应满足某些特殊的凡何条件，否则虚约束会变成实约束而影响机构的正常运动。为此应规定相应的制造精度要求。虚约束还使机器的结构复杂，成本增加。 D.设计机器时，在满足使用要求的情况卜，含有的虚约束越多越好。 三、综合题 1.图2-1中构件1相对于构件2能沿切向At 移动，沿法向An向上移动和绕接触点A转动，所以构件1与2组成的运动副保留三个相对运动。 图b中构件1与2在A两处接触，所以构件1与2组成两个高副。 图2-1 图2-2 2.如图2-2所示的曲轴1与机座2，曲轴两端中心线不重合，加工误差为△，试问装配后两构件能否相对转动，并说明理由。 3.局部自由度不影响整个机构运动，虚约束不限制构件独立运动，为什么实际机构中还采用局部自由度、虚约束的结构？ 4.吊扇的扇叶与吊架、书桌的桌身与抽斗，机车直线运动时的车轮与路轨，各组成哪一类运动副，请分别画出。 5.绘制2-3图示各机构的运动简图。
1、计算图示机构的自由度（如有复合铰链、局部自由度或虚约束，应在图上标出）。图b中，C、F的导路在图示位置相互平行。 2、试分析下图所示的系统，计算其自由度，说明是否能运动？若要使其能动，并具有确定运动，应如何办？在计算中，如有复合铰链、局部自由度和虚约束，应说明。图中箭头表示原动件。图b中各圆为齿轮。 3,计算下列机构的自由度。如有复合铰链、局部自由度和虚约束，必须注明。图b中两圆为齿轮，导路F垂直于AE。
4,计算图示机构的自由度。若有复合铰链、局部自由度或虚约束，必须指出。（已知AB=CD，且相互平行。） 5,直动从动件盘形凸轮机构中，当推程为等速运动规律时，最大压力角发生在行程。 (A)起点；(B)中点；(C)终点。 6,图示为一凸轮机构从动件推程位移曲线，OA//BC，AB平行横坐标轴。试分析该凸轮机构在何处有最大压力角，并扼要说明理由。 7,有一对心直动尖顶从动件偏心圆凸轮机构，O为凸轮几何中心，O1为凸轮转动中心，直线AC⊥BD，O1O= 1 2 OA，圆盘半径R=60mm。 （1）根据图a及上述条件确定基圆半径r0、行程h，C点压力角α C 和D点接触 时的位移h D、压力角α D 。 （2）若偏心圆凸轮几何尺寸不变，仅将从动件由尖顶改为滚子，见图b，滚子半径r r =10mm。试问上述参数r0?、h、α C和h D、αD有否改变？如认为没有改变需明确回答，但可不必计算数值；如有改变也需明确回答，并计算其数值。
a) b) 8,图示凸轮机构中，已知凸轮廓线AB段为渐开线，形成AB段渐开线的基圆圆心为O，OA=r0，试确定对应AB段廓线的以下问题： （1）从动件的运动规律； （2）当凸轮为主动件时，机构的最大压力角与最小压力角； （3）当原从动件主动时，机构的最大压力角出现在哪一点？ （4）当以凸轮为主动件时，机构的优缺点是什么？如何改进？ 9,试求图示机构的全部瞬心，并说明哪些是绝对瞬心。
2.4 平面杆件体系的自由度计算 教学要求 掌握实际自由度分析方法,了解计算自由度的计算方法。 2.4.1 平面杆件体系自由度 （1）实际自由度S（即前面讲的“运动自由度”）：体系运动时，可以独立变化的几何参数数目，也就是确定该体系运动所需要的独立参数数目。之所以称之为实际自由度，是为了与下面讲的计算自由度相区别。 S = （各部件自由度总和a）－（必要约束数总和c）（2-1）（2）计算自由度W W = （各部件自由度总和a）－（全部约束数总和d）（2-2） 由上式可见，计算自由度是由体系部件的自由度和全部约束计算而得，但没有区别非多余约束和多余约束。因此，一般地说，计算自由度不一定就是实际自由度。 多余约束数n：等于实际自由度与计算自由度之差，即： n = S －W （2-3） 图2-25 分析： 自由度S=a－c=2－2=0；计算自由度W=a－d=2－4=－2 ［讨论］： W > 0 则S > 0 几何可变 W = 0 则S = n 若n = 0 几何不变 W = 0 则S = n 若n > 0 几何可变 W < 0 则n > 0 体系有多余约束,但不一定几何不变。 结论： W ≤0只是几何不变的必要条件，不是充分条件。 各部件自由度总和a=2（1个自由点）；约束总数d=4；其中：非多余约束c=2； 2.4.2 约束的计算 （1）刚片内部多余约束。
n=0 n=1 n=2 n=3 图2-8 刚片内部多余约束 ［注释］自由端n=0；一根链杆n=1；一个铰n=2；一个刚结n=3； （2）单约束和复约束 a．铰结点 图2-9a 单铰图2-9b 复铰 1单铰=2个约束复铰=（n－1）单铰＝2（n－1）个约束 b．刚结点 图2-11a 单链图2-11b 复链 1单链杆=1个约束1复链杆= （2×n-3）单链=（2×n-3）个约束杆 2.4.3 平面体系的计算自由度W 的求法 （1）刚片法：体系看作由刚片组成，铰结、刚结、链杆为约束。 刚片数m ； 约束数：单铰数h ，简单刚结数g ，单链杆数b 。 W = 3m - 2h - 3g - b （2-4） （2）节点法：体系由结点组成，链杆为约束。 结点数j ； 约束数：链杆（含支杆）数b 。 W = 2j – b （2-5） （3）组合算法 约束对象：刚片数m ，结点数j 约束条件：单铰数h ，简单刚结数g ，单链杆（含支杆）数b
一、填空题 1. 平面运动副的最大约束数为____2_____，最小约束数为_____1_____。 2.平面机构中若引入一个高副将带入_____1____个约束，而引入一个低副将带入 _____2____个约束。平面机构中约束数与自由度数的关系是_约束数+自由度数=3_。 3. 在机器中，零件是最小制造的单元，构件是最小运动的单元。 4. 点或线接触的运动副称为高副，如齿轮副、凸轮副等。5．机器中的构件可以是单一的零件，也可以是由多个零件装配成的刚性结构。6．两个构件相互接触形成的具有确定相对运动的一种联接称为运动副。7．面接触的运动副称为低副，如转动副、移动副等。8．把两个以上的构件通过运动副的联接而构成的相对可动的系统称为是运动链，若运动链的各构件构成了首末封闭的系统称为闭链，若运动链的构件未构成首末封闭的系统称为开链。 9．平面机构是指组成机构的各个构件均在同一平面内运动。10．在平面机构中，平面低副提供 2 个约束，平面高副提供 1 个约束。 11．机构具有确定运动时所必须给定的独立运动参数的数目称为机构的自由度。 12．机构具有确定运动的条件是机构的原动件数等于自由度数。 二、简答题 1. 机构具有确定运动的条件是什么？ 答：1.要有原动件；2.自由度大于0；3.原动件个数等于自由度数。 2. 何谓复合铰链、局部自由度和虚约束？在计算机构自由度时应如何处理？ 答：复合铰链是三个或更多个构件组成两个或更多个共轴线的转动副。 在有些机构中, 其某些构件所能产生的局部运动并不影响其他构件的运动, 我们把这些构件所能产生的这种局部运动的自由度称为局部自由度。 虚约束是在机构中与其他约束重复而不起限制运动作用的约束。 在计算机构自由度时, K个构件汇交而成的复合铰链应具有（K-1）个转动副，同时应将机构中的局部自由度、虚约束除去不计。
机构的自由度 一、填空题 1、机构具有确定的相对运动条件是，机构的自由度 零， 原动件个数 机构的自由度。 2、在平面机构中若引入一个高副将引入______个约束，而引入一个低 副将引入_____ 个约束，构件数、约束数、局部自由度、虚约束与机构 自由度的关系是 。 3、机构中的运动副是 指 。 4、机构的自由度是指 。 5.从机构结构观点来看，任何机构是 由 、 、 三部分组成。 二、判断题 1.机构是由两个以上构件组成的。 （ ） 2.运动副的主要特征是两个构件以点、线、面的形式相接触。 （ ） 3.机构具有确定相对运动的条件是机构的自由度大于零。 （ ） 4.转动副限制了构件的转动自由度。 （ ） 5.固定构件（机架）是机构不可缺少的组成部分。 （ ） 6.4个构件在一处铰接，则构成4个转动副。 （ ） 7.机构的运动不确定，就是指机构不能具有相对运动。 （ ） 8.虚约束对机构的运动不起作用。 （ ） 三、选择题 1.为使机构运动简图能够完全反映机构的运动特性,则运动简图相对于 与实际机构的（ ）应相同。
A.构件数、运动副的类型及数目 B.构件的运动尺寸 C.机架和原动件 D. A 和 B 和 C 2.下面对机构虚约束的描述中，不正确的是（ ）。 A.机构中对运动不起独立限制作用的重复约束称为虚约束，在计算机构自由度时应除去虚约束。 B.虚约束可提高构件的强度、刚度、平稳性和机构工作的可靠性等。 C.虚约束应满足某些特殊的凡何条件，否则虚约束会变成实约束而影响机构的正常运动。为此应规定相应的制造精度要求。虚约束还使机器的结构复杂，成本增加。 D.设计机器时，在满足使用要求的情况卜，含有的虚约束越多越好。 3.机构中的构件是由一个或多个零件所组成，这些零件间 产生任何相对运动。 A．可以 B. 不能 C.似具体情况而定 D.与机构在空间中的位置有关 四、计算题 1、计算图示机构的自由度，若机构中有复合铰链、局部自由度或虚约束，请指出。并说明该机构具有确定运动的条件。 2、计算图示惯性筛机构的自由度，并指出复合铰链、局部自由度和虚约束，最后判断其是否具有确定的运动规律（标箭头的构件为原动件）。（10分）
一、填空题 1.机构中各个构件相对于机架能够产生独立运动的数目称为（自由度）。 2.平面机构的自由度计算公式为：（F=3n-2P L-P H）。 3.从机构结构观点来看，任何机构是由_原动件_、__机架_、_从动件三部 分组成。 4.构件的自由度是指构件所具有的独立运动的数目 5.两构件之间以线接触所组成的平面运动副，称为高副，它产生1个约 束，而保留 2 个自由度。 6.机构中的运动副是指使两构件直接接触并产生一定相对运动的连接 7.机构具有确定的相对运动条件是原动件数等于机构的自由度。 8.在平面机构中若引入一个高副将引入_1_个约束，而引入一个低副将引入 _2_个约束，构件数、约束数与机构自由度的关系是F=3n-2P L -P H 。 9.当两构件构成运动副后，仍需保证能产生一定的相对运动，故在平面机 构中，每个运动副引入的约束至多为 2 ，至少为 1 。 10.在平面机构中，具有两个约束的运动副是低副，具有一个约束的运 动副是高副。 11.计算平面机构自由度的公式为Ｆ= F=3n-2P L -P H ，应用此公式时应注意 判断：A. 复合铰链，B.局部自由度，C.虚约束。 12.机构中的复合铰链是指；局部自由度是 指；虚约束是 指。 13.机构运动简图是的简单图形。 14.机构中，若两构件之间既相互直接接触，又具有一定的相对运动，形成 一种可动连接称为运动副，通过面接触而形成的联接称为低副，通过点或线接触而形成的联接称为高副。 15.构成机构的要素是零件和构件；构件是机构中的运动单元体。 16.运动副是指能使两构件之间既能保持_直接_接触，而又能产生一定的形式 相对运动的_联接__。 17.图示机构要有确定运动需要有__1_个原动件。 18.平面运动副可分为低副和高副，低副又可分为转动副和移动副。 19.运动副是使两构件接触，同时又具有确定相对运动的一种联接。平面运动副可分为低副和高副。 20.平面运动副的最大约束数为2 。
第5章空间机构自由度分析的约束螺旋求解法对机构最基本的认识是要知道它的自由度，机构的自由度计算原本是一个简单的问题，用传统的Kutzbach-Grübler公式[1-3]就可以获得正确的结果，而且仅仅基于算术运算。这个最基本的问 题几乎在所有的教科书上都有论述。 这里为什么还要论及呢？在机构学的发展历程中，发现了不少的机构不符合上述公式[4-5]。这种情况长期来倒还能容忍，到底当时该公式对于绝大多数机构还是适用的，特别是适用于众多的平面机构。但是在近十年来当空间机构研究迅速发展时，问题变得突出起来，传统的大家熟悉的这个公式常常算不出正确的结果，特别是在新世纪开始前后的这十年间，国际机构学界开展了少自由度并联机器人新机构的研究，这个不为人们重视的自由度计算却经常让人们迷惑，用公式常常不能够得到正确的结果。甚至到了新世纪的2002年，美国马里兰大学的Tsai教授在分析他发明一种3自由度并联机构时再次指出，如果用Kutzbach-Grübler公式计算该机构的自由 度数将会得到错误的结果[6]。这样，人们不得不采取其它麻烦的分析方法[7-11]，多花费了很多的时间。究其原因，认识到这是由于在机构中存在过约束（overconstrained）的缘故，约束被重复 计算了。许多人不断寻找新的普遍适用的机构的自由度计算公式，仅举文献[12-13]。人们提出过许多新概念，包括公共约束、虚约束等等。文献[14,15]还建议自由度公式中应采用机构螺旋系的“阶”。在这方面国内也有许多学者进行了有意义的研究，文献[16]以闭合约束数定义公共约束以确定阶，文献[17]以非线性代数方程组的相关性来判定机构的“秩”，然而他却是一个十分困难的求解问题。考虑“过约束”去对Kutzbach-Grübler公式加以修正，关键是如何分析过约 束，到这个新世纪开始，这个问题在国际上一直未能解决。还有一些学者甚至还采取如李代数和群论[18-20]等现代数学来探讨，也取得了一些进展。然而，李代数和群论的应用本身到更加使人感到迷茫，难道处理这种机构学中最基本最常见的问题，非得用这些普通科技人员很难懂的高深的现代数学吗？如果真是那样，将来也是难以推广应用，也不利于科技的发展。确实，自由度分析首先应保证正确，还特别要求尽可能的简单。 本文应用螺旋理论来处理这个问题，表现的比较简单。当黄真在1991年出版的著作[21]中就提出以反螺旋重新定义公共约束，进行了四杆机构的自由度的计算。这样的定义使公共约束有了明确的物理概念，便于计算，而且还方便地确定机构的阶。在1997年出版的专著[22]中进一步集中讨论了机构的自由度计算问题。除了以反螺旋定义公共约束外，特别是研究了在构成并联机构时出现的冗余约束，并分析了许多不同阶的过约束机构。在后来的许多关于少自由度新机型的研究中都应用了这个自由度的判别方法。最后文献[23]又归纳形成完整的“基于约束螺旋的求解自由度的新方法”。这个方法的特点在于它仅仅基于螺旋理论中的最简单部分，具有线性代数基础的科技人员都不难掌握，分析过程又简单、快捷。本章就介绍这种基于约束螺旋求解自由度的新方法。在只需要一只铅笔、一张纸，绝大多数情况下花费几分钟就能得到正确的答案。这种方法对广大的机械工程师将非常适用。本章最后还介绍机构实现确定运动的条件，讨 1 ··
第二章 机构的结构分析 思考题： 1. 在平面机构中，引入一个高副将引入___1___个约束，引入一个低副将引入__2___个约束。构件总数N 、运动副提供的约束总数R 与机构自由度F 的关系是 F=3(N-1)-R 。 2. 平面运动副的最大约束数为 2 ，最小约束数为 1 ；移动副限制的两个自由度分别为 平面内的转动 和 平面内沿垂直于导路方向的平动 ； 3. 计算平面机构自由度的公式为Ｆ= 3n-2P l -P h h l p p n --23 ，应用此公式时应注意判断： (A) 复合 铰链，(B) 局部 自由度，(C) 虚 约束。 4. 机构具有确定运动的条件是 机构的原动件数目等于机构的自由度数目 。 5*. 图示为一机构的初拟设计方案。 (1〕试计算其自由度，并分析其设计是否合理？如有复合铰链，局部自由度和虚约束需在图上标明； (2) 如此初拟方案不合理，请修改并用简图表示。 (1)F=3n-2P l -P h h l p p n --23 =3×3-2×4-1 =0 设计不合理 局部自由度 虚约束
2—1 列出公式计算下列运动链的自由度，并在图中指出其复合铰链、局部自由度和虚约束。 （1） F=3n-2P l-P h =3×8-2×11-0 （2）轮系 F=3n-2P l-P h =3×3-2×3-2 =1
（3） F=3n-2P l -P h =3×4-2×5-1 =1 （4） F=3n-2P l -P h =3×6-2×8-1 =1 AB 、CD 、EF 平行且相等
（5） F=3n-2P l -P h =3 ×8-2×11-0 （6） F=3n-2P l -P h =3×8-2×11-1 =1 CD 、EF 、GH 平行且相等
平面机构自由度计算公式 F=3n-(2P L+P h) 式中： n-------活动构件数目 P L------低副数目 P h------高副数目 正确计算运动副数目 1、两个构件在各处接触构成移 动副，且移动副方向彼此平行， 只能算一个移动副。 2、两个构件在多处配合构成转 动副，且转动轴线重合，只能 算一个转动副。 3、两个构件在多处接触构成平面高副，且各接触点处的公法线彼此重合，只能算一个平面高副。(如右图)
4、两个构件在多处接触构成平面高副，但各接触点的公法线方向并不彼此重合，将提供两个约束，即相当于两个平面高副或一个低副。 相当于一个转动副 相当于一个移动副 复合铰链(Compound hinge) 两个一上构件在同一处以 转动副联接，构成复合铰链。 三个构件组成复合铰链，共构 成两个转动副。m个构件以复 合铰链相联接，转动副数目等 于（m-1)个。 例：计算图示机构自由度。 解：该机构中B、C、D、F四处都是由三个构件组成复合铰链，各有两个转动副。 所以，在该机构中，活动构件数目n=7,低副数 P L=10，高副数P h=0。 机构自由度F=3×7-2×10=1 局部自由度(Passive DOF) 不影响其他构件运动，仅与其自身的局部运动有关的自由度称为局部自由度。局部自由度常见于将滑动摩擦变为滚动摩擦时添加的滚子，轴承中的滚子等场合。 在计算机构自由度时，应将局部自由度去除不计，设机构的局部自由度为F',则机构的实际自由度为：
F=3n-(2 P L+P h)-F' 例：图示滚子从动杆凸 轮机构中，为减少高副 元素的摩损，在从动杆 3和凸轮1之间装了一Array个滚子2。由于滚子2 绕其自身轴线的转动 并不影响其它构件的 运动（如图b所示，设 想将滚子2和从动杆3 焊在一起，并不影响其 它构件的运动），因 而它只是一种局部自 由度。在计算机构自由 度时，应将其去除。 机构自由度F=3n-(2 P L+ P h)-F'=3×3-(2×3+1)-1=1 虚约束(Redundant Constraints) 不起独立限制作用的重复约束称为虚约束。计算机构自由度时应将虚约束除去不 计，虚约束常发生在以下场合： 用双转动副杆联接两构件上距离保持不变的两点 两构件上运动轨迹重合的点用转动副联接 机构中对运动不起作用的对称部分 机械原理网络课堂 机构自由度计算 > 虚约束(Passive Constraint) 用双转动副杆联接两构件上距离保持不变的两点